计算几何
计算几何
思考如下图形：
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先看最简单的多边形——三角形
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三角形的面积：
在解析几何里， △ABC的面积可以通过 如下方法求得：
点坐标 => 边长 => 海伦公式 => 面积
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思考：此方法的缺点：
计算量大 精度损失
更好的方法？
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计算几何题的特点与做题要领
1.大部分不会很难，少部分题目思路很巧妙 2.做计算几何题目，模板很重要，模板必须高度可靠
。 3.要注意代码的组织，因为计算几何的题目很容易上
两百行代码，里面大部分是模板。如果代码一片混乱 ，那么会严重影响做题正确率。 4.注意精度控制。 5.能用整数的地方尽量用整数，要想到扩大数据的方 法（扩大一倍，或扩大sqrt2）。因为整数不用考虑浮 点误差，而且运算比浮点快。
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形。
P3 P4
P2
P0
P1
P5 P6
设你种了很多树，想用一个篱笆把所有的
树都包在里面。出于经济考虑，这个篱笆应该是越 小越好。
计算机科学中的计算几何学
计算机科学中的计算几何学计算几何学是计算机科学中一个重要的领域，它涵盖了许多与图形和几何有关的问题，例如计算多边形的面积和周长、求解几何元素之间的关系和位置、以及生成三维图形等等。
计算几何学在许多应用领域中都有广泛的应用，例如计算机辅助设计、虚拟现实、机器人技术等等。
在计算几何学中，最基本的问题是如何表示和存储几何对象。
传统的方式是使用点、线和面等基本元素来描述几何对象。
对于平面几何问题，经典的数据结构是平面直角坐标系（Cartesian coordinates）和极坐标系（polar coordinates）。
在三维几何问题中，一般使用欧几里得空间（Euclidean space）或齐次坐标系（homogeneous coordinates）来表示和计算。
此外，还可以使用参数曲线和曲面等高级数据结构来描述更复杂的几何对象。
计算几何学中的许多问题都涉及到了求解几何元素之间的关系和位置。
其中最常见的问题之一是交点问题（intersection problem），即求解两条或多条直线或曲线在二维或三维空间中的交点。
还有一类常见问题是求解点与线、点与面之间的位置关系。
例如，如何判断一个点是否在一个多边形内部？如何判断两个三角形是否相交？这些问题的解决方法涉及到了许多经典的算法，例如扫描线算法（scanline algorithm）、凸包算法（convex hull algorithm）和线性规划算法（linear programming algorithm）等等。
计算几何学的另一个重要领域是计算几何优化。
它涉及在给定约束条件下求解几何问题的最优解。
例如，在给定的几何对象中，如何找到包含最大面积的矩形？如何找到通过给定点的最短路径？这些问题需要一些经典的数学工具和算法，例如拉格朗日乘数法（Lagrange multiplier method）、离散化技术（discretization）和动态规划算法（dynamic programming algorithm）等等。
数学中的计算几何
数学中的计算几何在数学中，计算几何是研究几何形状与其数值特征、运算关系之间的相互关系的分支学科。
它基于代数与几何的结合，通过运用代数工具来研究几何问题。
计算几何在众多领域中得到了广泛的应用，例如计算机图形学、机器人学以及物理学等等。
本文将探讨数学中的计算几何以及其在现实生活中的应用。
一、计算几何的基本概念计算几何的基本概念包括点、线、平面和空间等概念。
在计算几何中，点是最基本的元素，被定义为没有大小和形状的位置。
线由一系列的点组成，它们是无限延伸的。
平面是由无限多个点和线组成的，具有二维特性。
而空间则是由无限多个点、线和平面组成的，具有三维特性。
二、计算几何的基本运算在计算几何中，有一些基本的运算，包括点的坐标表示、距离计算、向量运算和曲线方程等。
1. 点的坐标表示为了方便计算，在计算几何中通常使用坐标系统来表示点的位置。
对于二维空间中的点，我们使用笛卡尔坐标系，即通过横轴和纵轴的交点来确定点的位置。
通过该坐标系，我们可以用一对有序实数来表示二维空间中的每一个点。
2. 距离计算在计算几何中，我们可以通过坐标表示来计算两个点之间的距离。
对于二维空间中的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以通过勾股定理计算：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
同样地，对于三维空间中的点，距离的计算方法与二维类似，只是多了一个坐标方向。
3. 向量运算在计算几何中，向量是用来表示具有大小和方向的量。
我们可以用向量来表示平移、旋转和缩放等操作。
向量的加法、减法、数量积和向量积等运算在计算几何中都有着重要的应用。
4. 曲线方程计算几何中，我们经常需要研究曲线的性质及其与其他曲线的关系。
通过方程的表示，我们可以了解曲线的形状、位置和运动等特征。
常见的曲线方程包括直线方程（斜截式、截距式和点斜式）、圆方程（标准式和一般式）以及椭圆、双曲线、抛物线的方程等。
三、计算几何在现实生活中的应用计算几何作为数学的一个分支，几乎在各个领域中都有着广泛的应用。
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是计算机科学的一个重要分支，它结合了几何学与计算，研究如何使用计算方法解决几何问题。
随着计算机技术的发展，计算几何所涉及的问题越来越多，应用也变得愈加广泛。
本文将对计算几何的基本概念、应用以及相关算法进行详细讨论。
什么是计算几何计算几何是研究几何对象及其关系，使用算法和数据结构来解决几何问题的领域。
其主要研究内容包括点、线、面、体及其组合的性质和运算，如距离、夹角、面积、交点等。
它在处理具有空间特征的问题时显得尤为重要，例如计算机图形学、机器人导航、地理信息系统（GIS）、CAD（计算机辅助设计）等领域。
基本概念几何对象：在计算几何中，最基本的几何对象包括点、线段、多边形、多面体等。
空间维度：计算几何可分为一维（线）、二维（平面）和三维（空间）。
不同维度的几何问题解决方法有所不同。
组合几何：研究有限点集之间的组合关系，例如点与点之间的连线构成的图形。
算法复杂性：在解决几何问题时，算法的时间复杂性与空间复杂性是一个重要考量因素。
常用的数据结构包括平衡树、链表、栈等。
计算几何中的基本算法在计算几何中，有许多经典算法可以用来解决各种问题。
以下是一些重要的算法：凸包算法凸包是指一个点集的最小凸形状。
在二维平面上，凸包可以想象成一个橡皮筋套在点集周围。
常用的计算凸包的算法有：Graham扫描算法：先选择一个基准点，然后根据极角对其他点进行排序，最后通过规则判断哪些点构成凸包。
Jarvis行走法：从一个极点开始，不断找到下一个最远的点，直到回到起始点。
最近点对给定一组点，寻找其中距离最近的一对点。
常见的方法有：暴力搜索法：逐一比较每对点，时间复杂度为O(n^2)。
分治法：通过划分空间减少比较次数，时间复杂度降至O(n log n)。
线段相交判断两条线段是否相交是一个基本问题，可用于图形碰撞检测。
常用方法包括：扫动线法：以一条假想的垂直线从左到右移动，并利用事件队列存储可能相交的线段。
计算几何 算法与应用 第3版
计算几何算法与应用第3版（原创实用版）目录1.计算几何学概述2.计算几何：算法与应用第三版的主要内容3.计算几何的应用领域4.计算几何算法的设计与分析5.计算几何的未来发展趋势正文一、计算几何学概述计算几何学是计算机科学与几何学相结合的一门学科，它主要研究如何使用算法来解决几何问题。
计算几何学的产生可以追溯到 20 世纪 70 年代末，它从算法设计与分析中孕育而生，并逐渐形成了自己的学术刊物和学术会议。
二、计算几何：算法与应用第三版的主要内容《计算几何：算法与应用》第三版是由 Mark de Berg、Otfried Cheong、Marc van Kreveld 和 Mark Overmars 等人编写的一本关于计算几何的经典教材。
全书共分 11 章，内容包括预备知识、几何查找（检索）、多边形、凸壳及其应用、Voronoi 图、三角剖分及其应用、交与并及其应用、多边形的获取及相关问题、几何体的划分与等分、算法的运动规划、几何拓扑网络设计、随机几何算法与并行几何算法等。
三、计算几何的应用领域计算几何在许多领域都有广泛的应用，如计算机图形学、图像处理、计算机辅助设计、虚拟现实、地理信息系统、机器人学等。
在这些领域中，计算几何算法可以用来解决诸如几何形状的建模、几何关系的计算、几何图形的裁剪和划分等问题。
四、计算几何算法的设计与分析计算几何算法的设计与分析是计算几何学的核心内容。
设计一个好的计算几何算法，需要对几何问题进行深入的理解，并运用计算机科学的知识来巧妙地解决问题。
在算法的分析方面，主要涉及到算法的正确性、时间复杂度和空间复杂度等方面的研究。
五、计算几何的未来发展趋势随着计算机技术的不断发展，计算几何也在不断地拓展新的领域和应用。
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形的性质和空间关系，并通过数学方法进行计算和推导。
在现代社会中，计算几何不仅在数学领域有着广泛的应用，还在计算机图形学、计算机辅助设计、地理信息系统等领域发挥着重要作用。
本文将介绍计算几何的基本概念和常见应用，帮助读者了解和掌握这一领域的知识。
一、基本概念1. 点、线、面：在计算几何中，点是最基本的几何对象，用来表示位置；线由两个点确定，是一维的几何对象；面由三个或三个以上的点确定，是二维的几何对象。
2. 向量：向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示，常用来表示位移、速度等物理量。
在计算几何中，向量可以用来表示线段、直线等几何对象。
3. 坐标系：坐标系是用来描述空间位置的工具，常见的有直角坐标系、极坐标系等。
在二维空间中，直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴构成；在三维空间中，直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴构成。
4. 向量运算：向量的加法、减法、数量积、向量积等运算是计算几何中常见的操作，可以用来求解几何问题。
5. 几何变换：平移、旋转、缩放等几何变换是计算几何中常用的操作，可以改变几何对象的位置、方向和大小。
二、常见应用1. 点、线、面的位置关系：计算几何可以用来判断点是否在直线、线段、射线、多边形内部，以及线段、直线、射线的相交关系等。
2. 几何问题求解：计算几何可以用来求解距离、角度、面积等几何问题，如求两点之间的距离、判断三角形的形状、计算多边形的面积等。
3. 几何构图：计算几何可以用来进行几何构图，如画出两点之间的直线、作出与已知直线垂直的直线、求两圆的交点等。
4. 几何优化：计算几何可以用来进行几何优化，如求解最短路径、最大面积、最小包围矩形等问题，对于一些实际应用具有重要意义。
5. 计算机图形学：计算几何在计算机图形学中有着广泛的应用，可以用来表示和处理图形对象，实现图形的绘制、变换、渲染等功能。
6. 地理信息系统：计算几何在地理信息系统中也有着重要的应用，可以用来处理地理数据、分析地理空间关系，实现地图的绘制、导航、遥感等功能。
计算几何在机器人运动规划、计算机图形学、虚拟现实等领域的应用研究
计算几何在机器人运动规划、计算机图形学、虚拟现实等领域的应用研究摘要计算几何作为计算机科学的一个重要分支，研究使用计算机处理几何图形的算法和数据结构。
它在机器人运动规划、计算机图形学、虚拟现实等领域有着广泛的应用。
本文将从计算几何的基本概念和常用算法入手，深入探讨其在上述领域中的具体应用，并分析其优势和局限性。
同时，针对未来发展趋势和研究方向进行展望。
关键词：计算几何，机器人运动规划，计算机图形学，虚拟现实，算法，数据结构一、引言计算几何研究的是使用计算机处理几何图形的算法和数据结构。
它涉及到对几何对象的创建、存储、操作、分析和渲染等方面，是计算机图形学、机器人学、计算机辅助设计、地理信息系统等众多领域的基石。
随着计算机硬件性能的提升和算法的不断优化，计算几何在各个领域的应用越来越广泛。
例如，在机器人运动规划中，计算几何可以帮助机器人规划出一条安全的、无碰撞的路径；在计算机图形学中，计算几何可以用来生成逼真的三维模型和场景；在虚拟现实中，计算几何可以用来构建虚拟世界，并使用户能够与虚拟环境进行交互。
本文将深入探讨计算几何在机器人运动规划、计算机图形学、虚拟现实等领域中的应用，并分析其优势和局限性。
二、计算几何概述2.1 基本概念计算几何涉及到以下几个基本概念：*几何对象:包括点、线段、直线、多边形、多面体等。
*几何操作:包括点集运算、线段交点、多边形面积、凸包计算、Voronoi 图、Delaunay 三角剖分等。
*数据结构:包括点线树、网格、Kd 树、R 树等。
2.2 常用算法计算几何中常用的算法包括：*凸包算法:寻找给定点集的最小凸多边形。
*最近邻搜索算法:寻找给定点集中的最近邻点。
*Voronoi 图算法:将平面划分成多个区域，每个区域内的点距离某个特定点最近。
*Delaunay 三角剖分算法:将给定点集剖分成三角形网格，并满足特定条件。
*线段交点检测算法:判断两条线段是否相交。
三、计算几何在机器人运动规划中的应用3.1 问题描述机器人运动规划是指在给定的环境中，为机器人规划出一条安全的、无碰撞的路径，使其能够从起点到达终点。
计算几何
2.2.1 点积的定义
两个向量为： A x1 , x 2 ,..., x n B x1 , x 2 ,..., x n 定义两个向量的点积为：
AB
x
i 1
n
i
x i
2.2.2 点积的性质
两个向量的点积是标量 点积的变化与向量模的变化成正比。也 就是说，可以把向量标准化后再求点积， 然后再乘上某个系数，就可以得到原来向 量的点积
猜想由n个点(x1,y1), (x2,y2), ……, (xn,yn)构成 的多边形的重心的坐标是：
x1 x 2 ... x n y1 y 2 ... y n , n n
P1 P6
2.6.3 n边形的重心
x1 x 2 ... x n y1 y 2 ... y n , n n
xa xb
ya yb
b a
叉积的本质是一个向量，这个向量垂直于求叉积的 两个向量所在平面，大小是叉积的绝对值 二维情况的叉积向量平行于z轴，因此可以用正负号 表示方向
2.2 点积
2.2.1 点积的定义 2.2.2 点积的性质 2.2.3 点积的几何解释 2.2.4 点积与余弦函数的关系
可以用arctan2函数求得各个点的极角，然后排 序。但这样做会有浮点误差，且计算极角的运算 量大，没有用到几何特性，也没有深入使用排序 算法 满足全序关系，就能排序，无需算值
3.2.2.4 共线问题解决
Graham-Scan算法执行过程中会碰到多 点共线的情况 此时的一个解决办法是每次取三个点， 如果三者共线，则去掉中间的点
2.4.2 多边形分类
如果多边形任意两条不相邻的边没有公共交点，则称这个多边 形为简单多边形；否则称为复杂多边形 但一类特殊的复杂多边形称为临界多边形，在性质上更接近于 简单多边形
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int cmp(const void* t1, const void* t2) { point *p1 = (point*)t1; point *p2 = (point*)t2; if(p1->y == p2->y) return p1->x - p2->x; return p1->y - p2->y; }
线段相交判定
如果叉积为零如何处理？
以下为叉积为零的八种情形，试判断哪些仍属于 相交（自己思考）
定比分点公式
若A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )
| AP | ，且 | PB |
则有：
xp
yp
x1 x2 1
y1 y2 1
叉积求交点
前面已经讲过，两向量的叉积的几何意义是以这 两个向量为邻边的平行四边形的有向面积，我们 可以利用这一点来求简单多边形的面积。 所谓简单多边形就是任何不相邻的两条边都没有 交点，包括凸多边形和凹多边形。
多边形面积
求下面多边形的面积，已知个顶点的坐标。
d e
f
b
c
注意： 在引入叉积后，面积 就可以为负值，就有 了“负面积”的概念。
可根据射线与多边形相交 次数的奇偶性判断内外 结论 奇数次在内，偶数次在外
射线法
特殊情况：
交点只能 计算一个
L和多边形 顶点的交点 不应被计算
这条边应 该被忽略 不计
伪代码
count ← 0; 以P为端点，作从右向左的射线L; //设P‘的纵坐标和P相同，横坐标为正无穷大（很大的一个正数），则P和 //P'就确定了射线L。 for 多边形的每条边s do if P在边s上 then return true; if s不是水平的 then if s的一个端点在L上 if 该端点是s两端点中纵坐标较大的端点 then count ← count+1 else if s和L相交 then count ← count+1; if count mod 2 = 1 then return true; else return false;
向量内积
定义
a b ( xa , ya ) ( xb , yb ) xa ya yb
几何意义：α在β的投影α’与β的长度乘积
点积性质
点积可以区分前后方向：
前后和投影的关系（联想点积的定义）
线段问题 - 相交
叉积----“左右”判定
点积----“前后”判定 因此，根据叉积和点积，我们就可以确定 线段的位置关系。
ACM暑假集训
计算几何
西安电子科技大学
----曹绍升
计算几何简介
计算几何是一门几何学，研究图形几何性质的学科 计算几何也是一门计算科学，研究几何的算法性质 引入计算几何，让计算机学会处理几何问题
向量代数
叉积的三维意义
i a b x1 x 2 j y1 y2 k z1 z2
（黑板）
叉积的二维意义----有向面积：外积大小为由 u、v 这两个向量围成的平行四边形有向面积
x1 a b det x2 y1 y2
叉积的几何意义
AB AC 0
AC AB 0
S ABCD AB AD S ABCD AD AB
注意：有向面积可以为负值！
凸包算法
现在已经被证明凸包算法的时间复杂度下界 是O(n*logn) 但是当凸包的顶点数h也被考虑进去的话， Krikpatrick和Seidel的剪枝搜索算法可以达到 O(n*logh)，在渐进意义下达到最优
Graham-Scan算法
试探性凸包
我们尝试从p1(最低点，一定属于凸包)出发，沿 着多边形顶点逆时针的顺序，试探性的增长凸包. 显然，一个点如果属于凸包，那么它到达下一个 点一定需要左转，否则，该点一定不属于凸包。
极角序
极角坐标系与极角概念（见黑板） 叉积表征“左右关系”，故可以进行极角序排序
int PolarCmp(const point &p1,const point &p2) { int u=dcmp(cross(bp,p1,p2)); return u>0 || (u==0 && dcmp(dirsqr(bp,p1)-dirsqr(bp,p2))<0); }
叉积实现
定义point结构体
typedef struct point{double x,y;}point;
行列式
x1 ab x2
y1 y2
double det(double x1,double y1,doublex2,double y2) { return x1*y2-x2*y1; }
灰太狼拯救大白菜
算法分析
最为直观的想法：解析几何法
弊端：运算误差大，运算次数多 误差来源：浮点运算 另外，编程难度事实上也很大（区域判断）
为何必须求解直线方程？
换个思路试试
跨立实验
MN、AB为两条相交线段
( MN MB ) ( MN MA) 0
( AB AM ) ( AB AN ) 0
即便知道线段已经相交，也不必利用解析几 何来求交点 面积----是我们的工具
P分割DC的比值和面积的关系:
AD AB | DP | S△ABD | CP | S△ABC AC AB
叉积求交点
接下来就是定比分点求坐标了：
AB AD | DP | S△ABD | CP | S△ABC AC AB AB AD xC AC AB xD S△ABD xC S△ABC xD xp S△ABD S△ABC AD AB AC AB AB AD yC AC AB yD S△ABD yC S△ABC yD yp S△ABD S△ABC AD AB AC AB
灰太狼拯救大白菜
基本思路：
1.到圆心的距离大于半径的点直 接排除。 2.以圆心和任意一点确定一 有向 线段作为半径位置，分别计数该 有向线段左边点的个数(nl)和右 边点的个数(nr)。 3.重复步骤2直到所有点都被枚举 过。 4.枚举过程中出现的最大的nl或 nr就是所求的结果。
nl = 3 3 4 5 4 2 nr = 4 4 3 2 3 5 4 Max = 5
void _sort() { sort(p,p+n,PolarCmp); }
//调用STL，利用快排进行排序
极角序
int dcmp(double x) { if (x<-eps) return -1; else return (x>eps); } double cross (point p0,point p1,point p2) {// 若返回值大于0 ，则p0p2在p0p1逆时针方向 return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y); } double sqr(double x) { return x*x; } double dirsqr(point p1,point p2){ return sqr(p1.x-p2.x)+sqr(p1.y-p2.y); }
}
点在多边形内外判断
一般而言，该问题有射线法和转角法两种处 理手段
射线法：从这个点出发引向无穷远点一条直线， 根据交点情况确定点的位置 转角法：计算多边形每条边的转角，若最后相消 为0则在外部，否则在内部
特点
射线法：特殊情况不易处理 转角法：三角运算时间开销大
射线法----点在多边形内外判断
水平序
除了极角序之外，还有一种更好的排序方法，称之 为水平序排序。它很好的解决了共线点问题，详细请参见 《算法艺术与信息学竞赛》P394，下面给出代码实现。
double cross(point p, point t1, point t2) { return (t1.x - p.x)*(t2.y-p.y) - (t1.y - p.y)*(t2.x-p.x); }
水平序
void make_bag(){ int i, j; qsort(p,n,sizeof(point),cmp); bag[0] = p[0]; len = 1; for(i=1;i<n;i++) { while(len>=2&&cross(bag[len-2], bag[len-1], p[i])<=0) len--; bag[len++] = p[i]; } j = len+1; for(i=n-2;i>=0;i--) { while(len>=j&&cross(bag[len-2], bag[len-1], p[i])<=0 len--; bag[len++] = p[i]; } len--;
a
“负面积”方便了我们的运算
多边形面积
d e b
c
f a 0
1 n xi A 2 i 1 xi 1 yi yi 1 , ( xn 1 x1 , yn 1 y1 )
多边形面积
double area(point p[],int n) { double s=0; int i; p[n].x=p[0].x; p[n].y=p[0].y; for(i=0;i<n;i++) s+=det(p[i].x,p[i].y,p[i+1].x,p[i+1].y); } return fabs(s/2.0);