2018年秋九年级数学上册专题训练(四)与圆的切线有关的问题归类试题(新版)苏科版

专题训练(四) 与圆的切线有关的问题归类
►类型之一利用切线的性质求角的度数
1．2017·镇江如图4－ZT－1，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D.若∠CAD ＝30°，则∠BOD＝________°.
图4－ZT－1
2．如图4－ZT－2，在⊙O中，OA⊥OB，D是OB延长线上一点，C是⊙O上一点，AC交OB于点M，且CD切⊙O于点C.猜想∠DMC与∠DCM的关系，并说明理由．
图4－ZT－2
►类型之二利用切线的性质求线段的长度
3．如图4－ZT－3，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过点O作OH⊥AC于点H.若OH＝2，AB＝12，OB＝13.
求：(1)⊙O的半径；
(2)AC的长．
图4－ZT－3
►类型之三证明直线是圆的切线
4．如图4－ZT－4所示，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于点B，四边形BCOE是平行四边形．
(1)求AD的长．
(2)BC是⊙O的切线吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
图4－ZT－4
►类型之四切线的性质与判定的综合应用
5．2017·凉山如图4－ZT－5，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
图4－ZT－5
详解详析
1．[答案] 120
[解析] 由AC 与⊙O 相切可得∠CAO＝90°，而∠CAD＝30°，故∠OAD＝60°；由OA ＝OD ，可得∠ODA＝∠OAD＝60°；所以∠BOD＝∠OAD＋∠ODA＝60°＋60°＝120°.
2．解：∠DMC＝∠DCM.
理由：连接OC.
∵CD 切⊙O 于点C ，
∴CD ⊥OC ，
∴∠DCM ＋OCM ＝90°.
又∵OA⊥OB，
∴∠OMA ＋∠A＝90°.
∵∠OMA ＝∠DMC，
∴∠DMC ＋∠A＝90°.
∵OA ＝OC ，
∴∠A ＝∠OCM，
∴∠DMC ＝∠DCM.
3．解：(1)连接OA.
∵AB 是⊙O 的切线，A 为切点，
∴OA ⊥AB.
在Rt △AOB 中，
OA ＝OB 2－AB 2＝132－122＝5，
∴⊙O 的半径为5.
(2)∵OH⊥AC，
∴在Rt △AOH 中，
AH ＝OA 2－OH 2＝52－22＝21.
又∵OH⊥AC，∴AC ＝2AH ＝2 21.
4．解：(1)如图，连接BD ，
则∠DBE＝90°.
∵四边形BCOE 是平行四边形，
∴BC ∥OE ，BC ＝OE ＝1.
在Rt △ABD 中，C 是AD 的中点，
∴BC ＝1
2AD ，∴AD ＝2BC ＝2.
(2)BC 是⊙O 的切线．
证明：如图，连接OB.
由(1)得BC∥OD，
且BC ＝OD ，
∴四边形BCDO 是平行四边形．
又∵AD 是⊙O 的切线，
∴OD ⊥AD ，∴∠ADO ＝90°，
∴四边形BCDO 是矩形，
∴∠OBC ＝90°，
∴OB ⊥BC.
又∵OB 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线．
5．[解析] (1)证切线有两种方法：(1)连半径，证垂直；(2)作垂线，证半径．首选连接OD ，易证得△COD≌△COB(SAS )，然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO＝90°，即可证得直线CD 是⊙O 的切线；
(2)设⊙O 的半径为R ，则OE ＝R ＋1，在Rt △ODE 中，利用勾股定理列出方程，求解即可．
解：(1)证明：如图，连接DO.
∵AD ∥OC ，∴∠DAO ＝∠COB，∠ADO ＝∠COD.
又∵OA＝OD ，
∴∠DAO ＝∠ADO，
∴∠COB ＝∠COD.
在△COD 和△COB 中，
⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OB ，∠COD ＝∠COB，OC ＝OC ，
∴△COD ≌△COB(SAS )，
∴∠CDO ＝∠CBO.
∵BC 是⊙O 的切线，
∴∠CBO ＝90°，
∴∠CDO ＝90°.
又∵点D 在⊙O 上，
∴CD 是⊙O 的切线．
(2)设⊙O 的半径为R ，则OD ＝R ，OE ＝R ＋1.
∵∠CDO ＝90°，∴∠EDO ＝90°，
∴ED 2＋OD 2＝OE 2，
即32＋R 2＝(R ＋1)2，解得R ＝4，
∴⊙O 的半径为4.。