两圆的公切线(2)

1．两圆半径分别为8和5，若两圆共有三条公切线，那么圆心距 d为( ) A．d＝3 B．3＜d＜13 C．d＝13 D．d＞13 2．⊙O1与⊙O2的半径分别为 7 cm和 5 cm，O1O2＝2 6 cm，则( )
A．两圆有两条外公切线，有且只有一条内公切线。 B．两圆既有两条外公切线，又有两条内公切线。 C．两圆只有两条外公切线，没有内公切线。 D．两圆既无外公切线，又无内公切线。 3．若⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和1cm，其内公切线长为 4cm，则O1O2 长为 ______ 。 4．两圆外离，圆心距为25cm，两圆的周长为15πcm和10πcm， 则内公切 线与连心线的夹角（锐角）等于 ______ 。
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起来：“守夜也有秦顺儿呢！哪儿轮得到您们！”两各丫环晓得爷那是动咯气，吓得别敢再吱声，乖乖地放下手中の热水和中衣，壹并退咯下去。回到水清の房间，月影只见晚 膳还胡乱地摆在桌子上，上前看咯看，有些动咯，有些壹点儿也没什么动，看样子仆役用咯壹些，但都别多。再往里屋探身壹看，水清已经和衣躺在床上咯，深感失职の月影赶 快冲咯进去：“仆役，奴婢回来咯，奴婢那就服侍您歇息。”水清随便用咯些晚膳之后，原本是拿咯壹本书，壹边看书壹边等月影，结果因为壹天の旅途劳累，看咯没壹会儿就 有些迷迷糊糊地睡着咯，被月影叫醒后，她赶快问道：“爷那里怎么样咯？都伺候完咯吗？”“嗯，是爷让我们回来の，说有秦公公服侍就可以咯。”“噢，那您们赶快吃饭吧， 都有些凉咯呢。”“奴婢别饿の，仆役，赶快让奴婢帮您安置咯吧。”“我那里也没什么啥啊事情……”别待水清说完，月影已经手脚麻利地开始为水清拆头发，拔簪子，卸容 妆，水清也好由着她做那些，晓得她那是心中愧疚，只有壹刻别停地忙碌着才能让她心安理得壹些。吉尔眼见着月影进咯里间屋伺候侧福晋，她在外间屋没敢贸然地进去。由于 是初次服侍侧福晋，既别好跟月影那各老人抢差事，又别晓得如何跟侧福晋解释啥啊，更是别晓得那各侧福晋是啥啊性子，她贸然进屋会别会惹主子别高兴。于是吉尔赶快很有 眼力劲儿地在外间屋将桌子收拾干净，又将行李归置整齐。她那么手脚别停地干活儿，也是想让自己能够心安壹些。由于水清别习惯有人在跟前值夜，于是两各丫环就在外间屋 踏踏实实地睡咯壹晚。前壹天被两各小丫环弄得只有招架之功，没什么还手之力の王爷急于摆脱被动挨打の局面，于是壹大清早儿就让秦顺儿给水清传话：“您壹会儿跟侧福晋 传爷の吩咐，月影和吉尔两各人专门负责伺候侧福晋，别用到爷那里当差来咯。” 水清听完咯秦顺儿壹字别落の传话，心里别由得咯噔地壹下：昨天晚上发生啥啊事情咯？爷怎 么会专门来传那各吩咐？爷の身边没各丫环，光指着秦顺儿壹各小太监怎么能行？况且福晋姐姐那次之所以特意将吉尔派来同行，还别是担心她和月影两各人没什么经验，生怕 别能把爷伺候好吗？现在吉尔假设成咯自己の专用丫环，把爷の事情给耽误咯，既辜负咯福晋の壹番心意，更是要把福晋姐姐得罪咯。第壹卷 第552章 抢功生怕辜负咯福晋壹 片信任の水清想到那里，赶快对秦顺儿说道：“您跟爷回各话，我那里有月影壹各人就行咯，还是让吉尔专心伺候爷吧。”别但秦顺儿听明白咯水清の吩咐，连两各丫环都听得 真真切切。吉尔の心中是暗暗欢喜、感激别已，月影却是急得别行、心生埋怨，于是顾别得礼仪，开口对水清说道：“仆役，要别，让奴婢去服侍爷吧，吉尔留下来伺候 您。”“月影？！”水清惊呆咯！月影可是她从娘家带过来の陪嫁丫环，她们同进共退，同甘共苦，在那陌生の王府里相依为命，度过咯六年の时光！那各丫头可是她在王府里 唯壹の壹各亲人，最为亲近、最为信赖の奴才，怎么现在居然为咯去伺候爷，将她那各正经主子扔在壹边别管咯？难道说为咯攀上王爷那各高枝，她们六年多の主仆之情全都忘 到咯脑后咯？可是，月影别是那种人啊？六年多咯都别去攀附王爷那根高枝，怎么现在突然开窍咯？百思别解の水清根本别打算再理会月影，转身继续对秦顺儿说道：“就照我 刚才の吩咐去给爷传口信吧。”王爷听咯秦顺儿の回复，想想自己手边上只秦顺儿壹各人也确实是有些忙别过来，刚才之所以让两各丫环都留给水清，完全还是因为昨天晚上の 事情在赌气。现在看到水清主动让咯步，心里舒坦咯许多，于是就点头同意咯。秦顺儿见王爷别但同意咯，而且脸色有咯好转，他那心里也跟着高兴起来，于是忍别住就又多咯 壹句嘴：“启禀爷，月影那姑娘其实也想来伺候您呢，侧福晋没答应。”“啥啊？”那各情况大大出乎王爷の意料，再联想到昨天晚上月影那破天荒の殷勤劲儿，更是让他糊涂 别已！以前那丫头见着他就像老鼠见到猫似の，别是战战兢兢，就是退避三舍，偶尔他去咯怡然居，眼见着躲别掉咯，别得已只好硬着头皮上前来伺候他。而从昨天晚上开始の 月影那番脱胎换骨の巨大变化，简直是让他丈二和尚摸别到头脑咯！谢天谢地，幸好水清留下咯月影，否则他还真别晓得怎么面对她。于是他朝秦顺儿挥咯挥手，让他先退下咯。 吉尔听到秦顺儿の禀报，心中自是欢喜别已，辞别咯水清，赶快随着秦顺儿去王爷那里服侍，生怕壹会儿侧福晋又变咯卦。月影眼见着吉尔欢天喜地地去咯王爷那里，急得她顾 别得礼数，壹把拉住水清：“仆役啊！您怎么让吉尔壹各人去服侍爷咯？您怎么那么糊涂啊！”月影急别择言，如此大逆别道の话语未经大脑就脱口而出。好在水清与她壹直情 同姐妹，所以也没什么太在意她の失礼，只是笑咯笑，然后说道：“月影啊，您最近那是怎么？变得我都要别认识咯呢！您现在老老实实跟我交代，昨天晚上到底发生咯啥啊事 情，气得爷都别让您去跟前伺候咯呢。”第壹卷 第553章 和尚月影早就想跟水清好好地说壹说那各事情，现在见水清主动提咯起来，难得碍事の吉尔又别在身边，她也打算打 开天窗说亮话。虽然她们情同姐妹，但毕竟也有主仆之分，于是她先是费咯好大の劲儿才总算是略微压住咯心中の怒火，开口说道：“仆役，昨天晚上没什么发生啥
当两圆外离时，有两条内公切线，当两圆外切时有一 条内公切线，两圆相交，内切或内含时无内公切线。
2．内公切线的性质： 两圆外离时，有两条内公切线、由圆的对称性可知这 两条内公切线的长相等，且两公切线的交点在连心线上， 连心线平分两内公切线的夹角。如图(1)所示：内公切线 AB ＝CD，AB与CD的交点P在连心线O1O2上， ∠APO1＝∠CPO2 . 3．内公切线长的计算： 如图，作O1E∥AB交O2B的延长线于E，
2 2 1Q 和AB为公切线， 同样注意 O OQ 2
连O1B、O2A可得O1B∥O2A，可知 O1Q ＝ O1B ， OQ OA
2 2
而O1C＝O2B，O2A＝ O2D， 得
O 1C
O2D
＝O 1A ，故可以得证 .
2
OB
证明：连结O1C、O1B、O2A、O2D ∵CD为⊙O1和⊙O2的内公切线
6．若两圆外离且外公切线长m与内公切线长n的大小关系 是( ) A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．不能确定 7．如果两圆的半径和它们的圆心距分别等于一个三角 形的三条边，那么 这两圆的公切线的条数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图，两圆的两条内公切线和一条外公切线围成△ABC， 则△ABC的周长等于( )
5．已知：如图(6)，⊙O1与⊙O2外切于点T，外公切线AB 与连心线O1O2交于P，A、B是切点， 求证：(1)∠ATB＝90°；
(2)PT2＝PB· PA .
6．若两圆内切时，圆心距为14cm，外切时，圆心距为40cm， 则两圆圆心 距为50cm时，内公切线的长为______cm。 7．若外离两圆的半径是5cm和3cm，内公切线与连心线所夹 锐角的正弦为 4 ，则内公切线长____ cm，圆心距为____cm。 5 8．如图所示，已知两圆的内公切线互相垂直，若两圆的 半径分别为5和4厘米，则两圆圆心距为( )
4．已知：如图(7)，⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和 ⊙O2的外公切线，B、C为切点，过A作直线EF交⊙O1于E， 交⊙O2于F，连结EB、FC并延长交于G， 求证：GB2＋GC2＝BC2。
(7)
5．如图(8)，⊙O1与⊙O2外切于E点，AF是外公切线，直线 AB、CD过点E，分别与⊙O1、⊙O2交于点A、C、B、D，若 AF＝2AE，3AE＝2CE， AF＝4， 求DE的长。
C A B
O1
D
O2
E
P
例2 已知⊙O1与⊙O2的半径之和等于8cm，两圆的一条 内公切线长为6cm，求这两圆的圆心距。(如图)
解：
连结O1O2、O1A、O2B，过O1作O1C∥AB交O2B延长
线于C，则O1A⊥AB，O2B⊥AB，四边形AO1CB为矩形。 ∴O1C＝AB＝6cm，O1A＝BC ∴O2C＝O2B＋BC＝O2B＋O1A＝8cm ∴ O1O2＝
A．一条外公切线长的二倍。 B．两条内公切线长的和。 C．一条外公切线长和一条内公切线长的和。 D．两条内公切线长和一条外公切长的和的一半。
9．设相离的半径分别为4cm和2cm，且它们的两条内公切线 互相垂直，则内公切线的长为_______cm。
10．若两外切，内公切线和一条外公切线相交成60°的角， 则小圆半径与大圆半径之比为_______ 。
A . 9cm
B . 9 2cm
C. 9 2 2 cm
D . 41 cm
9．若⊙O1与⊙O2外离，A、B是一条内公切线与两条外公切 线的交点，则 AB的长( )
A．等于一条外公切的长。 B．等于内公切线长与外公切线长的平均数。 C．等于内公切线长与外公切线长的比例中项。 D．当且仅当两圆为等圆时等于一条外公切线的长。
则O1C= AB，O1A=BC．
在Rt△O2CO1和． O1O2=10，O2C= O2B+ O1A=6 ∴O1C=
O1
A
O2
B C
10 6 8 (cm)．
2 2
∴AB=8（cm）
4．范例解析： 例1 要做一个如图那个的V形架，将两个钢管托起，已知 钢管的外径分别为200mm和80mm，求V形角的度数。
本讲着重介绍了求内公切长的方法、内公切线的性质、内 公切线的作法以及内公切线条数与两圆位置之间的联系，这些都 是有关内公切线的基本知识，应当认真体会，确实掌握好。 内公切线是圆的切线，因此具有圆的切线的性质，例如内 公切线垂直过切点的半径。在解答有关内公切的问题时，常常要 连结圆心和切点，得出垂直关系，并且据此可以推出两圆外切时， 内公切线垂直连心线。 如果两圆外切或内切时，过切点作两圆的公切线是解题时 常用的辅助线，因为这条切线是两圆公共的切线，其作用是可以 构成两个图中的有关角的关系，从而为利用弦切角、圆周角、圆 心角等的性质创造了条件。由此达到计算和论证的目的。