【配套K12】2018年高考数学二轮总复习第一部分专题攻略专题六解析几何十四椭圆双曲线抛物线课时作业

∴以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的方程为：(x－1)2＋y2＝4.
答案：B
5．若双曲线 － ＝1的离心率为 ，则其渐近线方程为()
A．y＝±2xB．y＝± x
C．y＝± xD．y＝± x
解析：双曲线的离心率e＝ ＝ ＝ ，可得 ＝ ，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝± x.
解析：(1)设双曲线C2的方程为 － ＝1(a>0，b>0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故双曲线C2的方程为 －y2＝1.
(2)将y＝kx＋ 代入 －y2＝1，
得(1－3k2)x2－6 kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，
得
∴k2<1且k2≠ .①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则12＝y1＋y2＝2(k1＋k2)＋4p＝ ＋4p，
∴p2－3p＋2＝0，解得p＝1或p＝2.
答案：1或2
15．已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
课时作业(十四)椭圆、双曲线、抛物线
1．(2017·浙江卷)椭圆 ＋ ＝1的离心率是()
A. B.
C. D.
解析：∵椭圆方程为 ＋ ＝1，
∴a＝3，c＝ ＝ ＝ .
∴e＝ ＝ .
故选B.
答案：B
2．已知k<4，则曲线 ＋ ＝1和 ＋ ＝1有()
A．相同的准线B．相同的焦点
C．相同的离心率D．相同的长轴
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋ )(kx2＋ )
＝(k2＋1)x1x2＋ k(x1＋x2)＋2
＝ .
又∵ห้องสมุดไป่ตู้· >2，即x1x2＋y1y2>2，
∴ >2，即 >0，
解得 <k2<3.②
由①②得 <k2<1，
故k的取值范围为 ∪ .
解析：∵k<4，
∴曲线 ＋ ＝1和 ＋ ＝1都是椭圆．
又9－4＝9－k－(4－k)，
∴两曲线的半焦距相等，故两个椭圆有相同的焦点．
答案：B
3．双曲线 －y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()
A. B.
C. D.
解析：双曲线 －y2＝1的渐近线方程为y＝± ，即x±2y＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为 ＝ .
答案：B
6．(2017·天津卷)已知双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，离心率为 .若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()
A. － ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
解析：由e＝ 知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为y＝±x，由P(0,4)知左焦点F的坐标为(－4,0)，所以c＝4，则a2＝b2＝ ＝8.选项B符合．
答案：C
4．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是()
A．(x－2)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝4
C．(x－2)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝2
解析：抛物线y2＝4x的焦点(1,0)，准线方程为：x＝－1，
∴以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的半径是2，
优解 依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6.
答案：6
14．过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点纵坐标为6，则p的值是________．
②当m＝－6时，圆锥曲线为x2－ ＝1表示双曲线，其中a2＝1，b2＝6，∴离心率e＝ ＝ ＝ ＝ .
答案：C
9．(2017·石家庄市教学质量检测二)已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为()
A. B．1
C．2 D．4
解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)、B(x2，－x2)，∴AB中点坐标为 ，∴ 2－ 2＝2，即x1x2＝2，∴S△AOB＝ |OA|·|OB|＝ | x1|·| x2|＝x1x2＝2，故选C.
答案：C
10．已知F1，F2分别是椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是()
(2)若 ＝2 ， · ＝ ，求椭圆的方程．
解析：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝ c，e＝ ＝ .
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝ ，设B(x，y)．由 ＝2 ，得(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝ ，y＝－ ，即B .将B点坐标代入 ＋ ＝1，得 ＋ ＝1，即 ＋ ＝1，解得a2＝3c2①.又由 · ＝(－c，－b)· ＝ ，得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1②.由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.所以椭圆的方程为 ＋ ＝1.
答案：
13．(2017全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
解析：通解 依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2 ，所以N(0,4 )，|FN|＝ ＝6.
解析：设过点M的抛物线的切线方程为：y＋2p＝k(x－2)与抛物线的方程x2＝2py联立
消y得：x2－2pkx＋4pk＋4p2＝0，①.
根据题意可得，此方程的判别式等于0，∴pk2－4k－4p＝0.
设切线的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝ ，
此时，方程①有唯一解为x＝－ ＝pk，∴y＝ ＝ ＝2(k＋p)．
故双曲线的离心率e＝ ＝ ＝ ，
∴ 1＋m＝3，解得m＝2.
答案：2
12．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
解析：双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为y＝ x，即bx－ay＝0，圆心A到此渐近线的距离d＝ ＝ ，因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°＝ ，即 b＝ ，所以e＝ ＝ .
＝ ·
＝ ·
＝4(m2＋1)．
所以4(m2＋1)＝20，解得m＝±2，
所以直线l的方程是x＝±2y＋1，
即x±2y－1＝0.
17．(2017·陕西省高三教学质量检测试题(一))已知椭圆与抛物线y2＝4 x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若 ＝2 ，求△AOB的面积．
答案：B
7．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为()
A．2 B.
C. D.
解析：设双曲线的一条渐近线方程为y＝ x，
圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为 ＝ .
根据点到直线的距离公式得 ＝ ，
则 由 得
(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以2y0k＝4.
又y0＝2，所以k＝1，故直线l的方程是y＝x－1.
(2)设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线方程联立得 消元得y2－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋1)>0.
|AB|＝ |y1－y2|
16．如图所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．
(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；
(2)若线段|AB|＝20，求直线l的方程．
解析：(1)由已知得抛物线的焦点为F(1,0)．因为线段AB的中点在直线y＝2上，所以直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，
解析：(1)依题意，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，
由题意可得c＝ ，又e＝ ＝ ，∴a＝2.
∴b2＝a2－c2＝2，
∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 ＝2 ，得 .
设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程整理，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，∴x1＋x2＝ ，x1·x2＝ .
A. B.
C. D.
解析：如图所示，
∵线段PF1的中垂线经过F2，
∴PF2＝F1F2＝2c，即椭圆上存在一点P，使得PF2＝2c.
∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝ ∈ .
答案：C
11．(2017·北京卷)若双曲线x2－ ＝1的离心率为 ，则实数m＝________.
解析：由双曲线的标准方程可知a2＝1，b2＝m，c＝ ，
解得b2＝3a2.
所以C的离心率e＝ ＝ ＝ ＝2.
答案：A
8．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x2＋ ＝1的离心率为()