2-2 复数域数学模型-传递函数
复数域数学模型传递函数结构图
t f (t ) t 1(t ) 0
其拉氏变换为
t ≥0 t0
st
斜 率 =1
O
t
0
F ( s) [ L f ( t )] 1 st te s 1 2 s
0 0
f ( t )e dt
st 0
t e st dt
1 1 e dt 0 0 s s
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
f(t)
3.等加速函数
数学表达式为
1 2 t f (t ) 2 0 t≥0 t0
其拉氏变换为
F ( s ) L [ f ( t )] 1 1 2 st t e s 2
第二章 控制系统的数学模型
2-1 拉式变换 2-2 控制系统的时域数学模型 2-3 控制系统的复数域数学模型 2-4.1 控制系统的结构图 2-4.2 控制系统的信号流图
•数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关 系的数学表达式 静态数学模型 ：在静态条件下 / 平衡条件下（即 变量各阶导数为0），描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型：描述变量及其各阶导数之间关系 的数学模型。
0 0
O
t
f ( t )e dt
st
0
1 2 st t e dt 2
0
t e st dt
1 1 1 0 0 2 3 s s s
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
4.指数函数e-at 数学表达式为
e f (t ) 0
•建模方法
解析法（机理分析法）
《控制工程》传递函数
1．系统由单变量非线性函数所描述
df 1 d2 f Dx + Dx 2 f ( x) f ( x0 ) + dx x 2! dx 2 0 x0 1 d3 f + 3! dx 3 D x 3 + LL f ( x0 ) +
y= f (x) y(t):输出 x(t):输入 df Dx dx x 0 df Dx dx x 0
1、机械平移系统（即m、c、k系统）
第二章 传递函数
原则：根据牛二定律列写相应的动力学方程
y(t)
质量m
m
Fm m(t ) y
y2
弹簧k
y1
k
压弹簧：Fk=k(y1-y2) 拉弹簧： Fk=k(y2-y1)
压：说明y1要大于y2，这才有压的效果 其中y1与y2之差为弹簧的净形变量
阻尼c
y1 c y2
( ( an X 0n) (t ) + an1 X 0n 1) (t ) + … + a0 X 0 (t )
X0(t)——系统输出
bm X i( m) (t ) + bm1 X i( m1) + … + b0 X i (t )
Xi(t)——系统输入
3．根据系统微分方程对系统进行分类 1）线性系统：方程只包含变量X0(t)、Xi(t)的各阶导数 a．线性定常系统：an…a0 ；bm…b0为常数 b．线性时变系统：an…a0 ；bm…b0为时间的函数
第二章 传递函数
一、定义
定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入 输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统的微分方程为：
a n x(0n)( t ) + a n 1 x(0n 1)( t ) + L + a0 x0( t )
传递函数
上海大学 机电工程与自动化学院
2.4 典型环节的传递函数 典型环节的传递函数
控制系统中常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、 控制系统中常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、 微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节等。 微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节等。
2.4.1 比例环节
如果一个环节的输出与输入成正比例 成正比例， 不失真也 如果一个环节的输出与输入 成正比例 ， 既 不失真 也 不延 则称此环节为比例环节，也称放大环节。 时，则称此环节为比例环节，也称放大环节。其数学模型为
N o (t ) z1 G (s) = = =K N i (t ) z 2
比例环节： 比例环节 ： 性的 、 (输入为转速、输出为 输入为转速、 )、 、 输入为转速
大 动
齿轮副的传动比
为 大
的 ，
速
2.4 典型环节的传递函数 典型环节的传递函数
2.4.2 惯性环节
凡运动方程为一节微分方程： 凡运动方程为一节微分方程：
上海大学 机电工程与自动化学院
K1 T= R
L T= R
2.4 典型环节的传递函数 典型环节的传递函数
2.4.3 微分环节
理想微分环节的输出量正比于输入量的微分， 理想微分环节的输出量正比于输入量的微分，即
因此， 因此，理想微分环节的传递函数为
微分环节的 时间常数
dxi (t ) xo (t ) = T dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为： 惯性环节的增益， 形式的环节称为惯性环节。其传递函数为： 惯性环节的增益 ，
表征环节的惯 性，与环节结 构参数有关
dxo (t ) T + xo (t ) = K xi (t ) dt
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
自动控制原理第二章自动控制原理控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域模型一、建立系统微分方程的基本步骤(P23，第二自然段)：⑴ 分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量； ⑵ 依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程；⑶ 消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方程； ⑷ 将方程写成规范形式。
例2-1：系统输入i u ，输出o u ；从输入到输出顺序列写各元件方程， td id Lu L =，i R u R =，⎰=t id C u o 1，及o R L i u u u u ++=利用输出电压与回路电流的关系消去中间变量，t d u d C i o =，22t d u d C t d id o =；o o o i u t d u d RC td u d LC u ++=22 写成规范的微分方程(标准形式)：i o o o u u td u d RC t d u d LC =++2；或 i o u u p T p T =++)1(221，其中LC T =1，RC T =2，t d dp =。
“系统初始条件均为零”是指在零时刻以前系统的输入和输出及他们的各阶导数均为零。
在复数域，复变量s 对应微分算子，而s /1对应积分运算。
“输出对输入的响应” 是指，初始条件为零时，系统输出的运动情况。
因此，可以直接列写控制系统在复数域的方程。
就本例而言有：)()(s sI L s U L =，)()(s I R s U R =，)(1)(s I sC s U o =，及 )()()()(s U s U s U s U o R L i ++=； 消去中间变量)()(s U s C s I o ⋅=，得()()1(221U s U s T s T i o =++例2-2：系统输入F ，输出x ；力平衡方程：)()()()(2s X K s f s F s X ms +-=；整理得，)()()(2s F s X K s f ms =++。
控制系统的复数域数学模型
4）传递函数的拉氏反变 换就是系统的脉冲响应
5）令传递函数分子为零可求得系统的零点； , 令传递函数分母为零可求得系统的极点； ,
传递函数与结构图(P45)
R(s)
Φ(s)
C(s) (s ) R (s )
C(s)
1 Y(s) X(s) Ts 1
X(s)
1 Ts 1
Y(s)
R(s)•Φ(s)=C(s)
Y(s)
R(s)
Φ(s)
C(s)
Ts+1
X(s)
这样可以吗？
几个典型元件的传递函数(P51) 电机
d m ( t ) Tm m ( t ) K 1ua ( t ) K 2 M c ( t ) dt d m ( t ) Tm m ( t ) K m ua ( t ) K c M c ( t ) dt
封 面
制作人南京航空航天大学王凤如
xwfr01@
2-3目录
1、传递函数的定义和性质 2、传递函数的零点和极点 3、零点和极点对输出的影响 4、典型元部件的传递函数
传递函数的定义和性质(P45) 线性定常系统的传递函 数定义为：零初始条件 下， 系统输出量的拉氏变换 与输入量的拉氏变换之 比。
பைடு நூலகம்
电机控制的双容器液流系统(补充)
I(s) 输入信号
电机 阀门
Q1
Q2 Q3 输出信号
I(s) 输入信号
1 s5
Q1
1 Q2 s2
1 s3
Q3 输出信号
LC d 2 uo ( t ) dt 2 RC duo ( t ) uo ( t ) ui ( t ) dt
uo ( t ) 1 i ( t )dt C
控制系统的数学模型及传递函数【可编辑全文】
可编辑修改精选全文完整版控制系统的数学模型及传递函数2-1 拉普拉斯变换的数学方法拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见表2-1：拉氏变换对照表F(s) f(t)11(t)t三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a. 证明：，令t-a=τ,则有上式=例：, 求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)由正向使的f(t)值。
第1讲 控制系统的时域数学模型
例.试列出图示弹簧-阻尼器-质量的机械位移系统的 运动方程。输入量为外力F，输出量为位移x。
F m f
k
x
解：图中，m为质量，f为粘性阻 尼系数，K为弹性系数。先对 质量块进行受力分析，然后 根据牛顿定理，可列出该系 统的微分方程如下：
m x f x Kx F
x为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m、f和K的单位分别为： , N .s / m, N / m kg
例：在例2-8中，若已知 L 1H , C 1F , R 1 ，且电容上初始电 u0 (0) 0.1 i0 ( 1A 压 ，初始电流 V ，电源电压0) 0.。试求电 路突然接通电源时，电容电压 的变化规律。 ui (t ) 1V u0 (t ) 解：在前例中已求得网络微分方程：
令 x x x0 K ( df ( x) / dx) x0
y Kx
略去增量符号
y f (x)
y Kx
K (df ( x) / dx) x0 是比例系数，是函数f ( x)在A点的切线斜率。
这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作 状态是可行的。原因：
自动控制系统在正常情况下都处于稳定的工作状 态，即平衡状态，这时被控量与期望值保持一致， 控制系统也不进行控制动作。一旦被控量偏离期望 值产生偏差时，控制系统便开始控制动作，以便减 小或消除这个偏差，因此，控制系统中被控量的偏 差一般不会很大，只是“小偏差”。 在建立控制系统数学模型时，通常是将系统的 稳定工作状态作为起始状态，仅仅研究小偏差的运 动情况，也就是只研究相对于平衡状态下，系统输 入量和输出量的运动特性，这正是增量线性化方程 所描述的系统特性。
y
y0
df dx x0 y f (x)
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s t s 0 s 0 F ( s ) ( t ) e d t ( t ) ed t e ( t ) d t e 1 0 0
t)R 1 ( t) (2)例2 求阶跃函数 f ( 的拉氏变换。
R R s t Fs ( ) R e d t e s 0 s 0
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏 变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直 接查到的原函数的形式。
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需 要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部 分分式的拉氏变换在表中可以查到。 展开的常用方法有：
留数法
numernation
m m 1 s b s b sb N ( s )b 0 1 m 1 m F ( s ) n n ( m n ) 1 D ( s )a s a s a sa 0 1 n 1 n
本节课的学习思路：从多个方 位来观察我们将要研究的对象—传 递函数，为下一步深入细致的讨论 (第四章和第五章)做准备。
本节内容
拉式变换 拉式反变换 传递函数的概念和表达形式
系统传递函数的建立
典型环节的传递函数
2-2 传递函数
一 拉氏变换
1.定义：设函数 f(t)当 t 0 时有定义，设
t 0 s
(6)时间比例尺(相似)定理
t L [ f ( )] aF(as) a
(7)位移定理
a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延 s 迟 ，则其象函数应乘以 e 。 s
L [ f ( t )] eF ( s )
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a， at 原函数应乘以 e 。即
s t
(t) 的拉氏变换为 单位阶跃函数 f (t) 1
1 s
。
3.几个重要的拉氏变换（掌握）
f(t)
(t)
1(t)
F(s)
f(t)
1
1 s
sin t
s2
s s2
F(s)
2
cos t
2
2
t
1 s
1 s a
e sint
at
( s a)2 2
1 例2：求 F(s) 2 的拉氏反变换。 s (s 1 ) 1 1 1 1 解： F () s 2 2 s( s 1 ) s s s 1
1 t ft ( ) L [( F s ) ] t 1 e
比较系数法
1 例 3 求 F () s 的 拉 氏 反 变 换 。 2 s ( s 1 ) a b c 解 ： F ( s ) 2 s s 1 ( s 1 )
配方法
比较系数法
留数法
配方法
例1：求
F(s) 1 (s a)(s b)
的拉氏反变换。
1 1 1 1 F ( s ) ( ) 解： ( s a ) ( s b ) ba s as b
a t b t e e 1 则 f() t L [ F () s] b a
2-2 复数域数学模型—传递函数
项目
教学目的
内容
从时域内的微分方程形式数学模型向复数域内的 传递函数形式过渡。
教 学 重 点 熟悉传递函数的各种一般表达形式。 教 学 难 点 维方法。对典型环节传递函数的理解。
讲授技巧及注 注重微分方程同传递函数的对比。 意事项
传递函数的解析表达式和几何表达形式的联合思
2 则 a ( s 1 ) b s ( s 1 ) c s1
对 应 项 系 数 相 等 得 ab 1 , 1 , c 1
1 1 1 Fs ( ) 2 s s 1 ( s 1 )
1 t t ft ( ) L [( F s ) ]1 et e
L [ e f ( t )] F ( s a )
at
二 拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数 f(t)的运算称为拉 1 氏反变换。记为 L [F(s)]。由F(s)可按下式求出
j 1C st f ( t ) L [ F ( s )] ( s ) e ds ( t 0 ) F C j 2 j 1
(3)微分性质
n n n 1 n 2 n 1
L [ f ( t ) ] s F ( s ) s f ( 0 ) s f ( 0 ) f ( 0 )
(4)终值定理
lim f ( t ) lim sF ( s ) t s 0
(5)初值定理
lim f( t ) lim sF ( s )
第二章 控制系统的数学模型
第二节 复数域数学模型 —传递函数
思考？
建立系统微分方程的目的是什么？
如何求解得到的微分方程式？
对于高阶线性微分方程如何求解？
使用拉普拉斯变换法解线性微分方程有哪些 优势？
优势：
在求解方法上：计算简单 (把微积分运算 变换成代数运算或查表 ) ，容易求出系统对 输入的响应。 引入传递函数的概念 (复数域数学模型)， 把系统的动态性能和传函的零极点联系起来， 使在复数域内 ( 根轨迹法 ) 和频域内 ( 频率法 ) 分析和设计系统成为可能。
s t Fs ( ) L f t f () t e d t
原函 数
且积分存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。 简称拉氏变换。 f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
1 f t L () Fs
0
象函数
2.常用函数的拉氏变换
(1)例1 求单位脉冲函数 f (t) (t) 的拉氏变换。
e
at
e cost
at
sa ( s a)2 2
4.拉氏变换的基本性质
(1)线性性质
L [ af ( t ) bf ( t )] aL [ f ( t )] bL [ f ( t )] 1 2 1 2
(2)积分性质
1 1 1 L [ td t ] F () s f ( 0 ) f() s s