几何运算.
数学运算之几何问题专题
数学运算之几何问题专题面积基本公式：（1）三角形的面积S＝1/2ah （2）长方形的面积S＝a×b （3）正方形的面积S＝a2 （4）梯形的面积S＝(a+b)/2×h（5）圆的面积=πr2＝1/4πd2（1）等底等高的两个三角形面积相同；（2）等底的两个三角形面积之比等于高之比；（3）等高的两个三角形面积之比等于底之比。
解决面积问题的核心是“割、补”思维，即当我们看到一个关于求解面积的问题，不要立刻套用公式去求解，这样做很可能走入误区，最后无法求解或不能快速求解。
对于此类问题通常的使用的方法就是“辅助线法”即通过引入新的辅助线将图形分割或者补全为很容易得到的规则图形，从而快速求得面积。
体积基本公式：(1)长方体的体积V＝abc (2)正方体的体积V＝a3(3)圆柱的体积V＝Sh ＝πr2，S为圆柱底面积。
(4)圆锥的体积V＝1/3Sh ＝1/3πr2h ，S为圆锥底面积。
周长基本公式：（1）长方形的周长C＝(a＋b)×2（2）正方形的周长C＝a×4 （3）圆的周长C＝2πr ＝πd例1、现有边长1米的一个木质正方体，已知将其放入水里，将有0.6米浸入水中，如果将其分割成边长0.25米的小正方体，并将所有的小正方体都放入水中，直接和水接触的表面积总量为（）。
A 3.4平方米B9.6平方米C13.6平方米D16平方米【解析】边长1米的一个木质正方体放入水里，有0.6米浸入水中，说明要考虑水的浮力的作用，并且告诉了浮力的大小。
可以得到的小正方体有64个，每一个直接和水接触的表面积包括一个底面和4个侧面的60%。
根据题意，直接和水接触的表面积总量为64×（0.25×0.25+40.6×0.25×0.25）=13.6（平方米）。
答案选C。
例2、甲、乙两个容器均有50厘米深，底面积之比为5∶4，甲容器水深9厘米，乙容器水深5厘米，再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是（）。
几何代数和几何计算
穗潺氏向量空间。
由于嵌入空间的正交变换群正好是欧氏空间的共形变换群的双层覆盖，因而这一模型义被称为共形模型。
遗憾的是，历史上共形模型长期局限于坐标表示，它对构造欧氏几何甚至经典儿何的真正几何语言的贡献长期没有表现出来。
１８６９年，贝尔特拉米（Ｅ．Ｂｅｌｔｍｍｉ）给出罗氏几何的直观解释．说明罗氏平面可以看作负常数曲率的曲面。
，１８７１年．克莱因建立了射影度量和非欧几何的关系。
他指出．欧氏几何和罗氏几何都可用射影方法构造ｍ来。
１８８２年，庞加莱给出了一种模型：取圆的内部作为罗氏平面．把垂直于已知圆周的圆弧看作罗氏几何的直线，运动是把圆变为自身的反演。
这是现代经常使用的非欧几何在欧氏平面上等距实现的模型。
，这么多杰出的数学家参与几何代数和几何模型的研究，关注莱布尼茨宏伟设想的具体实现，充分说明这・数学课题的重要性。
迟缓的进展表明。
几何代数和几何计算的研究面对的道路将是艰难而漫长的。
非欧几何问世的前前后后相继产生＿ｒ多种几何。
各类儿何也出现了相应的几何代数语言。
如今．人们将射影几何、仿射几何、欧氏几何、罗氏几何、球几何等几何统称为经典几何。
对几何代数化而占，自然的问题是能否建立一种几何代数语言．可用于经典几何的统一表示，使得此类几何代数语言的运算结果同时在不同的几何中都具有明确的几何解释．亦即同一个几何计算的结果，在各类不同的几何之中具有相应的几何意义，代表着相应的几何结论。
这是实现几何计算代数化必须面对的新挑战。
几何代数语言对于最常用的经典几何，如何设计统一的几何语言，如何应用儿何语言进行几何计算呢？应用代数方法进行几何计算，需要通过三个步骤。
建模给出几何的代数表示。
同一个几何问题可以有各种备样的代数表示。
所谓用“真正的几何语言”直接进行几何计算，就要求代数表示没有任何外部参照物。
计算建立代数处理的算法。
要求给出的代数表示能够实现几何不变量代数的高效计算。
还原代数结果的几何解释。
要求给出的代数表示在计算过程中和得到的计算结果能够做出明确的几何解释。
数学初中二年级上册第五章解析几何的认识与运算
数学初中二年级上册第五章解析几何的认识与运算解析几何的认识与运算数学是一门抽象而又具体的学科，它不仅仅是一种工具，更是一种思维方式。
在数学的学习过程中，解析几何是一门重要的学科，它既具有几何学的形象性，又有数学的抽象性，是数学与几何学的有机结合。
本文将对初中二年级上册的解析几何进行探讨与研究。
一、解析几何的概念解析几何是利用代数的方法研究几何问题的一门学科。
它是通过建立坐标系，并利用坐标系中的点、向量、直线等元素，来研究几何图形的性质和关系。
解析几何的基本概念包括点、直线、向量、坐标系等。
1.1 点点是解析几何的基本元素，它在坐标系中由一组有序的实数表示。
例如，点A的坐标表示为(Ax, Ay)，其中Ax和Ay分别表示点A在X 轴和Y轴上的坐标值。
点是解析几何中的基本单位，其他几何元素如直线、向量等都是由点组成的。
1.2 直线直线是解析几何中的一个重要概念，它可以通过两个点确定。
在坐标系中，直线可以用一元一次方程的形式表示，即y = kx + b。
其中k为直线的斜率，b为直线的截距。
直线的斜率表示了直线在坐标系中的倾斜程度，截距表示了直线与Y轴的交点。
1.3 向量向量是解析几何中的另一个重要概念，它表示了从一个点到另一个点的方向和大小。
在坐标系中，向量可以用两个点的坐标表示，例如向量AB可以表示为向量→AB = (Bx-Ax, By-Ay)。
向量的大小可以通过求模运算得到，即|→AB| = √((Bx-Ax)^2 + (By-Ay)^2)。
1.4 坐标系坐标系是解析几何的基本工具，它用于确定几何元素在平面上的位置。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系是利用X轴和Y轴构成的，通过指定点的X轴和Y轴坐标值来表示点的位置。
极坐标系是利用极径和极角来表示点的位置，极径表示点到原点的距离，极角表示点到X轴的连线与X轴正方向的夹角。
二、解析几何的运算解析几何的运算是指对几何图形的代数处理和计算。
主要包括平移、旋转、缩放和镜像等运算。
图形与几何知识点整理
图形与几何知识点整理图形与几何是数学中一个重要的分支，涵盖了平面图形、立体图形以及相关的几何运算等内容。
在学习图形与几何的过程中，了解各种图形的特征和性质，以及掌握相关的几何知识点，将有助于我们更深入地理解和应用几何学。
本文将对常见的图形与几何知识点进行整理和总结。
一、平面图形平面图形是由二维空间中的点和线段组成的几何图形。
常见的平面图形包括点、线段、直线、射线、角、多边形等。
下面将对它们进行详细介绍。
1. 点：点是平面图形中最基本的元素，没有长度、宽度和高度。
它用一个大写字母表示，如点A、点B等。
2. 线段：线段是由两个不同点A和B所确定的，有长度的线段。
线段AB可以用记号"AB"来表示。
3. 直线：直线是由无数个点按照同一方向延伸得到的，没有长度的线段。
直线上的点可以用大写字母表示，如直线l。
4. 射线：射线是由一个起点和一个无限延伸方向上的点所确定的，没有长度的线段。
射线的起点用大写字母表示，如射线OA。
5. 角：角是由两条不共线的线段所确定的图形。
角的度量单位可以用度、弧度等。
根据角的大小，可以分为锐角、直角、钝角等。
6. 多边形：多边形是由若干条线段首尾相接而成的图形。
根据边的数量和长度，可以分为三角形、四边形、五边形等。
二、立体图形立体图形是具有长度、宽度和高度的几何图形，包括球体、圆柱体、圆锥体、棱柱体和棱锥体等。
下面将对它们进行详细介绍。
1. 球体：球体是一个几何体，其上的所有点到球心的距离都相等。
球体有体积和表面积，分别用V和S表示。
2. 圆柱体：圆柱体是由一个底面为圆的平面封闭图形和一个与底面平行的曲面相连而成的几何体。
圆柱体有体积和表面积，分别用V和S表示。
3. 圆锥体：圆锥体是由一个底面为圆的平面封闭图形和一个顶点相连而成的几何体。
圆锥体有体积和表面积，分别用V和S表示。
4. 棱柱体：棱柱体是由若干个相等的侧面和底面为多边形的平面图形组成的几何体。
棱柱体有体积和表面积，分别用V和S表示。
初中数学中的几何知识有哪些
初中数学中的几何知识有哪些在初中数学中，几何知识是非常重要的一部分，涵盖了许多基本概念、定理和计算方法。
本文将为大家详细介绍初中数学中的几何知识。
一、平面几何平面几何是几何学的一个重要分支，主要研究平面内的图形性质、空间位置关系等。
1. 点、线、面在平面几何中，最基本的概念是点、线和面。
- 点是没有大小和形状的，用大写字母表示，如A、B、C等。
- 线是由无数个点组成的，只有长度，没有宽度，用小写字母表示，如a、b、c等。
- 面是由无数个线组成的，有长度和宽度，用大写字母表示，如ABC、DEF等。
2. 直线与曲线直线是最简单的曲线，它没有拐点，一直延伸下去。
而曲线则有许多拐点，形状各异。
3. 线段与射线线段是直线上的两个点及其之间的部分，表示为AB。
射线是直线上的一个端点和该直线上的所有点所组成的部分，表示为→AB。
4. 直角、钝角与锐角直角是两条相互垂直的线段的夹角，通常表示为∠ABC=90°。
钝角是大于90°但小于180°的角，通常表示为∠ABC>90°。
锐角是小于90°的角，通常表示为∠ABC<90°。
5. 三角形三角形是由三条线段组成的图形。
按照边长的关系，可分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
- 等边三角形的三条边相等，三个角都为60°。
- 等腰三角形的两条边相等，两个底角也相等。
- 一般三角形三边和三角都不相等。
6. 四边形四边形是由四条线段组成的图形，按照边长和角的关系，可分为矩形、正方形、平行四边形等。
7. 圆的基本概念圆是一个平面内到定点的距离恒定的点的轨迹。
二、立体几何立体几何是几何学的另一个重要分支，主要研究立体图形的性质和计算。
1. 立体图形的投影通过在不同平面上的投影可以得到不同形状的图像。
常见的投影有平面投影、正交投影和透视投影等。
2. 三棱柱与四棱柱三棱柱是由一个三角形与三个平行的线段组成，两底面相等且平行。
数学运算的基本概念
数学运算的基本概念数学是一门基础学科，它涉及到各种各样的运算。
运算是数学中非常重要的概念，它们是解决问题和推理的关键。
本文将介绍数学运算的基本概念，包括算术运算、代数运算和几何运算。
一、算术运算算术运算是最基本的数学运算，它包括加法、减法、乘法和除法。
这些运算符号分别表示为“+”、“-”、“×”和“÷”。
1. 加法：加法是将两个或多个数值相加得到它们的和。
例如，2 + 3 = 5。
2. 减法：减法是从一个数值中减去另一个数值得到它们的差。
例如，5 - 3 = 2。
3. 乘法：乘法是两个数值相乘得到它们的积。
例如，2 × 3 = 6。
4. 除法：除法是将一个数值除以另一个数值得到它们的商。
例如，6 ÷ 3 = 2。
二、代数运算代数运算是用代数表达式来表示数学关系和运算。
它包括了字母、数字和运算符号。
1. 代数表达式：代数表达式由数字、字母和运算符号组成，它们可以表示数学关系和运算。
例如，3x + 2y - z。
2. 代数运算：代数运算是对代数表达式进行数学运算，包括加法、减法、乘法和除法。
例如，对于表达式3x + 2y - z进行加法运算时，需要将相同的项合并，并保留同类项。
另外，对于乘法和除法运算，需要使用乘法和除法法则。
三、几何运算几何运算是通过几何图形进行的运算，包括长度、面积、体积和角度的计算。
1. 长度运算：长度运算是通过测量几何图形的边长来计算其长度。
例如，测量一条线段的长度。
2. 面积运算：面积运算是通过测量几何图形的边长或者使用特定的公式来计算其面积。
例如，计算一个矩形的面积可以使用公式A = 长 ×宽。
3. 体积运算：体积运算是通过测量几何图形的边长或者使用特定的公式来计算其体积。
例如，计算一个长方体的体积可以使用公式V = 长 ×宽 ×高。
4. 角度运算：角度运算是通过测量角的大小来计算其度数。
例如，测量一个角的度数。
数学课几何基础
数学课几何基础在学习数学的过程中，几何是一个非常重要的分支。
几何学以空间和形状为研究对象，通过推理和证明，探索各种几何性质和定理。
本文将介绍数学课上关于几何基础的内容，帮助读者更好地理解和应用几何知识。
一、几何基本概念几何学中有一些基本概念是我们在学习几何时需要了解的。
首先是点、线和面的概念。
点是几何学的基本单位，它没有大小和形状。
线由无限多个点组成，线没有宽度，只有长度。
面是由无限多条线组成的，面有长度和宽度。
在几何学中，我们还需要了解边、角和多边形的概念。
边是连接两个点的线段，角是由两条线段的端点组成的，它可以用来衡量两条线段之间的夹角。
多边形是由多个线段连接而成的，其中最常见的是三角形和四边形。
二、几何图形的分类在几何学中，图形可以根据它的属性和特征进行分类。
最常见的几何图形分类有以下几种：1. 点、线和面：点是几何图形的基本单位，线由多个点连接而成，面是由多个线段闭合形成的。
2. 二维图形：二维图形是指面积有限的图形，例如矩形、正方形、圆等。
3. 三维图形：三维图形是指具有长度、宽度和高度的图形，例如立方体、圆柱体、金字塔等。
4. 同位图形：同位图形是指具有相同形状但大小不同的图形，例如相似三角形。
5. 共圆图形：共圆图形是指所有的图形都与同一个圆相切或相交。
三、几何运算在几何学中，我们可以通过一系列的几何运算来研究和解决各种几何问题。
几何运算包括以下一些基本操作：1. 直线的垂直平分线：通过一个点，可以画出与已知直线垂直且平分已知直线的直线。
2. 两条直线的交点：当两条直线相交时，它们会在一个点上相交，我们称之为交点。
3. 两条平行线的切线：当两条平行线之间有一条直线与之相交时，与这两条平行线相交的线段称为切线。
4. 线段的垂直平分线：通过一个线段，可以画出与该线段垂直且平分该线段的线段。
以上仅是几何运算的一小部分，通过这些运算我们可以更好地理解几何图形之间的关系，解决各类几何问题。
四、几何定理与性质在几何学中，有很多重要的定理和性质可以帮助我们解决各种几何问题。
数学几何运算公式
数学几何运算公式几何学是数学的一个重要分支，研究空间的形状、大小以及它们之间的关系。
几何学可分为平面几何和立体几何两个方面。
在几何学中，运用丰富的公式可以帮助我们解决各种几何问题。
本文将介绍一些常用的数学几何运算公式。
一、平面几何运算公式1. 点积公式：点积是向量运算中的一种运算，表示两个向量之间的夹角关系。
设A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)是平面直角坐标系中的两个点，则点积公式为：AB = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)2. 向量差公式：向量差是指将一个向量的终点与另一个向量的起点相连得到的向量。
设A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)是平面直角坐标系中的两个点，则向量AB的坐标表示为：AB = (x₂-x₁, y₂-y₁)3. 中点公式：中点是指连接线段两个端点的中垂线与线段的交点。
设A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)是平面直角坐标系中的两个点，则线段AB的中点的坐标表示为：M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)4. 距离公式：距离是指两点之间的直线距离，也叫作线段的长度。
设A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)是平面直角坐标系中的两个点，则线段AB的长度为：AB = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)二、立体几何运算公式1. 体积公式：体积是指立体图形所包围的三维空间的容积大小。
不同立体图形的体积计算公式各不相同，下面是一些常见立体图形的体积计算公式：- 立方体的体积公式：V = a³，其中a为立方体的边长。
- 圆柱体的体积公式：V = πr²h，其中r为底面半径，h为高。
- 圆锥体的体积公式：V = (1/3)πr²h，其中r为底面半径，h为高。
2. 表面积公式：表面积是指立体图形表面所覆盖的面积大小。
不同立体图形的表面积计算公式各不相同，下面是一些常见立体图形的表面积计算公式：- 立方体的表面积公式：S = 6a²，其中a为立方体的边长。
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5 几何运算Geometry operations5.0图象坐标的变换，改变空间位置（分布）⎩⎨⎧==),('),('y x Y y y x X x5.1二维几何变换：平移、旋转、比例p87 5.2 坐标映射和插值p84- p86, p151 5.3 快速算法p87-885.4三维几何变换和透视变换：平移、旋转、比例、透视p88-91 5.5图象剪贴操作p861．镜象（Mirror ） 2.垂直镜象 3. 转置(Transpose)⎩⎨⎧=-=yy xN x ''⎩⎨⎧-==yN y xx ''⎩⎨⎧==xy yx ''4. 90︒旋转（Rotation ）5. 180︒旋转⎩⎨⎧=-=xy yN x ''⎩⎨⎧-=-=yN y xN x ''5．1 2D Geometry Transformation奇次坐标关系：（正变换，逆变换） （1） S caling(Zoom in/ out)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1''10100011110010001''y x s s y x y x s s y x y x y x y s y x s x y x ==⇒','y x s s ,取值：1）>=1 放大（zoom in ） 2) <=s<=1 缩小（zoom out ） 3) <0, e.g. s=-1 镜像（mirror ） （2） T ranslation图象平移y x t t --,，（坐标轴平移y x t t ++,）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1''10010011110010011''y x t t y x y x t t y x y x y x y x t y y t x x -=-=⇒','（3） R otation图象顺时针旋转α，（坐标轴逆时针α）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000cos sin 0sin cos 111000cos sin 0sin cos 1''ααααααααy x y x y x（4） 组合矩阵yx y x t t s s , ,,α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1k h g f ed c b 1''y x a y x ，刚体运动下g=h=0,k=1 一般情况下不同变换不可交换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11''222222222111111111y x k h g f e d c b a k h g f e d c b a y x （1） 平移+平移可交换，旋转+旋转可交换（2） 平移+平移不可交换，平移+比例不可交换 （5） 特例：1） 镜象（mirror ）变换⎩⎨⎧-==yN y xx ''2） 转置（transpose ）⎩⎨⎧==x y yx ''问题：能否用一般平移、旋转、比例表示？5.2 坐标映射和插值、特点：生成一张逐点的2D 图象⎩⎨⎧==),('),('y x Y y y x X x 已知： I(x,y),在整数坐标上的灰度值生成新图象：将(x,y) 处的灰度值移到新的坐标处(x', y'), 但(x', y')不一定是整数值如： x'=1.2x, y'=1.2y问题：将(x,y)处的灰度值放在何处？法1 重采样(Re-sampling)需生成区域，将非整数坐标(x', y')生成的2D 网络重新按整数坐标采样。
通过插值方法生成新的坐标点（整数坐标）（复杂） 法2 逆变换（Inverse Transformation ）⎩⎨⎧==)','('')','(''y x Y y y x X x 已知：原图象：整数坐标()i i y x ,下灰度值过程：新图象：给定一整数值坐标(x', y')⇒原图象坐标(x,y) (x,y)不一定是整数，但必落在一整数网格中，插值求出其上灰度。
原图象网格插值方法(interpolation)1． 最近邻插值（Nearest Neighborhood Interpolation. NNI ）),()','(),),()','(int int int int y x I y x Iy xy x y x old new =⇒⇒⇒赋值取整逆变换（问题：有失真（放大时只重复复制，缩小时只是扔掉一些象素）2． 线性插值（Linear Interpolation ）• 一维情况下： 已知 21,x x 处灰度21,g g ，求3x 处灰度3g 11312123)(g x x x x g g g +---=2D 情况下双线性插值：已知正方形网格上四点灰度，求P 点灰度。
法1 （1） 在Y 方向线性插值。
P Q y y = A A Q AB AB Q g y y y y g g g +---=)(同理求出⎩⎨⎧==?R PR g y y（2） 在X 方向插值,,A Q C R x X x x ==R R p QR Q R p G x x x x g g g +---=⇒)(法2 双线性插值方程：g(x,y)=ax=by+c*y+d step1. 由A ，B ，C ，D 四点g(x,y)求出a , b, c, dstep2. ),(,),(y x g ABCD y x ⇒∈∀由上式求出3． 曲线插值（curvilinear Interpolation ） 二次插值：已知(x,y)一维情况下 （1） 求三点坐标⎪⎩⎪⎨⎧+=-==11)int(23212x x x x x x （2） 计算210,,v v v21,02210,3,2,1,v v v i x v x v v g i i i ⇒=++=（3） 求220x v x v v g x ++=5．3快速算法（2D geometric transformation ）特点：逐点计算、逐行扫描 （1） 决定新象素到旧象素的变换矩阵由逆变换下的平移、旋转、比例组合而成：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1''1001y x f e d c b a y x （2） 选择一合适的插值算法（3） 逐行扫描生成新图象step1. 对第i 行，求第j 列的旧坐标)1,,1,0)(,(-=N j y x ij ij⎪⎩⎪⎨⎧==++-+=++===++-+=++=--ey e f j d di f ej di y b x b c j b ai c bj ai x j ij j ij 11)1()1( 每点只需2个加法 where 每行起点：⎪⎩⎪⎨⎧+=++-=+=+=++-=+=--dy d f i a f di y a x a c i a c ai x i i i i 0,100,10)1()1( 也只有两个加法。
Step2. 插值：),(),(ij ij dd new y x I j i I =5．4 三维几何变换和透视变换；图象变形T Z Y X R Z Y X i i i +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211r r r r r r r r r R ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x t t t T透视变换：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i i i i i i i i Z Y F Y X F y x ,),( ,X Y Z x y i i i i i ,,,---物体点的三维空间坐标，相应点的图象坐标（1） T =0时，纯旋转：X r X r Y r Z Y r X r Y r Z Z r X r Y r Z211112113122112212312311321331=++=++=++⎧⎨⎪⎩⎪ 同理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=++++==++++=++++==133132131123122121213313213112312212122222133132131113112111213313213111311211122222F r y r x r F r y r x r F Z r Y r X r Z r Y r X r F Z Y F y F r y r x r F r y r x r F Z r Y r X r Z r Y r X r F Z X F x 化简得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=++++=3121131211231211312112E y E x E D y D x D y E y E x E C y C x C x （1）不妨设13=E 则一对点可提供2个方程，8个未知数四个点可解之。
（2） T ≠0，拍摄对象为平面，同样有（1）式的关系，4对点可完全决定一摄影变换。
(3) 围绕坐标轴旋转的情况当沿命名轴向原点看去时，旋转以绕这轴的顺时针方向测定（坐标沿逆时针） 沿X 轴以α角旋转 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110000cos sin 00sin cos 000011'''Z Y X Z Y X αααα 绕Y 轴以β角旋转 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11000cos 0sin 00100sin 0cos 1'''Z Y X Z Y X ββββ绕Z 轴以γ角旋转 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11000010000cos sin 00sin cos 1'''Z Y X Z Y Xx γγγγ问题：1． 顺序能否交换？（绕同一轴√；绕不同轴X ） 2． 如何求逆交换（变换矩阵转置即可） (4) 平移：比例 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11000000001'''Z Y X t s t s t s Z Y X z z y y x x(5) 透视：x y f X Z f Y Z ⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪齐次表示：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10100010000100001Z Y X fh z y x),,,(),,,(fZ Z Y X h z y x =⇒ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⇒11)1,,,(fZY fZX f h z hy hxf v u从不同角度观看一平面的算法已知： 从一个视角11,T R 和焦距1F 下平面物体的图象1I 求：从另一个视角22,T R 和焦距2F 下平面物体的图象2IX Y Z X Y Z x y F i i i i i i ,,,,,--------------参考坐标系，摄像机坐标系，图象坐标系，摄像机焦距，设： 物体为平面并使参考坐标系的Z 平面与此平面重合，即平面的Z 坐标为0。