等比数列的概念及其简单性质(教师用)
高一等比数列及其性质
1．推导等比数列前n项和的方法
一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
用公比q乘①的两边，可得
qSn＝a1＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，②
由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
整理得Sn＝ (q≠1)．
2．我们把上述方法叫，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.
(2)由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)，可得λ＝ ，这样就构造了等比数列{an＋λ}．
等比数列
一 等比数列的概念
1．定义：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示(q≠0)．
2．递推关系
在数列{an}中，若 ＝q(n∈N*)，q为非零常数，则数列{an}是等比数列．
思考1 下列数列一定是等比数列的是________．
(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；
(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．
规律方法a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.
【试一试】在等比数列{an}中，
2．等比数列前n项和公式的使用
公比q≠1时，公式Sn＝ 适用于已知a1，q和项数n，而公式Sn＝ 更适用于已知a1，q和末项an，使用时依据条件灵活选用．
思考 设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1(n∈N*)，则f(n)等于( )
高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案
高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的定义及其特点。
2. 引导学生推导等比数列的通项公式，并能运用通项公式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力、运算能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 等比数列的概念：介绍等比数列的定义、性质和判定方法。
2. 等比数列的通项公式：引导学生推导通项公式，并进行证明。
3. 等比数列的求和公式：介绍等比数列前n项和的公式。
三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列的概念、性质、通项公式和求和公式。
2. 教学难点：等比数列通项公式的推导和证明。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析和归纳等比数列的性质。
2. 运用类比法，让学生理解等比数列与等差数列的异同。
3. 利用多媒体辅助教学，展示等比数列的动态变化过程。
4. 开展小组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过引入日常生活中的实例，如银行存款利息问题，引导学生思考等比数列的概念。
2. 讲解等比数列的定义和性质：让学生通过观察、分析和归纳等比数列的性质，得出等比数列的定义。
3. 推导等比数列的通项公式：引导学生利用已知条件，通过变换和代数运算，推导出等比数列的通项公式。
4. 证明等比数列的通项公式：让学生理解并证明等比数列通项公式的正确性。
5. 介绍等比数列的求和公式：引导学生运用通项公式，推导出等比数列前n项和的公式。
6. 课堂练习：布置一些有关等比数列的题目，让学生巩固所学知识。
7. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，让学生反思自己的学习过程，提高学习效果。
8. 课后作业：布置一些有关等比数列的练习题，巩固所学知识。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的等比数列案例，让学生更好地理解等比数列的概念和性质。
2. 互动提问：在教学过程中，教师应引导学生积极参与课堂讨论，提问等方式来巩固学生对等比数列的理解。
等比数列概念与性质(2课时)
变式：已知a1 1, an1 2an 1, bn an 1,
证明：数列 bn 是等比数列。
1、等比数列 { a n } 中， a 4 · 7 = －512，a 3 + a 8 = 124, a
公比 q 为整数，求 a 10. 法一：直接列方程组求 a 1、q。 法二：在法一中消去了 a 1，可令 t = q 5 法三：由 a 4 · 7 = a 3 · 8 = －512 a a
n n
a1b1 ( pq ) = n 1 =pq a1b1 ( pq )
n
所以{an· n}是一个以pq为公比的等比数列 b
总结: 判定或证明一个数列为等比数列的方法是 2 采用定义或证明an an1 an1 (an 0)
bn { } 是等比数列吗? 变式1: 问数列 an 变式2: 问数列 {an bn } 是等比数列吗?
庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不 竭.” 意思：“一尺长的木 棒，每日取其一半， 永远也取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分组成数列：
1 1 1 1 1， ， ， ， ， „ 2 4 8 16
4
情景展示（3）
现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%， 那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别 是：
10000 1984 10000 1.01985
10000 1.01984
思考：
(1)
(2)
1 2, 4, 8, , 16
1 1 1 1 1, , , , 2 4 8 16
2 3 （3） 100001.0198100001.0198 ,100001.0198 , ,
100001.0198 ,100001.0198 .
等比数列的概念及其性质副本
2.4.1 等比数列的概念与通项公式1.等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做_________，这个常数叫做等比数列的______，公比通常用字母q表示(q≠0)．即：a na n－1＝q(n≥2，q≠0，n∈N*)．破疑点：(1)等比数列的定义可简述为a n＋1a n＝q(q为常数，q≠0)．①由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.②a n＋1a n均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还应注意公比是从第2项起每一项与其前一项之比，不能前后颠倒次序．(2)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第n(n>3，n∈N*)项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，但是可以说此数列从第2项起或第(n－1)项起是一个等比数列．(3)常数列都是等差数列，却不一定都是等比数列．例如，各项都为0的常数列，它就不是等比数列；各项都不为0的常数列就是等比数列．练习：观察下面几个数列，其中一定是等比数列的有哪些？(1)数列1,2,6,18,54，…；(2)数列{a n}中，已知a2a1＝2，a3a2＝2；(3)常数列a，a，…，a，…；(4)数列{a n}中，a n＋1a n＝q，其中n∈N*.2．等比中项(1)定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的_________．(2)公式：若G 是a 与b 的等比中项，则 ，所以G 2＝______，G ＝_______.破疑点：(1)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．(2)当a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．所以“a ，G ，b 成等比数列”与“G ＝ab ”是不等价的．(3)“a ，G ，b 成等比数列”等价于“G 2＝ab (a ，b 均不为0)”，可以用它来判断或证明三数成等比数列．练习：方程x 2－5x ＋4＝0的两根的等比中项是( )A.52 B ．±2 C ．±5 D ．23．等比数列的通项公式首项为a 1，公比为q 的等比数列的通项公式是a n ＝a 1q n －1______.破疑点：(1)在已知a 1和q 的前提下，利用通项公式a n ＝a 1·q n －1可求出等比数列中的任意一项．(2)在等比数列中，已知a 1、n 、q 、a n 四个量中的三个，可以求得另一量，即“知三求一”．(3)等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1，还可以改写为a n ＝a 1q q n ，当q >0，且q ≠1时，y ＝q x 是一个指数函数，而y ＝a 1q ·q n 是一个不为0的常数与指数函数的积．因此等比数列{a n }的图象是函数a n ＝a 1q ·q n 的图象上一群孤立的点．练习：已知等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________.考点一：等比数列通项公式例1、已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .跟踪练习：在等比数列{a n}中，(1)a4＝2，a7＝8，求a n；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，a n＝1，求n.考点二：等比中项例2、等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{a n}的前10项之和是()A．90 B．100 C．145 D．190跟踪练习：等差数列{a n}中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中项，则a1＋a3＋a9＝________.a2＋a4＋a10考点三：等比数列的实际应用例3、培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒(保留两个有效数字)?跟踪练习：容积为a L(a>1)的容器盛满酒精后倒出1L，然后加满水，再倒出1L混合溶液后又用水加满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应倒出几次后才可能使酒精浓度低于10%?考点四：等比数列的判定例4、已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1，b n＝a n＋1(n∈N*)(1)求证{b n}是等比数列；(2)求{a n}的通项公式．跟踪练习：在数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝2a na n＋1，证明数列{1a n－1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式．例：等比数列{a n}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5、a7的等比中项．2.4.2 等比数列的性质1.等比数列{a n}的一些简单性质(1)对于任意正整数n、m都有a na m＝qn－m.(2)对任意正整数p、q、r、s，若p＋q＝r＋s，则_______________特别地，若m ＋n＝2p，则a m·a n＝______.(3)对任意常数k(k≠0)，{ka n}仍成等比数列，公比为_____.(4){a n}、{b n}都是等比数列，则{a n b n}与{a nb n}都是等比数列，且公比分别为原公比的________．(5)等比数列{a n }中，等间隔(即序号成等差数列)的项仍成等比数列；等间隔的k 项之和(或积)仍成等比数列．如：a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1…成等比数列．a 1，a 4，a 7，…，a 3n －2…成等比数列．a 3，a 7，a 11，…，a 4n －1…成等比数列．a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…，a 2n －1＋a 2n …成等比数列等等．(6){a n }是有穷等比数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积．即：a 1a n ＝a 2___________＝a 3_________＝…＝a k______________.练习：(1)等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5＝________；(2)已知{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝( )A ．5B ．10C ．15D ．202．等比数列的单调性(1)当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时，等比数列{a n }为递增数列；(2)当a 1>0,0<q <1或a 1<0，q >1时，等比数列{a n }为递减数列；(3)当q ＝1时，数列{a n }是常数列；(4)当q <0时，数列{a n }是摆动数列．练习：等比数列{a n }中，首项为a 1，公比为q ，则下列条件中，使{a n }一定为递减数列的条件是( )A ．|q |<1B ．a 1>0，q <1C ．a 1>0,0<q <1或a 1<0，q >1D ．q >13．等比数列中的设项方法与技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a ，aq ，aq 2或a q ，a ，aq .(2)若四个数成等比数列，可设a ，aq ，aq 2，aq 3；若四个数均为正(负)数，可设a q 3，a q ，aq ，aq 3.练习：有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，则这四个数为________．考点一：等比数列的性质例1、在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，则a 10＝__________.跟踪练习：(1)在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11＝__________.(2){a n }为等比数列，且a 1a 9＝64，a 3＋a 7＝20，则a 11＝________.考点二：对称法设未知项例2、已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．跟踪练习：三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，则这三个数为________．考点三：等比数列的综合应用例3、设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12a n (n 为偶数)a n ＋14 (n 为奇数).记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，….(1)求a 2、a 3；(2)判断数列{b n}是否为等比数列，并证明你的结论．跟踪练习：在公差不为零的等差数列{a n}和等比数列{b n}中，已知a1＝1，且a1＝b1，a2＝b2，a8＝b3.(1)求数列{a n}的公差d和数列{b n}的公比q；(2)是否存在常数a，b使得对一切正整数n，都有a n＝log a b n＋b成立？若存在，求出a和b；若不存在，说明理由．例：三个正数能构成等比数列，它们的积是27，平方和为91，则这三个数为________．。
高中数学教学课例《等比数列》课程思政核心素养教学设计及总结反思
比数列的定义，激起学生的好奇心，也容易让学生接纳， 激发学生求知欲望，并且积极思考。
＜三＞探索问题 等比数列的通项公式： 法一：不完全归纳法 等差数列等比数列 类比 …… 由此归纳等差数列由此归纳等比数列的通项公式 可得 得 的通项公式可得： 【设计意图】：类比等差数列的不完全归纳法，进 而归纳得到等比数列的通项公式 法二：累加法 【设计意图：】类比等差数列求通项公式的方法， 通过叠乘法得到等比数列的通项公式。同时也渗透方程 思想，可“知三求一”。培养学生不断探究，归纳总结 的能力。 ＜四＞例题分析 例 1.一个等比数列的第３项和第４项分别是１２ 和１８，求它的第１项和第２项．
其通项公式，并能运用定义及其通项公式解决一些简单
的实际问题。
教学目标
2、能力目标：培养用不完全归纳法去发现并解决
问题的能力（即归纳、猜想能力），方程的思想，计算
能力。
3、情感目标：通过对等比数列通项公式的推导，
培养学生发现意识、创新意识。
由于前面已经讲过等差数列，学生对数列的知识已
学生学习能 经有所了解，但是大部分学生数学基础较差，理解能力，
＜六＞作业及思考题
1、课本 P144 练习 A 第 1、2、4 题。
2、对照等差数列，试猜想等比数列的一些相应的
性质。
3、探究活动：
①一位数学家曾经说过，你如果能将一张报纸对折
38 次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球。
②一尺之棰，日取其半，万世不竭
【设计意图】：根据学生素质的差异进行分层训练，
既使学生掌握基础知识，达到“温故而知新”的效果，
又使学有余力的学生有所提高。
<新课程改革纲要>提出,要"改变课程实施过于强
调接受学习,死记硬背、机械训练的现状,倡导学生主动
等比数列及其性质
等比数列及其性质等比数列是数学中经常出现的一种数列，它具有一些独特的性质和规律。
在本文中，我将介绍等比数列的概念、常见性质以及它在数学问题中的应用。
一、等比数列的定义及表示方法等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等。
这个比值称为等比数列的公比，常用字母q表示。
用数学符号表示，一个等比数列可以写成：a，aq，aq^2，aq^3，...，其中a是首项，q是公比。
二、等比数列的性质1. 通项公式等比数列的通项公式表示了数列中任意一项与首项之间的关系，在求解等比数列问题时非常有用。
设等比数列的首项为a，公比为q，第n项为an，那么等比数列的通项公式为：an = a * q^(n-1)。
2. 前n项和等比数列的前n项和是指数列中前n项的和。
求解等比数列的前n 项和可以通过以下公式得到：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)，其中Sn表示前n项和。
3. 公比的范围公比q的范围决定了等比数列的性质。
当-1 < q < 1时，等比数列的绝对值趋于0，这样的数列被称为收敛的。
当q大于1或小于-1时，等比数列的绝对值呈指数增长或指数衰减，这样的数列被称为发散的。
4. 等比数列的倍数关系在等比数列中，任意一项与其前一项的比值都等于公比q。
这意味着，一个等比数列中的任意一项都是它前一项乘以公比得到的。
这种倍数关系在数学问题中经常被应用到。
三、等比数列的应用等比数列的概念和性质在数学问题中有广泛的应用，下面以几个例子来说明：1. 货币利率问题假设我们有一笔存款，年利率为r，每年我们都将本金和利息再次存入银行，形成一个复利等比数列。
我们可以利用等比数列的公式和性质来计算多年后的本利和。
2. 音乐音调问题音乐中的音调通常是以等比数列的形式排列的，每个音调的频率与前一个音调的频率之比就是公比。
通过分析等比数列的性质，我们可以得出音调之间的倍数关系，帮助我们理解音乐的构成和演奏。
2021版新高考数学一轮教师用书：第6章 第3节 等比数列及其前n项和 Word版含答案
第三节 等比数列及其前n 项和[考点要求] 1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．(对应学生用书第106页)1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的数学表达式为a n ＋1an ＝q (n ∈N *，q 为非零常数).(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab ．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m .(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1（q ＝1），a 1（1－q n）1－q ＝a 1－a n q 1－q （q ≠1）.[常用结论]等比数列的常用性质1．在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ．2．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍然是等比数列．3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，其中当公比为－1时，n 为偶数时除外．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a （1－a n ）1－a.( )(5)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 二、教材改编1．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C ．4 D ．±42．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A ．13 B ．－13 C ．19 D ．－193．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________． 4．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB(1 GB ＝210 MB).(对应学生用书第106页)考点1 等比数列的基本运算等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n 项和公式时，注意分q ＝1和q ≠1两类分别讨论．1.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________． 3．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 2＝________． 4．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .抓住基本量a 1, q ，借用方程思想求解是解答此类问题的关键，求解中要注意方法的择优． 考点2 等比数列的判定与证明判定一个数列为等比数列的常见方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 是不为零的常数)，则数列{a n }是等比数列；(2)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋，a n ≠0)，则数列{a n }是等比数列； (3)通项公式法：若a n ＝Aq n －1(A ，q 是不为零的常数)，则数列{a n }是等比数列．设数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝53，a n ＋2＝53a n ＋1－23a n ，令b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *) (1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[逆向问题] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *). (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ，若不存在，请说明理由．[解] (1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－3，解得a 1＝3， 当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－6，解得a 2＝9， 当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－9，解得a 3＝21. (2)假设{a n ＋λ}是等比数列，则(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)(a 3＋λ)， 即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3. 下面证明{a n ＋3}为等比数列：∵S n ＝2a n －3n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－3n －3，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3，即2a n ＋3＝a n ＋1， ∴2(a n ＋3)＝a n ＋1＋3，∴a n ＋1＋3a n ＋3＝2， ∴存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝6，公比为2的等比数列． ∴a n ＋3＝6×2n －1，即a n ＝3(2n －1)(n ∈N *).(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与通项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)已知等比数列求参数的值，常采用特殊到一般的方法求解，如本例的逆向问题．[教师备选例题]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n－a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列；(2)求{a n }和{b n }的通项公式． 考点3 等比数列性质的应用等比数列性质的应用可以分为3类 (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形．(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(1)[一题多解]已知数列{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 (2)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2B ．73C ．310 D ．1或2(3)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，特别关注项a n 或和S n 的下角标数字间的内在关系，活用性质，减少运算量，提高解题速度．[教师备选例题]数列{a n }是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式a n ＝________.12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1 [设此数列{a n }的公比为q ，由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，所以S 奇＝3S 偶，所以q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1a 2a 3＝64，即a 1(a 1q )(a 1q 2)＝a 31q 3＝64，所以a 1q ＝4.又q ＝13，所以a 1＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.]1.已知数列{a n }是等比数列，若a 2＝1，a 5＝18，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N ＋)的最小值为( )A ．83 B ．1 C ．2 D ．32．等比数列{a n }满足a n ＞0，且a 2a 8＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 9＝________．。
第四章4.3.1第2课时 等比数列的应用及性质PPT课件(人教版)
(2)已知数列{an}是首项为
2，公差为－1
的等差数列，令
bn＝
1 2
an
，
求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.
解 依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是 bn＝123－n. 12－n
而bbn＋n 1＝213－n＝12－1＝2. 2
证明 由已知，有2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋3·aa55，
∴a4＝a23a＋3·aa55.
④
由①得 a2＝a2 a3·a23a＋3·aa55.
∴a3＝aa1＋3＋aa35a5， 即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3). 化简，得 a23＝a1·a5.
1
所以a8＝103
3
同理 a4a5a6＝a35＝ a52
3
2=
a2a8
3 1 1 2
1
2 53 103 =502 =5
2
三、等比数列的判定与证明
例3 已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4. (1)求a1的值；
解 因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4， 解得a1＝3.
abnn也都是等比数列，公比分别为 pq 和 q .
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个
繁育成
A.64
√ B.128
C.256
D.255
解析 某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次， 所以经过2小时，这种细菌由1个繁育成28＝256.
2020届高考数学二轮教师用书：第五章第3节 等比数列及其前n项和 Word版含解析
第3节 等比数列及其前n 项和1．等比数列的概念(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于 同一个非零 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式：a na n －1＝ q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的 等比中项 ，其中G ＝ ±ab . 2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝ a 1q n －1 ； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝ a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .推广：当q ≠0,1时，{a n }是等比数列⇔S n ＝Aq n －A (A 为常数且A ≠0)． 3．等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝ a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *，特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.(2)等比数列{a n }的单调性当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是 递增 数列； 当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是 递减 数列； 当q ＝1时，数列{a n }是 常数列 .(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为 q m (k ，m ∈N *)．(4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为 q n .等比数列的主要性质设数列{a n }是首项为a 1，公比是q 的等比数列，S n 是其前n 项和．1．若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．2．S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .3．若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3n T 2n，…成等比数列．4．若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .5．等比数列{a n }的单调性当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }为递增数列，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }为递减数列．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( ) (3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (4)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (5)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× [小题查验]1．已知等比数列{a n }的公比为正数，且公比a 2·a 6＝9a 4，a 2＝1，则a 1的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－13D.13解析：D [{a n }是公比为正数的等比数列，设公比为q ， 则a 2·a 6＝a 24，∴a 24＝9a 4，∴a 4＝9.∴q 2＝a 4a 2＝9. ∴q ＝3.∴a 1＝a 2q ＝13.故选D.]2．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：B [设顶层灯数为a 1，q ＝2 ，S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.]3．(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．2解析：C [应用等比数列前n 项和公式解题时，要注意公比是否等于1，防止出错．设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，，∴a 3＝a 1q 2＝4，故选C.]4．(教材改编)在等比数列{a n }中，已知a 1＝－1，a 4＝64，则q ＝ ________ ，S 4＝ ________ .答案：－4 515．设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝ ________ .解析：设等比数列{a n }公比为q ，由已知a 1＝1，a 3＝4， 得q 2＝a 3a 1＝4，又{a n }的各项均为正数，∴q ＝2.而S k ＝1－2k1－2＝63，∴2k －1＝63，解得k ＝6.答案：6考点一 等比数列的基本运算(自主练透)[题组集训]1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84解析：B [设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.]2．(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝ ________ .解：设{a n }的公比为q ，则1＋q ＋q 2＝34，解得q ＝－12，∴S 4＝1－12＋14－18＝58.答案：583．(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝ ________ .解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q )＝－1，a 1(1－q 2)＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝－2，则a 4＝a 1q 3＝－8. 答案：－8解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.提醒：运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论．考点二 等比数列的判定与证明(师生共研)逻辑推理——等比数列判定与证明中的核心素养根据等比数列的定义、性质等对一个数列是否是等比数列作出判断与证明，是从一般到特殊的推理，使学生学会有逻辑地思考问题，形成合乎逻辑的思维品质，是高中生必须具备的最基础又应用最广的一种核心素养．[典例] (2018·全国Ⅰ卷)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．[思维导引] (1)由数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，的递推关系式先求出a 2，a 3，再利用b n ＝a nn 求b 1，b 2，b 3；(2)定义法判定并证明数列{b n }为等比数列；(3)先求出数列{b n }的通项公式．[解] (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． [跟踪训练](2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ， 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.考点三 等比数列的性质及应用(师生共研)[典例]1．已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 2－a 27＋2a 12＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 3b 11等于( )A ．16B ．8C ．4D ．2[解析] A [由等差数列性质得a 2＋a 12＝2a 7，所以4a 7－a 27＝0，又a 7≠0，所以a 7＝4，b 7＝4，由等比数列性质得b 3b 11＝b 27＝16，故选A.]2．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝ ________ .[解析] 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36， 所以n ＝14， [答案] 143．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝ ________ .[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.[答案] 2等比数列性质应用中的常见题型与求解策略：[跟踪训练]1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，(a 1＋a 3)(a 5＋a 7)＝4a 24，则下列结论中正确的是( )A ．数列{a n }是递增数列B ．数列{a n }是递减数列C ．数列{a n }是常数列D ．数列{a n }有可能是递增数列也有可能是递减数列解析：C [各项均为正数的等比数列{a n }中，因为(a 1＋a 3)(a 5＋a 7)＝4a 24成立，即a 1a 5＋a 1a 7＋a 3a 5＋a 3a 7＝4a 24成立．利用等比数列的定义和性质化简可得a 23＋a 24＋a 24＋a 25＝4a 24，进一步化简得a 23＋a 25＝2a 24. 设公比为q ，则得a 21q 4＋a 21q 8＝2a 21q 6，化简可得1＋q 4＝2q 2，即(q 2－1)2＝0，所以q 2＝1，故q ＝1(由于各项均为正数的等比数列，故q ＝－1舍去)．故此等比数列是常数列．故选C.]2．等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为Sn ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝ ________ .解析：由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.答案：－121．(2020·石家庄市模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16，则a 6＝( ) A ．28 B ．32 C ．64D ．14解析：B [设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2＝2，a 5＝16， ∴a 1q ＝2，a 1q 4＝16，解得a 1＝1，q ＝2.则a 6＝25＝32.]2．(2020·沈阳市模拟)已知数列{a n }为等比数列，且a 2a 3a 4＝－a 27＝－64，则tan ⎝⎛⎭⎫a 4a 63·π＝( )A. 3 B ．－ 3 C ．－33D ．±3解析：B [数列{a n }为等比数列，且a 2a 3a 4＝－a 27＝－64＝a 33，则a 3＝－4，a 7＝±8根据等比数列的性质可得a 7＝8舍去， ∴a 7＝－8，∴a 4a 6＝a 3·a 7＝32，∴tan ⎝⎛⎭⎫a 4a 63·π＝tan ⎝⎛⎭⎫323π＝tan ⎝⎛⎭⎫10π＋π－π3 ＝－tan π3＝－ 3.]3．(2020·淮北市一模)已知等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则a 7－a 9a 5－a 7的值为( )A ．3B ．5C ．9D ．25解析：D [根据题意，等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45， 则有a 6＝a 4a 7a 5＝15，则q ＝a 6a 5＝5，则a 7－a 9a 5－a 7＝a 5·q 2－a 7·q 2a 5－a 7＝q 2＝25.] 4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n )解析：C [∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12.∴a n a n ＋1＝a 21q 2n －1＝24⎝⎛⎭⎫122n －1＝8⎝⎛⎭⎫14n －1， ∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝323(1－4－n )．] 5．(2020·大庆市一模)数列{a n }为正项递增等比数列，满足a 2＋a 4＝10，a 23＝16，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10等于( )A ．－45B ．45C ．－90D ．90解析：D [因为{a n }为正项递增等比数列，所以a n ＞a n －1＞0，公比q ＞1. 因为a 2＋a 4＝10 ①，且a 23＝16＝a 3·a 3＝a 2·a 4② 由①②解得a 2＝2，a 4＝8.又因为a 4＝a 2·q 2，得q ＝2或q ＝－2(舍)．则得a 5＝16，a 6＝32， 因为log2a 1＋log2a 2＋…＋log2a 10＝5log2a 5a 6＝5log 216×32＝5×9log 22＝45×2log 22＝90.]6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －1－3，则m ＝ ________ . 解析：a 1＝S 1＝m －3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝m ·2n －2， ∴a 2＝m ，a 3＝2m ，又a 22＝a 1a 3， ∴m 2＝(m －3)·2m ，整理得m 2－6m ＝0， 则m ＝6或m ＝0(舍去)． 答案：67．(2020·漳州市模拟)等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＞0，其前n 项和为S n ，若a 2是－a 3，a 4的等差中项，则S 6的值为 ______ .解析：假设公比为q ，则可列方程2q ＝－q 2＋q 3，解得q ＝0或2或－1， 其中满足条件的公比只有2.则S 6＝1－261－2＝63.答案：638．已知数列{a n }是等比数列，a 1，a 2，a 3依次位于表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a 1，a 2，a 3中任何两个都不在同一列，则a n ＝ ________ (n ∈N *).解析：观察题中的表格可知a 1，a 2，a 3分别为2,6,18，即{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n ＝2·3n －1.答案：2·3n －19．(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解：(1)∵a 5＝4a 3，∴q 2＝4，∴q ＝±2. 当q ＝2时，a n ＝2n－1当q ＝－2时，a n ＝(－2)n －1∴{a n }的通项公式为a n ＝2n －1或a n ＝(－2)n －1.(2)当q ＝2时，S m ＝1－2m1－2＝63，解得m ＝6.当q ＝－2时，S m ＝1－(－2)m1＋2＝63.无解．∴m ＝6.10．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15，∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．。
等比数列的概念(教案)
§2.4 等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式一、教学内容《等比数列》是普通高中课程标准试验教科书《数学》必修5第二章《数列》第四节，内容较多，设置了两个课时，第1课时为等比数列的概念及通项公式.等比数列在我们的学习和生活中有着广泛的实际应用，例如：物理、化学、生物等均有涉及，通过该内容的学习，能够培养学生的多种数学能力。
而且它在教材中起着承前启后的作用，一方面，等比数列是一种特殊的数列，与等差数列既有区别，也有联系，另一方面，它又对进一步学习数列及其应用等内容作准备，且等比数列又是高考的考点之一。
所以本节内容比较重要，地位较突出.二、教学目标1.知识与技能：①通过学习，能说出等比数列的概念，并会使用符号语言表示；②初步掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；③运用等比数列的通项公式解决一些简单的有关问题.2.过程与方法：通过慨念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想，培养学生观察、比较、概括、归纳等数学能力及思想方法，增强应用意识.3.情感、态度与价值观：通过对等比数列概念的归纳,培养学生科学严谨的思维习惯以及合作探究的精神，体会类比思想.三、教学重难点1.重点：等比数列、等比中项的概念的形成，通项公式的推导及运用.2.难点：等比数列通项公式推导方法的获取.四、学情分析高一学生已经初步形成了自己的学习习惯，好奇心强，有着自主的探究能力和思考辨别能力.但通过考试成绩的分析可以看出，学生基础薄弱，知识的引入及理解都应多加强调，在教学中，需要多设计问题，化难为易，循序渐进，以问题串为载体引导学生分析问题，解决问题.五、教法与学法教法：1.直观演示法：利用多媒体课件直观的展示数列，便于学生观察，发现数列特征.2.活动探究法：引导学生通过创设生活情境获取知识，以学生为主体，使学生的独立探索性得到充分的发挥，培养学生的自学能力、思维能力、活动组织能力.3.集体讨论法：针对学生提出的问题，组织学生进行集体和分组讨论，促使学生在学习中解决问题，培养学生的团结协作的精神.学法：等差数列的概念及通项公式启发我们，使用类比的方法，学习等比数列的概念，通项公式的两种推导方法.六、教学用具多媒体，三角板，彩色粉笔，电子笔七、授课类型新授课八、教学过程（一）课前复习1.等差数列的概念2.通项公式.（二）新授课1.课堂探究1课本48页4个实例.①细胞分裂个数构成的数列②“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，将“一尺之锤”看成单位“1”，得到的数列③计算机每轮感染的数量构成的数列④银行存款中，每一年的本利和得到的数列思考：类比等差数列的定义，这4个数列项与项之间都有什么共同特征？试将共同特征用语言叙述出来，并用符号表示.【师生活动】教师引导学生从生活中的实例出发，借助等差数列的概念进行类比推理.【设计意图】以学生熟悉的等差数列的概念为背景，通过思考，引导学生进行分析，使学生形成“等比数列是后一项与前一项的比是同一常数的数列”的感知，从而流畅自然的引出等比数列的概念.2.等比数列的概念一般地，如果一个数列从第．．2．项起．．，每一项与它的前一项的比．等于同一常数．．．．，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用字母q )0(≠q 来表示.用数学符号表示为：}{n a 是等比数列⇔),2,0(1+-∈≥≠=N n n q q a a n n 且 【师生活动】在上一个环节的基础上，教师引导学生给出等比数列的概念.【设计意图】流畅的引出等比数列的概念，使学生理解等比数列.3.对概念的再认识（1）公比是否能等于0？ 等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）公比q>0的等比数列有什么特征？公比q<0的等比数列有什么特征？【师生活动】教师引导学生，观察等比数列中的各项的要求.【设计意图】使学生很自然的对等差、等比数列的异同点进行初步认知. 例1.判断下列数列是否为等比数列?若是,找出公比；若不是,请说明理由．① 1, 4, 16, 32．② 0, 2, 4, 6, 8.③ 1,－10,100,－1000,10000．④ 81, 27, 9, 3, 1.⑤ a a a a a ,,,,【师生活动】学生根据等比数列的概念进行判断.【设计意图】1.让学生体会等比数列中公比可正可负，可以大于1，也可以小于1.2.让学生体会等比数列中不能出现0.3.体会非零常数列既是等差数列，又是等比数列.4.课堂探究2 等比数列的通项公式)(11+-∈=N n q a a n n方法：累乘法【师生活动】教师引导学生回顾等差数列的通项公式推导过程，引导学生类比推导等比数列的通项公式.【设计意图】培养学生小组合作，类比推理的学习能力.5.对通项公式的再认识① 等比数列通项公式11-=n n q a a 中，是公比的．．．1-n 次方．．. ② 写出通项公式需已知的量是首项．．与公比．．，它们均不为．．．0.【师生活动】教师引导学生从等比数列的定义，通项公式的形式，推导过程，对通项公式进行再认识.【设计意图】熟练掌握等比数列的通项公式以及常用变形式.（三）练习导学案上的练习题九、课堂小结1.等比数列的概念2.等比数列的通项公式及推导方法 11-=n n q a a3.本节课所运用的数学思想方法十、课后作业练习册2.4.1等比数列的概念和通项公式十一、板书设计十二、教学反思（附页）。
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1.4等比数列的概念及其简单性质（教师用）知能点全解：知能点一：等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前面相邻一项之比为同一个常数，则这个数列叫做等比数列。
特别说明：1、定义还可以表述为：数列{}n a 中，若1n na q a +=（常数）。
则称{}n a 为等比数列。
2、由于等比数列每一项都可以作分母，故每一项均不为0，即0,0n a q ≠≠。
3、定义中的“同一个”常数，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉。
4、常数列都是等差数列；非零常数列都是等比数列。
例 1：下面四个数列：①1,1,2,4,8,16,32,64；②数列{}n a 中，已知32122,2a a a a ==；③常数列,,,,,a a a a ； ④在数列{}n a 中，1n na q a +=（常数），其中n N *∈。
其中是等比数列的有 ④ 。
知能点二：等比数列的通项公式Ⅰ第一通项公式：11n n a a q -=()0q ≠，1a 为首项，q 为公比。
Ⅱ第二通项公式：()0n m n m a a q q -=≠例 2：在等比数列中（1）若427,3a q ==-，求7a ； （2）2418,8a a ==，求1,a q ； （3）514215,6a a a a -=-=，求3a 。
解：（1）∵3744,27,3a a q a q ===-∴()37273729a =⨯-=-（2）∵242a a q = ∴4282183a q a =±=±=± 当23q =时，由21a a q =，可得127a =；当23q =-时，同理可得127a =-。
（3）由已知得41131115 (1)6 (2)a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 由(1)(2)得：2152q q += ∴12q =或2q = 当12q =时，213116,4a a a q =-==-；当2q =时，21311,4a a a q ===。
知能点三：等比中项若a 、G 、b 成等差数列，则G 叫做a 与b 的等比中项，此时G ab =±。
特别说明：1、在a 、b 同号时，a 、b 的等比中项有两个；在a 、b 异号时，a 、b 没有等比中项。
2、“a 、G 、b 成等差数列”等价于“2G ab =”，可以用它来判断或证明三数成等比数列。
知能点四：等比数列的简单性质1、在等比数列{}n a 中，若()2,,,,m n p q k m n p q k N *+=+=∈，则2m n p q ka a a a a == 。
2、在等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项，仍称等比数列。
3、若{}n a ，{}nb 是项数相同的等比数列，则{}{}1,,,n n n n n n a a a b a b λ⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭仍是等比数列。
4、若{}n a 是等差数列，则{}na b 为等比数列；若{}na 是等比数列，则{}lg na 为等差数列。
5、等比数列的增减性{}1100101n a a a q q ><⎫⎫⇒⎬⎬><<⎭⎭或为递增数列；{}1100011n a a a q q ><⎫⎫⇒⎬⎬<<>⎭⎭或为递减数列。
{}1n q a =⇒为常数列；{}0n q a <⇒为摆动数列。
例 3：已知等比数列{}n a ，若1231237,8a a a a a a ++== ，求n a 。
解：∵2132a a a = ∴312328a a a a == ∴23a =∴131354a a a a +=⎧⎨=⎩ ∴134,1a a ==或131,4a a == ∴12n n a -=或32n n a -=例 4：设数列{}n a 是等差数列，12n nab ⎛⎫= ⎪⎝⎭，已知123123211,88b b b b b b ++== ，求{}n a 。
解：设数列{}n a 的公差为d ，则111122n n n n da ab b ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ∵12d⎛⎫⎪⎝⎭为非零常数 ∴{}n b 是等比数列，设其公比为q 。
∵12312321818b b b b b b ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴2223221818b b b q q b ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴212b = ∴1121128q q ⎛⎫++= ⎪⎝⎭∴241740q q -+= ∴144q q ==或当4q =时，5211111,4882nn n b b --⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭∴52n a n =-当14q =时，1231112,242n n n b b --⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴23n a n =-例 5：已知数列{}n a 是各项为正的等比数列，且1q ≠，试比较18a a +与45a a +的大小。
解：()()()()()()()()333184********5111a a a a a a a a a q a q qaa +-+=---=---=--由于当01q <<时，此正数等比数列单调递减，31q -与15a a -同为正数当1q >时，此正数等比数列单调递增，31q -与15a a -同为负数∴()()1845a a a a +-+恒正 ∴1845a a a a +>+知能点演练：一、选择题1、某种细胞每隔20分钟分裂1次，1个分裂成2个，则1个这样的细胞经过3小时20分后，可得到的细胞个数为（ C ）A 、512个B 、511个C 、1024个D 、1023个2、若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为（ B ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 3、若{}n a 是等比数列，且4652a a a =-，则公比q =（ C ）A 、0B 、1或2-C 、1-或2D 、1-或2- 4、若,22,33k k k ++是等比数列的前3项，则第4项为（ B ）A 、12B 、13.5-C 、13.5D 、27- 5、已知公比为q 的等比数列{}n a ，若22n n n b a a +=+，则数列{}n b 是（ A ）A 、公比为q 的等比数列B 、公比为2q 的等比数列C 、公差为q 的等差数列D 、公差为2q 的等差数列6、在正项等比数列{}n a 中，199,a a 是方程210160x x -+=的两个根，则405060a a a 的值为（ D ） A 、32 B 、256 C 、64± D 、647、在3和9之间插入两个正数，使前3数成等比数列，后3数成等差数列，则这两个正数的和为（ B ）A 、272 B 、454 C 、252D 、474 8、在等比数列{}n a 中，0n a >且21431,9a a a a =-=-，则45a a +的值为（ B ） A 、16 B 、27 C 、36 D 、81 9、已知0a b c <<<，且,,a b c 成等比数列，n 为大于1的整数，则log ,log ,log a b c n n n 成（ C ）A 、等差数列B 、等比数列C 、各项倒数成等差数列D 、以上都不对 10、已知128,,,a a a 为各项都大于零的等比数列，公比1q ≠，则（ A ） A 、1845a a a a +>+ B 、1845a a a a +<+C 、1845a a a a +=+D 、1845a a a a ++与的大小关系不能由已知条件确 11、已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a 是不为零的常数），那么数列{}n a （ C ） A 、一定是等差数列 B 、一定是等比数列C 、等差数列或是等比数列D 、既不可能是等差，也不可能是等比数列 12、已知等比数列{}n a 各项均为正数，且1321,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a +=+（ B ） A、12 B、12 C、12- D13、若实数,,a b c 成等比数列，则函数()2f x ax bx c =++的图像与x 轴的交点个数是（ A ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、不确定 14、在等比数列{}n a 中，3456793,24a a a a a a == ，则91011a a a = （ D ） A 、48 B 、72 C 、144 D 、192 15、在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a = ，则313233310l og l o g l o g l o g a a a a++++ 等于（ B ）A 、8B 、10C 、12D 、32log 5+ 16、给定公比为()1q q ≠的等比数列{}n a ，设1123245632,,,n n b a a a b a a a b a -=++=++=313,n n a a -++ ，则数列{}n b 是（ C ）A 、等差数列B 、公比为q 的等比数列C 、公比为3q 的等比数列D 、既非等差又非等比数列 17、三个互不相等的实数,1,a b 依次成等差数列，且22,1,a b 依次成等比数列，则11a b+的值为（ B ） A 、2 B 、2- C 、2或2- D 、不确定 二、填空题18、在等比数列{}n a 中，已知4738512,124a a a a =-+= ，且公比为整数，则10a 512 。
19、非零实数,,a b c 成等差数列，若a 加1，,b c 不变，或是,a b 不变，c 加2，都可以按同样的顺序成等比数列，则a 8 ，b 12 ，c 16 。
20、已知129,,,1a a --四个实数成等差数列，1239,,,,1b b b --五个实数成等比数列，则()221b a a - 8- 。
21、三个数11,1,a c 成等差数列，三个数22,1,a c 成等比数列，则22a c a c+=+ 1或-13 。
22、已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++=++ 1316 。
23、在数列{}n a 、{}n b 中，12a =，且对任意自然数n ，130,n n n a a b +-=是n a 与1n a +的等差中项，则{}n b 是 首项为4,3公比为13的等比数列 。
24、下列命题中，正确命题的序号为 ①②④ 。
①若{}n a 为等比数列，且),,,k l m n k l m n N *+=+∈，则k l m n a a a a = ；②若{}n a 为等比数列，公比为q ，则{}2n a 也是等比数列，公比为2q ；③若{}n a 为等比数列，公比为q ，则{}212n n a a -+也是等比数列，公比为2q ；④若{}n a 、{}n b 是等比数列，则{}n n a b 也是等比数列。