复数域数学模型传递函数结构图
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复数域数学模型传递函数结构图
1 ejt e jt estdt 0 2j
1 1
1
2j
s
j
s
j
s2
2
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
6. 单位脉冲函数(函数)
(t)
函数的表达式为
O
t
(t)
0
t0 t0
且
(t)dt 1
1 e stdt 1 e st
0
s
0
1 [0 s
1]
1 s
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
2.单位斜坡函数
f(t)
数学表达式为
t t ≥0
f
(t
)
t
1(t
)
0
其拉氏变换为
t0
O
斜 率 =1
t
F (s) [L f (t )] f (t )estdt t estdt
此时，
d ƒs
dt
即零初始条件下，时域中的微分运算对等于复 数域中乘以s的运算。
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
3.积分定理
设F(s)=L
[f(t)]
，则有
L
f
(1) (t )
1 F(s) s
1 s
f (1) (0)
当 f (n)(0) L f (1)(0) 时的积分法则：
L
f
(n) (t )
1 sn
F(s)
机械控制工程基础第二章物理系统的数学模型及传递函数
数； 因为系统每增加一个独立储能元件，其内部 就多一层能量（信息）的交换。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
传递函数及方块图剖析
则G(s) = Uo s = RCS
(RC = T
K 1
Ui s RCS + 1
K = 1)
Gs k
4 积分环节
s
时间域方程
xo t k xi t dt
X o s
k
X i s
s
X o s X i s
k s
例9
i2(t)
i1(t) ui(t)
R
A
B
C
_
K0 +
uo(t)
ui (t) = -C duo (t)
传递函数及 典型环节的传递函数
一、传递函数定义：
在初始条件为零时，线性
定常系统输出象函数 Xo s与输 入象函数 Xi s 之比。
Gs
X o s Xi s
Xi s Gs Xo s
设线性定常系统的微分方程为：
a
0
xon
t
a1
x
n1
o
t
a
n1
x
o
t
a
n
x
o
t
b0
x
m
i
t
b1
x
m
i
1
t
bm 1
x i
t
则G(s) = Uo s =
1
Ui s RCS + 1
(RC = T)
例4
弹簧-阻尼系统
K
xi
t
xo
t
D
dxo
dt
t
KXi s KXo s DsXo s
Gs
Xo s Xi s
K Ds
K
D
1 s 1
K
Gs Ks
2-2 传递函数及方块图
2－2
传递函数
传递函数 是经典控制最基本，最重要的概念之一。 1. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变
换和输入量的拉氏变换之比。 设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：
L[c(t)] C(s) G(s) L[r(t)] R(s)
式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式 R(s)=L[r(t)]——输入量的拉氏变换式。 那么 C(s)=R(s)G(s) 控制系统的时间响应c(t)等于C(s)的拉氏反变换：
19
2－3
方块图
4、误差传递函数 a) 在控制量作用下系统的误差传递函数： 假设N(s)＝0，则
E ( s ) R( s ) C ( s ) H ( s ) C ( s) H ( s) 1 R(s) R( s ) R( s )
G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 1 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 G1 (s)G2 ( s) H ( s)
C(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
结论： 具有负反馈结构环节传递函数等于前向通 的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反 馈通道传变换方式 A +
原方块图 + B C + B + C A BC
等效方块图
A
+ + C
+ _
A BC
1
比较点交换
X1 (s) X 2 (s) C(s)
所以
G(s)
C(s) X 1 (s) X 2 (s) X 1 (s) X 2 (s) R(s) R(s) R(s) R(s)
G 1 (s) G 2 (s)
传递函数
传递函数 是经典控制最基本，最重要的概念之一。 1. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变
换和输入量的拉氏变换之比。 设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：
L[c(t)] C(s) G(s) L[r(t)] R(s)
式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式 R(s)=L[r(t)]——输入量的拉氏变换式。 那么 C(s)=R(s)G(s) 控制系统的时间响应c(t)等于C(s)的拉氏反变换：
19
2－3
方块图
4、误差传递函数 a) 在控制量作用下系统的误差传递函数： 假设N(s)＝0，则
E ( s ) R( s ) C ( s ) H ( s ) C ( s) H ( s) 1 R(s) R( s ) R( s )
G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 1 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 G1 (s)G2 ( s) H ( s)
C(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
结论： 具有负反馈结构环节传递函数等于前向通 的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反 馈通道传变换方式 A +
原方块图 + B C + B + C A BC
等效方块图
A
+ + C
+ _
A BC
1
比较点交换
X1 (s) X 2 (s) C(s)
所以
G(s)
C(s) X 1 (s) X 2 (s) X 1 (s) X 2 (s) R(s) R(s) R(s) R(s)
G 1 (s) G 2 (s)
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
控制系统的复数域数学模型
4）传递函数的拉氏反变 换就是系统的脉冲响应
5）令传递函数分子为零可求得系统的零点； , 令传递函数分母为零可求得系统的极点； ,
传递函数与结构图(P45)
R(s)
Φ(s)
C(s) (s ) R (s )
C(s)
1 Y(s) X(s) Ts 1
X(s)
1 Ts 1
Y(s)
R(s)•Φ(s)=C(s)
Y(s)
R(s)
Φ(s)
C(s)
Ts+1
X(s)
这样可以吗？
几个典型元件的传递函数(P51) 电机
d m ( t ) Tm m ( t ) K 1ua ( t ) K 2 M c ( t ) dt d m ( t ) Tm m ( t ) K m ua ( t ) K c M c ( t ) dt
封 面
制作人南京航空航天大学王凤如
xwfr01@
2-3目录
1、传递函数的定义和性质 2、传递函数的零点和极点 3、零点和极点对输出的影响 4、典型元部件的传递函数
传递函数的定义和性质(P45) 线性定常系统的传递函 数定义为：零初始条件 下， 系统输出量的拉氏变换 与输入量的拉氏变换之 比。
பைடு நூலகம்
电机控制的双容器液流系统(补充)
I(s) 输入信号
电机 阀门
Q1
Q2 Q3 输出信号
I(s) 输入信号
1 s5
Q1
1 Q2 s2
1 s3
Q3 输出信号
LC d 2 uo ( t ) dt 2 RC duo ( t ) uo ( t ) ui ( t ) dt
uo ( t ) 1 i ( t )dt C
自动控制原理课件第4次课 传递函数、结构图
• 一阶微分环节: G ( s ) s 1 • 振荡环节 : • 延迟环节
2 n 1 G( s) 2 2 2 T s 2Ts 1 s 2n s n 2
G ( s ) e s
哈尔滨工程大学自动化学院
20
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
注意： 环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理 装置或元件。 一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同 组成。
哈尔滨工程大学自动化学院
12
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
Part 2-4-2 传递函数的零点和极点
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm an 1s an M (s) N (s)
M (s) b0 s m b1s m1 ... bm1s bm
系统(或环节) 的输入量 系统(或环节) 的输出量
X r ( s)
X c ( s) X r ( s)G( s)
X c (s)
哈尔滨工程大学自动化学院
7
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
系统传递函数的一般形式 设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：
d d d a0 n c(t ) a1 n1 c(t ) an1 c(t ) an c(t ) dt dt dt m m 1 d d d b0 m r (t ) b1 m1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
哈尔滨工程大学自动化学院
6
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
Part 2-4-1 传递函数的定义和性质
定义：在零初始条件(输入量施加于系统之前，系统处于
传递函数
R ＋ i (t ) u r (t ) C u c (t ) L ＋
－
－
第二节 传递函数
解：由图列微分方程
2u R L d du ur 解： 输入量： c c + u = u 得 c r RC dt + LC + 2 dt i uc 输出量： C 拉氏变换： ur
+ uc -
RCsUc(s) + LCs2 Uc (s) + U c (s ) 根据基尔霍夫定律：
第二节 传递函数
式中： K 0 — 为放大系数 传递函数性质： S = S1 , S2 · · · , Sn — 传递函数的极点 （ 4 ）传递函数是在零初始条件下定义的， （1）传递函数只适用于线性定常系统。 S = 不能反映非零初始条件下系统的运 Z1 , Z2 · · · , Zm — 传递函数的零点 动过程。 传递函数分母多项式就是相应微分方 （2）传递函数取决于系统的结构和参数， 将传递函数中的分子与分母多项式分 程的特征多项式，传递函数的极点就是微 与外施信号的大小和形式无关。 别用因式连乘的形式来表示，即 分方程的特征根。 （3）传递函数一般为复变量S 的有理分式。 K0 (s –z1 ) (s –z2 ) · · · (s – z m ) G (s ) = (s – s 1 ) ( s – s 2 பைடு நூலகம் · · · (s –sn ) n>=m
根据传递函数的定义有
C ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 G( s ) R( s) an s n an1s n1 a1s a0
第二节 传递函数
二、传递函数的求取 传递函数以般有三种方法求取：1、直接计算法， 2、阻抗法，3、动态结构图法（下一节在讲）。 1、2两种一起讲 例题1、求图示RLC电路的传递函数。
－
－
第二节 传递函数
解：由图列微分方程
2u R L d du ur 解： 输入量： c c + u = u 得 c r RC dt + LC + 2 dt i uc 输出量： C 拉氏变换： ur
+ uc -
RCsUc(s) + LCs2 Uc (s) + U c (s ) 根据基尔霍夫定律：
第二节 传递函数
式中： K 0 — 为放大系数 传递函数性质： S = S1 , S2 · · · , Sn — 传递函数的极点 （ 4 ）传递函数是在零初始条件下定义的， （1）传递函数只适用于线性定常系统。 S = 不能反映非零初始条件下系统的运 Z1 , Z2 · · · , Zm — 传递函数的零点 动过程。 传递函数分母多项式就是相应微分方 （2）传递函数取决于系统的结构和参数， 将传递函数中的分子与分母多项式分 程的特征多项式，传递函数的极点就是微 与外施信号的大小和形式无关。 别用因式连乘的形式来表示，即 分方程的特征根。 （3）传递函数一般为复变量S 的有理分式。 K0 (s –z1 ) (s –z2 ) · · · (s – z m ) G (s ) = (s – s 1 ) ( s – s 2 பைடு நூலகம் · · · (s –sn ) n>=m
根据传递函数的定义有
C ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 G( s ) R( s) an s n an1s n1 a1s a0
第二节 传递函数
二、传递函数的求取 传递函数以般有三种方法求取：1、直接计算法， 2、阻抗法，3、动态结构图法（下一节在讲）。 1、2两种一起讲 例题1、求图示RLC电路的传递函数。
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t f (t ) t 1(t ) 0
其拉氏变换为
t ≥0 t0
st
斜 率 =1
O
t
0
F ( s) [ L f ( t )] 1 st te s 1 2 s
0 0
f ( t )e dt
st 0
t e st dt
1 1 e dt 0 0 s s
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
f(t)
3.等加速函数
数学表达式为
1 2 t f (t ) 2 0 t≥0 t0
其拉氏变换为
F ( s ) L [ f ( t )] 1 1 2 st t e s 2
第二章 控制系统的数学模型
2-1 拉式变换 2-2 控制系统的时域数学模型 2-3 控制系统的复数域数学模型 2-4.1 控制系统的结构图 2-4.2 控制系统的信号流图
•数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关 系的数学表达式 静态数学模型 ：在静态条件下 / 平衡条件下（即 变量各阶导数为0），描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型：描述变量及其各阶导数之间关系 的数学模型。
0 0
O
t
f ( t )e dt
st
0
1 2 st t e dt 2
0
t e st dt
1 1 1 0 0 2 3 s s s
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
4.指数函数e-at 数学表达式为
e f (t ) 0
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理化学定律列写运动 方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并 用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
•常见的数学模型
时域数学模型：微（差）分方程、状态方程； 复数域数学模型：传递函数、结构图、信号流图； 频域数学模型：频率特性。
其拉氏变换为
F ( s ) L [ f ( t )]
st 0
t ≥0 t0
st
O
t
0
f ( t )e dt
0
1 st 1 e dt e s
1 1 [0 1] s s
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
f ( t)
2.单位斜坡函数 数学表达式为
L[af1 (t ) bf2 (t )] aF1 ( s) bF2 ( s)
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
2.微分定理
设F(s)=L [ f (t)]，则有 一阶微分： L f (t ) sF ( s) f (0) 二阶微分： L f (t ) s2 F ( s) sf (0) f (0)
0
f (t )e dt
F ( s)
st
( s j为复变量)
存在，则由此积分所确定的函数可写为
0
f (t )e dt
- st
自动控制原理Biblioteka 第二章 控制系统的数学模型
称其为函数f(t)的拉普拉斯变换，并记作
F ( s) L[ L f (t )]
F(s)称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函
3 2 L f ( t ) s F ( s ) s f (0) sf (0) f (0) 三阶微分：
其中f(0), f(0), …为f(t)及其各阶导数在 t=0处的值。 n L f (t ) ?
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
当 f (0) f (0) f (0) L f ( n1) (0) 0 时的微分法则：
数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变换， 记作 1
f (t ) L [F ( s)]
f (t )
2 j
1
j
j
F ( s )e ds
st
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
二、几种典型函数的拉氏变换
1.单位阶跃函数1(t)
数学表达式为
f ( t) 1
1 f (t ) 1( t ) 0
0
1 j t j t st e e e dt 2j
1 1 1 2 2j s j s j s 2
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
6. 单位脉冲函数(函数)
( t)
函数的表达式为
t 0 (t ) 0 t 0
其拉氏变换为
O
且 (t )dt 1
t
F ( s) [ L ( t )] ( t )e dt 1
st 0
拉氏变换的积分下限
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
三、拉氏变换定理
1.线性性质
设F1(s)=L [ f1(t)]，F2(s)=L [ f2(t)]，a和b为常 数，则有
L[ f ( n ) (t )] s n F ( s)
此时，
d ƒ s dt
即零初始条件下，时域中的微分运算对等于复 数域中乘以s的运算。
其中结构图、信号流图是图形化的数学模型。
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
2-1 拉氏变换
t域 s域
微分方程 初始条件
拉氏变换
代数方程
方程的解
拉氏反变换
方程的解
用拉氏变换解微分方程示意图
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
一、 拉氏变换的定义 1. 定义
设函数f(t)在t≥0时有定义，如果线性积分
其拉氏变换为
at
t ≥ 0(a为实数) t0
at at st
F ( s) L e
e e d t 0 1 ( s a )t e dt 0 sa
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
5.正弦函数sint 正弦函数定义为
sin t t ≥ 0 sin t t0 0 其拉氏变换为 F ( s ) L [sin t ] sin te st dt 0