中心对称与中心对称图形--巩固练习
初三数学上册期末考点练习：中心对称和中心对称图形
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中心对称和中心对称图形知识点一 中心对称与中心对称图形中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180︒，如图它能够与另一个图形重合，那么就说这两个U 形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心）.这两个图形再旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.如图，ABO ∆绕着点O 旋转180︒后，与CDO ∆完全重合，则称CDO ∆和ABO ∆关于点O 对称，点C 是点A 关于点O 的对称点.中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 中心对称与中心对称图形的区别与联系：ODABC典例1下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】A. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；故选B.典例2 下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D.【答案】D【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，故选：D.典例3如图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【详解】A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；故选：C．知识点二作中心对称图形的方法中心对称图形的性质：➢中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；➢中心对称的两个图形是全等图形.作中心对称图形的一般步骤（重点）：➢作出已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于中心的对称点——连接关键点和中心，并延长一倍确定关键的对称点.➢把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形.找对称中心的方法和步骤：对于中心对称图形和关于某一点对称的两个图形，它们的对称中心非常重要，找不对称中心是解决先关问题的关键.由中心对称的特征可知，对称中心为对应点连线的中点或两组相对应点连线的交点，因此找对称中心的步骤如下：方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.典例1如图，在小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位(1)画出三角形ABC向右平移4个单位所得的三角形A1B1C1．(2)若连接AA1、CC1，则这两条线段之间的关系是_______．(3)画出三角形ABC绕点O逆时针旋转180°所得的三角形A2B2C2．【答案】(1)见解析；(2)平行且相等；(3)见解析.【详解】(1)见图：(2)平行且相等；(3)见图.典例2如图，在边长为1个单位长度的88 的小正方形网格中.（1）将ABC △先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，作出平移后的A B C '''；（2）请画出A B C '''''△，使A B C '''''△和A B C '''关于点C '成中心对称；（3）直接写出A A B '''''△的面积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3. 【详解】（1）如图所示： （2）如图所示：（3）13232A AB S '''''=⨯⨯=△.知识点三 关于原点对称的点的坐标规律两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点P’(-x ，-y)典例1在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（）A．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称B．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称C．点A与点E（﹣3，4）关于第二象限的平分线对称D．点A与点F（3，﹣4）关于原点对称【答案】D【详解】解：A、点A的坐标为（-3，4），∴则点A与点B（-3，-4）关于x轴对称，故此选项错误；B、点A的坐标为（-3，4），∴点A与点C（3，-4）关于原点对称，故此选项错误；C、点A的坐标为（-3，4），∴点A与点E（-3，4）重合，故此选项错误；D、点A的坐标为（-3，4），∴点A与点F（3，-4）关于原点对称，故此选项正确；故选：D．典例2若点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m，n的值分别为（）A．3-，2 B．3，2-C．3-，2-D．3，2【答案】C【详解】点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，得m=-3，n=-2，故选：C．典例3若P(x，3)与点Q(4，y)关于原点对称，则xy的值是( )A ．12B ．﹣12C ．64D ．﹣64【答案】A【详解】∵()P x,3与点()Q 4,y 关于原点对称， ∴x 4=-，y 3=-， ∴xy 12=． 故选：A ．巩固训练一、单选题（共10小题）1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； C 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确； D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C ． 【名师点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点A 在第一象限，点B 、C 的坐标分别为(2,1)、()6,1，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线AB 交y 轴于点P ，若ABC ∆与A B C '''∆关于点P 成中心对称，则点A '的坐标为（ ）A ．(4,5)--B ．(5,4)--C ．(3,4)--D ．(4,3)--【答案】A【解析】详解：∵点B ，C 的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC ， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴A （4，3），设直线AB 解析式为y=kx+b ，则4321k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AB 解析式为y=x ﹣1， 令x=0，则y=﹣1， ∴P （0，﹣1），又∵点A 与点A'关于点P 成中心对称， ∴点P 为AA'的中点，设A'（m ，n ），则42m +=0，32n+=﹣1， ∴m=﹣4，n=﹣5， ∴A'（﹣4，﹣5）， 故选：A ．3．已知点P （a +1，12a -+）关于原点的对称点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】∵P （1a +，12a -+）关于原点对称的点在第四象限，∴P 点在第二象限，∴10a +<，102a -+>，解得：1a <-，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是．故选C ．4．正方形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕点A 按顺时针方向旋转180°后，C 点的坐标是( )A ．(2，0)B ．(3，0)C ．(2，－1)D ．(2，1)【答案】B【解析】试题解析：AC=2，则正方形ABCD 绕点A 顺时针方向旋转180°后C 的对应点设是C′，则AC′=AC=2， 则OC′=3，故C′的坐标是（3，0）． 故选B ．5．国产越野车“BJ40”中，哪个数字或字母既是中心对称图形又是轴对称图形( )A ．B B ．JC ．4D ．0 【答案】D【解析】选项A 是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；选项B 不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；选项C 不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；选项D 是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确， 故选D ．6．已知点A(a ＋b ，4)与点B(－2，a －b)关于原点对称，则a 2－b 2等于( ) A.8 B.－8 C.5 D.－5【答案】B【详解】∵点A （a+b ，4）与点B （-2，a-b ）关于原点对称，24a b a b +⎧⎨--⎩＝＝， ∴a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）=2×（-4）=-8． 故选：B ． 【名师点睛】考查了关于原点对称点的性质，正确应用平方差公式是解题关键．7．如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠,且组成的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有 ( )A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【答案】C【解析】解：如图所示：组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形， 则这个格点正方形的作法共有4种．故选：C ．8．已知点()11,1p a -和()22,1p b -关于原点对称，则()2008a b +的值为（ ）A ．1B ．0C ．-1D ．()20053-【答案】A【解析】试题解析：根据题意得：a-1=-2，b-1=-1，解得：a=-1 b=0．则（a+b ）2008=1．故选A ．9．如图，已知长方形的长为10cm ，宽为4cm ，则图中阴影部分的面积为（）A．20cm2 B．15cm2 C．10cm2 D．25cm2【答案】A【解析】由图形可知，长方形的面积=10×4=40cm2，再根据中心对称的性质得，图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，则图中阴影部分的面积=1×40=20cm2，故选A．210．将点P（-2，3）向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（）A．（-5，-3） B．（1，-3） C．（-1，-3） D．（5，-3）【答案】C【解析】点P（－2，3）向右平移3个单位得到点P1，则P1(1,3)，点P2与点P1关于原点对称，则P2(−1,−3).故选C．二、填空题（共5小题）11．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=_____．【答案】12【详解】∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，∴a=﹣4，b=﹣3，则ab=12，故答案为：12．【名师点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键.12．若点（a ，1）与（﹣2，b ）关于原点对称，则a b =_______．【答案】12． 【解析】试题分析：∵点（a ，1）与（﹣2，b ）关于原点对称，∴b=﹣1，a=2，∴a b =2−1=12．故答案为：12． 13．已知M （a ，﹣3）和N （4，b ）关于原点对称，则（a+b ）2002=_____．【答案】1【解析】∵M （a ，﹣3）和N （4，b ）关于原点对称，∴a=-4，b=3，∴200220022002()(43)(1)1a b +=-+=-=. 14．点()2,3M -关于x 轴对称的点A 的坐标是________，点M 关于y 轴对称的C 的坐标是________，点M 关于原点对称的点B 的坐标是________．【答案】(-2,-3), (2,3), (2,-3)【详解】点A （-2，3）关于x 轴对称的点的坐标是（-2，-3），关于y 轴对称的点的坐标是（2，3），关于原点对称的点是（2，-3）．故答案为（-2，-3），（2，3），（2，-3）．【名师点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都为互为相反数．15．抛物线y ＝2x 2－4x ＋5绕它的坐标原点O 旋转180°后的二次函数表达式为________．【答案】y =-2（x +1）2-3【解析】详解：y ＝2x 2－4x ＋5＝2(x －1)2＋3，顶点坐标是(1，3)，二次项系数是2，绕原点旋转180°后的二次函数的顶点是(－1，－3)，二次项系数是－2，所以表示式为y ＝－2(x ＋1)2－3.故答案为y ＝－2(x ＋1)2－3.三、解答题（共2小题）16．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的三个顶点分别是(4,2)A -、(0,4)B 、(0,2)C .(1)画出ABC ∆关于点C 成中心对称的△11A B C ；平移ABC ∆，若点A 的对应点2A 的坐标为(0,4)-，画出平移后对应的△222A B C ；(2)△11A B C 和△222A B C 关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ．【答案】(1)画图见解析；（2）（2，-1）.【解析】试题解析：(1)、△A 1B 1C 如图所示， △A 2B 2C 2如图所示； (2)、如图，对称中心为（2，﹣1）．17．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）（1）先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2；（2）△A2B2C2与△ABC是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）画图见解析；（2）（0，2）.【解析】详解：（1）如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求；（2）由图可知，△A2B2C2与△ABC关于点（0，2）成中心对称．。
9.2中心对称与中心对称图形1
课题9.2中心对称与中心对称图形（1）学习内容学习目标：1、通过具体实例理解中心对称和中心对称图形的概念。
2、理解中心对称的基本性质：连接对称点的线段经过对称点并被对称中心平分。
3、能较熟练地画出一个图形关于某点成中心对称的图形。
重点能识别中心对称图形和探索成中心对称的两个图形的基本性质。
难点探索图形之间的变换关系，发展图形的分析能力。
一、创设情境操作：1.用透明的纸覆盖在图9-4上，描出四边形ABCD.2.用大头钉钉在点O处，把四边形ABCD绕点O旋转1800，你发现了什么？一个学生动手操作，其他学生观察，得出“中心对称图形”的定义，并且要知道“中心对称图形是旋转角度为180°的旋转对称图形”2、结合中心对称的定义回答：①中心对称揭示了_____个图形之间的对称关系。
；②中心对称是把一个图形绕某一点作______°旋转与另一个图形重合。
归纳：判断是否中心对称图形的关键在于：1、绕中心点旋转；2、旋转180°；3、与自身重合。
二、新知探究1、画出△ABC关于点O的中心对称图形。
2、△ABC与△DEF关于点O中心对称，作出对称中心。
A﹒OBC2.探究中心对称的性质：中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分。
根据给出的图形，回答下列问题：（1）、该图形的对称中心是（ ）（2）、A 的对称点是（ ），B 的对称点是（ ），C 的对称点是（ ）。
（3）、请你说出图中相等的线段AB=A ’B ’,BC=B ’C ’,AC=A ’C ’归纳：对称图形的对应边相等OA=OA ’,OB=OB ’,OC=OC ’归纳：对称中心是对称点连成的线段的中点三、操作、讨论1、作出△ABC 关于点O 的中心对称图形。
2、作出△ABC 关于点O 的中心对称图形四、巩固提高P61 练习 T1当堂训练：（当堂发给学生）五、课堂小结1．本节课你有哪些收获？2．你还有什么问题或想法需要和大家交流？引导学生从内容上、方法上、情感上小结。
鲁教版(五四制)数学-七年级上册-第二章-轴对称-巩固练习(含答案)
鲁教版数学-七年级上册-第二章-轴对称-巩固练习一、单选题1.如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是，那么这个三角形是（）A. 等边三角形B. 含120°角的等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 含30°角的直角三角形2.下列图形中，可近似看成轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.已知等腰三角形的内角是40°，则另外两个内角的度数分别是（）A. 70°，70°B. 70°，70°或40°，100°C. 40°，40°D. 40°，70°4.下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.5.等腰三角形的顶角为120°，腰长为6，则它底边上的高等于（）A. 3B. 8C. 9D. 76.如图，在中，，，点E在BC的延长线上，的平分线BD与的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是( )A. B. C. D. AC=AB7.第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.8.如图，已知△ABC中，AB=7，AC=5，BC=3，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条二、填空题9.如图，DE是AB的垂直平分线．（1）已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长________（2）若AD平分∠BAC,AD=AC,则∠C= ________10.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________度．11.（题文）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE=________cm .12.如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD 平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB．一定成立的结论有________（填序号）.13.在△ABC中，与∠A相邻的外角是140°要使△ABC是等腰三角形，则∠B 的度数是________.14.如图，在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了320m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C，那么，由此可知，B、C两地相距________m．15.如图，分别以线段BC的两个端点为圆心、适当长度（大于BC长的一半）为半径作圆弧，两弧相交于点D和E；作直线DE交BC于点F；在直线DE上任取一点A（点A不与点F重合），连结AB、AC．若AB=9cm，∠C=60 ，则CF的长为________cm.三、解答题16.如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．17.△ABC中，AD为角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=10cm，AC=8cm，△ABC的面积为54cm2，求DE的长．四、综合题18.如图所示：∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB•的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E．问：（1）图中有几个等腰三角形？为什么？（2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明．19.如图，在长方形ABCD中，把△BCD沿对角线BD折叠得到△BED，线段BE与AD相交于点P，若AB=2，BC=4．（1）BD=________；（2）点P到BD的距离是________．20.已知在纸面上有一数轴(如图所示)，（1）操作一：折叠纸面,使1表示的点与-1表示的点重合，回答一下问题：①-2表示的点与________表示的点重合；②π表示的点与________表示的点重合。
3.3设计中心对称图案学、巩固案
3.2中心对称与中心对称图形学案、巩固案(1)命题人：李芳审核：徐红石时间：2009年10月28日班级：学号：姓名：【预习导学】1．预习书82页，利用课本提供的3幅图案，引导学生观察、探索，它们是否是中心对称图案？如果是，请在书上画出它们对称中心。
2．大家把正方体剪开所形成的平面图形形状是否完全相同？他们那些是轴对称图3．请用6个全等的正方形设计一些中心对称图案4．用线段和圆可以构造出具有某种含义的中心对称图案。
你见过投影中的图案吗？他们分别表示什么含义？请你也用圆和线段设计一些中心对称图案，并写出设计的含义【精讲点拨】例12、利用图形“、”（两个平行线段、两个圆、两个三角形）为还能构思其他满足已知条件的图形吗？并写出一两句贴切、诙谐的解说词。
（奖牌）例2：为了美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案。
要求设计的图案由圆和等边三角形组成（圆和等边三角形的大小、个数不限），并且使整个圆形场地是一个中心对称图形。
请画出你的设计方案。
（画图必须用尺规作图）【反馈矫正】练习：课本P82，练习1、2随堂练⒈下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 （ ）A 圆B 正方形C 等边三角形D 平行四边形2．在计算器上按出两位数“”，这个电子数字可以看成一个中心对称图案。
你还能写出多少个组成中心对称图案的两位数、三位数？3．把如下的26个英文大写字母看成图案，哪些英文大写字母是中心对称图案？A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V WX Y Z4. 如图，由4个全等的正方形组成的L 形图案，请按下列要求画图：⑴在图案①中添加1个正方形，使它成轴对称图案；⑵在图案②中添画1个正方形，使它成中心对称图案；⑶在图案中改变1个正方形的位置，画成图案③，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形5.用9根火柴拼出如图所示的图形，你能移动若干根火柴棒，使它们搭成的图形是中心对称图形吗？至少移动几根？画出移动后的图形。
中心对称和中心对称图形(教案练习）
湘教版数学八年级下册2.3中心对称和中心对称图形课时教学设计课题中心对称和中心对称图形单元 2 学科数学年级八学习目标情感态度和价值观目标让学生经历观察、操作等过程，了解图形旋转的概念，从事图形旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意识．让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激发学习热情．能力目标通过几何操作题，探究猜测发现规律，并给予证明，附加例题进一步巩固．知识目标了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题．重点利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．难点从一般旋转中导入中心对称．学法自主探究，合作交流教法多媒体，问题引领教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课“双鱼”剪纸作品是由两个形状、大小完全相同的图案组成的，这两个图案的位置有怎样的特殊关系？怎样改变其中一个图案的位置，可以使它与另一个图案重合？学生：积极思考带着问题参与新课.设计生活情境问题，激发学生的探究欲望，引入新知教学。
讲授新课观察把△OAB绕点O旋转180°,你有什么发现?△OAB和△OCD完全重合中心对称定义：在平面内，把一个图形上的每一个点P对应到它在绕点O旋转180°下的像P′，这个变换称为关于点O的中心对称.1.点的中心对称点以点O为对称中心，作出点A的对应点A’点A’即为所求的点2.线段的中心对称线段以点O为对称中心，作出线段AB的对称线段A’B’3.在平面内，如果△ABC绕点O旋转180°，得到的像与另一个△DEF重合，那么称这两个图形关于点O中心对称，点O叫作对称中心. 此时，△ABC 上每一个点C与它在△DEF上的对应点E关于点Ｏ对称，从而点Ｏ是线段CE的中点. 学生自己动手画三角形，然后绕点旋转教师提出问题，引导学生观察，得出中心对称的定义让学生分别作点，线段，面的中心对称图形，得出中心对称的性质。
苏科版数学八年级下册9.2《中心对称与中心对称图形》教学设计
苏科版数学八年级下册9.2《中心对称与中心对称图形》教学设计一. 教材分析《中心对称与中心对称图形》是苏科版数学八年级下册第九章第二节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了轴对称的概念和性质的基础上进行学习的，旨在让学生了解中心对称的概念和性质，以及中心对称图形的特点。
教材通过丰富的实例，引导学生探究中心对称图形的性质，从而培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了轴对称的相关知识，对对称性有一定的认识。
但由于中心对称与轴对称在概念和性质上有较大的区别，学生在理解和掌握上可能会有一定的难度。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知差异，针对不同学生的学习情况，采取合适的教学策略，引导学生逐步理解和掌握中心对称的概念和性质。
三. 教学目标1.了解中心对称的概念和性质，能识别中心对称图形。
2.能运用中心对称的性质解决一些简单的问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
四. 教学重难点1.中心对称的概念和性质。
2.中心对称图形的特点。
五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的实例，引导学生观察和操作，从而理解和掌握中心对称的概念和性质。
2.小组合作学习：学生在小组内进行讨论和探究，分享学习心得，培养团队合作精神。
3.启发式教学：教师提问引导学生思考，激发学生的学习兴趣，提高学生的解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作中心对称与中心对称图形的课件，包括图片、动画和例题等。
2.教学素材：准备一些中心对称图形的图片，用于课堂展示和练习。
3.学生活动用品：如剪刀、彩纸等，用于学生的操作活动。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的对称现象，如建筑、艺术作品等，引导学生关注对称性。
提问：你们认为这些现象是什么对称？引出中心对称的概念。
2.呈现（15分钟）展示一些中心对称图形的图片，如圆、平行四边形等，引导学生观察和思考：这些图形有什么特点？教师引导学生总结出中心对称图形的定义和性质。
北师大版初中数学九年级上册知识讲解 巩固练习 第4讲《特殊平行四边形》全章复习和巩固(基础)
《特殊平行四边形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；高底平行四边形⨯=S（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】宽＝长矩形S类型一、平行四边形1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【答案与解析】∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2019•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCA MA MCAMD CMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由①知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN ＝MA ＝MC ，∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6，又∵ 在Rt △ADC 中，．∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ．在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+，即，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若10AC ==222(8)4x x -=+AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1. 类型四、正方形5、如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE ＝EF ．根据正方形的性质推出AB ＝BC ，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，得到BH ＝BE ，∠H＝45°，HA ＝CE ，根据CF 平分∠DCE 推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF 即可得到答案．【答案与解析】探究：AE ＝EF证明：∵△BHE 为等腰直角三角形,∴∠H ＝∠HEB ＝45°，BH ＝BE.又∵CF 平分∠DCE ，四边形ABCD 为正方形，222DC FC DF +=85DEF 1=DE AB 2S ⨯△12∴∠FCE＝12∠DCE＝45°，∴∠H＝∠FCE.由正方形ABCD知∠B＝90°，∠HAE＝90°＋∠DAE＝90°＋∠AEB,而AE⊥EF，∴∠FEC＝90°＋∠AEB，∴∠HAE＝∠FEC.由正方形ABCD知AB＝BC，∴BH－AB＝BE－BC，∴HA＝CE,∴△AHE≌△ECF （ASA）,∴AE＝EF.【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式】（2018•黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于．【答案】65°。
人教版初中数学九年级上册 第二十三章 中心对称图形
巩固练习
23.2 中心对称/
下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的 是（ D ）
A
B
C
D
下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的
是（ D ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
巩固练习
23.2 中心对称/
下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 （ A）
在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、正六边形、 圆、正方形、等边三角形中，既是轴对称图形，又是 中心对称图形的图形有（ C）
巩固练习
23.2 中心对称/
从一副扑克牌中抽出如下四张牌，其中是中 心对称图形的有（ A ）
A．1 张 B．2 张 C．3 张 D．4 张
探究新知
23.2 中心对称/
【观察发现】 小组合作，讨论观察发现两种 对称图形的区别后完成表格1、2、3.
1.对比旋转对称图形与中心对称图形的异同点.
旋转对称图形
实生活的图形中都有圆，它们看上去是那么美丽与和谐，这正
是因为圆具有 轴对称和中心对称性. 请问以下三个图形中是轴对称图形的有 ①②③ ，是中心对称
图形的有 ①③ .
一石激起千层浪 ①
汽车方向盘 ②
铜钱 ③
课堂检测
23.2 中心对称/
拓广探索题
图中网格中有一个四边形和两个三角形,
(1)请你先画出三个图形关于点O的中心对称图形;
人教版 数学 九年级 上册
23.2 中心对称/
23.2 中心对称
23.2.2 中心对称图形
导入新知
23.2 中心对称/
有四种形状的图形，将其中一个形状旋转180度后， 跟原来形状一样吗？
素养目标
中心对称(教案练习）
北师大版数学八年级下 3.3 中心对称教学设计同学们，观察下面的图形，下面请回答：问题1、观察下面图形，它们都属于什么图形？答案：它们都是轴对称图形问题2、什么是轴对称图形？答案：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.观察：如图1所示，图（1）经过怎样的运动变化就可以与图（2）重合？观察图2，再试一试.归纳：中心对称的定义：如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.这个点叫做它们的对称中心.指出：“两个图形关于一个点对称”可以简称为“两个图形成中心对称”.注意：中心对称不改变图形的形状和大小.强调：中心对称也是一种全等变换练习1：下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成中心对称的是()答案：C观察：△ABC与△A’B’C’成中心对称，点O是它们的对称中心.做一做：自已画一个图形，选取一个旋转中心，把所画的图形绕旋转中心旋转180°.连接旋转前后一组对应点，你发现了什么？再选几组对应点试一试.归纳：中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分.练习2：如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于M点成中心对称，则对称中心M点的坐标是______．答案：(3，－1)提问：中心对称与轴对称的联系与区别试一试：你能利用中心对称的性质画出一个图形关于某个点成中心对称的图形吗？例：如图所示，点O是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出五边形ABCDE成中心对称的图形.解：如图,连接BO并延长至B′，使得OB′=OB;连接CO并延长至C'，使得OC′=OC;连接DO并延长至D′，使得OD′=OD;顺次连接A,D′,C′,B′,E.图形AD′C′B′E就是以点O为对称中心、与五边形ABCDE成中心对称的图形.说一说：画已知图形关于某个点成中心对称的图形的步骤.答案：（1）连接原图形上的关键点和对称中心；（2）再将以上各线段延长找对称点，使得关键点与对称中心的距离和其对称点与对称中心的距离相等；（3）将对称点按原图形的形状连接起来，即可得出原图形关于某点中心对称的图形．指出：作出关键点的对称点是作图的关键．练习3：如图，点O是△ABC外一点，画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称.解：△A’B’C’如图所示.议一议：下面这些图形有什么共同特征？你还能举出一些类似的图形吗？归纳：中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.这个点叫做它的对称中心.议一议：（1）在你所学过的平面图形中，哪些图形是中心对称图形？答案：平行四边形，矩形，菱形，正方形，圆，……（2）在上面的例题中，图形ABCDEB′C′D′是中心对称图形？答案：是中心对称图形想一想：中心对称与中心对称图形的联系与区别区别:中心对称指两个全等图形的相互位置关系,中心对称图形指一个图形本身成中心对称.联系:如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,则它们是中心对称图形.如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形,则它们成中心对称.1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则与△AOB成中心对称的三角形是()A．△BOC B．△COD C．△AOD D．△ACD答案：B2．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是()A．O4B．O3C．O2D．O1答案：D在平面直角坐标系中，点P(－3，－5)关于原点对称的点下面让我们一起赏析一道中考题：下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有()A．4个B．3个C．2个D．1个答案：D在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知。
23.2.1中心对称及中心对称图形
画法： 1. 连接AO并延长到A′，使
OA ′=OA，得到点A的对称点A′. B’ A’ C’ 2. 同样画B、C的对称点 B′、C′. 3. 顺次连接A′、B′、C′各点.
△A′B′C′即为所求的三角形．
练 习
1. 如图，已知等边△ABC和点O，画 △A′B′C′,使△A′B′C′和△ABC关于点O成 中心对称．
从上面的操作过程，你能发现中心对称图形上的一对 对应点与对称中心的关系吗？
巩固练习
7.如图，在一次游戏当中，小明将下面第一 排的四张扑克牌中的一张旋转180º 后，得到第二 排，小明看完后，很快知道小明转动了哪一张扑 克，你知道为什么吗？
小
结
通过今天的学习 1.你有哪些收获？还存在 哪些疑问？
2.你知道轴对称图形与中 心对称图形的区别与联系？
A 平行四边形 B 矩形
C 菱形
D 正方形
巩固练习
3.已知：下列命题中真命题的个数是（ B ）. ①关于中心对称的两个图形一定不全等 ②关于中心对称的两个图形是全等形 ③两个全等的图形一定关于中心对称 A 0 B 1 C 2 D 3
4.按要求画一个图形，所画图形中同时要 有一个正方形和一个圆，并且这个图形既是轴 对称图形又是中心对称图形.
心的对称点.
△OCD和△OAB关于
点O中心 B C
是
对称，对称点 点O .
探 究
旋转三角板，画关于点O对称的两个三角形：
第一步，画出△ABC； 第二步，以三角板的一个顶点 O为中心，把三角板旋转 180°，画出△A′B′C′ ； 第三步，移开三角板.
（3）
探 究
这样画出的△ABC与△ A′B′C′关于点O 对称．分别连接对称点AA′、BB′、CC′．点O 在线段AA ′上吗？如果在，在什么位置？ △ABC与△ A′ B ′C ′有什么关系？你能从中 得到什么结论？
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中心对称与中心对称图形--巩固练习
【巩固练习】
一. 选择题
1. 选出下列图形中的中心对称图形( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
2. （2015春•高密市期末）下列说法中错误的是（）
A．成中心对称的两个图形全等
B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分
C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心
D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合
3. 在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有( )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
4.下列说法正确的是( )
A.两个会重合的三角形一定成轴对称
B.两个会重合的三角形一定成中心对称
C.成轴对称的两个图形中，对称线段平行且相等
D.成中心对称的两个图形中，对称线段平行(或在同一条直线上)且相等
5.如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过点O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，
下面的结论：(1)点E和点F；点B和点D是关于中心O的对称点；(2)直线BD必经过点O；
(3)四边形ABCD是中心对称图形；(4)四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；(5)△AOE
与△COF成中心对称，其中正确的个数为( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 5个
6．在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是( )
①中心对称②旋转③轴对称④平移
C．③④D．①④
二.填空题
'''，则A点的对应点A'点的坐标
7. 如图，若将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△A B C
是________.
8. 如图，△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，△A2B2C2与△A1B1C1关于x轴对称，则△A2B2C2与△ABC
的关系是__________.
9．绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小
明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重
合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.
10.在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°
得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是_____.
11.如图所示，△ABC中，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，AB＝AC，△AEC绕点A旋转到△AFB的
位置；∠FAD＝__________，∠FBD＝__________．
12.（2015春•无锡校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，
1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2015的坐标为．
三．综合题
13. 如图，△DEF是由△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到的图形.
(1)请指出图中所有相等的线段；
(2)写出图中所有相等的角；
(3)图中哪些三角形可以看成是关于点O成中心对称的？
14. 如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的位置如图，A（0，0）、B（6，0）、D（0，4）．
（1）根据图形直接写出点C的坐标：；
（2）已知直线m经过点P（0，6）且把矩形ABCD分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线m，并求该直线m的解析式．
15. 如图，为边的是等边三角形，
求AP的最大、最小值.
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B
2．【答案】B
【解析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称中心对称，中心对称图形的对称中心是对称点连线的交点，根据中心对称图形的定义和性质可知A、C、D正确，B错误．故选：B．3．【答案】B
【解析】既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有线段、矩形、菱形、正方形.
4．【答案】D
5．【答案】D
【解析】已知△ABC与△CDA关于点O对称,所以点A对称点是点C, 点B对称点是点D,即四边形ABCD是平行四边形，从而推得（1）（2）（3）（4）（5）正确。
6．【答案】D
【解析】旋转180°与原图像不能重合，所以①是错误的；平移应该是整个图形通过平移得到新图形，所以④是错误的.
二、填空题
7.【答案】(3，-2)
8.【答案】关于原点O中心对称.
A B C在第四象限，与原三角形中心对称.
【解析】通过画图可以发现经过两次轴对称，△222
9.【答案】60°或120°.
【解析】正六边形的中心角是360°÷6=60°，所以旋转角是60°的倍数即可.
10.【答案】
【解析】准确的画图将为我们研究问题提供较好的思维切入点，据题意，画示意图.
由图可知，P3与P2关于y轴对称，因此只须求得P2坐标，而我们可以发现△OP0P2为含60°
角的直角三角形，所以可以知道，.
11.【答案】60°；60°.
【解析】因为△AEC绕点A旋转到△AFB的位置，所以△AEC≌△AFB，
即∠FAB=∠EAC,∠ACB=
∠FBA,又因为∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，
所以∠FAD=∠BAD +∠FAB=∠BAD+∠EAC =120°-
60°=60°；所以∠FBD=∠ABC+∠FBA=∠ABC+∠ACB=180°-120°=60°.
12.【答案】（﹣2，0）；
【解析】点P1（2，0），P2（﹣2，2），P3（0，﹣2），P4（2，2），P5（﹣2，0），P6（0，0），P7（2，0），从而可得出6次一个循环，
∵2015÷6=335…5，
∴点P2013的坐标为（﹣2，0）．
三．解答题
13.【解析】
因为△DEF是由△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到的，所以这两个三角形关于
点O成中心对称
(1)图中相等的线段有：
(2)图中相等的角有：
(3)图中关于点O成中心对称的三角形有：
△ABC与△DEF，△ABO与△DEO，△ACO与△DFO，△BCO与△EFO.
14.【解析】
解：（1）∵B（6，0）、D（0，4），
∴点C的横坐标是6，纵坐标是4，
∴点C的坐标为（6，4）；
故答案为：（6，4）；
（2）直线m如图所示，
对角线OC、BD的交点坐标为（3，2），
设直线m的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
所以，直线m的解析式为y=﹣x+6．
15.【解析】已知条件AB=3，AC=2与所求的AP比较分散.考虑到是等边三角形，
若绕点P逆时针旋转到，
则
可得是等边三角形，，
则与所求就集中到中
（特殊情况A，，B三点在同一直线）.
由于，
所以.
即 AP的最大值为5，最小值为1.。