1证明 实数 域和复数域不存在其它 的数 域
复数域是代数封闭域的证明
复数域是代数封闭域的证明我们知道，代数封闭域是指任何代数方程都能在其中有解的域。
如果我们考虑一个复数域，也就是由实数和虚数构成的域，那么它满足以下条件：1. 对于任何a,b\in\mathbb{C}，a+b和ab都是复数；2. 复数域是有序域，也就是说，任何两个复数都可以比较大小；3. 复数域存在无理数，也就是说，存在实数x，使得x^2<0。
由以上条件，我们可以证明复数域是代数封闭的：首先，对于任何代数方程P(x)=0，其中P(x)是一个多项式，我们可以将x表示为实部和虚部的形式：x=a+bi，其中a,b\in\mathbb{R}。
因为我们知道实数域是代数封闭的，所以P(a+bi)=0一定有解。
接着，我们考虑当b\neq 0时，a+bi与a-bi都是方程P(x)=0的解，因为它们互为共轭复数，即P(a+bi)=0时，P(a-bi)=0一定成立。
因此，我们可以把多项式P(x)表示成以下形式：P(x)=(x-(a_1+b_1i))(x-(a_1-b_1i))\cdots(x-(a_n+b_ni))(x-(a_n-b_ni))Q(x)其中a_i,b_i\in\mathbb{R}，Q(x)是一个没有实数零点的多项式。
因为x= a+bi 可以满足方程P(x)=0，所以至少存在一个括号(x-(a_i+b_i))或(x-(a_i-b_i))满足(a_i+b_i)x+(a_i-b_i)\overline{x}=C，其中C\in\mathbb{R}是一个常数。
因此，我们可以令x=\frac{C-(a_i-b_i)\overline{x}}{a_i+b_i}，得到一个实数解。
最后，由于Q(x)没有实数零点，所以Q(x)本身就在复数域中有解，因此我们可以得到，任何代数方程在复数域中都有解。
因此，我们可以证明复数域是代数封闭的。
代数基本定理
n(n−1) 2
=
2n−1q(2kq − 1)
=
zk−1q′ ,
其中
q′
=
q(2kq − 1)
为奇数。
在环 P [x] 中组成用这些元素 βij 为根且只用它们做根的多项式 g(x)：
∏ g(x) = (x − βij).
i<j
g(x) 的系数为 βij 的初级对称多项式，由（1）式知，它们是 α1, α2, ..., αn 的实系数对称多项式。 由对称多项式基本定理，多项式 g(x) 的系数是所给 f (x) 的系数的多项式（f (x) 系数为实数），故仍
2) 假设小于等于 k-1 时，命题成立。 设 P 为实数域上多项式 f (x) 的分裂域，且设 α1, α2, ..., αn 为域 P 中 f (x) 的根。选取 ∀c ∈ R, 且取 出域 P 中形如下列的元素：
βij = αiαj + c(αi + αj), i < j
(1)
元素
βij
的个数为
θ∈[0,2π]
在 Ω 内为常数。即 |f (z)| 在 Ω 内无局部最大模，除非 f (z) 恒为常数。
Theorem 3.2. （代数基本定理）n 为正整数，P (z) = zn + an−1zn−1 + ... + a1z + a0, 其中 ai ∈ C, i = 0, 1, ..., n − 1. 则 P (z) 至少有一个根。
+
ζ) |
≤
|1
+
C eiθ ζ l |
+
D|ζ |l+1
=
|1
−
C λl |
+
复数域和实数域的关系
复数域和实数域的关系当我们学习数学时，经常会遇到复数和实数的概念。
复数域和实数域是数学中两个重要的数域，它们在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
本文将探讨复数域和实数域之间的关系。
我们来介绍一下复数和实数的概念。
实数是我们日常生活中常用的数，包括整数、有理数和无理数等。
它们可以在数轴上表示，并且可以进行加减乘除等基本运算。
而复数则是由实数和虚数单位i组成的数，其中虚数单位i是一个满足i²=-1的数。
复数可以用a+bi 的形式表示，其中a是实数部分，bi是虚数部分。
复数域是由所有的复数组成的集合，记作C。
实数域是由所有的实数组成的集合，记作R。
可以看出，实数是复数的一个特例，也就是说实数是复数的一种特殊形式。
在复数域中，实数可以看作虚数部分为0的复数。
虽然实数是复数的一种特殊形式，但复数和实数在数学中有着不同的性质和应用。
首先，复数域是一个扩充了实数域的数域。
在实数域中，方程x²=-1没有解，而在复数域中，我们可以用i来表示这样的解。
这样的解对于解析几何和代数等领域有着重要的应用。
复数域具有良好的代数性质。
在复数域中，我们可以进行加减乘除等基本运算，并且满足交换律、结合律和分配律等运算规则。
这些性质使得复数域成为一个重要的数学工具，在解决实际问题中起到了重要的作用。
复数域还与实数域有着紧密的联系。
在数学中，我们常常将复数表示为实部和虚部的形式，即a+bi。
实部表示复数的实数部分，虚部表示复数的虚数部分。
通过实部和虚部的运算，我们可以将复数域中的运算转化为实数域中的运算，从而更好地理解和应用复数。
在物理学中，复数域也有广泛的应用。
例如，在电路分析中，复数可以用来表示交流电的大小和相位差。
在波动光学中，复数可以用来描述光的振幅和相位。
这些应用都是基于复数域和实数域之间的关系，通过将复数转化为实数的形式，进而进行具体的计算和分析。
复数域和实数域之间存在着密切的关系。
实数可以看作是复数的一种特殊形式，在复数域中可以进行更加广泛和丰富的数学运算。
第一讲 多项式
第一讲 多项式一、数域的判定 1、数域的概念设P 是至少含有两个数（或包含0与1）的数集，如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍是P 中的数，则称P 为一个数域。
2、常见的数域有理数域Q ，实数域R 和复数域C 。
3、数域的有关结论（1）所有的数域都包含有理数域Q ，即有理数域是最小的数域；（2）在有理数域Q 与实数域R 之间存在无穷多个数域；在实数域R 与复数域C 之间不存在其他数域。
要求准确掌握数域的定义，能用定义正确判断一个数集是不是一个数域，能用定义推导数数域的性质。
例1、设P 是一个数集，有一个非零数a P ∈，且P 关于减法，除法（除数不为0）封闭，证明P 是一个数域。
例2、下列各数集是否构成数域？说明原因。
（1）{}1,P a a b Q =+∈；（2）{}2,P a b Q =+∈。
例3、证明：实数域和复数域之间不存在其他的数域。
二、一元多项式的概念 1、一元多项式的概念 形式表达式()1110n n n n f x a x a x a x a --=++++称为数域P 上文字x 的一元多项式，其中01,,,n a a a P ∈ ，n 是非负整数。
当0n a ≠时，称多项式()f x 的次数为n ，记为()()f x n ∂=或()()deg f x n =，并称n n a x 为()f x 的首项系数。
i i a x 称为()f x 的i 次项，i a 称为()f x 的i 次项系数。
当10n a a === ，00a ≠时，称多项式()f x 为零次多项式，即()()0f x ∂=；当100n a a a ==== 时，称()f x 为零多项式。
零多项式是唯一不定义次数的多项式。
注：这里多项式中的x 看作一般的文字或符号，它可以是变数（中学讲述的多项式即为如此），也可以是矩阵、线性变换等，具有更一般的意义。
这里把多项式看成一种形式上的表达式（中学数学将多项式看成一类函数），其中的“+”号并不意味着“加”， i i a x 也并不意味“乘”和“乘方”。
浅谈实基本初等函数和复基本初等函数的性质
丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌保山学院学报浅谈实基本初等函数和复基本初等函数的性质袁远（滁州城市职业学院教育系，安徽滁州239000）[摘要]研究对实变量和复变量中的基本初等函数的性质进行了比较，并对给出的性质加以了证明，并通过图像对比从而更直观地理解其性质。
[关键词]基本初等函数；实数量；复数量[中图分类号]O13[文献标识码]A doi:10.3969/j.issn.1674-9340.2020.05.009 [文章编号]1674-9340（2020）05-043-06在数学教学中，函数从中学就开始学习一直延伸到大学，它在数学中的地位非常重要，基本初等函数是函数的重要组成部分。
秦涛等人通过复变量对数函数的基本性质证明了Ln z(1/n)≠(1/n)Ln z的关系中α不是(1/n)的任何复数[1]。
同时，基本初等函数不仅只定义在实数域中，其定义域也可延拓到复数域中[2]。
翟羽比较了复变量函数与实变量函数性质，进行了较为详细的归纳总结[3]。
此外，复变量在三角函数中同样也有相应的应用。
白淑珍等人利用级数与欧拉公式给出了复变量三角函数的级数定义，并提出相关的例子证明正弦、余弦函数的性质[4]。
然而，复基初等函数的许多概念、理论和方法是实数域中的基本初等函数在复数域内的推广和发展。
1不同函数性质比较1.1指数函数性质比较实指数函数的定义域为全体实数域，值域为(0,+∞)，而复指数函数的定义域为整个复平面，值域为e z≠0的复平面。
对于实指数函数z=x+iy，当z=x(y=0)时，实指数函数和复指数函数的定义是一致的。
即e z就是实指数函数。
实指数函数无周期，而复指数函数是以2πi为基本周期的周期函数。
下面证明复指数函数是以2πi为基本周期的周期函数。
证明：设z=x+iy，则e z+2kπi=e x+(y+2kπ)i=e x［cos(y+2kπ)+i sin(y+2kπ)］=e x(cos y+i sin y)=e z(k=0,±1,±2,…)。
复数域和实数域的关系
复数域和实数域的关系复数域和实数域是两个不同的数学概念，但它们之间存在着密切的关系。
在本文中，我们将探讨复数域和实数域之间的关系，并介绍一些相关概念和定理。
首先，我们来回顾一下复数的定义。
一个复数可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位。
虚数单位定义为 i^2 = -1。
根据这个定义，我们可以得出一些基本的性质：1. 任何实数都可以表示为 a+0i 的形式；2. 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等；3. 复数加法和乘法都满足交换律、结合律和分配律。
接下来，我们来看看复数域和实数域之间的关系。
实际上，复数域包含了实数域。
也就是说，每一个实数都可以看作是一个形如 a+0i 的复数。
因此，在某种意义上说，实数域是复数域的一个子集。
然而，这并不意味着两者完全相同。
事实上，在复平面上，我们可以将每一个复数表示为一个点。
而对于实轴上的点，则只有一维坐标（即实部），而对于虚轴上的点，则只有一维坐标（即虚部）。
因此，实数域可以看作是复平面上的一个直线，而复数域则是整个平面。
这种区别在数学中有着重要的意义。
例如，在解析几何中，我们通常使用复数来表示向量。
这是因为复数可以表示为模长和幅角的形式，而模长和幅角分别对应向量的长度和方向。
因此，使用复数可以更方便地进行向量运算。
另一个重要的概念是共轭复数。
对于一个形如 a+bi 的复数，它的共轭复数定义为 a-bi。
显然，如果一个复数是实数，则它的共轭复数就等于它本身。
共轭复数在求解方程、证明定理等方面都有着重要的应用。
最后，我们来介绍一些与实数域和复数域相关的定理。
其中最著名的定理之一就是欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)这个公式表明了指数函数和三角函数之间的关系，并且在许多领域都有着广泛的应用。
另外还有柯西-施瓦茨不等式、洛朗级数、拉格朗日插值等等定理，它们都涉及到实数域和复数域的概念，并且在数学中有着广泛的应用。
高等代数：数环与数域
又由Q是数域可知, Q( )是一个数域.
数域的充要条件
设K是一个含有不等于0的数的数集, 则K作为一个数
域的充要条件是：K中任两个数的差与商(除数不为0)
仍属于K.
证：由定义可得其必要性. 再证充分性：
任取a, b∈K, 若K中任两个数的差与商仍属于K, 则
a-a=0∈K, 0-b= -b∈K,
从而a+b=a-(-b)∈K,
又当b≠0时, b/b=1∈K, 1/b∈K,
从而ab=a/(1/b)∈K, ∴K是一个数域.
用充要条件证明
一个数集是数域
证明：数集Q(i)={a+bi, a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+bi≠0.
任取α,β∈Q(i), 令α=a+bi, β=c+di, (a,b,c,d∈Q)
(2)数域的含义中包含除法, 数环则不包含;
是数环, 但数环不一定是数域.
如{0}与Z都是数环, 但都不是数域.
用定义证明
一个数集是数域
证明：数集Q( )={a+b , a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+b ≠0.
任取α,β∈Q( ), 令α=a+b , β=c+d , (a,b,c,d∈Q)
数环与数域
数环的概念
设S是一个非空数集, 如果S中任意二数的和,差,积仍属于
S, 则称S是一个数环.
例如：整数集是一个数环，称为整数环；
全体偶数(包括负数)也是一个数环，称为偶数环；
数集{0}本身就是一个数环.
想一想：全体奇数是一个数环吗？
{a|a∈R且a≠0}呢？
数域的概念
设K是一个含有不等于０的数的数集. 如果K中任意
初等数学研究第三讲
n na b
即n
性质3 实数集具有连续性（数学分析中已证明） 性质4 实数是不数集
二、复数域
1、复数的概念（矩阵）
定理：复数集C关于它的加法和乘法构成复数 域。
2、复数的代数形式 1）、复数的代数形式 a bi(a, b R) 叫做复数的代数形式。虚部不为 零的复数叫做虚数，实部为零的虚数叫做纯虚数。 2）、共轭复数
实数的乘法运算
对于 , R
有n n n n
则
注：正实数的积唯一
实数的除法运算
x,
x
注：正实数的商唯一 两个负实数，正、负实数以及正负实数 与零的四则运算按有理数数集中的相关规定 进行。
b、正实数的开方 定理 对于a R , 存在唯一的x R ，
第三讲
实数域和复数域
一、实数域
1、无理数的引入 1）证明 2 不是有理数。 2）可 2 为无限不循环的小数。
2、无理数的概念 无限不循环的小数叫做无理数 3、实数及其顺序 1）、实数的概念 a、正实数：十进位小数叫做正实数 b、负实数：对于每一个正实数 ，有一个新元 素 与其对应，满足 ( ) ( ) 0 c、正实数和负实数统称为实数。
2）、实数的顺序
3、退缩有理闭区间序列 1）、区间套定义：
4）、实数的运算 a、实数的四则运算 实数的加法运算（减法运算 , x,
x
n
）
对于 , R
有
n n n
则
定理：正实数 与 的和是唯一的。 正实数的加法运算满足交换律和结合律。
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25. 设 p ( x ) 为数域 P 上的次数大于零的多项式。证明：如果 p ( x ) 对任意多项式 f ( x ) ，或
p ( x ) | f ( x ) 或 ( p ( x ), f ( x )) = 1 ，则 p ( x ) 为 P 上的不可约多项式 。
26. 设 P[ x ] 为数域 P 上全体多项式的集合， a 为一复数。证明：数集 P[ a ] 作成数域的充分 与必要条件是， a 为 P 上某个不可约多项式的根。 27. 设 多 项 式 f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + L + an −1 x + an , a0 ≠ 0, an ≠ 0 的 n 个 根 是
2） f ( x) = x − 3 x − 1, g ( x) = x − 2 。
5
17. 设 f ( x) = x + 2 x − 3 x + 4 x − 5 ，求 f (1 + i ) 及 f (1 − i ) 。
4 3 2
18. 问： m, p, q 满足什么条件时，有 1） x + mx − 1| x + px + q ；
∑ ( x − a ) F '(a ) 。
i =1 i i
n
f (ai ) F ( x)
32. 已知 1 − i 是方程 x 4 − 4 x 3 + 5 x 2 − 2 x − 2 = 0 的一个根，解此方程。 33. 已知方程 2 x 3 − 5 x 2 − 4 x + 12 = 0 有一个二重根，解此方程。 34. 证明：若 α ≠ ±1 是整系数多项式 f ( x ) 的整数根，则 35. 如果既约分数
2 3
2） x + mx + 1| x + px + q 。
2 4 2
19. 将 多 项 式 f ( x ) 写 成 f ( x ) = g 0 ( x ) + g1 ( x ) ⋅ x k + g 2 ( x ) ⋅ x 2 k + L + g t ( x ) ⋅ x tk ， 其 中
gi ( x)(i = 0,1,L , t ) 是 0 或者低于 k 次的多项式。证明： f ( x ) 被 x k − a k 除的余式是
3 5） P 5 = {a + b 2 | a, b为任意有理数} ；
6） P6 = {
2n | n为任意整数} ； 2n + 1
7） P7 = {a 5 | a为任意有理数} ； 8） P 8 = {全体非负有理数} 。 10. 设 m 是任意给定的正有理数。证明： 1）一切形如 x + y m ( x, y为任意有理数) 的数构成的集合 P 作成一个数域；
2） (6 −
1 x − 5 x 2 − x3 )97 (1 − 6 x 2 + 5 x 4 + 2 x 6 )99 的展开式中各项系数之和为 −2 。 2
15. 求用 g ( x ) 去除 f ( x ) 所得的商 q ( x ) 及余式 r ( x ) ； 1） f ( x) = x − 3 x − x − 1, g ( x) = 3 x − 2 x + 1 ；
4 3 2 3 2
2） f ( x) = x − x − 4 x + 4 x + 1, g ( x ) = x − x − 1 。
4 3 2 2
22. 证明：如果 ( f ( x ), g ( x )) = 1 ，则对任意自然数 m ，都有
( f ( x m ), g ( x m )) = 1 。
23. 证明： ( f ( x ), g ( x )) = 1 的充分与必要条件是
4 3 2 3 2
2） f ( x) = x − 4 x + 1, g ( x) = x − 3 x + 1 。
4 3 3 2
21. 对下列各题中的 f ( x ) 与 g ( x ) ，求 u ( x ), v ( x ) 使 u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) = ( f ( x ), g ( x )) 。 1） f ( x) = 4 x − 2 x − 16 x + 5 x + 9, g ( x) = 2 x − x − 5 x + 4 ；
f (1) f (−1) 与 都是整数。 α −1 α +1
q 是整系数多项式 p
f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + L + an −1 x + an
的根。证明：对任何整数 k ， pk − q 整除 f ( k ) 。 36. 求下列有理系数方程的有理根： 1） x 3 − 6 x 2 + 15 x − 14 = 0 2） x + x − 6 x − 14 x − 11x − 3 = 0
f ( x 2 ) − f ( x) f ( x + 1) = 0
的一切复系数多项式 f ( x ) 。 44．证明： x n −
1 1 可表为 y = x − 的实系数多项式的充分与必要条件是 n 为奇数。 n x x
f ( x) = x 3 + a1 x 2 + a2 x + a3
45．证明：实系数三次多项式
( f ( x ) g ( x), f ( x ) + g ( x)) = 1 。
24. 证明：若 ( s, n + 1) = 1 ，则多项式
f ( x) = x sn + x s ( n −1) + L + x s + 1
可被 g ( x) Байду номын сангаас x + x
n n −1
+ L + x + 1 整除，且其商的系数只能是 0或 ± 1 。
4 3 2
29. 判断下列多项式有无重因式： 1） f ( x ) = x − 5 x + 7 x − 2 x + 4 x − 8 ；
5 4 3 2
2） f ( x ) = x + 4 x − 4 x + 3 ；
4 2
3） f ( x ) = x − x − 3 x + 5 x − 2 ；
4 3 2
4） f ( x ) = x − 6 x − 3 x − 3 。
4 3
30. 证明：多项式 1） f ( x)1 + x +
n
x2 xn +L+ ； n! 2!
n −1
2） g ( x) = x + nx 没有重根。
+ n(n − 1) x n − 2 + L + n(n − 1) L 3 ⋅ 2 x + n !
a1 , a2 ,L, an 。求以下多项式的 n 个根：
1） g ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + L + a1 x + a0 ； 2） h ( x ) = a0 x n + a1bx n −1 + L + an −1b n −1 x + an b n 。 28. 如果 f ( x) = x − 3 x + 6 x + ax + b 能被 x 2 − 1 整除，求 a , b 。
2） P 是有理数域的充分与必要条件是， m 为一个有理数的完全平方。 11. 设 P = {a + b m | a, b为有理数,m =
3+ 5 } 。证明： P 作成一个数域。 2
12. 令 F 为包含一切形如 a + b 2 + c 3 + d 6 的数的集合，其中 a, b, c, d 为任意有理数。 证明： F 作成一个数域。 13. 证明：多项式
5 4 3 2
37．先求下列方程的有理根，再求其余各根： 1） 2 x 4 − 15 x 3 + 40 x 2 − 45 x + 18 = 0 ；
2） x 5 − 4 x 3 + 2 x 2 + 3 x − 2 = 0 。 38．设 p1 , p2 , L , ps 是 s 个互不相同的素数， n > 1 。证明： n p1 p2 L ps 是无理数。 39．证明：下列多项式在有理数域上不可约： 1） 5 x 4 − 6 x 3 + 12 x + 6 ； 2） x 6 − 10 x 3 + 2 ； 3） x 6 + x 3 + 1 ； 4） x 4 − 10 x 2 + 1 。 40．利用三次方程解的卡当公式，求下列多项式的根： 1） f ( y ) = y + 3 y + 27 y − 31 ；
F ( x ) = g 0 ( x ) + g1 ( x ) a k + g 2 ( x ) a 2 k + L + g t ( x ) a tk 。
20. 求下列各题中 f ( x ) 与 g ( x ) 的最大公因式：
1） f ( x) = x + x − 3 x − 4 x − 1, g ( x) = x + x − x − 1 ；
−a 也属于 F ；而且当 a ≠ 0 时， a −1 也属于 F ，则 F 必为一数域。
9. 下列各数集是否作成数域？ 1） P 1 = {a + b 3i | a, b为任意有理数} ； 2） P2 = {a + bi | a, b为任意有理数} ； 3） P 3 = {a + bi | a为任意有理数,b为任意实数} ； 4） P4 = {a + bi | a, b为任意整数} ；