线性规划常见题型及解法(上课)
例谈线性规划的常见题型及其解法
线性规划是高考数学必考的内容，侧重于考查同学们的数学建模、数学运算、数学分析等能力.线性规划问题的类型有很多，在本文中笔者总结了几类常见的线性规划题型及其解法，以帮助同学们加深对线性规划题型及其解法的了解.类型一：求目标函数的最值求目标函数的最值是线性规划中的一类常见题型，主要有两种形式：（1）求线性目标函数的最值；（2）求非线性目标函数的最值.无论是哪一种，解题的基本思路都是：（1）画出约束条件所确定的平面区域；（2）将目标函数变形为斜截式直线方程、两点间的距离、直线的斜率等；（3）在可行域内寻找取得最优解的对应点的位置；（4）解方程组求出对应点的坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.例1.已知x、y满足以下约束条件ìíîïï2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,3x-y -3≤0,则z=x2+y2的最大值和最小值分别是_____.解：作出如图1所示的可行域，将z=x2+y2可以看作点()x,y到原点的距离的平方，由图可知，在可行域内点A到原点的距离的平方最大，即||AO2=13,直线2x+y-2=0到原点的距离的平方最小，为d2=æèççöø÷÷||0-222+122=45，所以z=x2+y2的最大值和最小值分别是13和45.在求目标函数的最值时，同学们要注意将目标函数进行适当的变形，深入挖掘其几何意义，将其看作直线的斜率、截距、两点间的距离等，然后在可行域内寻找取得最值的点.类型二：求可行域的面积求可行域的面积的关键在于根据约束条件画出正确的图形，然后将可行域拆分、补充为规则的几何图形，如三角形、平行四边形、矩形等，再利用三角形、平行四边形、矩形等的面积公式进行求解.例2.已知不等式组ìíîïï2x+y-6≥0,x+y-3≤0,y≤2,则该不等式表示的平面区域的面积为_____.解：根据所给的不等式组作出可行域，如图2所示，由图2可知△ABC的面积即为所求.显然S△ABC=S梯形OMBC-S梯形OMAC，S梯形OMBC=12×()2+3×2=5，S梯形OMAC=12×()1+3×2=4，所以S△ABC=S梯形OMBC-S梯形OMAC=5-4=1.本题中的可行域为三角形，而该三角形的面积很难直接求得，于是将其看作梯形OMAB的一部分，将梯形OMAB的面积减去梯形OMAC的面积，便可得到三角形ABC的面积.类型三：求参数的取值或者范围很多线性规划问题中含有参数，要求其参数的取值或范围，首先要确定可行域，然后结合题意寻找符号条件的最优解，建立相对应的关系式，便可求得参数的取值或者范围.例3.已知x、y满足以下约束条件ìíîïïx+y≥5,x-y+5≤0,x≤3,使z=x+ay()a>0取得最小值的最优解有无数个，则a的值为_____.解：根据约束条件作出可行域，如图3所示，作出直线l:x+ay=0，要使目标函数z=x+ay()a>0取得最小值的最优解有无数个，可将直线l向右上方平移，使之与直线x+y=5重合，故a=1.通常含有参数的目标函数图象是不确定的，因此正确绘制出可行域十分关键，只有对问题中的所给条件进行正确的分析，才能快速找到正确的解题思路.通过对上述三类题型的分析，同学们可以发现线性规划问题都比较简单，按照基本的解题步骤：画图—变形目标函数—寻找最优解对应的点—求值便能得到答案.同学们在解答线性规划问题时还需重点关注特殊点、直线，这些特殊的点、位置常常是取得最优解的点或者位置.（作者单位：江苏省江阴市第一中学）承小华图1图2图３方法集锦45。
第一章线性规划问题及单纯形解法演示文稿
只要存在可行解，就一定存在极点
极点的个数是有限的
最优解只可能在凸集的极点上，而不可能发生 在凸集的内部
38
第38页，共65页。
关于标准型解的若干基本概念：
Z=15x11+21x12+18x13+
20x21+25x22+16x23, x11+x12+x13≤200, x21+x22+x23≤150, x11+ x21 ＝100, x12+x22＝80, x13+x23≥90, x13+x23≤120, xij≥0 ﹙i=1,2 j=1,2,3﹚.
10
第10页，共65页。
maxz( x) c x c x c x
11
22
nn
s.t.
a x a x a x b
11 1
12 2
1n n
1
ax 21 1
a x 22 2
a x 2n n
b 2
am1
x 1
a x m2 2
a x mn n
b m
x , x ,, x 0
1
2
n
12
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1、标准型的几种不同的表示方式
对有限个约束条件则其可行域的顶点也是有限的。
z=10000=50x1+100x
2
z=0=50x1+100x2
x2
x1+x2=300
AB C
E
z=27500=50x1+100x
线性规划常见题型及解法例析
品有直接限 制 因 素 的 是 资 金 和 劳 动 力,通 过 调 查,得
到这两种产品的有关数据如表 ２．
资金
成本
劳动力(工资)
单位利润
单位产品所需资金/百元
月资金供应
电子琴(架) 洗衣机(台)
量/百元
３０
２０
６
８
５
１０
３００
１１０
试问:怎 样 确 定 这 两 种 产 品 的 月 供 应 量,才 能 使
故选:
B．
思路与方法:本 题 运 用 数 形 结 合 思 想,采 用 了 图
组作 出 可 行 域,如 图 ３ 所 示 ．
由
图 ３ 可 知,△ABC 的 面 积 即 为
所求 ．
易得
S梯 形OMBC ＝
１
×(
２＋３)×２＝５,
２
图３
１
S梯 形OMAC ＝ × (
１＋３)×２＝４．
２
所以 S△ABC ＝S梯 形OMBC －S梯 形OMAC ＝５－４＝１．
思路与方法:本 题 中 的 可 行 域 是 三 角 形,而 这 个
不规则的三角形面积很 难 直 接 求 解,于 是 将 它 看 作 梯
解法求最值,先 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 可 行 域,然
形 OMBC 的一部 分,利 用 梯 形 OMBC 与 梯 形 OMAC
后平行移动直线 z＝３x＋４y 即可求出最大值 ．
ï
,
且当
b≥０
b为
íy≥０, 时,恒有ax＋by≤１,求以a,
ï
îx＋y≤１
坐标的点 P (
a,
b)所构成的平面区域的面积 ．
解析:设 z＝ax ＋by,根 据 题 意 可 知,想 要 ax ＋
线性规划全部题型和解析
线性规划什么是线性规划？线性规划的题一般都是大括号下面三个式子，把三条线画出来，然后找到一个区域，然后再找到一条直线，去平移，求一个点的坐标，带进去，求最值。
那么，大括号里面的式子我们叫做约束条件，在高中阶段学习的线性的约束条件，也就是所有的约束条件都是一次的，都是直线。
形成的区域叫做可行域。
Z=几x+几y 叫做目标函数，一般线性规划问题都是线性目标函数。
要解决目标函数的最大值和最小值，就是最值问题。
所以线性规划问题的完成表述就是线性规划条件形成可行域内目标函数的最值问题。
取到最值得x 和y 叫做最优解。
考点1：典型的线性规划问题（可行域和目标函数都是线性的）关键：如何把一个不等式转化为可行域上的一个区域。
方法一：把直线转化为斜截式处理。
3260x y +-≥，化成斜截式，332y x ≥-+，直线画出来大于等于，可行域取直线上面。
缺点：转化为斜截式比较麻烦。
优点：大于等于在上面小于等于在下面不会错 方法二：一般式（截距）直线。
3260x y +-≥，与x 轴y 轴的交点分别是(2,0)和(0,3)。
然后判断（0,0）是不是满足不等式，判断可行域取直线上面还是下面。
分析目标函数：目标函数得到的直线靠上好还是靠下好。
例如222x zz x y y =+⇒=-+，截距越大，z 越大，条直线越靠上越好。
如果222x zz x y y =-+⇒=+，还是越靠上越好。
所以直线靠上还是靠下，取决于y 前面的正负。
例题1：若变量,x y ，满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩，且2z x y =+的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=？解析：正常可以画出可行域，通过直线的平移来解决此类问题。
但是针对这道题有简单的方法计算，这三条直线围成的区域围成的是三角形，如果是三角形的话那么一定在三个顶点的位置取得最大值和最小值。
所以只需要求出三个顶点的值最大的是最大值，最小的是最小值。
1）y x =和1x y +=的交点(0.5,0.5)， 1.5z =。
线性规划基本题型
例5
(2023年北京-7)设不等式组
3x表x达y旳y平1面13
0 0
区(A域)(1为，D3，] 若(B指)数[2，函3数] y=(aCx旳) (1图，像2上] 存在(D区)[域35D，x上+旳∞3]点y，则9a旳0取值范围是
解：作出可行域如右图所示绿色
区域． 0<a<1 时 ， x>0 时 ， 0<ax<1 ， y=ax
离旳平方旳最值问题．
题型三 求非线性目旳函数旳最值—斜率型
例3
x＋y－6≥0， 已知实数 x，y 满足4x－3y＋12≥0，
x≤4.
求xy的最大值与最小值.
【解】
x＋y－6≥0， 作出不等式组4x－3y＋12≥0，
x≤4
平面区域，如图所示．
表示的
(1)令 z＝xy，则 y＝zx.故求xy的最大值与最小值就是求 不等式组所表示的平面区域内的点与原点连线的斜率的 最大值与最小值，由图易知，kOC 最小，kOA 最大．
联立2x＋x＋2yy＝ ＝4500 ，得xy＝＝2100 ， ∴A(10,20)． ∴z＝3x＋2y 的最大值为 z＝3×10＋2×20＝70.
题型二 求非线性目旳函数旳最值—距离型
若目旳函数不是线性函数，我们可先将目旳函数变形找 到它旳几何意义，再利用解析几何知识求最值．
例2
x－y＋2≥0 已知x＋y－4≥0 ，求：
的交点(4,6)时，目标函数 z＝ax＋by(a>0，
b>0)取得最大值 12，即 4a＋6b＝12，即 2a＋3b＝6，而2a＋3b＝(2a＋3b)2a＋6 3b＝163＋(ba＋ab)≥163＋2＝ 265，故2a＋3b的最小值为265.
检测：
线性规划常见题型及解法（较全面及时上课用）
线性规划常见题型及解法（较全⾯及时上课⽤）线性规划常见题型及解法温故1．不在3x+ 2y < 6 表⽰的平⾯区域内的⼀个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0）2．已知点（3 ，1）和点（－4 ，6）在直线3x–2y + m = 0 的两侧，则（）A．m＜－7或m＞24 B．－7＜m＜24C．m＝－7或m＝24 D．－7≤m≤243．在△ABC中，三顶点坐标为A（2 ，4），B（－1，2），C（1 ，0 ），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z= x– y 的最⼤值和最⼩值分别是（）A．3，1 B．－1，－3 C．1，－3 D．3，－14．在直⾓坐标系中，满⾜不等式x２－y2≥0 的点（x，y）的集合（⽤阴影部分来表⽰）的是（）5．如图所⽰，表⽰阴影部分的⼆元⼀次不等式组是（）A．23260yx yx≥--+><B．23260yx yx-+≥≤C．23260yx yx>--+>≤D．23260yx yx>--+<<线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可⾏域，进⽽通过平移直线在可⾏域内求线性⽬标函数的最优解是最常见的题型，除此之例1、若x、y满⾜约束条件222xyx y≤≤+≥，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可⾏域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上⽅平移，过点A（2,0）时，有最⼩值2，过点B（2,2）时，有最⼤值6，故选 A⼆、求可⾏域的⾯积例2、不等式组260302x yx yy+-≥+-≤表⽰的平⾯区域的⾯积为（）A、4B、1C、5D、⽆穷⼤解：如图，作出可⾏域，△ABC的⾯积即为所求，由梯形OMBC的⾯积减去梯形OMAC的⾯积即可，选 B三、求可⾏域中整点个数例3、满⾜|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥-≤≥-+≤≥?--≤作出可⾏域如右图，是正⽅形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 四、已知最优解成⽴条件，探求⽬标函数参数范围问题。
高考数学线性规划常见题型及解法[1]
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高考数学线性规划常见题型与解法线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简单题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。
现就常见题型与解决方法总结如下： 一、求线性目标函数的最值；例题：(2012年广东文5)已知变量,x y 满足条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为 A.3 .1 C5 6解析:利用线性规划知识求解。
可行域如图阴影所示，先画出直线01:2l y x =-，平移直线0l ,当直线过点A 时，2z x y =+的值最小，得110,x x y =-⎧⎨--=⎩12,x y =-⎧⎨=-⎩min (1,2),12(2)5A z ∴--∴=-+⨯-=- 探究提高：本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力，数形结合思想与运算求解能力，难度适中。
二、求目标函数的取值范围；例题：(2012山东文6)设变量,x y 满足约束条件2224,41x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是解析：作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直线30x y -=，并向上、向下平移，由图可得，当直线过点C 时，目标函数取得最大值，当直线过点A 是，目标函数取得最小值，由210,(2,0)240x y A x y ++=⎧⎨+-=⎩得;由4101,(,3)2402x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得B 探究提高：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大（小）值，进一步确定取值范围 三、求约束条件中参数的取值；例题：(2012福建文10)若直线2x y =上存在点(,)x y 满足条件-30-2-30,x y x y x m +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（ ）解析：在同一直角坐标系中函数2x y =的图像与30230x y x y +-≤⎧⎨--≤⎩，所表示的平面区域图阴影部分所示。
高考线性规划必考题型非常全)
线性规划专题一、命题规律讲解1、 求线性（非线性）目标函数最值题2、 求可行域的面积题3、 求目标函数中参数取值范围题4、 求约束条件中参数取值范围题5、 利用线性规划解答应用题一、线性约束条件下线性函数的最值问题线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标(),x y 即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即简单线性规划的最优解。
例1 已知4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，2z x y =+，求z 的最大值和最小值例2已知,x y 满足124126x y x y x y +=⎧⎪+≥⎨⎪-≥-⎩，求z=5x y -的最大值和最小值二、非线性约束条件下线性函数的最值问题高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。
它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。
例3 已知,x y 满足，224x y +=，求32x y +的最大值和最小值例4 求函数4y x x=+[]()1,5x ∈的最大值和最小值。
三、线性约束条件下非线性函数的最值问题这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。
它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。
例5 已知实数,x y 满足不等式组10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，求22448x y x y +--+的最小值。
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线性规划常见题型及解法温故1．不在3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0）2．已知点（3 ，1）和点（－4 ，6）在直线3x–2y + m = 0 的两侧，则（）A．m＜－7或m＞24 B．－7＜m＜24C．m＝－7或m＝24 D．－7≤m≤243．在△ABC中，三顶点坐标为A（2 ，4），B（－1，2），C（1 ，0 ），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z= x– y 的最大值和最小值分别是（）A．3，1 B．－1，－3 C．1，－3 D．3，－14．在直角坐标系中，满足不等式x２－y2≥0 的点（x，y）的集合（用阴影部分来表示）的是（）5．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（）A．23260yx yx≥-⎧⎪-+>⎨⎪<⎩B．23260yx yx>-⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩C．23260yx yx>-⎧⎪-+>⎨⎪≤⎩D．23260yx yx>-⎧⎪-+<⎨⎪<⎩由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3 B、3 C、－1 D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D练习．已知实数yx,满足0,1,2210.xyx y≥⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩若目标函数yaxz+=()0≠a取得最小值时最优解有无数个，则实数a的值为A．1-B．12-C．12D．1例5 已知变量x，y满足约束条件1422x yx y≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。
若目标函数z ax y=+（其中0a>）仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为。
解析：如图5作出可行域，由z ax y y ax z =+⇒=-+其表示为斜率为a -，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值。
则直线y ax z =-+过Ａ点且在直线4,3x y x +==（不含界线）之间。
即1 1.a a -<-⇒>则a 的取值范围为(1,)+∞。
点评：本题通过作出可行域，在挖掘a z -与的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a 的不等式组即可求解。
求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。
五、条件含参数形式，求目标函数最值范围。
例3、在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时,目标函数32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =⨯+⨯=,故[7,8]z ∈,从而选D;点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。
六、求非线性目标函数的最值（1）当目标函数形如z=x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、5解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选C例2、已知1,10,220xx yx y≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y+的最小值是 .解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域， 而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。
由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。
22x y +的最小值是为5。
点评：本题属非线性规划最优解问题。
求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。
（2）当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
例 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则 y x的取值范围是（ ）.（A ）[95，6] （B ）（－∞，95]∪[6，＋∞） （C ）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D ）[3，6]解析 yx是可行域内的点M （x ，y ）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM 过点（52，92）时，yx 取得最小值95；当直线OM 过点（1，6）时，yx取得最大值6. 答案A图2六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230 x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330mm+>⎧⎨-<⎩,故0＜m＜3，选C课后作业1．不等式3<+y x 表示的平面区域内的整点个数为（ ）A ． 13个B ． 10个C ． 14个D ． 17个2已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则y x z -=4的最小值为______________． 3已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥≥≤-+0320,1052y x y x y x ，则x y 的最大值为___________，最小值为____________．4．已知平面区域如右图所示，)0(>+=m y mx z 在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m 的值为（ ）A ．207B ．207-C ．21D ．不存在5．某电脑用户计划用不超过500少买3件，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有______________种.（选做）．有两种农作物（大米和小麦），可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下:在一天内如何安排才能合理完成运输2000吨小麦和1500吨大米的任务？高中学生学科素质训练—线性规划一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．不在3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0）x2．已知点（3 ， 1）和点（－4 ， 6）在直线 3x –2y + m = 0 的两侧，则 （ ） A ．m ＜－7或m ＞24 B ．－7＜m ＜24C ．m ＝－7或m ＝24D ．－7≤m ≤ 243．若⎩⎨⎧≥+≤≤2,22y x y x ，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是 （ ）A ．[2 ，6]B ． [2，5]C ． [3，6]D ． [3，5] 4．不等式⎩⎨⎧≤≤≥++-300))(5(x y x y x 表示的平面区域是一个（ ）A ．三角形B ．直角三角形C ．梯形D ．矩形5．在△ABC 中，三顶点坐标为A （2 ，4），B （－1，2），C （1 ，0 ）， 点P （x ，y ）在△ABC 内部及边界运动，则 z= x – y 的最大值和最小值分别是 （ ） A ．3，1B ．－1，－3C ．1，－3D ．3，－16．在直角坐标系中，满足不等式 x ２－y 2≥0 的点（x ，y ）的集合（用阴影部分来表示）的是（ ）A B C D 7．不等式3<+y x 表示的平面区域内的整点个数为 （ ）A ． 13个B ． 10个C ． 14个D ． 17个 8．不等式3|2|<++m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和点),1,1(-则m 的取值范围是（ ）A ．32<<-mB ．60<<mC ．63<<-mD ．30<<m9．已知平面区域如右图所示，)0(>+=m y mx z 在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m 的值为（ ）A ．207B ．207-C ．21D ．不存在10．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是）A ．232600y x y x ≥-⎧⎪-+>⎨⎪<⎩B ．232600y x y x >-⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩C ．232600y x y x >-⎧⎪-+>⎨⎪≤⎩D ．232600y x y x >-⎧⎪-+<⎨⎪<⎩二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）11．已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则y x z -=4的最小值为______________．12．已知约束条件2828,x y x y x N y N +++≤⎧⎪+≤⎨⎪∈∈⎩，目标函数z=3x+y ，某学生求得x =38， y=38时，z max =323， 这显然不合要求，正确答案应为x = ; y= ; z max = .13．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要软件至少买3件，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有______________种.14．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥≥≤-+0320,1052y x y x y x ，则x y的最大值为___________，最小值为____________．三、解答题（本大题共6题，共76分）15．由12+≤≤≤x y x y 及围成的几何图形的面积是多少?（12分）16．已知),2,0(∈a 当a 为何值时，直线422:422:2221+=+-=-a y a x l a y ax l 与及坐标轴围成的平面区域的面积最小？（12分）17．有两种农作物（大米和小麦），可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下:在一天内如何安排才能合理完成运输2000吨小麦和1500吨大米的任务？（12分）18．设422+-=x y z ，式中变量y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤122010x y y x ，求z 的最小值和最大值．（12分）参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11． 5.12- 12．3，2，11 13． 7 14． 2，0 三、解答题（本大题共6题，共76分）15．（12分）[解析]：如下图由12+≤≤≤x y x y 及围成的几何图形就是其阴影部分，且312212421=⋅⋅-⋅⋅=S .16．（),2,2(1A l 恒过)2,0(),0,42,a C aB y x --（轴分别为交 ),2,2()2(22:222A l x a y l 恒过∴--=-)42,0(),0,2,22a C a D y x ++（轴分别为交， 02,04220>-<-∴<<a aa ，由题意知21l l 与及坐标轴围成的平面区域为ACOD ， ,415)21(42)4(21)42)(2(2122222+-=+-=⋅+-++=-=∴∆∆a a a a a aa S S S EC A EOD AC OD 415)(21min ==∴AC OD S a 时，当．01=`17．（12分）[解析]：设轮船为x 艘、飞机为y 架，则可得⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≥+≥+8,,0,30254036N y x y x y x y x ，目标函数z=x +y ，作出可行域，利用图解法可得点A （320，0）可使目标函数z=x +y 最小，但它不是整点，调整为B （7，0）．答：在一天内可派轮船7艘，不派飞机能完成运输任务． 18．（12分）[解析]： 作出满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤122010x y y x .作直线,22:1t x y l =-.840222)2,0(max =+⨯-⨯=z A l 时，经过当 .441212)1,1(min =+⨯-⨯=z B l 时，经过当。