“好奇号”发现火星土壤含水量为2%
到目前为止，我们可能知道火星表面曾经存在着大量的水资源，但依据地球环境气候进行衡量，火星处于干旱贫瘠状态，目前，美国宇航局“好奇号”火星车最新勘测结果表明，火星土壤含水量为2%。
“好奇号”火星车最新勘测发现火星表土层含有较高的水分。
2012年8月6日，“好奇号”着陆在邻近火星赤道的加勒陨坑，其明确的勘测任务是寻找现今和历史上适应生命的宜居环境，它使用一套复杂的仪器设备，逐渐勘测获得火星地质和宜居环境的历史数据。
“好奇号”铲取了细粒表皮土层样本，倾倒在机载的化学实验室中，经过分析最初的土壤样本，好奇号“火星样本分析仪（sam）”探测到一些重要信息。
美国伦斯勒理工学院的劳里·莱辛（laurie leshin）说：“最令人感兴趣的是‘好奇号’首次铲取土壤样本中具有较高含水量，火星表面土壤样本中大约2%是水，这是巨大的资源，并且合乎科学逻辑。
”□编译/悠悠
老年人更能做出理智决策
目前，科学家最新一项研究显示，智慧伴随着年龄而增长，虽然老年人大脑反应迟钝，但是他们富有经验和学识，能够弥补老年化大脑迟钝，帮助他们做出更好的财务决定。
这是科学家首次对不同年龄群体进行的两种智力类型测试——流体智力和晶体智力，流体智力是学习和处理信息的能力，后者是经验和积累学识。
一系列经济测试显示，60-82岁的163位测试者的测试表现优异于18-29岁的173位测试者。
美国加州大学李野（音译）博士说：“这项发现证实了我们的假设，经验和学识，以及决策能力，抵消了衰退的学习新知识能力。
”老年人群将面对日益增多的重要决定，例如：涉及退休金和医疗保健等方面的问题。
李野指出，老年人群需要得到帮助，来削弱他们流体智力的减弱，例如：当他们制定重大财务决定时，需要精明的计算和指导；另一方面，年轻人群在更多的金融教育中可以受益，在步入社会工作之前学习如何进行重大财务决策。
□编译/悠悠
数学可预测历史趋势准确率65%？
文明的兴衰可以用一个简单的方程式预测吗？美国康涅狄格州大学生态学家与数学家彼得·图尔奇给出了肯定的答案。
他表示数学可用于预测人类的行为，准确度超过我们的想象。
图尔奇指出他创立的方程式能够预测历史趋势，准确度可达到65%。
研究过程中，图尔奇利用数学公式预测公元前1500年到公元1500年的人类活动。
他之所以进行这项研究旨在寻找影响文明兴衰的最重要因素。
值得一提的是，生态学家采用同样的方式预测野生动物种群的分布。
图尔奇在接受采访时表示：“我一直很喜欢研究历史。
我意识到很少有人利用数学手段研究历史，研究一个文明的兴衰。
建模和统计等数学手段是任何学科的一个固有的组成部分。
”他的研究结果显示军事技术和社会冲突是两个重要因素，可以预测一个国家的兴衰。
如果在方程式中剔除这两个变量，图尔奇的方程式预测历史趋势的准确率将只有16%。
作为模型的一部分，他们将非洲和欧亚大陆分为几个方块，利用环境因素表示它们的特征。
□编译/杨孝文
友好拍肩或会致人反感
一项最新研究发现，即使是好意地拍别人的肩膀，也可能会事与愿违，导致他们不愿向你伸出援手。
研究人员表示，人际关系中人与人之间的接触通常被认为会产生积极效果，母亲就是通过挠小孩子的胳肢窝，让他们破涕为笑。
他们称，很多研究发现，接触对人与人之间的互动具有积极影响，甚至能提高职业篮球运动员等高级运动员的表现。
但是该科研组认为，触摸也有可能会被当做一种显示权威的手势，令其他人处于一种“顺从的地位”。
比利时鲁汶大学
的研究人员通过这项研究，查看身体接触是不是会对合作产生破坏性影响。
第一论文作者杰伦·坎普斯说：“不管一些人怎么认为，身体接触可能不会一直都产生令人满意的社交效果。
即使是出于善意，如果在错误的时间，选择错误的地方，轻轻拍一拍对方的肩膀，也会伤害到他人。
这项最新研究坚持并证明了在竞争环境下，身体接触会对人们之间的合作产生消极影响。
”
□编译/杨孝文
地球首次出现氧的时间比此前预计早7亿年
经过对有着30亿年历史的南非土壤和岩石中的化学物质进行分析，科学家发现地球上首次出现氧的时间比此前预计早7亿年。
这也就意味着生命需要非常漫长的时间进行进化。
科学家研究的化学物质是地球上年代最为久远的化学物质，能够揭示出所处地质时期大气层的气体浓度。
研究过程中，科学家发现岩石中曾在30亿年前发生化学反应的证据。
这些化学反应有少量氧参与。
发生化学反应的物质是金属铬。
铬能够随着空气中氧量的变化发生相应改变，空气中的氧越多，每个铬原子中的电子越多。
科学家利用这些化学反应的数学模型估算大气中的氧量，只有当前大气浓度的极小的一部分。
“我们一直知道氧由光合作用产生，加拿大不列颠哥伦比亚大学的肖恩·克劳维博士表示：
氧的不断积聚导致大气氧化和有氧生命的进化。
这项研究显示这一过程在地球历史非常早的时期就已经开始。
光合作用产生的氧不断增多，有氧生命开始出现并不断进化。
”
当前的地球大气中氧气的比重达到20%，这得感谢细菌的光合作用——例如树木和其他植物——消化二氧化碳而后释放出氧。
这些细菌构成了有氧生物的基础，允许它们在地球上进化和繁衍生息。
□编译/杨孝文
服用抗抑郁药增加ii型糖尿病风险？
英国南安普敦大学的科研人员分析现有的医学资料发现，抗抑郁药与ii型糖尿病相关。
这有可能是因为服用抗抑郁药的人体重增加，从而增加了他们患ii型糖尿病的风险，或药物本身可能影响血糖控制。
目前的研究不能说明哪类抗抑郁药或哪类人会引起ii型糖尿病，也还没有证据证明抗抑郁药必然会引起ii型糖尿病。
糖尿病很容易通过验血检验出来，因此正在服用抗抑郁药的人应当注意定期检测血糖。
主持该项研究的理查德·霍尔特教授和他的同事们认为需要进行更多的研究来调查其中的影响因素。
4个取2的计算方法
4个取2的计算方法我们可以通过列举所有可能的组合来计算4个取2的数量。
在这个问题中，我们有4个元素，分别为A、B、C、D。
我们需要选取其中的2个元素来组成不同的组合。
下面是所有可能的组合：1. AB2. AC3. AD4. BC5. BD6. CD通过列举，我们可以看到一共有6个不同的组合。
因此，4个取2的计算方法得到的结果是6。
除了列举法，我们还可以使用组合数公式来计算4个取2的数量。
组合数公式可以表示为C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中n表示元素的总数，k表示需要选取的元素的数量，"!"表示阶乘运算。
在这个问题中，n=4，k=2。
我们可以将组合数公式代入计算：C(4,2) = 4! / (2! * (4-2)!)= 4! / (2! * 2!)= (4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (2 * 1))= 24 / (2 * 2)= 24 / 4= 6通过组合数公式的计算，我们得到的结果也是6。
这与通过列举法得到的结果是一致的，验证了我们的计算方法的正确性。
除了以上两种方法，我们还可以使用递推公式来计算组合数。
递推公式可以表示为C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)，其中C(n-1,k-1)表示从n-1个元素中选取k-1个元素的组合数，C(n-1,k)表示从n-1个元素中选取k个元素的组合数。
在这个问题中，我们需要计算4个取2的组合数。
我们可以使用递推公式来计算：C(4,2) = C(3,1) + C(3,2)= (C(2,0) + C(2,1)) + (C(2,1) + C(2,2))= ((C(1,0) + C(1,1)) + (C(1,0) + C(1,1))) + ((C(1,0) + C(1,1)) + C(1,1))= ((1 + 1) + (1 + 1)) + ((1 + 1) + 1)= 6通过递推公式的计算，我们同样得到了结果为6的答案。
近世代数课后题答案修改版
（2）在乘法表中任取一个 1，在同一列中必有一个 x，在同一行 中必有一个 y，设第四个顶点的元素为 z，见下图，
�
..........a-1.........................c...................
......
...........................................................
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数据结构(第4版)习题及实验参考答案数据结构复习资料完整版(c语言版)
数据结构（第4版）习题及实验参考答案数据结构复习资料完整版（c语言版）数据结构基础及深入及考试习题及实验参考答案见附录结论1、数据的逻辑结构是指数据元素之间的逻辑关系。
即从逻辑关系上描述数据，它与数据的存储无关，是独立于计算机的。
2、数据的物理结构亦称存储结构，是数据的逻辑结构在计算机存储器内的表示（或映像）。
它依赖于计算机。
存储结构可分为4大类：顺序、链式、索引、散列3、抽象数据类型：由用户定义，用以表示应用问题的数据模型。
它由基本的数据类型构成，并包括一组相关的服务（或称操作）。
它与数据类型实质上是一个概念，但其特征是使用与实现分离，实行封装和信息隐蔽（独立于计算机）。
4、算法：是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，是一系列输入转换为输出的计算步骤。
5、在数据结构中，从逻辑上可以把数据结构分成（C）A、动态结构和表态结构B、紧凑结构和非紧凑结构C、线性结构和非线性结构D、内部结构和外部结构6、算法的时间复杂度取决于（A）A、问题的规模B、待处理数据的初态C、问题的规模和待处理数据的初态线性表1、线性表的存储结构包括顺序存储结构和链式存储结构两种。
2、表长为n的顺序存储的线性表，当在任何位置上插入或删除一个元素的概率相等时，插入一个元素所需移动元素的平均次数为（E），删除一个元素需要移动的元素的个数为（A）。
A、(n-1)/2B、nC、n+1D、n-1E、n/2F、(n+1)/2G、(n-2)/23、“线性表的逻辑顺序与存储顺序总是一致的。
”这个结论是（B）A、正确的B、错误的C、不一定，与具体的结构有关4、线性表采用链式存储结构时，要求内存中可用存储单元的地址（D）A、必须是连续的B、部分地址必须是连续的C一定是不连续的D连续或不连续都可以5、带头结点的单链表为空的判定条件是（B）A、head==NULLB、head->ne某t==NULLC、head->ne某t=headD、head!=NULL6、不带头结点的单链表head为空的判定条件是（A）A、head==NULLB、head->ne某t==NULLC、head->ne某t=headD、head!=NULL7、非空的循环单链表head的尾结点P满足（C）A、p->ne某t==NULLB、p==NULLC、p->ne某t==headD、p==head8、在一个具有n个结点的有序单链表中插入一个新结点并仍然有序的时间复杂度是（B）A、O(1)B、O(n)C、O(n2)D、O(nlog2n)数据结构(第4版）习题及实验参考答案9、在一个单链表中，若删除p所指结点的后继结点，则执行（A）A、p->ne某t=p->ne某t->ne某t;B、p=p->ne某t;p->ne某t=p->ne某t->ne某t;C、p->ne某t=p->ne某t;D、p=p->ne某t->ne某t;10、在一个单链表中，若在p所指结点之后插入所指结点，则执行（B）A、->ne某t=p;p->ne某t=;B、->ne某t=p->ne某t;p->ne某t=;C、->ne某t=p->ne某t;p=;D、p->ne某t=;->ne某t=p;11、在一个单链表中，已知q是p的前趋结点，若在q和p之间插入结点，则执行（C）A、->ne某t=p->ne某t;p->ne某t=;B、p->ne某t=->ne某t;->ne某t=p;C、q->ne某t=;->ne某t=p;D、p->ne某t=;->ne某t=q;12、在线性结构中，第一个结点没有前趋结点，其余每个结点有且只有1个前趋结点。
控制工程基础第三版课后答案__董景新_赵长德等
1-3．何谓开环控制与闭环控制？
开环控制： 系统的输出端和输入端之间不存在反馈回路， 输出量对系统的控制作用没有 影响。系统特点：系统简单，容易建造、一般不存在稳定性问题，精度低、抗干扰能力差。 闭环控制：系统的输出端和输入端存在反馈回路，输出量对控制作用有直接影响。闭环 的反馈有正反馈和负反馈两种， 一般自动控制系统均采用负反馈系统， 闭环控制系统的特点： 精度高、抗干扰能力强、系统复杂，容易引起振荡。
解： L
−1
[F (s )] = L−1 ⎡ ⎢
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⎡ ⎤ s +1 k1 = ⎢ ⎥ (s + 2 ) s = −2 = −1 ⎣ (s + 2 )(s + 3) ⎦ ⎡ ⎤ s +1 k2 = ⎢ ⎥ (s + 3) s = −3 = 2 ⎣ (s + 2 )(s + 3)⎦
(
)(
)
k3 = 3 ⎡ 2 3s + 3 ⎤ 2 3(s + 1) ⎤ ⎡ −1 − 2t −t L−1 [F (s )] = L−1 ⎢− + 2 = L − + ⎢ ⎥ = −2e + 3e cos t 2 ⎥ ⎣ s + 2 s + 2s + 2 ⎦ ⎣ s + 2 (s + 1) + 1⎦
1-7．试述对控制系统的基本要求。
控制系统的基本要求可由稳、准、快三个字来描述。 1． 稳即稳定性：由于系统存在惯性，当系统的各个参数匹配不妥时，将会引起系统的 振荡而失去工作能力。稳定性是系统工作的首要条件。 2． 准即准确性：输出量与给定量之间的偏差，随时间变化的程度，称动态精度偏差； 调整过程结束后的偏差，称静态精度偏差。 3． 快即快速性：在系统稳定的前提下，消除偏差过程的快速程度。
例题习题
所以，对应晶胞坐标系中为二级衍射。
晶体中的衍射 对于体心立方元素晶体，对应密勒指数(110)的原胞 坐标系的晶面指数可求得为(001)， 同理可求得
K110 G 001
即对于体心立方元素晶体， 密勒指数(110)晶面族的原胞坐 标标系中的一级衍射，对应晶 胞坐标系中的一级射．
小结：由劳厄方程去判断
1
z
2
1
y
简立方单胞与原胞相同，因此，晶面指数与密勒指 数相同。晶面（hkl）对应的倒格矢为：
G h K hkl hb1 kb l b 2 3
x
2 a
hi kj lk
0
晶体中的衍射
入射线方向：S 0 k 0 衍射线方向：S cos i cos 1 j cos 2k 0 劳厄方程：
体心立方元素晶体，对应密勒指数(100)晶 面族的原胞坐标系中的一级衍射时，即
a2
k k 1 G111 n 1
'
2 1 a a3 ( a i b j k c) 2
(a i b j k c)
G111 2K100
k k 2 K100 n 2
2d sinθ＝nλ
可知，面间距d大的晶面，对应一个小的光的掠射角θ．面 间距d小的晶面，对应—个大的光的掠射角θ，θ越大，光 的透射能力就越强，反射能力就越弱 .
晶体中的衍射
F2-4(√)体心立方元素晶体，密勒指数(100)和(110) 面，原胞坐标系中的一级衍射，分别对应晶胞坐标系 中的几级衍射?(习题）
【例F6】如果X射线沿简立方单胞的OZ 轴的负方向入射， 求证：当下式满足时，衍射线在yz平面上。
离散数学(第三版)陈建明,刘国荣课后习题答案
离散数学辅助教材概念分析结构思想与推理证明第一部分集合论刘国荣交大电信学院计算机系离散数学习题解答习题一（第一章集合）1. 列出下述集合的全部元素：1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15}2）B={x|x∈N∧4+x=3}3）C={x|x是十进制的数字}[解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14}2）B=∅3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}2. 用谓词法表示下列集合：1）{奇整数集合}2）{小于7的非负整数集合}3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29}[解] 1）{n n∈I∧(∃m∈I)(n=2m+1)}；2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}；3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧⌝(∃d∈N)(d≠1∧d≠p∧(∃k∈N)(p=k⋅d))}。
3. 确定下列各命题的真假性：1）∅⊆∅2）∅∈∅3）∅⊆{∅}4）∅∈{∅}5）{a，b}⊆{a，b，c，{a，b，c}}6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c})7）{a，b}⊆{a，b，{{a，b，}}}8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}}[解]1）真。
因为空集是任意集合的子集；2）假。
因为空集不含任何元素；3）真。
因为空集是任意集合的子集；4）真。
因为∅是集合{∅}的元素；5）真。
因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；6）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；7）真。
因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；8）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。
4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
3）如果A⊂B∧B∈C，则A∈C。
[解] 1）假。
例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。
湘教版九年级数学上册作业课件 第2章 一元二次方程 易错课堂(二) 一元二次方程
பைடு நூலகம்
1．关于x的方程(a－3)x|a|－1＋x－5＝0是一元二次方程，则a＝____－__3．
2．若方程(m－1)x2＋ m x＝1 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取 值范围是_____m__≥__0_且__m__≠__1__．
易错点2 解方程时，将方程两边同除以一个可能为0的含未知数的代数式，而 失根 【例2】解方程(x＋2)2＝2(x＋2)(x－2) 【解】方程化简得，x2－4x－12＝0，将方程左边因式分解得，(x－6)(x＋2)＝ 0，∴x－6＝0或x＋2＝0，∴x1＝6，x2＝－2
湘教版
第2章 一元二次方程
易错课堂(二) 一元二次方程
易错点1 忽略一元二次方程，二次项系数不为0的条件 【例1】关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值是 多少？ 【易错分析】把x＝0代入原方程求出a的值，易忽略方程是一元二次方程故a－ 1≠0而出错． 【解】将x＝0代入原方程，得a2－1＝0，所以a＝±1，又由题意可知a－1≠0， 即a≠1，故a＝1应舍去，∴a＝－1
＋x)＋48(1＋x)2＝228，解得：x1＝12 ＝50%，x2＝－27 (不符合题意，舍去). 答：这两年中获奖人次的年平均年增长率为 50%
5．某校办厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后 两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件
，若设这个百分数为x，则可列方程为( B)
4．关于 x 的方程 kx2＋(k＋2)x＋k4 ＝0 有两个不相等的实数根．
《固体物理学》房晓勇主编教材-习题参考解答07第七章 能带结构分析
()
()
间的运动轨迹是一条垂直于 B 德平面和等能面所截成的曲线，显然电子从曲线 k1 点运动曲线 k2 点所需 的时间为
J G
t2 − t1 =
∫
t2
dt =
t1
∫
k2
k1
dk dk / dt
其中 dk 是 k 空间曲线的弧元
3
第七章 能带结构分析
G G J G JJ G J G dk 由= = −ev × B = −ev⊥ × B dt JJ G J G v⊥ 为垂直于 B 德速度分量，可得
N = 2×
S2
( 2π )
2
2 × π kF
N ⎞ ⎛ k F = ⎜ 2π 2 ⎟ S ⎠ ⎝
1/ 2
= ( 2nπ )
1/ 2
7.3 试证明，当 n / na = 1.36 时，费米球和面心立方晶格的第一布里渊区相切，其中 na 是原子数密度。 解：参考陈金富 13.6 面心立方晶格原子数密度 nα = 界的最近距离 km = 4
5
第七章 能带结构分析 同理可用 ω =
2π eB =2
dA ( E ) dE
7.7 考虑两个能带
E (k ) = ±
=2k 2Δ + Δ2 ∗ m
式中Δ为一常数。设所有取正号的正能态都是空的，所有取负号的负能态都是填满的。 （1）在 t=0 时刻加上一个电子于正能带上的 ( k0 , 0, 0 ) ，并施加一个电场 E = Ez k ′ ，求 t 时刻的电流 （2）当 t → ∞ 时，上述情况如何？ （3）在相同条件下，如果负能带出现一个空穴，求其电流。 解：参考陈金富 13.16 （1）正能带上只有一个电子，它对电流的贡献，根据《固体物理学》式 7-20
中考数学易错题专题训练-一元二次方程练习题附详细答案
中考数学易错题专题训练-⼀元⼆次⽅程练习题附详细答案⼀、⼀元⼆次⽅程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在等腰三⾓形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的⽅程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长．【答案】△ABC 的周长为10．【解析】【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代⼊原⽅程可求出k 值，将k 值代⼊原⽅程可求出底边长，再利⽤三⾓形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代⼊原⽅程利⽤根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代⼊原⽅程，得：()214421402k k ??-++-=解得：52k = 当52k =时，原⽅程为x 2﹣6x +8＝0，解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0，解得：k ＝32，∴b +c ＝2k +1＝4．∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三⾓形．∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、⼀元⼆次⽅程的解、等腰三⾓形的性质以及三⾓形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．2．某中⼼城市有⼀楼盘，开发商准备以每平⽅⽶7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平⽅⽶5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引⼒，请问房产销售经理的⽅案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的⽅案对购房者更优惠．【解析】【分析】（1）根据利⽤⼀元⼆次⽅程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列⽅程求解即可；（2）分别求出两种⽅式的增长率，然后⽐较即可. 【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x ）2=5670，解得：x 1=10%，x 2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x ）2=（1﹣10%）2=81%．∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的⽅案对购房者更优惠．3．已知关于x 的⽅程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第⼀个⽅程的两个实数根的差的平⽅等于第⼆个⽅程的⼀整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0. 【解析】【分析】在⽅程①中，由⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系，⽤含n 的式⼦表⽰出两个实数根的差的平⽅，把⽅程②分解因式，建⽴⽅程求n ，要注意n 的值要使⽅程②的根是整数. 【详解】若存在n 满⾜题意.设x1，x2是⽅程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2，由⽅程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍.②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)，综上所述，n=0.4．“⽗母恩深重，恩怜⽆歇时”，每年5⽉的第⼆个星期⽇即为母亲节，节⽇前⼣巴蜀中学学⽣会计划采购⼀批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打⼋折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最⾼标价；（⽤不等式解答）（2）后来学⽣会了解到通过“⼤众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最⾼售价的基础上降价25%，学⽣会计划在这两个⽹站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“⼤众点评”⽹上的购买价格⽐原有价格上涨52m %，购买数量和原计划⼀样：“美团”⽹上的购买价格⽐原有价格下降了920m 元，购买数量在原计划基础上增加15m %，最终，在两个⽹站的实际消费总额⽐原计划的预算总额增加了152m %，求出m 的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法⼀：设标价为x 元，列不等式为0.8x ?80≤7680，解出即可；解法⼆：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最⾼标价；（2）先假设学⽣会计划在这两个⽹站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，表⽰在“⼤众点评”⽹上的购买实际消费总额：120a （1﹣25%）（1+52m %），在“美团”⽹上的购买实际消费总额：a [120（1﹣25%）﹣920m ]（1+15m %）；根据“在两个⽹站的实际消费总额⽐原计划的预算总额增加了152m %”列⽅程解出即可．试题解析：（1）解：解法⼀：设标价为x 元，列不等式为0.8x ?80≤7680，x ≤120；解法⼆：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最⾼标价是120元；（2）解：假设学⽣会计划在这两个⽹站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，由题意得：120×0.8a （1﹣25%）（1+52m %）+a [120×0.8（1﹣25%）﹣920m ]（1+15m %）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ 152m %），即72a （1+ 52m %）+a （72﹣ 920m ）（1+15m %）=144a （1+152m %），整理得：0．0675m 2﹣1.35m =0，m 2﹣20m =0，解得：m 1=0（舍），m 2=20．答：m 的值是20．点睛：本题是⼀元⼆次⽅程的应⽤，第⼆问有难度，正确表⽰出“⼤众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．5．解下列⽅程： (1)2x 2－4x －1＝0(配⽅法)； (2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋2x 2＝1－21＝－1，x 2＝5.【解析】试题分析：（1）根据配⽅法解⼀元⼆次⽅程的⽅法，先移项，再加减⼀次项系数⼀半的平⽅，完成配⽅，再根据直接开平⽅法解⽅程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把⽅程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32.∴(x －1)2＝32.∴x －1＝±2.∴x 1＝1＋2，x 2＝1－2. (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0. ∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0. ∴x 1＝－1，x 2＝5. 6．已知关于x 的⼀元⼆次⽅程()2211204x m x m +++-=． ()1若此⽅程有两个实数根，求m 的最⼩整数值；()2若此⽅程的两个实数根为1x ，2x ，且满⾜22212121184x x x x m ++=-，求m 的值．【答案】（1）m 的最⼩整数值为4-；（2）3m = 【解析】【分析】（1）根据⽅程有两个实数根得0?≥,列式即可求解,（2）利⽤韦达定理即可解题. 【详解】（1）解：()22114124m m =+-??-22218m m m =++-+29m =+⽅程有两个实数根0∴?≥，即290m +≥92m ∴≥-∴ m 的最⼩整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =-由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m -+--=- ?13m ∴=，25m =-92m ≥-3m ∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.7．关于x 的⼀元⼆次⽅程．（1）.求证：⽅程总有两个实数根；（2）.若⽅程的两个实数根都是正整数，求m 的最⼩值．【答案】（1）证明见解析；（2）-1. 【解析】【分析】（1）根据⼀元⼆次⽅程根的个数情况与根的判别式关系可以证出⽅程总有两个实数根. (2)根据题意利⽤⼗字相乘法解⽅程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从⽽可以确定的取值范围，即求出吗的最⼩值. 【详解】(1)证明：依题意，得．，∴．∴⽅程总有两个实数根．由．可化为：得，∵⽅程的两个实数根都是正整数，∴．∴．∴的最⼩值为．【点睛】本题主要考查了⼀元⼆次⽅程根的判别式与根的个数关系和利⽤⼗字相乘法解含参数的⽅程，熟知根的判别式⼤于零⽅程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有⼀个实数根，判别式⼩于零⽆根和⼗字相乘法的法则是解题关键.8．若关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2﹣3x +a ﹣2＝0有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）当a为符合条件的最⼤整数，求此时⽅程的解．【答案】（1）a≤174；（2）x=1或x=2【解析】【分析】（1）由⼀元⼆次⽅程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建⽴关于a的不等式，即可求出a的取值范围；（2）根据（1）确定出a的最⼤整数值，代⼊原⽅程后解⽅程即可得.【详解】（1）∵关于x的⼀元⼆次⽅程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤174；（2）由（1）可知a≤174，∴a的最⼤整数值为4，此时⽅程为x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2．【点睛】本题考查了⼀元⼆次⽅程根的判别式以及解⼀元⼆次⽅程，⼀元⼆次⽅程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?⽅程有两个不相等的实数根；（2）△=0?⽅程有两个相等的实数根；（3）△＜0?⽅程没有实数根．9．已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果⽅程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利⽤2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利⽤（1）中的结论可确定满⾜条件的m的取值范围．试题解析：（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，⽽2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20，解得m≥3，⽽m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．10．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600 元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的⼏折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利⽤销售量×每件利润=41600元列出⽅程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定⼏折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x×40）=41600．化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400=．答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了⼀元⼆次⽅程的应⽤，解题的关键是根据题⽬中的等量关系列出⽅程．。
高中数学北师大版(新)必修第一册 第四章 对数运算与对数函数学案 换底公式
2.2 换底公式[情境导入]计算器上，只有常用对数键“log ”和自然对数键“ln ”，要计算log a b 必须将它转换成常用对数或自然对数．[问题] 你知道如何转换吗？[新知初探]知识点 换底公式一般地，若a >0，b >0，c >0，且a ≠1，c ≠1，则log a b ＝ ．这个结论称为对数的换底公式．[点一点] 换底公式的推论[想一想]1．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？2．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论log N n M m ＝mnlog N M 吗？[做一做]1．log 6432的值为( ) A ．12B ．2C ．56D ．652．若log 23＝a ，则log 49＝( ) A ．a B ．a C ．2aD ．a 23．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________．——研教材·典例精析——题型一 对数换底公式的应用 [例1] 计算：(1)log 29·log 34； (2)log 52×log 79log 5 13×log 734.[通性通法]利用换底公式求值的思想与注意点[跟踪训练]1．计算(log 32＋log 23)2－log 32log 23－log 23log 32的值为( )A ．log 26B ．log 36C ．2D ．12．若log 2x ·log 34·log 59＝8，则x ＝( ) A ．8 B ．25 C ．16D ．4题型二 用已知对数式表示求值问题[例2] 已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)[母题探究]1．(变设问)若本例条件不变，如何求log 1845(用a ，b 表示)?2．(变条件)若将本例条件“log 189＝a ，18b ＝5”改为“log 94＝a ，9b ＝5”，则又如何求解呢？[通性通法]求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点 (1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式； (2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．[跟踪训练]设a ＝log 36，b ＝log 520，则log 215＝( ) A.a ＋b －3（a －1）（b －1） B.a ＋b －2（a －1）（b －1） C.a ＋2b －3（a －1）（b －1）D.2a ＋b －3（a －1）（b －1）题型三 有附加条件的对数式求值问题[例3] (1)已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，则abc 的值为________；(2)已知5x ＝2y ＝(10)z ，且x ，y ，z ≠0，则z x ＋zy的值为________．[通性通法]与对数有关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．[跟踪训练]已知实数a ，b ，c ，d 满足5a ＝4，4b ＝3，3c ＝2，2d ＝5，则(abcd )2 022＝________．[随堂检测]1．式子log 32·log 227的值为( ) A ．2 B ．3 C ．13D ．－32．在1log b a ，lg alg b ，log b a ，log a n b n (a ，b 均为不等于1的正数)中，与log a b 一定相等的有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个3．计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log 35·log 259·lg 5＝( ) A ．1 B ．0 C ．2D ．44．若实数a ，b ，c 满足25a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，则下列式子正确的是( ) A ．1a ＋2b ＝2cB ．2a ＋2b ＝1cC ．1a ＋1b ＝2cD ．2a ＋1b ＝2c5．方程log 2x ＋1log （x ＋1）2＝1的解是________．参考答案——读教材·知识梳理——[新知初探]知识点 换底公式 log c blog c a[想一想]1．提示：log a b ＝lg b lg a ，log a b ＝ln bln a.2．提示：log N nM m＝lg M m lg N n ＝m lg M n lg N ＝m n ·lg M lg N ＝mn log NM .[做一做]1．【答案】C【解析】log 6432＝lg 32lg 64＝lg 25lg 26＝5lg 26lg 2＝56.2．【答案】B【解析】log 49＝lg 9lg 4＝2lg 32lg 2＝log 23＝a .故选B.3．【答案】9【解析】利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，于是m ＝9.——研教材·典例精析——题型一 对数换底公式的应用 [例1] 解：(1)由换底公式可得， log 29·log 34＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4.(2)原式＝log 52log 513×log 79log 734＝log 132×log 349＝lg 2lg 13×lg 9lg 413＝12lg 2－lg 3×2lg 323lg 2＝－32. [跟踪训练]1．【答案】C【解析】原式＝(log 32)2＋2log 32×log 23＋(log 23)2－(log 32)2－(log 23)2＝2log 32×log 23 ＝2×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝2.2．【答案】B【解析】∵log 2x ·log 34×log 59＝lg x lg 2·lg 4lg 3·lg 9lg 5＝lg x lg 2×2lg 2lg 3×2lg 3lg 5＝8，∴lg x ＝2lg 5＝lg 25，∴x ＝25. 题型二 用已知对数式表示求值问题 [例2] 解：因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（5×9）log 18（2×18）＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182 ＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a. [母题探究]1．解：因为18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 1845＝log 189＋log 185＝a ＋b . 2．解：因为9b ＝5，所以log 95＝b . 所以log 3645＝log 945log 936＝log 9（5×9）log 9（4×9）＝log 95＋log 99log 94＋log 99＝b ＋1a ＋1. [跟踪训练]【答案】D【解析】∵a ＝log 36＝log 26log 23＝1＋log 23log 23，∴log 23＝1a －1.∵b ＝log 520＝log 220log 25＝2＋log 25log 25，∴log 25＝2b －1.∴log 215＝log 23＋log 25＝1a －1＋2b －1＝2a ＋b －3（a －1）（b －1）.题型三 有附加条件的对数式求值问题 [例3] 【答案】(1)1 (2)2【解析】(1)法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，则x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ，∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log c t ＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0，∴abc ＝t 0＝1. 法二：∵a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，∴令a x ＝b y ＝c z ＝t >0，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg t lg c， ∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg clg t . ∵1x ＋1y ＋1z＝0，且lg t ≠0， ∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg(abc )＝0，∴abc ＝1.(2)令5x ＝2y ＝(10)z ＝k ，则x ＝log 5k ，y ＝log 2k ，12z ＝lg k ，z ＝2lg k ，∴z x ＋z y ＝2lg k log 5k ＋2lg k log 2k＝2lg k (log k 5＋log k 2)＝2lg k ·log k 10＝2·log 10k ·log k 10＝2. [跟踪训练]【答案】1【解析】将5a ＝4，4b ＝3，3c ＝2，2d ＝5转化为对数式， 得a ＝log 54＝ln 4ln 5，b ＝ln 3ln 4，c ＝ln 2ln 3，d ＝ln 5ln 2，所以(abcd )2 022＝⎝⎛⎭⎫ln 4ln 5×ln 3ln 4×ln 2ln 3×ln 5ln 22 022＝12 022＝1.[随堂检测]1．【答案】B【解析】log 32·log 227＝lg 2lg 3·lg 27lg 2＝lg 27lg 3＝log 327＝3，故选B.2．【答案】C【解析】1log b a ＝log a b ，lg a lg b ＝log b a ，log b a ＝log b a ，log a n b n ＝log a b ，故选C.3．【答案】B【解析】原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－lg 5 lg 3·2lg 32lg 5·lg 5＝1＋lg 2·lg 5－lg 2－lg 2·lg 5－lg 5＝1－(lg 2＋lg 5)＝1－lg 10＝1－1＝0. 4．【答案】A【解析】由已知，得52a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，得2a ＝log 52 019，b ＝log 4042 019， c ＝log 2 0202 019，所以12a ＝log 2 0195，1b ＝log 2 019404，1c ＝log 2 0192 020，而5×404＝2 020，所以12a ＋1b ＝1c ，即1a ＋2b ＝2c ，故选A.5．【答案】1【解析】原方程可变为log 2x ＋log 2(x ＋1)＝1，即log 2[x (x ＋1)]＝1， ∴x (x ＋1)＝2，解得x ＝1或x ＝－2.又⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1.即x >0，∴x ＝1.。