华师大概率论第6章
2019年数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章.doc
第六章 微分中值定理及其应用一、填空题1．若0,0>>b a 均为常数，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x b a 302lim ________。
2．若21sin cos 1lim 0=-+→x x b x a x ，则=a ______，=b ______。
3．曲线x e y=在0=x 点处的曲率半径=R _________。
4．设2442-+=x x y ，则曲线在拐点处的切线方程为___________。
5．=-+→x e x xx 10)1(lim ___________。
6．设)4)(1()(2--=x x x x f ，则0)(='x f 有_________个根，它们分别位于________ 区间；7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的__________=ξ；8．函数3)(x x f =与21)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定理条件的_____=ξ；9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ；10．函数2)(xe xf x=的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33-=的极大值点是______，极大值是_______。
12．设x xe x f =)(，则函数)()(x f n 在=x _______处取得极小值_________。
13．已知bx ax x x f ++=23)(，在1=x 处取得极小值2-，则=a _______，=b_____。
14．曲线22)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点，则=k________。
15．设)2,1()1()( =-⨯=n x n x f n ，n M 是)(x f 在[]1,0上的最大值，则=∞→n n M lim ___________。
16．设)(x f 在0x 可导，则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的______条件；17．函数x bx x a x f ++=2ln )(在1=x 及2=x 取得极值，则______,==b a ；18. 函数3223)(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数xx x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为______，最小值为_____； 21. 设点)2,1(是曲线b a x y +-=3)(的拐点,则___________,==b a ;22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为________;23. 曲线323x x y -=的上凹区间为________;24. 曲线)1ln(2x y +=的拐点为__________;25．曲线x y ln =在点______处曲率半径最小。
第六章 概率论初步 (上)
了解即可 在每次试验中它总是发生
第
事件A发生必然导致事件B发生，称为事
六
件B包含事件A，或称事件A包含事件B
章
第
一
事件包含与相等
了解即可
概
节
率
随
论
机 事
初
件
和事件 事件“A、B中至少有一个发生”为事件A 与事件B的和事件，也称A与B的并，记作
了解即可
步
积事件 事件“A，B同时发生”为事件A与事
(上)
随机试验和 样本空间 样本空间 了解即可 样本点的全体构成的集合
随机事件 在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，记作
了解即可
பைடு நூலகம்
事件
随机 了解即可 试验E所对应的样本空间Ω的子集 事件 基本事件 的概 了解即可 样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}也是一种随机事件
念 必然事件 样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，
2016填13
交换律
运算律
了解即可
结合律 分配律
对偶律
关系 图形
了解即可
件B的积事件，也称A与B的交，记作
了解即可
差事件 事件“A发生而B不发生”为 了解即可 事件A与事件B的差事件，记作
互不相容（或互斥）
了解即可
事件A与事件B不能同时发生，即
事件“B不发生”
随机 对立事件 为事件B的对立事件
事件
（或余事件/逆事
了解即可
的关
件），记作
系与
运算
A∪B=Ω，A∩B=Φ，则A与B 互为对立事件
概率论与数理统计教程华东师大课件
概率论与数理统计教程华东师大课件目录一、课程概述 (2)1. 课程简介 (3)2. 教学目标 (4)3. 课程设置 (4)二、概率论基础 (5)1. 随机事件与概率 (7)1.1 随机事件 (8)1.2 概率概念 (9)2. 随机变量与分布 (10)2.1 随机变量 (11)2.2 概率分布 (12)3. 数字特征与期望 (13)3.1 数学期望 (14)3.2 方差与标准差 (15)三、数理统计基础 (16)1. 统计量与抽样分布 (17)1.1 统计量概念 (18)1.2 抽样分布概述 (20)2. 参数估计与假设检验 (21)2.1 参数估计方法 (21)2.2 假设检验原理与应用 (23)3. 方差分析与回归分析 (24)3.1 单因素方差分析 (25)3.2 回归分析概述与应用实例 (26)四、概率论与数理统计应用实例解析 (27)1. 实际问题中概率模型构建方法论述 (28)2. 典型案例分析与解题思路分享 (30)一、课程概述概率论与数理统计是一门研究随机现象规律的数学基础课程，它对于培养我们的科学素养、提高分析和解决问题的能力具有重要意义。
本教程主要面向华东师范大学的本科生，旨在帮助学生掌握概率论与数理统计的基本概念、基本原理和方法，培养学生运用概率论与数理统计解决实际问题的能力。
本教程共分为五部分：概率论基础、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、大数定律及中心极限定理、统计推断。
在教学过程中，我们将结合典型的例子和实际问题，引导学生理解和掌握概率论与数理统计的基本知识。
第一部分概率论基础主要包括概率的基本概念、条件概率、独立性、贝叶斯公式等内容；第二部分随机变量及其分布主要介绍离散型随机变量及其分布律、连续性随机变量及其概率密度函数、期望与方差等内容；第三部分多维随机变量及其分布主要讲解多元正态分布、多元伯努利分布等内容；第四部分大数定律及中心极限定理主要讲述大数定律的基本思想、中心极限定理的应用等内容；第五部分统计推断主要涉及假设检验、置信区间、回归分析等内容。
概率论与数理统计A第6章-文档资料
样本标准差
样本k阶原点矩
1 k A Xi k=1,2,… k n i1
样本k阶中心矩
n
它反映了总体k 阶矩的信息
1 k M (X X ) k i ni 1
n
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
统计量的观察值
1n x xi; n i1
2
tx 1 ( x ) e t dt , x 0 0
2
来定义.
1 2 2 (1 )就是 , 2 分布 . 由定义 X ~ (1 ), 注 已知 i 2 n 1 n 2 2 2 即 Xi ~ 可加性知 Xi ~ ,2.再由 ,2. i 1 2 2
x 是一个样本的观察值 , 则 g ( x ,x , x ) 也是统 n 1 2 n
几个常见统计量
它反映了 1 n 样本平均值 总体均值 X Xi n i 1 的信息 n 1 2 2 样本方差 S (X X ) i n 1i 1 它反映了总体 方差的信息
1 n 2 2 X n X i n 1 i 1
这就是矩估计法的理论 根据 .
经验分布函数
设 X ,X , ,X 是总体 F 的一个样本， s ( x )x 1 2 n
表示 x ,x , ,x 中不大于 x 的随机变量的 . 1 2 n
定义 经验分布函数为
1 F (x ) s (x ) x n n 例设总体 F 具有一个样本值 1 ， 1 ， 2 ，则经验分布函
顺序统计量
极差: 最直接也是最简单的方法，即最大值－最小 值（也就是极差）来评价一组数据的离散度。
概率练习题_概率自测题第六章答案
第六章一、填空题 1． 0； 2．21； 3． )](1[)](1[1z F z F Y X -⋅--。
二、计算题1．解：由X故和2． 解：解：由),(Y X 的联合分布律可有),max(Y X123223333从而得到 ⑴⑵⑶3．解：因X 服从]1,0[上均匀分布，故⎩⎨⎧<<=,0,101)(其它x x f解法一：分布函数法由分布函数的定义，对于任意实数y ，)(y F Y }{y Y P ≤=}13{y X P ≤+=.当1≤y 时，)(y F Y }113{≤+=X P 0=；当1>y 时，)(y F Y }13{y X P ≤+=}31{-≤=y X P ⎰-∞-=31)(y X dx x f⎪⎩⎪⎨⎧≥=<<-==⎰⎰-.4,11,41,3)1(11031y dx y y dx y .综上，)(y F Y ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤=.4,1,41,3)1(,1,0y y y y 故13+=X Y 的密度函数为)(y f Y )(y F Y '=⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,41,31其它y解法二：公式法因13+=x y 单调处处可导，其反函数为31)(-==y y h x ，且31|)(|||='='y h x ，则由公式(2.6)有，)(y f Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<=⋅=.,0,41,31311其它y4．解：因为X 服从参数1=λ的指数分布，故⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(x x e x f x 解法一：分布函数法由分布函数的定义，对于任意实数y ，)(y F Y }{y Y P ≤=}{y e P X ≤=.当1≤y 时，)(y F Y }{y e P X ≤=0=； 当1>y 时，)(y F Y }{y e P X≤=}ln {y X P ≤=⎰∞-=y X dx x f ln )(ydx e y x 11ln 0-==⎰- 综上，)(y F Y ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=.1,11,1,0y yy故X e Y =的密度函数为)(y f Y )(y F Y '=⎪⎩⎪⎨⎧>=.,0,1,12其它y y解法二：公式法因x e y =单调处处可导，其反函数为y y h x ln )(== ，且|1||)(|||yy h x ='='，则由公式(2.6)有，)(y f Y ⎪⎩⎪⎨⎧>=⋅=-.,0,1,112ln 其它y yy ey5．因X 与Y 是相互独立的随机变量，故),(Y X 的联合密度函数为=),(y x f )(x f X )(y f Y ⎩⎨⎧>≤≤=-,,0,0,10,其它y x e y⑴ }{X Y P <110][--==⎰⎰e dx dy e xy⑵对任意的实数z ，)(z F Z }{z Y X P ≤+=⎰⎰≤+=zy x dxdy y x f ),(，当0≤z 时，0),(=y x f ，0)(=z F Z ； 当0>z 时，)(z F Z }{z Y X P ≤+=⎰⎰≤+=zy x dxdy y x f ),(⎪⎩⎪⎨⎧≥-+=<<+-==------⎰⎰⎰⎰.1),1(1,10,101000z e e dy e dx z e z dy e dx zxz y z x z y z综上,可得Z 的分布函数为)(z F Z ⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<<+-≤=--.1),1(1,10,1,0,0z e e z e z z z z 再对其求导，得Z 的密度函数为=)(z f Z ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-≤=--.1),1(,10,1,0,0z e e z e z z z 6．解：⑴ 由1}0{==XY P ，有0}0{=≠XY P ，故}1,1{=-=Y X P 0}1,1{====Y X P ，由于}1{-=X P }1,1{}0,1{=-=+=-==Y X P Y X P }0,1{=-==Y X P于是41}1{}0,1{=-===-=X P Y X P ， 同理 41}1{}1,1{}0,1{}0,1{=====+=====X P Y X P Y X P Y X P 21}1{}1,1{}1,0{}1,1{}1,0{=====+==+=-====Y P Y X P Y X P Y X P Y X P })0,1{}1,0{}0,1{(1}0,0{==+==+=-=-===Y X P Y X P Y X P Y X P0)412141(1=++-=所以),(Y X 的联合分布律为⑵取)(YX的可能取值)0,0(，由于,P=YXXP，=YP(=}0{}0≠{=,0)0所以X与Y不独立.。
华东师大版数学九年级上册概率及其意义精品课件PPT
2
（2）设应加x个红球，得：
2 1, 5 x 6
5
解得 x=7.
答：应往纸箱内加放7个红球.
华东师大版数学九年级上册-25.2 概率及其意义 课件
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拓展提升
2、甲袋中放着22个红球和8个黑球，乙袋中放着200个
红球、80个黑球和10个白球。三种球除了颜色以外没有 任何区别。两袋中的球都已经各自搅匀，从袋中任取一 球，如果你想取出一个黑球，选哪个袋子成功的机会大？
•
4、让学生有个整体感知的过程。虽然 这节课 只教学 做好事 的部分 ，但是 在研读 之前我 让学生 找出风 娃娃做 的事情 ，进行 板书， 区分好 事和坏 事，这 样让学 生能了 解课文 大概的 资料。
•
5、人们都期望自我的生活中能够多 一些快 乐和顺 利，少 一些痛 苦和挫 折。可 是命运 却似乎 总给人 以更多 的失落 、痛苦 和挫折 。我就 经历过 许多大 大小小 的挫折 。
1、要清楚我们关注的是哪个或者哪些 结果. 2、要清楚所有机会均等的结果.
实际上（1）、（2）两种结果 之比就是我们关注的结果发生的概 率.
华东师大版数学九年级上册-25.2 概率及其意义 课件
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概率的定义
一个事件发生的可能性叫做该事件发生的概率
（1）摸出的球的颜色为绿色； （2）摸出的球的颜色为白色； （3）摸出的球的颜色为蓝色； （4）摸出的球的颜色为黑色； （5）摸出的球的颜色为黑色或绿色； （6）摸出额球的颜色为蓝色、黑色或绿色。
华东师大版数学九年级上册-25.2 概率及其意义 课件
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概率论与数理统计答案(华东师大魏宗舒版)
概率论与数理统计答案（华东师大魏宗舒版）第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？ (4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。
概率论与数理统计共130页文档
3. 必然事件 (Ω)
4. 不可能事件 (φ) —— 空集.
1/7/2020
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第一章 随机事件与概率
1.1.4 随机变量
第10页
表示随机现象结果的变量.
常用大写字母 X、Y、Z …表示.
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第一章 随机事件与概率
事件的表示
第11页
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第一章 随机事件与概率
样本空间的分割
第20页
若 A1，A2，……，An 有 1. Ai互不相容； 2. A1A2 ……An= Ω
则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
1/7/2020
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第一章 随机事件与概率
第21页
课堂练习
1. 若A 是 B 的子事件，则 AB = ( B )， AB = ( A )
2) 又因为A发生必然导致B发生，所以 AB， 由此得 A = B.
1/7/2020
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第一章 随机事件与概率
1.1.6 事件的运算
第14页
• 并： A B • 交： A B = AB • 差： A B • 对立： A
A 与 B 至少有一发生 A 与 B 同时发生 A发生但 B不发生 A 不发生
1/7/2020
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第一章 随机事件与概率
事件运算的图示
第15页
AB
AB
AB
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第一章 随机事件与概率
德莫根公式
第16页
A B A B ; A B A B
n
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拒绝域为 W3 = {T< t1 (n1)}
5 June 2015
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第六章 假设检验
第26页
设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机 地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分, 标准差为15分,问在显著性水平α=0.05下,是否可 以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分? H0: =70 H1: 70
ii) H0： 0 H1： > 0 W2 = {2> 21 (n1)}
02
iii) H0： 0 H1： < 0 W3 = {2< 2 (n1)}
5 June 2015
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第六章 假设检验
第28页
例 某类钢板每块的重量X 服从正态分布，其质量 指标是钢板重量的方差不得超过0.016平方公斤。 现从某天生产的钢板中随机抽取25块，得其样本 方差S2=0.025，问该天生产的钢板重量的方差是 否满足要求。
第六章 假设检验
第1页
第六章 假设检验
依据样本对总体未知参数的某种假设
作出真伪判断。 （参数检验）
依据样本对总体的分布的某种假设
作出真伪判断。 （分布检验）
5 June 2015
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第六章 假设检验
第2页
பைடு நூலகம்
在许多实际中，都需要检验某个问题，如:某批产品 能否出场?某生产线工作是否正常?某人是否患有某 种疾病?某种新药的治疗效果是否提高了?发生事故 是否与星期几有关?某次水平考试是否正常?等等. 假 设 检 验
假设？
拒绝域？
5 June 2015
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第六章 假设检验
第24页
某公司在社会上招大批青年工人。在考试结束 后，经理问人事部门情况怎么样?回答说:很好， 估计平均成绩可达90分。经理随即地从试卷中 抽出20份，发现平均成绩为83分，标准差为12 分。如果经理想在0.01的显著性水平下检验人 事部门所做的推测的准确性，应该怎样处理? 方差未知，一个正态总体均值的单侧假设检 验 H0:μ90, H1 : μ< 90,这就是我们下一小节 要讨论的问题。
5 June 2015
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第六章 假设检验
第25页
§6.2 正态总体参数的假设检验 (2)
(2) 关于 ，2未知
X 0 用 T 检验 T S/ n H1： 0
i) H0： = 0
拒绝域为 W1 = {|T|> t1/2 (n1)} ii) H0： 0 H1： >0 拒绝域为 W2 = {T> t1 (n1)} iii) H0： 0 H1： <0
24 0.025 37.5 36.415 0.016
由此，在显著性水平0.05下，我们拒绝原假 设，认为该天生产的钢板重量不符合要求。
5 June 2015
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第六章 假设检验
第30页
某炼铁厂铁水含碳量在正常情况下服从正态分布， 现对操作工艺进行了改变，从中抽取7炉铁水的 试样测得
第19页
(1) 关于
，2巳知
X 0 用 U 检验 U / n
i) H0： = 0 H1： 0 拒绝域为 W1 = {|U|> u1/2} ii) H0： 0 H1： >0 拒绝域为 W2 = {U> u1} iii) H0： 0 H1： < 0 拒绝域为 W3 = {U< u1}
用哪一个拒绝域？
5 June 2015
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第六章 假设检验
第27页
§6.2 正态总体参数的假设检验 (3)
(3) 关于2 用
2
检验
2
(n 1) S 2
i) H0： = 0 H1： 0 W1 = {2> 21/2 (n1) 或 2< 2/2 (n1) }
参数假设检验常见的有三种基本形式 (1) (2) (3)
H0 : 0
H0 : 0
vs H1 : 0
vs H1 : 0
H0 : 0
vs H1 : 0
这三种假设所采用的检验统计量是相同的， 差别在拒绝域上。
5 June 2015
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第六章 假设检验
一般
+ 1
5 June 2015
即使 + = 1 出现，也不能把 “犯第一类错 误” 和 “犯第二类错误” 理解为相互对立的 事件.
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第六章 假设检验
第15页
检验函数
检验实际上就是一个判断准则，在统计中常用样本 空间的上的一个示性函数来表示(W)
1, x W ( x) 0, x W
= P(存伪)
5 June 2015
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第六章 假设检验
第13页
总体情况
H 0为真
H1为真
拒绝 H0 接受 H0
犯第一类 错误 正确
正确 犯第二类 错误
5 June 2015
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第六章 假设检验
第14页
注意点
当样本容量 n 一定时, 小， 就大； 小, 就大。 在进行假设检验时，我们采取的原则是: 控制犯第一类错误的同时 使犯第二类错误 的概率达到最小.
( ), 0 g ( ) E ( x) 1 ( ), 1
5 June 2015
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第六章 假设检验
第17页
§6.1 习题
P.371 1, 2 , 4.
5 June 2015
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第六章 假设检验
第18页
§6.2 正态总体参数假设检验(1)
用哪一个拒绝域？
拒绝H0，即新工艺下Vc平均含量比旧工艺下含量高.
5 June 2015
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第六章 假设检验
第22页
一家食品加工公司的质量管理部门规定,某中包 装食品每包净重不得少于20千克。经验表明， 重量近似服从标准差为1.5千克的正态分布。假 定从一个由50包食品构成的随机样本中得到的 平均重量为19.5千克，问有无充分证据说明这 些包装食品的平均重量减少了?
5 June 2015
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第六章 假设检验
第11页
解 (1) H0: = 15 H1: 15
X (2) 选择包含的分布已知的统计量: U / n (3) 因为 P(|U|> u1/2) = ，且查表得 u1/2 =1.96， 所以拒绝域为 A = {|U|> 1.96}
5 June 2015
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第六章 假设检验
第8页
注 意 点 (2)
H0： = 0
H0： 0 H1： 0 H1： > 0
称为 双边检验
称为 单边检验
5 June 2015
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第六章 假设检验
第9页
假设检验的基本步骤
第一步 提出待检验的原假设H0和对立假设H1; 第二步 选择检验统计量，并找出在假设H0成立条 件下，该统计量所服从的概率分布; 第三步 根据显著性水平 ，查检验统计量的分布的 临界值表，确定临界值和拒绝域 A;
5 June 2015
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第六章 假设检验
第4页
假设检验的基本思想
(1) 实际推断原理： 小概率事件在一次试验中不会出现. 注意：若小概率事件在一次试验中出现了, 就被认为是不合理的.
5 June 2015
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第六章 假设检验
第5页
注意点 实际推断原理中，关于“小概率”的值通常根
据
实际问题的要求而定，如取=0.1、0.05、0.01 等。 为检验的显著性水平 (检验水平). 在假设检验中，使得小概率事件出现的统计量 的取值范围 A 称为该假设检验的拒绝域，拒绝 域的边界称为该检验的临界值.
5 June 2015
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第六章 假设检验
第6页
假设检验的基本记号
i) 原假设、零假设 H0： ii) 对立假设、备择假设 H1： iii) 检验水平
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第六章 假设检验
第7页
注 意 点 (1)
i) 先对总体的参数或分布做出某种假设， 然后找出一个在假设成立条件下出现可能性 很小的事件(拒绝域)。 ii) 如果试验或抽样的结果使该小概率事件出现 了，这与实际推断原理相违背，表明原来的 假设有问题，即拒绝这个假设.
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第六章 假设检验
第32页
§6.2 正态总体参数的假设检验 (4)
(4) 关于2， 巳知 用 2 检验
i) H0： = 0 H1： 0 ii) H0： 0 H1： > 0 W2 = {2> 21 (n)}
5 June 2015
华东师范大学
第六章 假设检验
第20页
某化工厂排放的气体中有害气 体的含量服从 正态分布N(23,22)，现得一组数据23、21、19、 24、18、18。若有害气体含量的方差不变，问 用该方法测得有害气体含量的均值是否为23?
用哪一个拒绝域？
5 June 2015
华东师范大学
第六章 假设检验
第31页
某中导线要求电阻的标准差不得超过0.005Ω, 今 在生产的一批导线中取样品9根,测得S=0.007Ω. 设总体服从正态分布,在显著性水平α=0.05条件下, 能认为这批导线的标准差显著偏大吗?
H0: 0.005 H1: > 0.005
用哪一个拒绝域？
拒绝
5 June 2015