第25章 概率小专题(九) 用概率判断游戏规则的公平性
九年级数学专训2利用概率揭示游戏规则的公平性
2020-2021学年专训2利用概率揭示游戏规则的公平性名师点金：通过计算概率判断游戏是不是公平的是概率知识的一个重要应用，也是中考考查的热点．解决游戏问题要先计算游戏双方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平．利用概率判断摸球游戏的公平性1．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验前先搅拌均匀．(1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？(2)若从中任取一球(不放回)，再从中任取一球，请用画树状图或列表的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1时甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案对甲、乙双方公平吗？利用概率判断转盘游戏的公平性2．【2020·营口】如图是一个转盘，转盘被平均分成4等份，即被分成4个大小相等的扇形，4个扇形分别标有数字1，2，3，4，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，每次指针落在每一扇形的机会均等(若指针恰好落在分界线上则重转)．(1)图中标有“1”的扇形至少绕圆心旋转________度能与标有“4”的扇形的起始位置重合；(2)现有一本故事书，姐妹俩商定通过转盘游戏定输赢(赢的一方先看)，游戏规则是：姐妹俩各转动一次转盘，两次转动后，若指针所指扇形上的数字之积为偶数，则姐姐赢；若指针所指扇形上的数字之积为奇数，则妹妹赢．这个游戏规则对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．(第2题)利用概率判断统计事件的公平性3．【2020·天水】近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中作了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级；A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；D.不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．对雾霾天气了解程度的统计表对雾霾天气的了解程度百分比A.非常了解5%B.比较了解15%C.基本了解45%D.不了解n。
3.1 课时2 用概率判断游戏的公平性 课件 (共21张PPT) 数学北师版九年级上册
1.能判断某事件的每个结果出现的可能性是否相等.2.能将不等可能随机事件转化为等可能随机事件,求其发生的概率.
想一想：你学会了用什么方法求某事件的概率？
运用这两种方法求概率时，需要注意什么？
用画树状图或列表的方法求概率时，应注意各种结果出现的可能性务必相同.
1.找全所有可能结果是解题的关键.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
你们玩过下面的游戏吗？
石头
小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”的游戏.游戏规则如下：由小明和小颖玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者.
你认为该游戏公平吗?
剪刀
布
要判断游戏的公平性，首先用画树状图或列表格的方法求出各事件发生的概率，若概率相同，则游戏公平；若概率不相同，则游戏不公平.
解：可利用列表法列举出所有可能出现的结果：
1下
2下
3下
1上
(1上，1下)
(1上，2下)
(1上，3下)
2上
(2上，1下)
(2上，2下)
(2上，3下)
3上
(3上，1下)
(3上，2下)
(3上，3下)
从中发现，这两张恰好能拼成原来的一幅画的概率为：
2.准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是1,2,3.从每组牌中各摸出一张牌.(1)两张牌的牌面数字和等于1的概率是多少？(2)两张牌的牌面数字和等于2的概率是多少？(3)两张牌的牌面数字和为几的概率最大？(4)两张牌的牌面数字和大于3的概率是多少？
所以，这个游戏对三人是公平的.
九年级数学上册第二十五章概率初步必考知识点归纳(带答案)
九年级数学上册第二十五章概率初步必考知识点归纳单选题1、在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中大约共有白球（）A．10B．15C．20D．都不对答案：B分析：由摸到红球的频率稳定在0.25附近，可以得出摸到红球的概率，即可求出白球个数．∵摸到红球的频率稳定在0.25附近，∴摸到红球的概率为0.25，∴总球数：5÷0.25=20（个）∴白球个数：20-5=15（个）所以答案是：B．小提示：本题考查了用频率估计概率、已知概率求数量，得出摸到红球的概率是本题的关键．2、在有25名男生和24名女生的班级中，随机抽签确定一名学生代表，则下列说法正确的是（）. A．男、女生做代表的可能性一样大B．男生做代表的可能性较大C．女生做代表的可能性较大D．男、女生做代表的可能性的大小不能确定答案：B分析：根据题意，只要求出男生和女生当选的可能性，再进行比较即可解答．∵某班有25名男生和24名女生，∴用抽签方式确定一名学生代表，男生当选的可能性为2525+24=25 49，女生当选的可能性为2425+24=24 49，∴男生当选的可能性大于女生当选的可能性．故选B．小提示：此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．3、某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（ ） A ．19B ．16C ．13D ．23答案：C分析：将三个小区分别记为A 、B 、C ，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可． 详解：将三个小区分别记为A 、B 、C ， 列表如下：3种， 所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为39=13. 故选C ．点睛：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4、某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率为（ ） A ．2081B ．1081C ．5243D ．10243答案：B分析：因为对于这六个人来说，会被随机分派到3个镇中的任何一个，所以一共有36种情况，而有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，剩下两个镇各派一个人的派法是3×C 64，根据概率公式求解．解：6名教师志愿随机派到3个镇中的任何一个共有36种情况，有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，另两镇各去1名的结果数为3×6×5，所以恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率=3×6×536=1081，故选：B ．【小提示】选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率． 5、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23答案：C分析：根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项． 解：由题意得：∴一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是P =24=12； 故选C ．小提示：本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．6、①三点确定一个圆； ②平分弦的直径平分弦所对的弧；③同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为π3；⑤方程x 2－x ＋3=0的两根之积是3，从上述5个命题中任取一个，是真命题的概率是（ ） A ．1B ．35C ．25D ．15 答案：C分析：先根据确定圆的条件对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据弧长公式对④进行判断；利用根与系数关系对⑤进行判断．然后利用概率公式进行计算即可．解：①不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故①说法错误，是假命题； ②平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，所以②错误，是假命题； ③在同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等，所以③正确，是真命题； ④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为2π3，所以④错误，是假命题；⑤方程x 2-x+3=0的两根之积是3，正确，是真命题， 其中真命题有2个，所以是真命题的概率是：25， 故选：C ．小提示：本题考查了真假命题的判断及概率公式，解题的关键是：先判断命题的真假．7、不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．34答案：A分析：首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为14，故选：A ．小提示：本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．8、如图是用七巧板拼成的正方形桌面，一个小球在桌面上自由地滚动，它最终停在黑色区域的概率是（ ）A ．14B ．18C ．316D ．23答案：C分析：先求出黑色区域的面积是正方形桌面的分率，再根据概率公式即可得出答案． 解：观察图形可知，黑色区域的面积是正方形桌面的316，∴最终停在黑色区域的概率是316，故选：C ．小提示：本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．9、将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( )A ．12B ．13C ．25D ．35答案：A分析：随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 发生时涉及的图形面积÷一次试验涉及的图形面积，因为这是几何概率．解：设正六边形边长为a ，过A 作AD ⊥BC 于D ，过B 作BE ⊥CE 于E ，如图所示：∵正六边形的内角为180°−360°6=120°，∴在RtΔACD 中，∠ADC =90°,∠CAD =60°,AC =a ，则AD =12a,CD =√32a ， ∴BC =2CD =√3a ，∴在RtΔBCE 中，∠BEC =90°,∠BCE =60°,BC =√3a ，则CE =√32a,BE =32a ，则灰色部分面积为3S ΔABC =3×12BC ⋅AD =3×12×√3a ×12a =34√3a 2，白色区域面积为2S ΔBCE =2×12CE ⋅BE =√32a ×32a =3√34a 2， 所以正六边形面积为两部分面积之和为32√3a 2，飞镖落在白色区域的概率P =34√3a 232√3a 2=12，故选：A ．小提示：本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率模型及简单概率公式是解决问题的关键．10、如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）A ．13B ．14C ．16D ．18答案：B分析：连接菱形对角线，设大矩形的长=2a ，大矩形的宽=2b ，可得大矩形的面积，根据题意可得菱形的对角线长，从而求出菱形的面积，根据“顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形”，可得小矩形的长，宽分别是菱形对角线的一半，可求出小矩形的面积，根据阴影部分的面积=菱形的面积-小矩形的面积可求出阴影部分的面积，再求出阴影部分与大矩形面积之比即可得到飞镖落在阴影区域的概率． 解：如图，连接EG ，FH ，设AD=BC=2a ，AB=DC=2b ， 则FH=AD=2a ，EG=AB=2b ， ∵四边形EFGH 是菱形，∴S 菱形EFGH =12FH ⋅EG =12⋅2a ⋅2b =2ab ， ∵M ，O ，P ，N 点分别是各边的中点，∴OP=MN=12FH=a ，MO=NP=12EG=b ，∵四边形MOPN 是矩形， ∴S 矩形MOPN =OP ⋅MO=ab ，∴S 阴影= S 菱形EFGH -S 矩形MOPN =2ab-ab=ab ， ∵S 矩形ABCD =AB ⋅BC=2a ⋅2b=4ab ， ∴飞镖落在阴影区域的概率是ab 4ab=14，故选B ．小提示：本题考查了几何概率问题．用到的知识点是概率=相应的面积与总面积之比． 填空题11、小兰和小华两人做游戏，她们准备了一个质地均匀的正六面体骰子，骰子的六个面分别标有1，2，3，4，5，6，若掷出的骰子的点数为偶数，则小兰赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则小华赢，游戏规则对______（填“小兰”或“小华”）有利． 答案：小兰分析：根据所出现的情况，分别计算两人能赢的概率，即可解答． 解：骰子的点数是偶数的有2，4，6，其概率为36=12，骰子的点数是3的倍数的有3，6，其概率为26=13，而12>13，∴游戏规则对小兰有利， 所以答案是：小兰．小提示：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12、甲、乙两人做游戏，他们准备了一个质量分布均匀的正六面体骰子，骰子的正六面分别标有1，2，3，4，5，6．若掷出的骰子的点数是偶数，则甲赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则乙赢，这个游戏对甲、乙来说是_________的．（填“公平”或“不公平”） 答案：不公平分析：根据所出现的情况，分别计算两人能赢的概率，即可解答．解：∵骰子的点数是偶数的有2，4，6，其概率为36=12，骰子的点数是3的倍数的有3，6，其概率为26=13，故游戏规则对甲有利．所以答案是：不公平.小提示：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13、巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．如图是利用七巧板拼成的正方形，随机向该图形内抛一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为 _____．答案：38分析：设大正方形的边长为2，先求出阴影区域的面积，然后根据概率公式即可得出答案．图，设小正方形的边长为1，根据等腰三角形和正方形的性质可求得AB=BE=2√2，FG=DC=√2，则空白的面积为：12×√2×√2+1×1+12×1×1×2+12×2×2=5；大正方形的面积是：2√2×2√2=8，阴影区域的面积为：8-5=3，所以针尖落在在阴影区域上的概率是：38．所以答案是：3．8小提示：本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．14、如图，在边长为1的小正方形组成的3×3网格中，A，B两点均在格点上，若在格点上任意放置点C，恰的概率为_________．好使得△ABC的面积为12##0.375答案：38分析：按照题意分别找出点C所在的位置，根据概率公式求出概率即可．的三角形，解：可以找到6个恰好能使△ABC的面积为12，则概率为：6÷16=38所以答案是：3．8小提示：此题主要考查了概率公式，解决此题的关键是正确找出恰好能使△ABC的面积为1的点．15、口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是___．答案：37分析：用袋子中编号为偶数的小球的数量除以球的总个数即可得．解：∵从袋子中随机摸出一个球共有7种等可能结果，其中摸出编号为偶数的球的结果数为3，∴摸出编号为偶数的球的概率为3，7所以答案是：37．小提示：本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 解答题16、在同升湖实验学校九年级的班级三人制篮球赛过程中，经过几轮激烈的角逐，最后由2班、5班、6班、9班进入了年级四强进行最后的名次争夺赛．现在葛老师规定先用抽签的方式决定将这4个班级分成2个小组，再由两个小组的胜出者争夺一二名，小组落败者争夺三四名． （1）直接写出9班和5班抽签到一个小组的概率；（2）若4个班级的实力完全相当，任何两个班级对决的胜率都是50%，求在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率． 答案：（1）13；（2）13分析：（1）利用列举法求解即可； （2）分类讨论，利用列举法即可求解．（1）分组：(2，5)和(6，9)；(2，6)和(5，9)；(2，9)和(5，6)共3种， 9班和5班抽签到一个小组只有一种情况， 故概率为：13；（2）①分组为(2，5)和(6，9)，故概率为：3×4=6； ②分组为(2，9)和(5，6)，故概率为：3×4=6；综上，在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率为16+16=13．小提示：本题考查了利用列举法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．17、为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指其他垃圾．小明、小亮各投放了一袋垃圾．(1)小明投放的垃圾恰好是A类的概率为；(2)求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率．答案：(1)14(2)14分析：（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．（1）解：∵垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，∴小明投放的垃圾恰好是A类的概率为：14；所以答案是：14；（2）解：如图所示：由图可知，共有16种可能结果，其中小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的结果有4种，所以小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率为416=14．小提示：此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．18、一个不透明的口袋中装有6个红球，9个黄球，3个白球，这些球除颜色外其他均相同．从中任意摸出一个球，(1)求摸到的球是白球的概率，(2)如果要使摸到白球的概率为14，需要在这个口袋中再放入多少个白球？答案：(1)16(2)2分析：（1）直接利用概率公式求解即可；（2）根据绿球的概率公式得到相应的方程，求解即可．（1）解：根据题意分析可得：口袋中装有红球6个，黄球9个，白球3个，共18个球，故P（摸到白球）=318=16（2）设需要在这个口袋中再放入x个白球，得：3+x18+x =14，解得：x=2．经检验x=2符合题意，所以需要在这个口袋中再放入2个白球．小提示：本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．。
利用概率判断游戏规则的公平性 (共14张PPT)
训练角度 2 利用概率判断转盘游戏的公平性
2.【2016· 营口】如图是一个转盘，转盘被平均分成4等
份，即被分成4个大小相等的扇形，4个扇形分别标 有数字1，2，3，4，指针的位置固定，转动转盘后
任其自由停止，每次指针落在每一扇形的机会均等
(若指针恰好落在分界线上则重转)． (1)图中标有“1”的扇形至少绕圆心 90 度能与标有“4”的 旋转________ 扇形的起始位置重合；
用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字 之和为偶数的概率． 解： 画树状图如图：
∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和
为偶数的有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)， 共4种情况，
4 1 = . ∴两个球上的数字之和为偶数的概率为 12 3
(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的
习题课 阶段方法技巧训练
专训2
利用概率判断游戏 规则的公平性
通过计算概率判断游戏是不是公平是概率知
识的一个重要应用，也是中考考查的热点．解决
游戏公平性问题要先计算游戏双方获胜的概率， 若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游
戏不公平．
训练角度 1 利用概率判断摸球游戏的公平性
1．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，
对雾霾天气
了解程度的 统计表：
对雾霾天气的了解程度
A.非常了解 B.比较了解
百分比
5% 15%
C.基本了解
D.不了解
45%
n
请结合统计图表，回答下列问题： (1)本次参与调查的学生共有________ 400 人， 35% ； n＝________ (2)扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角 126 度； 是________
《列举所有机会均等的结果利用概率判断游戏规则的公平性》PPT课件
类型
4．五一假期，某公司组织部分员工分别到A，B，C， D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车 票．下面是未制作完的车票种类和数量的条形统计 图，根据统计图回答下列问题： (1)若去D地的车票数量占全部车票的10%，请求出 去D地车票的数量，并补全统计图；
类型
解：设去D地的车票有x张，则x＝(x＋20＋40＋ 30)×10%，解得x＝10，即去D地的车票有10张， 补全统计图如图所示．
1、“读”是我们学习语文最基本的方法之一，古人说，读书时应该做到“眼到，口到，心到”。我看，你们今天达到了这个要求。 2、大家自由读书的这段时间里，教室里只听见琅琅书声，大家专注的神情让我感受到什么叫“求知若渴”，我很感动。 3、经过这么一读，这一段文字的意思就明白了，不需要再说明什么了。 4、请你们读一下，将你的感受从声音中表现出来。 5、读得很好，听得出你是将自己的理解读出来了。特别是这一句，请再读一遍。
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
类型
解：列表如下： 可知共有 16 种等可能的结果，其 中小王掷得着地一面的数字比小李 掷得着地一面的数字小的有 6 种， 分别为(1，2)，(1，3)，(1，4)， (2，3)，(2，4)，(3，4)．所以小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一 面的数字小的概率为166＝38，小王掷得着地一面的数字不小于小李掷得着
类型
2．【中考·黄石】将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片 (注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方 面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上 去无任何差别)洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从中 随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为m，然后放回 洗匀，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机抽取一张 卡片，记该卡片上的数字为n，组成一数对(m，n)．
第2课时利用概率判断游戏的公平性
第2课时利用概率判断游戏的公平性关键问答①如何判断游戏的公平性？1．①甲、乙两人用2张红心扑克牌和1张黑桃扑克牌做游戏，规那么是：甲、乙各抽取一张，假设两张牌是同一花色，那么甲胜；假设两张牌花色不同，那么乙胜．这个游戏公平吗？答：__________．2．把五张大小一样且分别写有1，2，3，4，5的卡片放在一个暗箱中，由甲随机从里面无放回地抽取两张，并记下两个数字之和，假设两数字之和为偶数，那么甲胜；假设两数字之和为奇数，那么乙胜．甲、乙获胜的概率分别为________．命题点事件公平性的判断[热度：90%]3．小明和小亮玩一种游戏：三张大小、质地都一样的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，假设和为奇数，那么小明胜；假设和为偶数，那么小亮胜．获胜概率大的是()A．小明B．小亮C．两人一样D．无法确定4．在不透明塑料袋里装有一个白色的乒乓球和两个黄色的乒乓球．小明一次从袋里摸出两个球；小刚左手从袋里摸出一个球，然后右手从袋里摸出一个球；小华那么先从袋里摸出一个球看一下颜色，又放回袋里，再从袋里摸出一个球．摸出的两个球都是黄色的获胜．你认为这个游戏()A．不公平，对小明有利B．公平C．不公平，对小刚有利D．不公平，对小华有利5．②2021·营口如图3－1－2，有四张反面完全一样的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌反面朝上洗匀．图3－1－2(1)从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规那么为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，假设摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，那么小明获胜，否那么小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法(或画树状图法)说明理由(纸牌用A，B，C，D表示)．解题打破②题干中的“不放回〞说明了什么？在分析时应注意什么？6．③2021·贺州在植树节期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规那么如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全一样的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，假如所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否那么就是小李去．(1)用树状图或列表法求出小王去的概率；(2)小李说：“这种规那么不公平．〞你认同他的说法吗？请说明理由．方法点拨③游戏是否公平，关键是看游戏双方获胜的概率是否相等．7．④小敏的爸爸买了一张某项体育比赛的门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个方法，他拿了八张扑克牌，将数字分别为2，3，5，9的四张牌给了小敏，将数字分别为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下规那么做游戏：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌的数字相加，假设和为偶数，那么小敏去；假设和为奇数，那么哥哥去．(1)请用画树状图或列表的方法求小敏去看比赛的概率．(2)哥哥设计的游戏规那么公平吗？假设公平，请说明理由；假设不公平，请你设计一种公平的游戏规那么．方法点拨④修改规那么，使游戏变得公平的问题，对于概率不同的问题，可以通过修改事件来到达概率一样的目的，对于得分问题，既可以通过修改事件，又可以通过修改得分规那么来到达目的．8．2021·山西模拟小明一家人春节期间参与了“支付宝集五福〞活动，小明和姐姐都缺一个“敬业福〞，恰巧爸爸有一个可以送给其中一个人，两个人各设计了一个游戏，获胜者可得到“敬业福〞，请用适当的方法说明这两个游戏对小明和姐姐是否公平．在一个不透明盒子里放入标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除了标号数字不同外其余都一样，将小球摇匀．游戏1的规那么是：从盒子中随机摸出一个小球，摸到标号数字为奇数的小球，那么判小明获胜，否那么，判姐姐获胜．游戏2的规那么是：小明从盒子中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，姐姐再从盒子中随机摸出一个小球，并记下标号数字，假设两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，那么判小明获胜，假设两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，那么判姐姐获胜．9．⑤甲、乙两人所持口袋中均装有三张除所标数值不同外其他完全一样的卡片，甲袋中的三张卡片上所标数值分别为0，－1，3，乙袋中的三张卡片上所标数值分别为－5，2，7，甲、乙两人均从自己的口袋中任取一张卡片，并将它们的数值分别记为m，n.(1)请你用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；(2)现制定这样一个游戏规那么：假设选出的m，n能使得方程x2＋mx＋n＝0有实数根，那么称甲胜；否那么称乙胜．请问这样的游戏规那么公平吗？请你用概率知识解释．易错警示⑤(1)不要混淆m，n的取值；(2)当关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根时，b2－4ac≥0.10．⑥在课外活动时间，小王、小丽、小华做“互相踢毽子〞游戏，毽子从一人传到另一人就记为踢一次．(1)假设从小丽开场，经过两次踢毽后，毽子踢到小华处的概率是多少(用画树状图或列表的方法说明)?(2)假设经过三次踢毽后，毽子踢到小王处的可能性最小，请确定毽子是从谁开场踢的，并说明理由．图3－1－3解题打破⑥从小丽开场，第一次踢毽，毽子能踢给哪些人？第二次踢毽，毽子又能踢给哪些人？11．⑦“手心、手背〞是在同学中广为流传的游戏．游戏时，甲、乙、丙三方每次出“手心〞“手背〞两种手势中的一种，规定：①出现三个一样的手势不分胜负，继续比赛；②出现一个“手心〞和两个“手背〞或者出现一个“手背〞和两个“手心〞时，那么出一种手势者为胜，两种一样手势者为负．(1)假定甲、乙、丙三人每次都是等可能地出“手心〞或“手背〞，请用画树状图或列表的方法求甲、乙、丙三位同学获胜的概率．(2)假设甲同学只出“手背〞，乙、丙两位同学仍随机地出“手心〞或“手背〞，那么甲同学获胜的可能性会减小吗？为什么？解题打破⑦第(1)小问和第(2)小问的限制条件有什么不一样？用画树状图法简单还是用列表法简单？详解详析【关键问答】①判断游戏的公平性就是要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否那么就不公平．1．不公平 [解析] 列表如下：共有94种情况，∴甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为49，59>49， 故甲获胜的概率大，即游戏不公平． 故答案为：不公平．2.25，35[解析] 根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中两数字之和为偶数的结果有8种， ∴两数字之和为偶数的概率为820＝25，两数字之和为奇数的概率为35.∴甲获胜的概率为25，乙获胜的概率为35.3．B [解析] 画树状图如下：共有9种等可能的情况，其中和为偶数的有5种，所以小亮胜的概率是59，那么小明胜的概率是49，所以获胜概率大的是小亮．4．D [解析] 小明一次从袋里摸出两个球，那么摸出的两个球都是黄色的可能性是13；小刚左手从袋里摸出一个球，然后右手从袋里摸出一个球，两个球都是黄色的可能性为13； 小华先从袋里摸出一个球看一下颜色，又放回袋里，再从袋里摸出一个球，两个球都是黄色的可能性为49>13.所以小华获胜的可能性大，这个游戏不公平，对小华有利． 应选D.5．解：(1)因为共有4张牌，牌面图形是中心对称图形的情况有3种，所以摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是34.(2)这个游戏公平．理由： 列表如下：有6种，∴P (两张牌面图形都是轴对称图形)＝12，因此这个游戏公平． 6．解：(1)画树状图如图：共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种， ∴P (小王去)＝34.(2)认同．理由如下：∵P (小王去)＝34，P (小李去)＝14，34≠14，∴这种规那么不公平．7．解：(1)根据题意，可以画出如下树状图： 或者，根据题意也可以列出下表：相等．而和为偶数的结果共有6个，所以小敏去看比赛的概率为616＝38.(2)由(1)知小敏去看比赛的概率为38，哥哥去看比赛的概率为1－38＝58.因为38＜58，所以哥哥设计的游戏规那么不公平．公平的游戏规那么如下：假设数字之和小于或等于10，那么小敏(哥哥)去，假设数字之和大于或等于11，那么哥哥(小敏)去，这样两人去看比赛的概率都为12，那么游戏规那么就是公平的．或者：假如将八张牌中的2，3，4，5四张牌给小敏，而余下的6，7，8，9四张牌给哥哥，那么和为偶数或奇数的概率都为12，那么游戏规那么也是公平的．(只要满足两人手中数字为偶数或奇数的牌的张数相等即可)8．解：游戏1：∵共有6种等可能的结果，一次摸到小球的标号数字为奇数或为偶数的情况各有3种，∴小明获胜的概率为36＝12，姐姐获胜的概率为36＝12，∴游戏1对小明和姐姐是公平的； 游戏2：画树状图如下：共有36种等可能的结果，其中两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的结果有18种，两次摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果也有18种，∴小明获胜的概率为1836＝12，姐姐获胜的概率为1836＝12，∴游戏2对小明和姐姐是公平的．9．解：(1)画树状图如下：∴(m ，n )的可能结果有(0，－5)，(0，2)，(0，7)，(－1，－5)，(－1，2)，(－1，7)，(3，－5)，(3，2)，(3，7)，∴(m ，n )的取值结果共有9种．(2)∵(m ，n )的可能结果有(0，－5)，(0，2)，(0，7)，(－1，－5)，(－1，2)，(－1，7)，(3，－5)，(3，2)，(3，7)，∴当m ＝0，n ＝－5时，Δ＝m 2－4n ＝20＞0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个不相等的实数根；当m ＝0，n ＝2时，Δ＝m 2－4n ＝－8＜0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0没有实数根； 当m ＝0，n ＝7时，Δ＝m 2－4n ＝－28＜0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0没有实数根； 当m ＝－1，n ＝－5时，Δ＝m 2－4n ＝21＞0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个不相等的实数根；当m ＝－1，n ＝2时，Δ＝m 2－4n ＝－7＜0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0没有实数根； 当m ＝－1，n ＝7时，Δ＝m 2－4n ＝－27＜0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0没有实数根； 当m ＝3，n ＝－5时，Δ＝m 2－4n ＝29＞0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个不相等的实数根；当m ＝3，n ＝2时，Δ＝m 2－4n ＝1＞0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个不相等的实数根；当m ＝3，n ＝7时，Δ＝m 2－4n ＝－19＜0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0没有实数根； ∴P (甲获胜)＝49，P (乙获胜)＝59，∴P (甲获胜)≠P (乙获胜)， ∴这样的游戏规那么不公平． 10．解：(1)画树状图如下：由树状图可知，经过两次踢毽后，毽子踢到小华处的概率是14.或列表如下：由上表可知，毽子踢到小华处的概率是14.(2)毽子是从小王开场踢的． 理由：画树状图如下：假设从小王开场踢，三次踢毽后，毽子踢到小王处的概率是14，踢到其他两人处的概率都是38，因此，毽子踢到小王处的可能性最小．11．解：(1)画树状图如下：∴一共有8种结果，每种结果出现的可能性相等，其中甲、乙、丙三位同学获胜的情况各有2种，∴P (甲获胜)＝P (乙获胜)＝P (丙获胜)＝28＝14.(2)甲同学获胜的可能性不会减小．理由： 画树状图如下：一共有4种情况，每种情况出现的可能性相等，其中甲获胜的情况有1种，∴甲获胜的概率仍为14，可能性不会减小．。
北师大版数学七年级下册 利用概率判断游戏的公平性 教案
第3课时 利用概率判断游戏的公平性●情景导入 活动内容： 出示一个不透明的盒子，里面装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外完全相同，任意摸出一个球． 提出问题：摸到白球的概率是多少？最有可能摸到什么颜色的球？一定会摸到白球吗？学生活动：以小组为单位开始活动，每人摸10次球，并记下摸出球的颜色，讨论摸到白球的概率． 【教学与建议】教学：通过游戏，让学生在亲身体会中理解概率的计算公式．引导学生用列举法把所有可能结果一一列举，再求概率．建议：先思考提出的问题后再通过试验得出结果，最后通过计算得出结论．●置疑导入 一个箱子中放有红、黄、黑三个小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出黑色小球为赢，那么这个游戏是否公平？【教学与建议】教学：通过问题的创设，激发了学生的好奇心和求知欲，让他们体会探索的过程．建议：学生各抒己见后，教师提出我们这节课继续探讨等可能事件的概率，同时板书课题．●命题角度1 判断游戏是否公平游戏是否公平只要计算出各方获胜的概率，然后进行比较就可以做出判断． 【例1】在一个不透明的袋中有6个除颜色外其他都相同的小球，其中3个红球，2个黄球，1个白球． (1)小明从中任意摸出一个小球，摸到白球的概率是多少？(2)小明和小亮商定一个游戏，规则如下：小明从中任意摸出一个小球，摸到红球则小明胜，否则小亮胜，问该游戏对双方是否公平？为什么？解：(1)P(摸到白球)＝16；(2)该游戏对双方是公平的．理由如下：由题意，得P(小明获胜)＝36＝12，P(小亮获胜)＝1＋26＝12.因为他们获胜的概率相等，所以游戏对双方是公平的．●命题角度2 根据要求设计游戏按要求设计游戏，就是通过一定的游戏规则使得获胜的概率达到相应的要求．【例2】用8个除颜色外其他均相同的球设计一个游戏，使摸到白球与摸不到白球的可能性一样大，摸到红球的可能性比摸到黄球的可能性大，则游戏设计中白、红、黄球的个数可能是(C)A ．4，2，2B ．3，2，3C ．4，3，1D ．5，2，1 【例3】小颖和小明做游戏：一个不透明的袋子中装有6个完全一样的球，每个球上分别标有1，2，2，3，4，5，从袋子中任意摸出一个球，然后放回．规定：若摸到的球上所标数字大于3，则小颖赢，否则小明赢．你认为这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请修改游戏规则，使游戏公平．解：游戏不公平．理由如下：因为摸到的球上所标数字大于3的概率是26＝13，摸到的球上所标数字不大于3的概率是46＝23，所以小明赢的概率大，故游戏不公平． 修改规则如下：方法一：若摸到的球上所标数字小于3，则小颖赢，否则小明赢． 方法二：若摸到的球上所标数字是偶数，则小颖赢，否则小明赢． ●命题角度3 根据概率求袋中的球的数量根据概率来求袋中球的数量实际就是将求概率的过程逆向运用．【例4】已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a 个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从该布袋里任意摸出1个球是红球的概率为15，则a 等于(D)A ．2B ．3C ．4D ．5【例5】在一个不透明的口袋中，装有20个红球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是58，如果再往口袋中放入4个白球，求这时任意摸出一个球，摸到红球的概率．解：口袋中原来球的总数为20÷58＝32(个).再往口袋中放入4个白球，任意摸出一个球，摸到红球的概率为2032＋4＝59.高效课堂 教学设计1．会根据概率判断游戏的公平性．2．通过一定的游戏规则使得获胜的概率达到相应要求．▲重点根据已知概率设计游戏方案． ▲难点利用概率判断游戏的规则是否公平．◆活动1 创设情境 导入新课(课件)1．想一想，填一填．任意掷一枚质地均匀的骰子．(1)掷出的点数不大于4的概率是__23__，理由是__不大于4的点数有1，2，3，4，P(不大于4点数)＝46＝23__；(2)掷出的点数是奇数的概率是__12__，理由是__点数是奇数有1，3，5，P(掷出的点数是奇数)＝36＝12__． 2．学校举行演讲比赛，王强和李明都想去，可是参加比赛的名额只有一个，于是两个用掷骰子游戏决定谁去参加比赛．若朝上的点数是6，则王强参加；若朝上的点数不是6，则李明参加．你认为这个游戏规则对王强、李明公平吗？说出理由．不公平，理由是王强参加的概率是16，李明参加的概率是56，朝上的点数不是6，则有1，2，3，4，5，所以李明参加的概率是＝56.◆活动2 实践探究 交流新知 【探究1】游戏的公平性(1)一个袋中装有2个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？讨论分析：答案1：P(摸到红球)＝12，理由是：摸到的球只有两种颜色，不是红球就是白球；答案2：P(摸到红球)＝25，理由是：把每个球都是编上号，1号球(红色)，2号球(红色)，3号球(白色)，4号球(白色)，5号球(白色)，摸出每个球的可能性相同，共有5种等可能结果．摸到可能出现的结果有：1号球或2号球．共有2种等可能的结果．画图分析：① ② ③ ④ ⑤有5种等可能结果，其中红色球有2种，所以P(摸到红球)＝25.答案1错误．(2)小明和小凡做游戏，在一个装有2个红球和3个白球(每个球除颜色外都相同)的袋中任意摸出一个球．摸到红球的话小明获胜，摸到白球小凡获胜，这个游戏公平吗？在一个双人游戏中，你怎么理解双方公平的？不公平，总共有5个球，也就是有5种等可能结果，P(摸到红球)＝25，P(摸到白球)＝35，因此小明和小凡获胜的概率不一样，不公平；在双人游戏中，两人获胜的概率必须一样才是公平的．【探究2】根据要求设计游戏利用一个口袋和4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏．(1)使摸到白球的概率为12，摸到红球的概率也是12；(2)使摸到红球的概率为12，摸到白球和黄球的概率都是14.分析：(1)共有4个球，使摸到红球的概率是12，摸到白球的概率为12，那么红球的个数为：__4×12＝2(个)，白球的个数为__4×12＝2(个)__．所以需要红球和白球各__2__个；(2)共有4个球，使摸到红球的概率是12，红球的个数为__4×12＝2(个)__，摸到白球和黄球的概率都是14，白球的个数为__4×14＝1(个)__，黄球的个数为__4×14＝1(个)__．所以需要红球__2__个，白球__1__个，黄球__1__个．想一想：1．你能用8个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗？ 解：4个红球，4个白球和4个红球，2个白球，2个黄球．2．你能用7个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗？ 解：不行．◆活动3 开放训练 应用举例【例1】在一个不透明的袋中有6个除颜色其他都相同的小球，其中3个红球，2个黄球，1个白球． (1)小明从中任意摸一个小球，摸到的白球机会是多少？(2)小明和小亮商定一个游戏，规则如下：小明从中任意摸出一个小球，摸到红球则小明胜，否岀小亮胜，问该游戏对双方是否公平？为什么？【方法指导】(1)由题意可得共有6种等可能的结果，其中任意摸出一个球是白球的有1种情况，利用概率公式即可求得答案；(2)游戏公平，分别计算他们各自获胜的概率再比较即可．解：(1)因为在一个不透明的口袋中有6个除颜色外其余都相同的小球，其中3个红球，2个黄球，1个白球，所以P(摸出一个白球)＝16；(2)该游戏对双方是公平的．理由如下：由题意可知P(小明获胜)＝36＝12，P (小亮获胜)＝1＋26＝12，所以他们获胜的概率相等，即游戏是公平的．【例2】选取6个除颜色外完全相同的球，设计一个游戏，使得参与游戏的小明和小颖获胜的概率相同．【方法指导】获胜的概率相同不一定都是12，都是13也可以，比如：2个红球，2个白球，2个黑球，摸到红球小明获胜，摸到白球小颖获胜．解：只要使得两人获胜的概率相同即可．比如：3个红球，3个白球，摸到红球小明获胜，摸到白球小颖获胜．◆活动4 随堂练习1．在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状和大小完全相同的球，如果其中有4个白球，且摸出白球的概率是13，那么袋子中共有球__12__个．2．选取15个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得摸到红球的概率为15，摸到白球和黄球的概率都是25.解：红球3个，白球6个，黄球6个． 3．课本P 150随堂练习T 1. 4．课本P 150随堂练习T 2. ◆活动5 课堂小结与作业【学生活动】你这节课有哪些收获，还有哪些困惑？【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对知识的理解．【作业】课本P150习题6.5中的T1、T2、T4、T5.本课时所学习的内容多与实际相结合，因此教学过程中要引导学生展开丰富的联想，在日常生活中发现问题，并进行合理的整合归纳，选择适宜的数学方法来解决问题．。
3.1.2 用概率判断游戏的公平性 北师大版九年级数学上册课件
石头
开始
剪刀
布
石头
(石头，石头)
剪刀
(石头，剪刀)
布
石头
(石头，布)
剪刀
(剪刀，剪刀)
布
石头
(剪刀，布)
剪刀
(布，剪刀)
布
(布，布)
(剪刀，石头)
(布，石头)
总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，
而两人手势相同的结果有三种：(石头，石头)(剪刀，
剪刀)(布，布)，所以小凡获胜的概率为
率.
解：可利用列表法列举出所有可能出现的结果：
第二个盒子
1下
2下
3下
1上
(1上，1下)
(1上，2下)
(1上，3下)
2上
(2上，1下)
(2上，2下)
(2上，3下)
3上
(3上，1下)
(3上，2下)
(3上，3下)
第一个盒子
从中发现9 3
.
选择一个数，然后两人各掷一次均匀的骰子，谁事先选择的数等于两
人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数
之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负.如果你是游戏者，你会选
择哪个数？
解：经分析可得，掷得的点数之和是哪个数的概率最大，
选择这个数后获胜的概率就大.利用列表法列出所有可
能出现的结果：
公平
概率分别是_____，_____.这个游戏对双方是否公平？______.
3
3
4．如图所示，准备了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上
各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形．将
这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，若
可以拼成一个圆形(取出的两张纸片都画有半圆形)，则甲方赢；
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3.在联欢会上,有A,B,C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上,他们在玩抢凳子
游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的
最适当的位置是在△ABC的 ( B )
A.三边中线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高的交点
4.在一只不透明的口袋中装有标号为1,2,3,4的4个球,这些球除标号外都相同,充分搅匀,
-3-
类型1 判断游戏是否公平
判断游戏是否公平,先要求出游戏双方获胜的概率,如果双方获胜的概率相等,即为公平
的游戏,否则不公平.
1.下列游戏公平的是 ( A )
A.掷一个硬币两次,出现两次正面甲胜,出现两次反面乙胜
B.掷一个硬币两次,出现一次正面甲胜,出现两次反面乙胜
C.掷一个硬币两次,至少出现一次正面甲胜,出现一次反面一次正面乙胜
∴A+B=0
的概率为 2
12
=
16.
(2)∵A+B 是正数的情况有 9 种,
∴甲胜的概率为 9
12
=
34,乙胜的概率为132
=
14.
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平.
游戏可以改为:甲、乙两人玩游戏,规定:当 A+B=1 时,甲胜;当 A+B=2 时,乙胜.(答案不唯
一,合理即可)
小专题(九)
用概率判断游戏规则的公平性
请你按照甲、乙、1 丙的摸球顺序从袋中各摸出一个球(不放回),摸到1号球胜出,则丙胜
出的概率是
4
.
小专题(九)
用概率判断游戏规则的公平性
-5-
5.小明和小亮做扑克游戏,桌面上放有两堆牌,分别是红桃和黑桃的1,2,3,4.小明建议: “我从红桃中抽取一张牌,你从黑桃中取一张,当两张牌数字之积为奇数时,你得1分,为 偶数时我得1分,先得到10分的获胜”.这个游戏对小亮和小明公平吗?为什么?
情况共出现4次,两张牌的数字之积为偶数的情况共出现12次,
因此牌面数字之积为奇数的概率为 4
16
=
14,牌面数字之积为偶数的概率为1126
=
34,
所以这个游戏对小亮和小明不公平.
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6.甲袋中装有4个相同的小球,分别标有3,4,5,6;乙袋中装有3个相同的小球,分别标有 7,8,9.芳芳和明明用摸球记数的方法在如图所示的正六边形ABCDEF的边上做游戏,游 戏规则为:游戏者从口袋中随机摸出一个小球,小球上的数字是几,就从顶点A按顺时针 方向连续跳动几个边长,最终跳回起点者获胜;芳芳只从甲袋中摸出一个小球,明明先后 从甲、乙口袋中各摸出一个小球.如:先后摸出标有4和7的小球,就先从点A按顺时针连 跳4个边长,跳到点E,再从点E顺时针连跳7个边长,跳到点F.分别求出芳芳、明明跳回起 点A的概率,并指出游戏规则是否公平.
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类型2 修改游戏规则 原游戏中双方获胜的概率不同,说明游戏不公平,修改游戏规则,使双方获胜的概率相同, 变成公平的游戏. 7.图1是一个可以自由转动的转盘,被分成了面积相等的三个扇形,分别标有数-1,-2,-3,
甲转动一次转盘,转盘停止后指针指向的扇形内的数记为A(如果指针恰好指在分割线 上,那么重转一次,直到指针指向某一扇形为止).图2是背面完全一样、牌面数字分别是 2,3,4,5的四张扑克牌,把四张扑克牌背面朝上,洗匀后放在桌面上,乙随机抽出一张牌的 牌面数字记为B.
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解:芳芳: 画树状图可得:
有4种等可能的结果,其中1种能跳回起点A,
故芳芳跳回起点A的概率为
1 4
;
明明:
画树状图可得:
有12种等可能的结果,其中3种能跳回起点A,
故明明跳回起点A的概率为
1 4
.
所以芳芳、明明跳回起点A的概率相等,故游戏规则公平.
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类型3 设计公平的游戏
8.有三个筹码,第一个一面画上×,另一面画上○;第二个一面画上○,另一面画上#;第三 个一面画上#,另一面画上×.甲、乙两人玩抛掷三个筹码的游戏,其游戏规则定为“掷出
的三个筹码中 有一对×或一对#(答案不唯一,合理即可) ,则甲方赢;Байду номын сангаас则,乙方赢”时, 这个游戏是公平的.
D.掷一个硬币两次,出现相同面甲胜,至少出现一次正面乙胜
2.小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子,规定两人掷的点数和为偶数,则小玲胜;点数和
为奇数,则小丽胜,下列说法正确的是 ( C )
A.此规则有利于小玲
B.此规则有利于小丽
C.此规则对两人是公平的
D.无法判断
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(2)小兵的设计方案:在一个不透明的盒子中,放入3个黄球和1个白球,这些球除颜色外
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一个游戏规则是否公平,关键是看游戏双方获胜的概率是否相等.若相等则公平,否则不 公平.要解决这类问题,先要算出双方获胜的概率,再判断.另外,设计新规则,方案不唯一, 只要使双方获胜的概率相等即可.
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解:游戏不公平.理由:
红桃
黑桃
1
2
3
4
1
1×1=1 2×1=2 3×1=3 4×1=4
2
1×2=2 2×2=4 3×2=6 4×2=8
3
1×3=3 2×3=6 3×3=9 4×3=12
4
1×4=4 2×4=8 3×4=12 4×4=16
从上表可知,共有16种情况,每种情况发生的可能性相同,而两张牌的数字之积为奇数的
(1)用画树状图法或列表法求A+B=0的概率. (2)甲、乙两人玩游戏,规定:当A+B是正数时,甲胜;否则,乙胜. 你认为这个游戏规则对甲、乙双方公平吗?为什么?如果不公平,请你修改游戏规则,使 游戏公平.
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解:(1)画树状图可得:
一共有 12 种情况,符合 A+B=0 的有 2 种情况,
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9.班主任让同学们为班会活动设计一个抽奖方案,拟使中奖概率为50%.
(1)小明的设计方案:在一个不透明的盒子中,放入8个球,这些球除颜色外其他都相同,搅
匀后从中任意摸出1个球,摸到黄球则表示中奖,否则不中奖.如果小明的设计符合老师
要求,则盒子中黄球应有 4 个.