时域数学模型
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二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型二阶系统指的是系统的动态特性可以由一个二阶微分方程描述的系统。
在控制工程中，二阶系统的时域分析主要包括对系统阶跃响应、脉冲响应、频率响应等进行分析。
下面将详细介绍二阶系统的数学模型以及各种时域分析方法。
二阶系统可以由一个二阶微分方程进行描述。
一般而言，二阶系统的数学模型可以写成如下形式：\[a_2\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + a_1\frac{{dy(t)}}{{dt}} +a_0y(t) = b_2\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} + b_1\frac{{du(t)}}{{dt}}+ b_0u(t)\]其中，y(t)为系统的输出，u(t)为系统的输入，a_0、a_1、a_2以及b_0、b_1、b_2分别为系统的系数。
这个方程也可以写成常用的形式：\[\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + 2ζω_n\frac{{dy(t)}}{{dt}} +ω_n^2y(t) = K_p\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} +T_i\frac{{du(t)}}{{dt}} + K_cu(t)\]其中，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率，K_p为比例增益，T_i为积分时间常数，K_c为控制器增益。
2.二阶系统的阶跃响应阶跃响应是指系统在接受一个单位阶跃信号作为输入时的响应。
通过对二阶系统的数学模型应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。
对于一个传递函数为G(s)的系统，其阶跃响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))\]其中，A为阶跃响应的幅度，ω_d为阻尼振荡角频率，ϕ为相位角。
3.二阶系统的脉冲响应脉冲响应是指系统在接受一个单位脉冲信号作为输入时的响应。
与阶跃响应类似，通过对二阶系统的数学模型进行拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。
对于一个传递函数为G(s)的系统，其脉冲响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = \frac{{A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))}}{{\sqrt{1-ζ^2}}}\]其中，A为单位脉冲信号的幅度。
机械工程控制基础系统的数学模型概述.pptx
§2.3.2 传递函数的标准形式
微分方程一般形式：
anc(n)
a c(n1) n1
...
a1c
a0c
bm r (m)
b r (m1) m1
...
b1r
b0r(t )
拉氏变换： ansn an1sn1 .... a1s a0 C(s) bm sm bm1sm1 ... b1s b0 R(s)
§2.1 引言
•数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系 的数 学表达式
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程 线性定常系统微分方程的一般形式
di (t ) ur (t ) L dt Ri(t ) uc (t )
i(t ) C duc (t ) dt
LC
d
2uc (t ) dt 2
RC
duc (t ) dt
uc (t )
d 2uc (t ) dt 2
R L
duc (t ) dt
1 LC
uc (t )
1 LC
ur (t )
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s
2
2Tj
s
1)
i 1
j1
§2.3 系统的复域模型—传递函数
例7 已知
G( s )
s3
4s 4 3s2
2s
将其化为首1、尾1标准型，并确定其增益。
微分方程一般形式：
anc(n)
a c(n1) n1
...
a1c
a0c
bm r (m)
b r (m1) m1
...
b1r
b0r(t )
拉氏变换： ansn an1sn1 .... a1s a0 C(s) bm sm bm1sm1 ... b1s b0 R(s)
§2.1 引言
•数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系 的数 学表达式
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程 线性定常系统微分方程的一般形式
di (t ) ur (t ) L dt Ri(t ) uc (t )
i(t ) C duc (t ) dt
LC
d
2uc (t ) dt 2
RC
duc (t ) dt
uc (t )
d 2uc (t ) dt 2
R L
duc (t ) dt
1 LC
uc (t )
1 LC
ur (t )
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s
2
2Tj
s
1)
i 1
j1
§2.3 系统的复域模型—传递函数
例7 已知
G( s )
s3
4s 4 3s2
2s
将其化为首1、尾1标准型，并确定其增益。
第二章_控制系统的数学模型
+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
自动控制原理(胡寿松)第六版-第二章-控制系统的数学模型--2
if=常数
dia La Ra ia Ea ua dt
ua
ia
Ra Ea La
M
电动机轴上机械运动方程：
d J MD ML dt
J — 负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD — 电枢电流产生的电磁转矩; ML — 合到电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea = ke
Ra J Tm 令机电时间常数Tm : ke k m 二阶系统 La 令电磁时间常数Ta : Ta Ra 2 Tm TaTm dML d d 1 TaTm 2 Tm ua ML dt dt ke J J dt
1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：
Ta 0
第二章 控制系统的数学模型
前言 数学模型基础
2.1 控制系统的时域数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图与信号流图
2.4 控制系统建模实例
End
前言 数学模型基础
2.2 2.3 2.4 2.5
1.定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态 关系的表达式。 2.建立数学模型的目的
d nc d n1c dc d mr d m 1r dr a0 n a1 n1 an1 an c b0 m b1 m 1 bm 1 bm r dt dt dt dt dt dt
式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：
统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合 理
3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析
4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数
《时域数学模型》课件
《时域数学模型》PPT课 件
《时域数学模型》是一份介绍时域数学模型的PPT课件。本课件旨在探讨时域 数学模型的定义、特点、应用领域以及建立步骤和方法，并通过实例分析帮 助读者更好地理解和应用该模型。
研究目的和意义
通过研究时域数学模型，我们可以深入了解其在科学、工程和其他领域中的 重要作用。该模型能够帮助我们分析和解决各种实际问题，为决策和优化提 供支持，并推动科学和技术的发展。
时域数学模型的建立步骤和方法
1
问题定义
明确问题和目标，确定所需的模型类型
模型建立
2
学
方程或模型描述系统的动态行为。
3
参数估计
通过实验或数据分析，估计模型中的参
模型验证
4
数值以使其能够准确地描述系统的行为。
通过实际测试或比较模拟结果与实际数 据，验证模型的准确性和适用性。
时域数学模型的实例分析
通过具体的案例分析，我们将展示时域数学模型在不同领域中的应用，如电 路分析、信号处理和控制系统设计等。这些实例将帮助读者更好地理解和应 用时域数学模型。
总结和展望
时域数学模型是一种强大的工具，它能够帮助我们理解和解决复杂的实际问 题。通过不断的研究和应用，我们可以进一步发展和改进时域数学模型，为 科学和工程领域的发展做出贡献。
时域和频域的基本概念
时域是指信号随时间变化的情况，频域是指信号在频率上的特性。了解时域 和频域的基本概念对于理解和分析时域数学模型至关重要。时域数学模型将 信号的时域特性与其它变量联系起来，帮助我们揭示信号的内在规律。
时域数学模型的定义和特点
时域数学模型是利用数学方法描述和表示系统或现象在时域上的行为和特性 的模型。其特点是能够准确地描述和预测系统的动态响应和行为，具有优秀 的可解释性和可视化性。
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型二阶系统是指由两个一阶系统级联或并联组成的动态系统。
它的数学模型可以表示为如下形式：$$s^2Y(s) + 2ξω_nsY(s) + ω_n^2Y(s) = X(s)$$其中，$s$是复频域变量，$Y(s)$和$X(s)$分别是系统的输出和输入拉普拉斯变换形式；$ξ$是阻尼比，$ω_n$是自然频率。
为了进行时域分析，我们需要将模型转换为时域表示。
我们可以通过拉普拉斯逆变换对模型进行求解。
首先，我们可以将拉普拉斯变换模型转换为分母为二次方程的形式：$$s^2 + 2ξω_ns + ω_n^2 = 0$$这是一个特征方程，也称为二阶系统的特征方程。
根据特征方程的解，我们可以获得系统的阻尼比和自然频率。
特别地，当阻尼比$ξ$小于1时，系统被称为欠阻尼；当阻尼比$ξ$等于1时，系统被称为临界阻尼；当阻尼比$ξ$大于1时，系统被称为过阻尼。
根据不同的阻尼比，我们可以对系统的时域响应进行分类：1.欠阻尼情况下，系统的时域响应会产生振荡。
振荡的频率为阻尼比与自然频率的乘积。
2.临界阻尼情况下，系统的时域响应会趋于稳定，但不会产生振荡。
3.过阻尼情况下，系统的时域响应会趋于稳定，没有振荡，并且速度较快。
在实际应用中，我们经常需要对二阶系统的时域响应进行分析和设计。
常见的时域响应指标包括步响应、阶跃响应和频率响应。
这些响应可以通过对特征方程进行求解来获得。
对于步响应，我们可以通过求解特征方程的根来获得系统的过渡时间、最大超调量和静态误差等信息。
通过调整控制器和系统参数，我们可以改变这些指标，以满足系统设计的要求。
对于阶跃响应，我们可以通过求解特征方程的根来获得系统的上升时间、峰值时间和调节时间等信息。
同样，通过调整控制器和系统参数，我们可以改变这些指标，以满足系统设计的要求。
对于频率响应，我们可以通过将特征方程转换为复频域变量来获得系统的频率响应函数。
频率响应函数可以帮助我们分析系统在不同频率下的增益和相位变化。
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型
二阶系统的时域分析
二阶系统的数学模型
动态结构图
开环传递函数
R(s)
-
G(s)
C(s)
G(s)
n2
s(s 2n )
闭环传递函数
(s)
s2
n2 2ns
n2
ζ为系统的阻尼比；ωn为无阻尼振荡频率，简 称固有频率（也称自然振荡频率）
二阶系统的时域分析
二阶系统的闭环特征方程闭环极点
s2 2ns n2 0 s1,2 n n 2 1
阻尼比对系统的影响
0 2
0.1 1.8 0.2 1.6
1.4
0.3 1.2
0.4 1
Step Response
0.5 0.6 0.7 0.8
Amplitude
0.8
0.6
1.0
0.4
1.5
0.2
2.5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Time (sec)
二阶系统的时域分析
h' (t) ne nt (cosdt
1
2
sin dt)
d e nt ( sin dt
1
2
cos d t )
二阶系统的时域分析
欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标
2.峰值时间tp 代入：d n 1 2
h'
(th)
' (t)ne(
n
1
2tcons 2
d tn
12n
1 2
2e)e ntnst isnindt d
曲线的不连续性，是由于ζ值的微小变化可引起调节 时间显著变化而造成的。
近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差
二阶系统的数学模型
动态结构图
开环传递函数
R(s)
-
G(s)
C(s)
G(s)
n2
s(s 2n )
闭环传递函数
(s)
s2
n2 2ns
n2
ζ为系统的阻尼比；ωn为无阻尼振荡频率，简 称固有频率（也称自然振荡频率）
二阶系统的时域分析
二阶系统的闭环特征方程闭环极点
s2 2ns n2 0 s1,2 n n 2 1
阻尼比对系统的影响
0 2
0.1 1.8 0.2 1.6
1.4
0.3 1.2
0.4 1
Step Response
0.5 0.6 0.7 0.8
Amplitude
0.8
0.6
1.0
0.4
1.5
0.2
2.5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Time (sec)
二阶系统的时域分析
h' (t) ne nt (cosdt
1
2
sin dt)
d e nt ( sin dt
1
2
cos d t )
二阶系统的时域分析
欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标
2.峰值时间tp 代入：d n 1 2
h'
(th)
' (t)ne(
n
1
2tcons 2
d tn
12n
1 2
2e)e ntnst isnindt d
曲线的不连续性，是由于ζ值的微小变化可引起调节 时间显著变化而造成的。
近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差
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∫
[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。 例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中 x, F , m, f , k 分别与 q, ui , L, R, 1C 为相似量。 [作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟 相对复杂的系统，实现仿真研究。
二、线性系统的特性
d ωm (t ) + ωm (t ) = K1ua (t ) − K 2 M c (t ) Tm dt
Tm = Ra J m Ra f m + C m C e
电动机机电时间常数（s）
K2 = Ra Raf m + C m C e
K1 =
Cm Ra f m + C m C e
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时， 还可进一步简化为
增量较小时略去其高次幂项，则有
df ( x) y − yo = f ( x) − f ( xo ) = ( x − xo ) dx xo
19
df ( x) y − yo = f ( x) − f ( xo ) = ( x − xo ) dx xo
写出增量线性化微分方程
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。 如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称 该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线 性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输 出叠加得到。 1、线性系统的性质 可叠加性 均匀性（或奇次性）
d 2c(t ) dc(t ) c(t ) f (t ) 2 dt dt
2、数学模型的意义
定量研究的基础 研究系统运行规律的基础 对系统行为进行控制的基础 对系统未来进行预测的基础
3、建立数学模型的方法
解析法 根据具体系统服从的规律，运用适当的数学工具 列出各变量间的关系。 实验法 在系统内部关系复杂时，为达到某种目的，可以 通过实验手段，测量该系统的输入输出，然后运用系 统辨识的手段，构建出一个近似的数学模型。
20
对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近 展开。设双变量非线性方程为：y = f ( x1 , x2 ) ，工作点为 y0 = f ( x10 , x20 ) 。则可近似为： ∆y ≈ K1∆x1 + K 2 ∆x2 式中： ∆x1 = x1 − x ， 10 ∆x2 = x2 − x。 20
设在平衡状态工作点( A， xo)处连续可微 yo ,则
在该点附近用泰勒级数展开
1 d 2 f ( x) df ( x) 2 − + ( x x ) y = f ( x) = f ( xo ) + ( x − xo ) + o 2 2! dx x dx xo o
Jm,fm
电动机轴上的转距平衡方程 d ωm (t )
Jm dt
图 2-3 电 枢 控 制 直 流 电 动 机 原 理 图
+ f m wm (t ) = M m (t ) − M c (t )
Jm－转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kg·m· fm －电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（N·m/rad/s）
= y0 = 11
b=
∂z ∂y
x = x0 y = y0
= x0 = 6
因此，线性化方程式为：
z-66=11(x-6)+6(y-11) 求在点x0=6，y0=11，z0=66附 z=11x+6y-66 近非线性方程的线性化表 当x=5,y=10时，z的精确值为 达式。将非线性方程在点 x0,y0,z0处展开成泰勒级数， z=xy=5×10=50 由线性化方程求得的z值为 并忽略其高阶项，则有 z=11x+6y=55+60-66=49
K1 = ∂y ∂y | x1 = x10 , K 2 = | x1 = x10 为与工作点有关的常数。 ∂x1 x2 = x20 ∂x2 x2 = x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性(如间隙、库仑干 摩擦、饱和特性等)，它是可以用泰勒级数展开的。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
d 2 x(t ) d xt () m +f + kx(t ) = F (t ) dt dt 这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：kg , N .s / m, N / m
[例2-3]电枢控制式直流电动机
if 电能转换为机械能，也就是由输入 的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生 La Ra 电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁 ＋ Wm ia 负 磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)， Ua Ea Jm,fm SM 载 从而拖动负载运动。 因此，直流电动机的运动方程可由 图 2-3 电 枢 控 制 直 流 电 动 机 原 理 图 以下三部分组成。 电枢回路电压平衡方程 电磁转距方程 电动机轴上的转距平衡方程 ＋
一、线性元件的微分方程
例2−1 RLC 无源网络的微分方程 根据基尔霍夫电压定律)
di (t ) 1 L + ∫ i (t )dt + Ri (t ) = 0 dt C 1 uo (t ) = ∫ i (t )dt C
合并，整理
d 2uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ur (t ) 2 dt dt
四、线性定常微分方程的求解（拉氏变换法） 微分方程的解法
直接解析法（分离变量法） 适用于少量简单的情况 Laplace变换解析法 仅适用于线性时不变情况 状态转移矩阵法 仅适用于线性时不变情况 数值法 适用于所有情况
本节讨论用Laplace变换法解线性时不变微分方程
例2-6 已知L=1H,C=1F,R=1欧姆，且电容上的初始电压 U0(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ur(t)=1V。求 电路突然接通电源时，电容电压u0(t)的变化规律。 解：
[需要讨论的问题]： 相似系统和相似量： 我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一样的。 这是因为：若令 q = idt (电荷)，则例2-1的结果变为： d 2q dq 1 L 2 + R + q = ui dt dt C 可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类 型的系统也可以有相同形式的数学模型。
第二章
概述
控制系统的数学模型
2−1 时域数学模型 2−2 复数域数学模型 2−3 结构图与信号流图 2−4 数学模型的实验测定法
概述
1、数学模型的定义 2、建立数学模型的意义 3、建立数学模型的方法 4、建立数学模型的工具
1、系统数学模型的定义 描述系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式 称为数学模型。 物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的， 难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或 理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物 理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求 解的精确要求，来确定出合理的物理模型。 电子放大器 看成 理想的线性放大环节。 通讯卫星 看成 质点 。
【RLC无源网络微分方程】为：
L R
d 2u0 (t ) d 0ut () LC + RC + u0 (t ) = ur (t ) 2 dt dt
N
S
电枢回路方程
La dia (t ) + Ra ia (t ) + Ea = ua (t ) dt
＋
其中Ea 为反电势， Ea = Ceωm (t ) Ce称为电动机电势常数
电磁转距方程
M m (t ) = Cmia (t )
Cm称为电动机转矩常数
＋ Ua
La ia
if Ra Wm Ea
SM
负 载
实验法－:
基于系统辨识的建模方法
输出（已知） 黑匣子
输入（已知）
已知知识和辨识目的 实验设计--选择实验条件 模型阶次--适合于应用的适当阶次 参数估计--最小二乘法 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统 模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近
4、建立数学模型的数学工具
数学模型
时域模型
频域模型
方框图和信号流图
状态空间模型
微分方程 差分方程
传递函数 拉氏变换传递函数，Z变换传递函数
其他数学工具（如Rough Set，Petri等）
2−1 时域数学模型
一、线性元件的微分方程 二、控制系统微分方程的建立 三、线性系统的特性 四、线性定常微分方程的求解（拉氏变换法） 五、非线性微分方程的线性化 六、运动的模态（振型）Mode
若
f1 (t ) → c1 (t )，f 2 (t ) → c2 (t )
则 a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t ) → a1c1 (t ) + a2 c2 (t )
2、线性系统性质的应用 多个外作用产生的响应可通过逐个外作用响应的 叠加。
零输入和零初始条件响应合成得到非零响应。 系统对输入和干扰分别研究。 只有线性时不变微分方程才能运用Laplace变换为
1 因此，误差为50-49=1，表示成百分数 50 = 2%
【归纳】
非线性微分方程线性化的步骤 （1）写出动态微分方程； （2）在平衡点处，对非线性项采用Taylor展开，并取一阶近似 （即线性近似）； （3）把一阶近似式带入原微分方程； （4）利用平衡方程，获得增量微分方程； （5）为记述方便，省去增量符号，获得所谓的在增量情况下的 线性化微分方程。 线性化微分方程的运用条件 （1）在获得方程的平衡点附近。如平衡点改变，则增量方程也 改变。 （2) 输入、输出一定在"增量"数量级.