习题1-3 行列式的性质
2-1-3行列式定义-性质
第一节
二阶、三阶行列式
一、二阶行列式的引入 二、三阶行列式 三、小节、思考题
一、二阶行列式的引入 定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的矩阵：
a11 a12 a21 a22 ( 4)
称表达式 a11a22 − a12 a21为矩阵（4）所确定的二阶 行列式，并记作
即
a11 a21
第三节
行列式的性质
一、行列式的性质
二、应用举例
一、行列式的性质
性质1 说明
AT = A 行列式与它的转置行列式相等即，
行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 交换两行（列），行列式变号
性质2
推论
两行（列）相同，此行列式为零
性质3
a11 a12 L a1n LLLLLLL kai 1 kai 2 L kain = k LLLLLLL a n1 an 2 L ann
A23 = (− 1)
2+ 3
M 23 = − M 23 , 叫做元素 a23的代数余子式 .
注意：一个元素的代数余子式 只与该元素所处位置 相关；而与该元素等于 多少无关！
比如上例中，即便把 a 23的值换成 a 33，它的 代数余子式仍然不变！ 亦即仍有
A23 = − M 23
a11 a21 D= a31 a41
k =1 k =1 n
n
(i = 1,2,L, n )
3. 在按行、按列展开时， 建议挑选含零最多
的行、列！
思考题
设n阶行列式
1 2 3 L n 1 2 0 L 0 Dn = 1 0 3 L 0 M M M O M 1 0 0 L n
1-3 行列式的性质
x(n1)a a a … a a r2r1 0 xa 0 … 0 0 r3r1 0 0 xa … 0 0 ===== … … … … … … …… 0 0 0 … xa 0 rnr1 0 0 0 … 0 xa =[x(n1)a](xa)n1
Henan Agricultural University
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例5 设n阶行列式 0 a12 a13 a23 a12 0 D = a13 a23 0 … … … a1n a2n a3n
… … … … … a13 a23 0 … a3n
a1n a2n a3n … 0 … … … … … a1n a2n a3n =(1)nDT =(1)nD … 0
Henan Agricultural University
例7 n 阶行列式 x a a … a x a … a a x … ……… … a a a … a a a … x(n1)a a a a c1c2 x(n1)a x a a a a c1c3 x(n1)a a … … … ===== … …… x a c1cn x(n1)a a x(n1)a a a x a a x … a a … … … … … … a a a … x a a a a … a x
第三节 行列式的性质
介绍行列式性质1、2、3、4、5，简 化行列式的运算
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行列式的转置
将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行 列式 记为DT 即 a11 a12 … a1n a11 a21 … an1 a21 a22 … a2n a12 a22 … an2 T= D= … … … … 则 D … … … … an1 an2 … ann a1n a2n … ann 例如
1.3 第一章 行列式 第三节 行列式的主要性质
r4
5 4
r3
1 0 0
3 2 0
1 1 8
2 1 10
40
r4 8r2 0 0 10 15
00 0
5 2
（化三角形法）
例2、计算n阶行列式
a b b b
例例例1例1、、
b a b b D b b a b
b b b a
解:将第2、3、……、n列都加到第一列
a n 1b b b b
a n 1b a b b D a n 1b b a b
1 5 3 3
解:
c1 c2
D
1 1 0
3 1 2 r2 r1 1 3 1 2
5 2
3 1
4 1
r4 5r1
0 0
8 2
4 1
6 1
5 1 3 3
0 16 2 7
1 3 1 2 r2r3 0 2 1 1
0 8 4 6 0 16 2 7
13
r2 r3
0
2
0 0 r3 4r2
1 1 8
2 1 10
an1 an2 ... ann
an1 an2 ... ann
特别：若行列式中某一行（列）的所有元素全为零时，行列式的值为零.
推论2：行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则行列式值等于零.
即：
a11 a12 ... a1n
... ... ... ...
ai1 ai2 ... ain D ... ... ... ... 0
第三节 行列式的主要性质
★对称性 ★换行（列）变换变号性 ★单行（列）数乘性 ★单行（列）可加性 ★倍法变换不变性
性质1：一个行列式和它的转置行列式相等.（对称性）
《线性代数》1.3行列式的性质
a1n ain ka jn D1 a jn ann
n 2 ka j1 an1ai1 a a j1 an1
证 由行列式性质4 以及性质3 的推论2 可得到
a11 ai1 D1 a j1 an1 a j2 an 2 a jn ann a12 ai 2 a1n ain a j1 an1 a j2 an 2 a jn ann a11 ka j1 a12 ka j 2 a1n ka jn
x n 1 a r2 , r3 rn都减去r1 0 0
a xa 0
a 0 xa
x n 1 a x a
n 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
练习 计算
a1 0 Dn 1 0 1
a1 a2 0 1
0
0 0
0 0 an 1
a2 0 1
an 1
c2 c1后c3 c2 类推 1 a1a2
n
a1 0 0 a2 0 1 0 2
0 0 0 3
0 0 an n
0 0 0 n 1
an n 1
例4
计算 2 n 阶行列式（行列式的空白处为零）
a a a b b a b b a a b b
D2 n
同理 ci c j ; kci ; ci kc j 分别表示行列式互换第 i列与第 j
列；数k乘以第 i列；第 i列的各元素加上第 j列对应元素 的k倍.
例1 计算
1 2 D 1 1 3 2 2 1 1 4 0 3 2 1 0 1 2 3 1 5 1
3 1 2 1 1 2 0 3
b
a b
小结： 本次课我们学习了行列式的性质，重点要掌握如何 灵活应用行列式的性质来计算行列式。 作业： P26 习题一：5⑥⑦,6①②
第2讲 1.3行列式的性质 1.4行列式按行(列)展开
7 15 6 6 2. 5 38
记 交换 i、j 两行： ri rj ；交换i、j两列： ci c j
推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行
列式为零
证明 把相同的两行互换，有D＝－D，所以 D=0
性质3 用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，等
于用数 k 乘此行列式
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n
即 kas1 kas2
kasn k as1 as 2
asn
an1
an2
ann
an1 an2
ann
记 第 i 行乘以 k：kri；第j列乘以 k: kcj 推论1 若行列式D中某一行（列）的所有元素均为零，
则D=0.
推论2 行列式的某一行（列）中所有元素的公 因子 可以提到行列式符号的外面．
a 3a b 6a 3b c
d abcd 4a 3b 2c d 10a 6b 3c d
解 从第 4 行开始，后行减前行得，
r4 r3 a b
c
d
r3 r2 0 a a b a b c
r2 r1
D
0
a
2a b
3a 2b c
0 a 3a b 6a 3b c
r4 r3 a b c
a11 a12 a1n
s ai1 ai2 ain
s ai1 ai2 ain
t
k
kai1 kai2 kain
ai1 ai2 ain
0.
t
an1 an2 ann
an1 an2 ann
例1 设
a11 a12 a13
6a11 2a12 10a13
a21 a22 a23 1, 求 3a21 a22
行列式的性质(三)
性质6.将行列式某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不变．即第 行乘 加到第 行上，有
性质7. 阶行列式中任意一行（列）的元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
3、为叙述方便，引进以下记号：
教案编号:NO3
课 题: 第三节行列式的性质
教学时间:
教学班级:
授课类型:讲授新课
教学目的的要求：
1. 理解行列式的性质；
2. 能够使用行列式的性质对行列式化简。
教学重点：
1. 理解行列式的性质；
2. 会用行列式的性质对行列进行化简计算。
教学难点：
1. 理解行列式的性质；
2.能够使用行列式的性质对行列式化简。；
1.者行列式的性质；
2.能够使用行列式的性质对行列式化简。
五、课堂练习和课后作业：
六、板书设计：
§1.3行列式的展开及行列式的性质
行列式性质
例题
课堂练习
七、课后分析
方便下节行列式的计算的讲解
（1）交换行列式的 两行（列），记为 （ ）；
（2）第 行（列）乘以 ，记作 ，第 行（列）提出公因子 ，记作 ；
（3）将行列式的第 行（列）乘 加到第 行（列）上，记为
3、补充（三角行列式）
定义. 对角线以下（或上）的元素均为零的行列式称为上（或下）三角行列式．
阶上三角行列式
阶下三角行列式
三、例题讲解
教授思路及教学方法：
1.引导利用拉普拉斯法则为基础对性质1、2、3进行解释，使前后知识得以有机结合；
2.在证明性质7应把两个行列式同时写出来加以对比，把i、k行用彩色粉笔写出，指
行烈式定义按第一行展开(含义)
0
n
·
·
D=
·
继续进行展开，并注意抓住规律，最后可得 D=(-1){(1+n)+[1+(n-1)]+[1+(n-2)]+···+(1+2]}n!=(1)n212nnn!
方法二：若注意到为把对角线上的非零元素 调整至主对角线上，即成为三角行列式，于是 可用行交换的办法。
2
1 0 0 ··· 0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
0
x1+4x2-7x3+6x4=0 解 利用克莱姆法则,计算 如下各行列式的值
2 1 -5 1
D=
1 -3 0 -6 =27 0 2 -1 2
1 4 -7 6
8 1 -5 1
D1=
9 -3 0 -6 -5 2 -1 2
=81
0 4 -7 6
2 8 -5 1
D2=
1 9 0 -6 0 -5 -1 2
=-108
-a4 -b3 -c2 -d 0
行
解 行列互换得
相
D5′=
0 -a1 -a2 -a3 -a4 a1 0 - b1 -b2 - b3 a2 b1 0 -c1 -c2 a3 b2 c1 0 -d a4 b3 c2 d 0
同 ， 则 此 行
一方而由性质1得 D5= D5′，另一方而若D5′中列
每行提出公因子（-1），得D5′=(-1)5 D5=- D5式
=1/D｛ai1( b1A11+b2A22+…+bnAn1 ) +ai2( b1A12+b2A22+…+bnAn2 ) +… …
因由性质7 ai1Ak1+ai2Ak2+…+ainAkn=｛
行列式的性质与计算方法
行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。
它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。
一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。
行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。
3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。
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1、用行列式的性质计算下列行列式：()134215352152809229092；【分析】可见行列式中1，2两列元素大部分数字是相等的，列差同为1000，易于化为下三角行列式，于是， 【解法一】3421535215280922909221c c -34215100028092100012r r -61230280921000下三角6123000。
【解法二】3421535215280922909212r r -61236123280922909221c c -6123280921000下三角6123000。
()2ab ac ae bd cd de bfcfef---； 【分析】各行、列都有公因，抽出后再行计算。
【解】ab ac ae bd cd de bfcfef---123a r d r f r ←←←bc eadf bc e bce ---123bc c c e c ←←←111111111adfbce ---上三角2(1)2abcdef -⨯-⨯4abcdef =。
()31111111111111111------； 【分析】将第一行加到以下各行即成为上三角行列式，【解】1111111111111111------213141r r r r r r +++1111022200220002上三角312⨯8=。
2、把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：()12240413531232051-----；【解法一】22441353123251-----21c c ↔2240143513230251------21r r ↔1435224013230251-----270=-。
【解法二】224041353123251-----12 r ←1120413523123251-----21c c ↔11201435213230251------上三角221(1)(135)⨯⨯-⨯-270=-。
()21234234134124123。
【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将2，3，4列加到第1列：【解】12342341341241231234 ()c c c c +++10234103411041210123213141r r r r r r ---1023401130222111------3242 2r r r r -+102340113004404--- 上三角2101(4)⨯⨯-160=。
3、设行列式ij a m =(,1,2,,5)i j =L ，依下列次序对ij a 进行变换后，求其结果：交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有元素，再用(-3)乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。
【解】()1交换第一行与第五行，行列式变号，结果为m -； ()2再转置，行列式的值不变，m -；()3用2乘所有元素，即5行里每行都有公因2，这等于用52乘以行列式，结果为52m -⨯32m =-；()4再用(-3)乘以第二列加到第四列，这是倍加，行列式的值不变，结果仍为32m -； ()5最后用4除第二行各元素，即第二行有公因14，这等于用14乘以行列式，结果为1324m -⨯8m =-。
4、用行列式的性质证明下列等式：()1111112222233333a kb bc c a kb b c c a kb b c c ++++++111222333a b c a b c a b c =； 【证法一】左边=111112222233333a kb bc c a kb b c c a kb b c c ++++++23c c -111122223333a kb bc a kb b c a kb b c +++ 12c kc -111222333a b c a b c a b c =右边，证毕。
【证法二】右边=111222333a b c a b c a b c 12c kc +111122223333a kb bc a kb b c a kb b c +++ 23c c +111112222233333a kb b c c a kb b c c a kb b c c ++++++=左边，证毕。
【证法三】左边=111112222233333a kb bc c a kb b c c a kb b c c ++++++1c 分拆111122223333a b c c a b c c a b c c ++++111122223333kb b c c kb b c c kb b c c +++ 2c 都分拆111222333a b c a b c a b c +111222333a c c a c c a c c +111222333kb b c kb b c kb b c +111222333kb c c kb c c kb c c 2312: =:1c c c c k =第2，4行列式第3行列式111222333a b c a b c a b c +0+0+0=111222333a b c a b c a b c =右边，证毕。
()2y z z x x y x y y z z x z xx yy z+++++++++2x y z zx y yz x=。
【证法一】左边=y zz x x y x yy z z x z x x y y z+++++++++123 ()c c c ++2()2()2()x y z z x x y x y z y z z x x y z x yy z++++++++++++ 右边=2xy z zx y yzx123 ()c c c ++2x y zy z x y z x y x y zzx++++++ 23r r --1002()0x y z y x z y y zz x++----， 对比即得 左边=右边，证毕。
【证法二】左边=y zz x x y x yy z z x z xx y y z +++++++++1c 分拆y z x x y x y z z x z x yy z +++++++z z x x y y y z z x x x y y z ++++++ 3121c c c c 前-后-yz x xx y z z z x y y ++++zx x y y z z x x y y z +++2332c c c c 前-后-yz xx y z z x y +zx y y z x x y z 2131r r r r ↔↔前后xy zy z x z xy -－xy z y z x zxy32r r ↔都xy zz x y y zx +xy z zx y yzx2x y zzx y yzx==右边，证毕。
5、计算下列行列式：()1x a a a x a a a xL L L LL L L ； 【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将2列以后各列加到第1列：【解】设x a a a xaa axL L L L L L L 为n 阶行列式，则每行中有1个x ，n-1个a ，于是 x a a a x a a axL L L L L L L=x a a a a a x a a a a a x a aa a a x a a a a a xL L L L L L L L L L L上三角1[(1)]()n x n a x a -+--。
()21231103112011230123(1)n n n n n n n n --------------L L L LLLLL L L L；【分析】该行列式主对角线以下元素与首行元素对应为相反数，因此，将首行加到以下各行，将化为上三角行列式。
【解】1231103112011230123(1)n n n n n n n n --------------L L L LLLLL L L L211n c c c c ++L L 12310262(1)20032(1)2000120n nn n n n n n n----L L L L L L L L L L L上三角123(1)n n ⨯⨯⨯⨯-L !n =。
()312112122121111n nn n na a a ab a a a a b a a a a b +++LL L L L L L L L； 【分析】这是为n+1阶行列式。
该行列式主对角线以下元素与首行元素对应相等，因此，将首行的-1倍加到以下各行，将化为上三角行列式。
【解】12112122121111n n n n na a a ab a a a a b a a a a b +++LL L L L L L L L211n c c c c --L L 121210000000n na a ab b b L L LL L L L L L上三角12n b b b L 。
()40121111001001na a a a L L L L L L L L L，其中0i a ≠。
【分析】为化成上三角行列式，须将0a 下方元素全化为0，这样就需要次第地（以一定顺序，一个接一个地），将0a 化为-1后加到第1列，将1a 化为-1后加到第2列，......，将n a 化为-1后加到第1列。
【解】0121111001001na a a a L L LL L L L L L1211c c a -011211110001001na a a a a -L L LL L L L L L (111)n n c c a +-01212111 (11)10000000nna a a a a a a ----LL L L L L L L L=011211110000000ni ina a a a a =-∑L LL L L L L L L上述的n 次列倍加运算也可以叠加进行：6、解下列方程：()12211231223023152319x x -=-；【解】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式，注意到1，2两行及3，4两行有较多的相同元素，得：左边=221123122323152319x x --2143r r r r --221123010023150004x x --1323 2 3c c c c --2235230100015004x x ----上三角223(1)(4)x x -⨯--，原方程为22(1)(4)0x x --=，即得4个根为1x =±，2x =±。
()21111111111112110111(2)11111(1)x x n xn x--=----L L L L L L L L L L L；【解】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式，将第一行的-1倍加到以下各行即成为上三角行列式。