高二数学解析几何综合复习资料：圆锥曲线的综合问题旧人教版
高二数学上册期末圆锥曲线复习资料
高二上期末复习资料—圆锥曲线椭圆1. 椭圆的定义（1） 椭圆第一定义：平面内与两个定点12F F 的距离的和等于常数2a （122||a F F >）的点的轨迹叫椭圆，定点12,F F 叫椭圆焦点，12||F F 叫做椭圆的焦距.（2） 椭圆第二定义：平面内的动点与一个定点F 和一定直线l 的距离比是常数e ，当01e <<时的动点轨迹叫椭圆，定点F 叫椭圆的焦点，定直线l 叫椭圆的准线.例1：已知定点(3,0),(3,0)A B -，动点P 满足||||10PA PB +=，求动点P 的轨迹方程.例2：已知定点(4,0)A ，定直线254x =，动点P 到点(4,0)A 的距离与动点P 到直线254x =的距离比是45，求动点P 的轨迹方程. 注意：涉及焦点三角形可考虑第一定义，第二定义常用作圆锥曲线上的点到焦点距离与到准线距离的转化例1：过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆相交与A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于？ 例2：椭圆192522=+y x 上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么它到右焦点的距离为？2. 椭圆方程（1） 标准方程：焦点在x 轴上：22221(0)x y a b a b+=>> 焦点在y 轴上：22221(0)y x a b a b+=>> 一般式：221(0,0)mx ny m n m n +=>>≠且（2） 参数方程：cos (sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数）注意：对有关椭圆上的动点问题，常用其参数方程表示其上的点的坐标，这样使问题化为三角问题，与椭圆有关的最值问题，常使用参数方程，其形式较简便.例1：已知(,)P x y 是椭圆22114425x y +=上的点，则u x y =+的取值X 围？ []13,13- 例2：已知椭圆为22169144x y +=，直线为250x y -+=，求椭圆上到直线最远和最近的点？（3） 求椭圆的方法：（1）定义法，（2）待定系数法：① 当焦点位置不定时设：221(0,0)mx ny m n m n +=>>≠且； ② 与22221x y a b +=有相同焦点的椭圆设：22221x y a m b m+=++； ③ 与22221x y a b +=有相同离心率的椭圆设：2222(0)x y m m a b+=>； 例：根据下列条件求椭圆标准方程：（1） 两个焦点坐标为(0,5),(0,5)-，椭圆上的点到两焦点的距离和为26；221169144y x +=（2） 经过点35(,),(2,223A B -； 222211148371352x y x y +=+=或 （3） 与椭圆224936x y +=有相同焦点，且过点(3,2)-；225330x y +=3. 椭圆的几何性质 以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例 （1） X 围：||,||x a y b ≤≤（2） 对称性：关于x 轴、y 轴、原点都对称，长轴长—2a 。
高考数学总复习 8.7 圆锥曲线的综合问题夯实基础 大纲人教版
8.7 圆锥曲线的综合问题巩固·夯实基础一、自主梳理解析几何考查的重点是圆锥曲线，在历年的高考中，占解析几何总分值的四分之三以上.解析几何的综合问题也主要以圆锥曲线为载体，通常从以下几个方面进行考查：1.位置问题，直线与圆锥曲线的位置关系问题，是研究解析几何的重点内容，常涉及直线与曲线交点的判断、弦长、面积、对称、共线等问题.其解法是充分利用方程思想以及韦达定理.2.最值问题，最值问题是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容.其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.3.范围问题，范围问题主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围，其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.以上这些问题由于综合性较强，所以备受命题者的青睐.常用来综合考查学生在数形结合、等价转化、分类转化、逻辑推理等多方面的能力.二、点击双基1.方程22)2()2(-++y x =|x-y+3|表示的曲线是( )A.直线B.双曲线C.椭圆D.抛物线 解析：原方程变形为2|3|)2()2(22+--++y x y x =2.它表示点(x,y)到点(-2,2)与定直线x-y+3=0的距离比是2.故选B.答案：B2.若点（x,y ）在椭圆4x 2+y 2=4上，则2-x y 的最小值为（ ） A.1 B.-1 C.-323 D.以上都不对 解析：2-x y 的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k(x-2),代入椭圆方程消去y 得(4+k 2)x 2-4k 2x+4k 2-4=0. 令Δ=0，k=±323. ∴k min =-323.答案：C 3.双曲线22a x -22b y =1的离心率为e 1，双曲线22b y -22ax =1的离心率为e 2，则e 1+e 2的最小值为( ) A.42 B.2 C.22 D.4解析：(e 1+e 2)2=e 12+e 22+2e 1e 2 =222a b a ++222b a b ++2·a b a 22+·ba b 22+ =2+22a b +22ba +2(ab +b a ) ≥2+2+2×2=8.当且仅当a=b 时取等号.故选C.答案：C4.若椭圆x 2+a 2y 2=a 2的长轴长是短轴长的2倍，则a=___________________. 解析：方程化为22ax +y 2=1, 若a 2>1,∴2|a|=2×2,a=±2.当0<a 2<1，∴2=4|a|.∴a=±21. 答案：±2,±21 5.P 是双曲线32x -y 2=1的右支上一动点，F 是双曲线的右焦点，已知A(3,1)，则|PA|+|PF|的最小值为____________________________.解析：设F ′为双曲线的左焦点，∴|PF ′|-|PF|=23.∴|PA|+|PF|=|PA|+|PF ′|-23≥|AF ′|-23=26-23. 答案：26-23诱思·实例点拨【例1】 (北京春季高考)如图,O 为坐标原点,直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b(a>0,b ≠0),且交抛物线y 2=2px(p>0)于M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)两点.(1)写出直线l 的截距式方程;(2)证明11y +21y =b1;(3)当a=2p 时,求∠MON 的大小.剖析：易知直线l 的方程为a x +b y =1,欲证11y +21y =b 1,即求2121y y y y +的值,为此只需求直线l 与抛物线y 2=2px 交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y 1+y 2、y 1y 2的值,进而证得11y +21y =b1.由·=0易得∠MON=90°.亦可由k OM ·k ON =-1求得∠MON=90°. (1)解：直线l 的截距式方程为a x +b y =1. ① (2)证明：由①及y 2=2px 消去x 可得by 2+2pay-2pab=0. ②点M 、N 的纵坐标y 1、y 2为②的两个根,故y 1+y 2=bpa 2-,y 1y 2=-2pa. 所以11y +21y =2121y y y y +=pa b pa22--=b 1. (3)解：设直线OM 、ON 的斜率分别为k 1、k 2,则k 1=11x y ,k 2=22x y . 当a=2p 时,由(2)知,y 1y 2=-2pa=-4p 2,由y 12=2px 1,y 22=2px 2,相乘得(y 1y 2)2=4p 2x 1x 2,x 1x 2=22214)(p y y =2224)4(p p -=4p 2,因此k 1k 2=2121x x y y =2244p p -=-1. 所以OM ⊥ON,即∠MON=90°.讲评：本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.【例2】 (黄冈高三调研)已知椭圆C 的方程为22a x +22b y =1(a>b>0),双曲线22a x -22b y =1的两条渐近线为l 1、l 2,过椭圆C 的右焦点F 作直线l,使l ⊥l 1,又l 与l 2交于P 点,设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B.(如图)(1)当l 1与l 2夹角为60°,双曲线的焦距为4时,求椭圆C 的方程;(2)当=λ时,求λ的最大值.剖析：(1)求椭圆方程即求a 、b 的值,由l 1与l 2的夹角为60°易得a b =33,由双曲线的距离为4易得a 2+b 2=4,进而可求得a 、b. (2)由=λ,欲求λ的最大值,需求A 、P 的坐标,而P 是l 与l 1的交点,故需求l 的方程.将l 与l 2的方程联立可求得P 的坐标,进而可求得点A 的坐标.将A 的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值.解：(1)∵双曲线的渐近线为y=±a b x,两渐近线夹角为60°, 又ab <1, ∴∠POx=30°,即a b =tan30°=33. ∴a=3b.又a 2+b 2=4,∴a 2=3,b 2=1. 故椭圆C 的方程为32x +y 2=1. (2)由已知l:y=b a (x-c),与y=a b x 解得P(ca 2,c ab ), 由=λ得A(λλ+∙+12c a c ,λλ+∙1c ab ). 将A 点坐标代入椭圆方程得(c 2+λa 2)2+λ2a 4=(1+λ)2a 2c 2.∴(e 2+λ)2+λ2=e 2(1+λ)2.∴λ2=2224--e e e =-［(2-e 2)+222e -］+3≤3-22. ∴λ的最大值为2-1.讲评：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识,及向量、定比分点公式、重要不等式的应用.解决本题的难点是通过恒等变形,利用重要不等式解决问题的思想.本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题.【例3】 已知直线y=-2上有一个动点Q ，过Q 作直线l 垂直于x 轴，动点P 在直线l 上，且⊥，记点P 的轨迹为C 1.(1)求曲线C 1的方程.(2)设直线l 与x 轴交于点A ，且=(≠0).试判断直线PB 与曲线C 1的位置关系，并证明你的结论.(3)已知圆C 2：x 2+(y-a)2=2,若C 1、C 2在交点处的切线互相垂直，求a 的值.解：(1)设P 的坐标为(x,y),则点Q 的坐标为(x,-2).∵⊥,∴·=0.∴x 2-2y=0.∴点P 的轨迹方程为x 2=2y(x ≠0).(2)直线PB 与曲线C 1相切，设点P 的坐标为(x 0,y 0)，点A 的坐标为(x 0,0). ∵=,∴=(0,-y 0).∴点B 的坐标为(0,-y 0).∵≠0,∴直线PB 的斜率为k=002x y . ∵x 02=2y 0,∴k=x 0.∴直线PB 的方程为y=x 0x-y 0.代入x 2=2y,得x 2-2x 0x+2y 0=0.∵Δ=4x 02-8y 0=0,∴直线PB 与曲线C 1相切.(3)不妨设C 1、C 2的一个交点为N(x 1,y 1),C 1的解析式即为y=21x 2，则在C 1上N 处切线的斜率为k ′=x 1，圆C 2过N 点的半径的斜率为k=11x a y . ① 又∵点N(x 1,y 1)在C 1上，所以y 1=21x 12. ② 由①②得y 1=-a,x 12=-2a,∵N(x 1,y 1)在圆C 2上，∴-2a+4a 2=2.∴a=-21或a=1. ∵y 1>0,∴a<0. ∴a=-21.。
高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析
高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M(-4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点（B在M、C之间），N为BC中点．(ⅰ)证明：k·kON为定值；(ⅱ)是否存在实数k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）;（2）(ⅰ）;(ⅱ）不存在．【解析】（1）由于曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4，结合椭圆的定义可知曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，从而可写出曲线C的方程；（2）由已知可设出过点直线l的方程，并设出直线l与曲线C所有交点的坐标；然后联立直线方程与曲线C的方程，消去y就可获得一个关于x的一元二次方程，应用韦达定理就可写出两交点模坐标的和与积；(ⅰ)应用上述结果就可以用k的代数式表示出弦的中点坐标，这样就可求出ON的斜率，再乘以k就可证明k·kON 为定值；(ⅱ）由F1N⊥AC，得kAC•kFN= -1，结合前边结果就可将此等式转化为关于k的一个方程，解此方程，若无解，则对应直线不存在，若有解，则存在且对应直线方程很易写出来.试题解析：（1）由已知可得：曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，所以，故曲线C的方程为：. 4分（2）设过点M的直线l的方程为y=k(x+4)，设B(x1, y1)，C(x2, y2）(x2>y2)．(ⅰ)联立方程组，得，则， 5分故，， 7分所以，所以k•kON=为定值. 8分(ⅱ)若F1N⊥AC，则kAC•kFN= -1，因为F1(-1,0)，故， 10分代入y2=k(x2+4)得x2=-2-8k2，y2="2k" -8k3，而x2≥-2，故只能k=0，显然不成立，所以这样的直线不存在． 13分【考点】1.椭圆的方程;2.直线与椭圆的位置关系.2.双曲线+=1的离心率，则的值为.【答案】-32【解析】由题意可得，a=2，又∵e==3，∴c=3a=6，∴b2=c2-a2=36-4=32，而k=-b2，∴k=-32【考点】双曲线离心率的计算.3.已知椭圆，直线是直线上的线段，且是椭圆上一点，求面积的最小值。
高二数学圆锥曲线的综合问题
书上说，这时候你该学习些数字了。一到十，一直到一百都数得很流利。我说，新新，给你出个题，一加二等于几啊？你眨巴眨巴眼：等于七！我摇摇头，不对，你又眨巴眨巴眼：等于五！我摇摇 头，然后掰手指头给你看，你看，一加二等于三嘛！
小朋友总喜欢跟比他大的朋友玩，大朋友喜欢比他更大的，于是你使劲往大朋友圈子里蹭，蹭得我直紧张，走路还不是那么利索，稍微一碰就倒，怎么能不紧张？人家在玩追逐游戏，看谁打滑梯速 度快，你也掺和进去，夹在中间，我只好当“交警”了，安排一群孩子排好队，莫拥挤，其实眼睛只盯着你，我的宝贝，啥时候你也有了孩子，像我一样爱他，才知道我的心情。av女优
人家不玩了，你那里还没尽兴，冲着人家大叫：“哥哥你在哪里？哥哥你在哪里？”喊得撕心裂肺、不忍卒听。这次我没有帮你，我想让你感受真实的人间，喜怒哀乐、欢愉惆怅交织在一起，这才 是完整的人间。
当对方比你弱小，或者看上去比较“软弱”的时候，你就冲上去动手了，有位老奶奶带着孙女，看见你就大叫：“离他远点，这是个小坏蛋！”我不禁大摇其头，看着你的眼睛问你：“喂，小朋友， 你这是咋混的？”
高二数学解析几何综合复习资料：曲线方程和圆的方程旧人教版
高二解析几何综合复习资料（2）曲线方程和圆的方程一、基础知识：（一）曲线方程1、曲线的方程与方程的曲线的定义：2、求曲线轨迹方程的步骤：3、求曲线轨迹方程的方法：建系、设点、列式、代入、简化、检验。
求曲线的轨迹方程常采用的方法有：(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的。
（二）、圆的方程：（1）直线与圆的位置关系有三种： 、 、 ；（2）判定方法：① 线心距法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为R ，则 ⇔相离， ⇔相切， ⇔相交。
② 判别式法：由直线方程与圆的方程消去一个未知数后，得到一个关于x 或y 的一元二次方程，则0>∆⇔ ， ⇔相切， ⇔相离。
（3）直线与圆相交时，弦长的求法有两种。
① ② 3、圆与圆的位置关系：（1）过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程是： ；（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的切线方程是： ；（3）过圆222r y x =+外一点),(00y x P 作圆的两条切线，则切点弦所在的直线方程是 ；（4）过圆222)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 作圆的两条切线，则切点弦所在的直线方程是 ；5、公共弦所在的直线方程：圆1C ：011122=++++F y E x D y x 和圆C 2：022222=++++F y E x D y x 的公共弦的方程是：______________________________；求轨迹方程的方法曲线与方程包括求曲线的方程和由方程研究曲线的性质两个方面的内容，每年必考。
高二数学_圆锥曲线(复习)
圆锥曲线一、椭圆（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10 ； （2）长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A （-3）（3）已知椭圆短轴上的两个三等份点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为（4）若椭圆1422=+y m x 的离心率为21，则m 为（1）已知双曲线2214x y -=的两焦点F 1、F 2，点P 在双曲线上且满足1260F PF ∠=，则△F 1PF 2的面积为__________（2）椭圆12222=+b y a x (0>>b a )离心率为23,则双曲线12222=-by a x 的离心率为（3）已知双曲线的中心在原点，两个焦点12F F ，分别为和(，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为1，则双曲线的方程为________________（4）双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为（5）设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为（1）抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（2）过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于点()()1122,,,P x y Q x y 两点，若126x x +=，则PQ 中点M 到抛物线准线的距离为（3）过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，如果x 1+x 2=6，那么|AB|= （4）已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点A （4，m ）到焦点的距离为6. （1）求此抛物线的方程；（2）若此抛物线方程与直线2-=kx y 相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值（5）已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B ．(1) 若316=AB ，求直线l 的方程．(2) 求AB 的最小值．(6)已知抛物线y 2=6x ，过点P(4，1)引一弦，使它恰在点P 被平分，求这条弦所在的直线l 的方程.(7)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；（3）过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ∆面积的最大值。
高二数学圆锥曲线复习资料
直线的倾斜角和斜率（一）一．知识清单1．以一个方程的解为坐标的点都是 ，反过来， ，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。
2．在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
3．直线的倾斜角为α，其取值范围是4． 叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用k 表示，若直线的倾斜角为α()90α≠ ，则k = 5．直线上的向量12PP 及与它平行的向量都称为直线的 。
直线12PP 的方向向量12PP 的坐标是2121(,)x x y y --。
当直线12PP 与x 轴不垂直时，12x x ≠，此时，向量12211PP x x - 也是直线12PP 的方向向量，且它的坐标是 ，既 ，其中k 是直线12PP 的斜率。
二．强化训练直线的倾斜角和斜率的概念辨析直线的倾斜角与斜率的关系（1） 已知倾斜角α，求斜率k ；k ⎧=⎨⎩（2） 已知斜率k ，求倾斜角α；arctan (0)arctan (0)k k k k απ≥⎧=⎨+<⎩注：已知倾斜角求斜率时，应注意讨论倾斜角为90 时，斜率不存在；在已知直线斜率求其倾斜角时，应先由斜率正负判断倾斜角是锐角还是钝角，再用反正切（或特殊角）将其表示出来；而由斜率范围求倾斜角范围或由倾斜角范围求其斜率范围时，要结合正切函数的图象和其单调性，求相应量的范围。
1． 已知直线l 的倾斜角为α，并且203πα≤≤，则直线l 的斜率k 的范围是2． 已知直线l 的斜率k满足k ≤≤l 的倾斜角α的范围是3． 已知直线1l 的倾斜角130θ= ，直线12l l ⊥，求1l 和2l 的斜率4． 已知直线l 的方向向量2(1,1)a m =- 其中1m ≥，求直线l 的斜率k 和倾斜角α5． 过点(1,2)P -的直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 。
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解析几何专题——圆锥曲线的综合运用专题训练生化 班 姓名 学号 一、选择题（在四个选项中有且只有一个是正确的，共10题，50分）1、斜率为1的直线l 与椭圆42x +y 2=1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为 ( )A.2B.554 C.5104 D.51082、抛物线y =ax 2与直线y =kx +b (k ≠0)交于A 、B 两点，且此两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与x 轴交点的横坐标是x 3,则恒有 ( ) A.x 3=x 1+x 2 B.x 1x 2=x 1x 3+x 2x 3 C.x 1+x 2+x 3=0 D.x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=03、过点(3,0)的直线l 与双曲线4x 2-9y 2=36只有一个公共点,则直线l 共有 （ ）(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条4、设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 （ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4] 5、若动点(x ,y )在曲线14222=+by x (b >0)上变化，则x 2y 的最大值为 ( ) (A) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b b ； (B) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b bb b ； (C) 442+b ；(D) 2b 。
6、已知双曲线2212yx-=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ ）（A ）43 （B ）53 （C（D7、已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ）A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+ 8、已知双曲线22a x －22by ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为 （ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º9、从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程12222=+ny m x 中的m 和n,则能组成落在矩形区域B={(x ,y)| |x |<11且|y|<9}内的椭圆个数为 （ ）A ．43B ． 72C ． 86D ． 9010、设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题（只要求直接写出结果，不必写出计算过程或推证过程，共6题，30分） 11、直角坐标平面xoy 中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OA OP ⋅=4。
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高二数学寒假辅导资料（6）圆锥曲线的综合问题一、基础知识：解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的具体来说，有以下三方面：（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号二、基础练习：1设abc ≠0，“ac >0”是“曲线ax 2+by 2=c 为椭圆”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分又不必要条件 答案：B 解析：ac >0曲线ax 2+by 2=c 为椭圆反之成立 2到两定点A （0，0），B （3，4）距离之和为5的点的轨迹是（ ） A 椭圆 B AB 所在直线 C 线段AB D 无轨迹 答案：C 解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB ：y =34x ，其中0≤x ≤3 3若点（x ，y ）在椭圆4x 2+y 2=4上，则2-x y的最小值为（ ） A1 B －1 C －323 D 以上都不对 答案：C 解析：2-x y的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y =k （x －2）代入椭圆方程（4+k 2）x 2－4k 2x +4k 2－4=0令Δ=0，k =±323∴k min =－323 4以正方形ABCD 的相对顶点A 、C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为（ ） A3210- B 315- C 215- D2210- 答案：D 解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e =2210- 5已知F 1（－3，0）、F 2（3，0）是椭圆m x 2+ny 2＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，当∠F 1PF 2＝3π2时，△F 1PF 2的面积最大，则有A m =12，n =3B m =24，n =6C m =6，n =23D m =12，n =6 答案：A 解析：由条件求出椭圆方程即得m =12，n =36 点M (x ,y )与定点F (1,0)的距离和它到直线x =4的距离的比为2, 则动点M 的轨迹方程为 ( )A 13422=-y xB 13422=+y x C 3x 2-y 2-34x +65=0 D 3x 2-y 2-30x +63=0 答案: D 解析:24)1(22=-+-x y x , 两边平方即得3x 2-y 2-30x +63=07 P 是椭圆191622=+y x 上的动点, 作PD ⊥y 轴, D 为垂足, 则PD 中点的轨迹方程为( ) A116922=+y x B 196422=+y x C 14922=+y x D 19422=+y x 答案: D 解析: 设PD 中点为M (x , y ), 则P 点坐标为(2x , y ), 代入方程191622=+y x , 即得19422=+y x 8 已知双曲线12222=-by a x ,(a>0,b>0), A 1、A 2是双曲线实轴的两个端点, MN 是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点, 则A 1M 与A 2N 交点的轨迹方程是( )A 12222=+b y a xB 12222=+b x a yC 12222=-b y a xD 12222=-bx a y 答案: A 解析: 设 M (x 1, y 1), N (x 1, -y 1), A 1M 与A 2N 交点为P (x ,y ), A 1 (-a ,0), A 2(a ,0), 则A 1 M 的方程是a x a x y y ++=11,A 2M 的方程是ax a x y y --=-11, 两式相乘, 结合1221221=-b y a x 即得 三、典型例题：例1 已知椭圆C 的方程为22a x +22b y =1（a >b >0），双曲线22a x －22by =1的两条渐近线为l 1、l 2，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l ⊥l 1，又l 与l 2交于P 点，设l 与椭圆C的两个交点由上至下依次为A 、B （如图）（1）当l 1与l 2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程；（2）当FA =λAP 时，求λ的最大值分析：（1）求椭圆方程即求a 、b 的值，由l 1与l 2的夹角为60°易得a b =33，由双曲线的距离为4易得a 2+b 2=4，进而可求得a 、b（2）由FA =λAP ，欲求λ的最大值，需求A 、P 的坐标，而P 是l 与l 1的交点，故需求l 的方程将l 与l 2的方程联立可求得P 的坐标，进而可求得点A 的坐标将A 的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值解：（1）∵双曲线的渐近线为y =±abx ，两渐近线夹角为60°， 又a b <1，∴∠POx =30°，即a b =tan30°=33 ∴a =3b又a 2+b 2=4， ∴a 2=3，b 2=1故椭圆C 的方程为32x +y 2=1（2）由已知l ：y =b a （x －c ），与y =a b x 解得P （ca 2，c ab ），由=λ得A （λ+⋅+12c a c ，λ+⋅1c ab ） 将A 点坐标代入椭圆方程得（c 2+λa 2）2+λ2a 4=（1+λ）2a 2c 2 ∴（e 2+λ）2+λ2=e 2（1+λ）2∴λ2=2224--e e e =－［（2－e 2）+22e -］+3≤3－22∴λ的最大值为2－1 点评：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题例6 A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6 km ，C 在B 正北偏西30°，相距4 km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角解：如下图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则 B （－3，0）、A （3，0）、C （－5，23）因为|PB |=|PC |， 所以点P 在线段BC 的垂直平分线上 因为k BC =－3，BC 中点D （－4，3）， 所以直线PD 的方程为y －3=31（x +4） ① 又|PB |－|P A |=4，故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上设P （x ，y ），则双曲线方程为42x －52y =1（x ≥0） ②联立①②，得x =8，y =53，所以P （8，53）因此k P A =3835-=3故炮击的方位角为北偏东30°例3、已知双曲线C ：2x 2－y 2=2与点P (1，2)(1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在..解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =1,与曲线C 有一个交点.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k (x －1),代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0(*)(ⅰ)当2－k 2=0,即k =±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±2时Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k )①当Δ=0,即3－2k =0,k =23时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点.③当Δ＜0，即k ＞23时，方程(*)无解，l 与C 无交点.综上知：当k =±2,或k =23，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点； 当k ＞23时，l 与C 没有交点. (2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1即k AB =2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在.例4如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标；(3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ，求m 的取值范围. 20.解：(1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3.故椭圆方程为92522y x +=1. (2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=59.因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F 2A |=54(425－x 1),|F 2C |=54(425－x 2)， 由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×59,由此得出：x 1+x 2=8. 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=221x x +=4.(3)解法一：由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上.得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0,即9×)()2(25)2(21212121x x yy y y x x --⋅+++=0(x 1≠x 2) 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0)代入上式，得9×4+25y 0(－k 1)=0 (k ≠0)即k =3625y 0(当k =0时也成立). 由点P (4，y 0)在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m ,所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0. ①②由点P (4，y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部，得－59＜y 0＜59,所以－516＜m ＜516. 解法二：因为弦AC 的中点为P (4,y 0)，所以直线AC 的方程为y －y 0=－k1(x －4)(k ≠0) ③将③代入椭圆方程92522y x +=1,得 (9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解得k =3625y 0.(当k =0时也成立)(以下同解法一).一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。