高中数学基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案马长琴
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：马长琴 审稿人：张林§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一．教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．二．教学重点难点重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用三．教学过程：（一）．创设情景复习五种常见函数y c =、y x =、应用 1（1 （2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．（1）2y x =与2x y =（2）3x y =与3log y x =2.（1推论：['()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 提示：积法则,商法则, 都是前导后不导,前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号. （2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+（2）sin y x x =⋅；（3）2(251)x y x x e =-+⋅；（4）4x x y =； 【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．四．典例精讲例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？分析：商品的价格上涨的速度就是函数关系()(15%)t p t =+的导数。
解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 变式训练1：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：当05p =时，()5(15%)t p t =+，根据基本初等函数导数公式和求导法则，有'()5 1.05ln1.05t p t =⨯所以'10(10)5 1.05ln1.050.4p =⨯≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.4元/年的速度上涨． 例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．（1） 因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨． （2） 因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．点评 函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．五．课堂练习做导学案的当堂检测六．课堂小结（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则七．布置作业八．教学后记。
人教A版选修2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》教案及教学反思
人教A版选修2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》教案及教学反思一、教学目标通过本节课的学习，让学生： 1. 熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2. 掌握导数的常数因子、和差、积、商的运算法则； 3. 能够应用所学知识求出初等函数的导数； 4. 培养学生的逻辑思维能力和应用能力。
二、教学内容2.1 基本初等函数的导数公式（1）常数函数的导数公式：[C]′=0（2）幂函数的导数公式：[x n]′=nx n−1（3）指数函数的导数公式：[e x]′=e x（4）对数函数的导数公式：$[\\ln{x}]'=\\dfrac{1}{x}(x>0)$ （5）三角函数的导数公式：$$\\begin{aligned} [\\sin{x}]'&=\\cos{x}\\\\[\\cos{x}]'&=-\\sin{x}\\\\ [\\tan{x}]'&=\\sec^2{x} (x\ eq n\\pi+\\frac{\\pi}{2})\\\\ [\\cot{x}]'&=-\\csc^2{x} (x\ eq n\\pi) \\end{aligned}$$2.2 导数的运算法则（1）常数因子法则：设C为常数，则[Cf(x)]′=Cf′(x)（2）和差法则：$[f(x)\\pm g(x)]'=f'(x)\\pm g'(x)$ （3）积法则：[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)（4）商法则：$[\\dfrac{f(x)}{g(x)}]'=\\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} (g(x)\ eq0)$三、教学过程3.1 导入教师通过数字游戏，引导学生探讨“导数”的概念，并由此引出本节课的教学内容。
3.2 讲授教师对基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则进行一一讲解，强调注意事项和易错点。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案马长琴
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案编写者：马长琴教学目标：1. 理解基本初等函数的导数公式。
2. 掌握导数的运算法则。
3. 能够运用导数公式和运算法则解决问题。
教学重点：1. 基本初等函数的导数公式。
2. 导数的运算法则。
教学难点：1. 导数公式的记忆和应用。
2. 导数运算法则的推导和应用。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 教案手册。
3. 黑板和粉笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾导数的定义和性质。
2. 提问：导数在实际应用中的作用是什么？二、基本初等函数的导数公式（15分钟）1. 讲解常数的导数公式：\( (c)' = 0 \)2. 讲解幂函数的导数公式：\( (x^n)' = nx^{n-1} \)3. 讲解指数函数的导数公式：\( (a^x)' = a^x \ln(a) \)4. 讲解对数函数的导数公式：\( (\log_a(x))' = \frac{1}{x \ln(a)} \)5. 讲解三角函数的导数公式：\( (\sin(x))' = \cos(x) \)\( (\cos(x))' = -\sin(x) \)\( (\tan(x))' = \sec^2(x) \)6. 讲解反三角函数的导数公式：\( (\arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)\( (\arccos(x))' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)\( (\arctan(x))' = \frac{1}{1+x^2} \)三、导数的运算法则（15分钟）1. 讲解导数的四则运算法则：加法法则：\( (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) \)减法法则：\( (f(x) g(x))' = f'(x) g'(x) \)乘法法则：\( (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \)除法法则：\( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \)2. 讲解导数的复合运算法则：-链式法则：\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)-反函数法则：\( (f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \)-乘积法则：\( (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \)-商法则：\( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \)四、巩固练习（15分钟）1. 让学生独立完成教材上的练习题。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则优秀教学设计
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则优秀教学设计【导学目标】1.理解基本初等函数的定义及导数的定义；2.掌握常见基本初等函数的导数公式；3.了解导数的运算法则及其应用。
【教学准备】教师准备：电子白板，投影仪，计算工具。
【教学过程】【导入】（10分钟）1.引导学生回顾基本初等函数的定义及导数的定义。
询问学生他们对基本初等函数及导数的理解和应用。
2.引发学生思考：我们在什么情况下需要计算导数？导数有什么作用？【具体内容】（110分钟）1.基本初等函数导数的公式及其证明（20分钟）-告诉学生，常见的基本初等函数有常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
-分别给出这些函数的导数公式，并请学生一起推导公式的证明。
- 例如：幂函数 $f(x) = x^n$ 的导数为 $f'(x)= nx^{n-1}$ ；指数函数 $f(x) = a^x$ 的导数为 $f'(x) = a^x \ln a$。
2.导数的运算法则（30分钟）-告诉学生：导数的运算法则可以简化导数计算。
具体包括：常数的导数、和差函数的导数、积函数的导数、商函数的导数和复合函数的导数。
- 分别解释并给出具体运算规则。
例如：常数函数的导数为0，即$f'(x) = 0$ ；和差函数的导数为两个函数的导数的和，即 $(f+g)'(x)= f'(x) + g'(x)$ ；积函数的导数为两个函数其中一个的导数乘以另一个函数，即 $(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdotg'(x)$ ；商函数的导数为两个函数其中一个的导数乘以另一个函数减去另一个函数的导数乘以第一个函数，即 $\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)}$ ；复合函数的导数为外函数的导数乘以内函数的导数，即 $(f \circ g)'(x) =f'(g(x)) \cdot g'(x)$。
1.2.2(1) 基本初等函数的导 数公式及导数的运算法则
（1） ；（2） ； （3） ；
（4） ；（5） .
■自主探究
1．求下列函数的导数：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） 。
四、总结提升
本节课你主要学习了。
五、问题过关
1 .已知 函数 ，且 ，求 。
2.求曲线 在点 处的切线方程。
3．已知曲线C：y＝ 经过点P(2，－1)，求
_____年级______学科导学案编号______编制______
授课人_____授课时间_____班级_____姓名_____小组_____
课题：基本初等函数的导 数公式及导数的运算法则（2）
课型：新课课时：1课时
一、学习要求
1．掌握基本初等函数的导数公式及导数的运算法则；
2.能利导数的四则运算法则 求函数的导数；
二、预习内容
1.导数运算法则
若 ， 存在，则
（1） ；
（2） ；
（3） ；（4） 。
【要点 说明】ห้องสมุดไป่ตู้
（1）应用函数的和、差 、积、商的 求导 法则求复杂函数的导数时，为简化运算，经常先 化简再求导；
（2）对含参数的 函数求导时，要先明确变量与常量，再根据求导法则求导，避免求导时出现错误。
三、学习过程
■合作探究
(1)曲线在点P处的切线的斜率．
(2)曲线在点P处的切线的方程．
(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程．
知识盘点：
心得感悟：
备注
（教师复备栏及学生笔记）
(完整word版)基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则
全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计高中数学人教A版选修1-13、2、2基本初等函数的导数公式及导数的四则运算一、教案背景：面向学生：周村区实验中学学科：数学课时：1课时二、教学目标：熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．三、教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则四、教学难点：基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则的应用五、教材分析：教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可。
在教学中，适量的联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联系。
六、教学方法及教学思路：运用“721”信息化课堂教学模式----“自主、展示、合作、交流、引领”，本课的设计内容分为以下几个部分：1、回顾公式、寻找技巧2、自主探究、合作学习3、成果展示，汇报交流4、归纳总结，提升拓展5、反馈训练，巩固落实6、总结本节复习要点及课后作业的布置七、教学过程1、回顾公式、寻找技巧基本初等函数的导数公式：导数的四则运算法则：函数的和、差、积、商的求导法则：简单复合函数的求导： 函数 其中和 都可导，则： 2、自主探究、合作学习针对性训练：求下列函数的导数3、成果展示，汇报交流 学生分学习小组到黑板上板书本组解决的任务，并且进行讲解，同时指出本题目所运用的数学思想和数学方法。
4、归纳总结，提升拓展总结反思：1、先观察函数是由哪些子函数组成。
2、再观察有哪些运算法则。
3、拿到题目不要急于动手计算，先要分析清楚函数的组合成员xx y sin 34+=）（3229+=x e y ）（5)35(7+=x y ）（（4）y=xsinx )5)(23(62-+=x x y ）（)12(log 103+=x y ）（)32sin(8π+=x y ）（)(x g u =xu x u f y '''⋅=)(u f y =))((x g f y =26331x x x y -+=）（x e y x cos 2-=）（（5）y=tanx再进行拆分。
(完整版)基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则
全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计高中数学人教A版选修1-13、2、2基本初等函数的导数公式及导数的四则运算一、教案背景：面向学生：周村区实验中学学科：数学课时：1课时二、教学目标：熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．三、教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则四、教学难点：基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则的应用五、教材分析：教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可。
在教学中，适量的联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联系。
六、教学方法及教学思路：运用“721”信息化课堂教学模式----“自主、展示、合作、交流、引领”，本课的设计内容分为以下几个部分：1、回顾公式、寻找技巧2、自主探究、合作学习3、成果展示，汇报交流4、归纳总结，提升拓展5、反馈训练，巩固落实6、总结本节复习要点及课后作业的布置七、教学过程1、回顾公式、寻找技巧基本初等函数的导数公式：导数的四则运算法则：函数的和、差、积、商的求导法则：简单复合函数的求导： 函数 其中和 都可导，则： 2、自主探究、合作学习针对性训练：求下列函数的导数3、成果展示，汇报交流 学生分学习小组到黑板上板书本组解决的任务，并且进行讲解，同时指出本题目所运用的数学思想和数学方法。
4、归纳总结，提升拓展总结反思：1、先观察函数是由哪些子函数组成。
2、再观察有哪些运算法则。
3、拿到题目不要急于动手计算，先要分析清楚函数的组合成员xx y sin 34+=）（3229+=x e y ）（5)35(7+=x y ）（（4）y=xsinx )5)(23(62-+=x x y ）（)12(log 103+=x y ）（)32sin(8π+=x y ）（)(x g u =xu x u f y '''⋅=)(u f y =))((x g f y =26331x x x y -+=）（x e y x cos 2-=）（（5）y=tanx再进行拆分。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
5、若 f ( x) a ,则 f ( x) _______________
'
a ln a(a 0) x x ' e 6、若 f ( x) e ,则 f ( x) _______
x
1 7、若 f ( x) loga x ,则 f ( x) ________________ (a 0, 且a 1) x ln a 1 ' 8、若 f ( x) ln x ,则 f ( x) _____ x
2、求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δx) －f(x0)
y （2）求平均变化率 x
（3）求极限 f ' ( x ) lim
y x 0 x
新课讲解
课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）
几个常用函数的导数 1、 函数 y f ( x) c 的导数 y ' 0
'
1
例题选讲
课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）
4
【例1】已知 y x （1）求y’; （2）求曲线在点(1，1)处的切线方程。
1 y x 4
'
3 4
1 3 y x 4 4
2
【练习】若抛物线y 4 x 上的点P到直线y 4 x 5 的距离最短，求点P的坐标。
1 4 s t 4t 3 16t 2 4
例题选讲
课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）
【例 5】偶函数 f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e 的图象过点 P(0,1)，且在 x＝1 处的切线方程 为 y＝x－2，求 y＝f(x)的解析式．
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§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
教学目标：
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；
2．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用
教学过程：
一．创设情景
四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x
=
的导数公式及应用
二．新课讲授
（一）基本初等函数的导数公式表
函数 导数
y c = '0y = y x = '1y = 2y x = '2y x = 1y x = '21y x =- *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= 函数 导数 y c =
'0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -=
sin y x = 'cos y x =
cos y x = 'sin y x =-
()x y f x a ==
'ln (0)x y a a a =⋅> ()x y f x e == 'x y e =
（二）导数的运算法则 导数运算法则
1．[]'
''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]'
''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=± 3．[]
'
''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
三．典例分析
例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单
位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的
01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ ()log a f x x = '1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x =
解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =
所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．
例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）323y x x =-+
（2）y ＝x x --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ；
（4）y ＝
x
x 4； （5）y ＝x x ln 1ln 1+-． （6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x
（7） y ＝x
x x x x x sin cos cos sin +- 【点评】
① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为
5284()(80100)100c x x x
=<<- 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
''
'
'252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-2
5284(100)x =- （1） 因为'
25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．
（2） 因为'2
5284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．
函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为
90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
四．课堂练习
1．课本P92练习
2．已知曲线C：y＝3 x4－2 x3－9 x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
（y＝－12 x＋8）
五．回顾总结
（1）基本初等函数的导数公式表
（2）导数的运算法则
六．布置作业。