2016-2017学年内蒙古鄂尔多斯一中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)

2016-2017学年内蒙古鄂尔多斯一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是（）A.∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0-1B.∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0-1C.∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1D.∀x∉（0，+∞），lnx=x-1【答案】C【解析】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1，故选：C根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2.如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（）A.ab＞acB.c（b-a）＞0C.cb2＜ab2D.ac（a-c）＜0【答案】C【解析】解：对于A，∵c＜b＜a且ac＜0，∴则a＞0，c＜0，必有ab＞ac，故A一定成立对于B，∵c＜b＜a∴b-a＜0，又由c＜0，则有c（b-a）＞0，故B一定成立，对于C，当b=0时，cb2＜ab2不成立，当b≠0时，cb2＜ab2成立，故C不一定成立，对于D，∵c＜b＜a且ac＜0∴a-c＞0∴ac（a-c）＜0，故D一定成立故选C．本题根据c＜b＜a，可以得到b-a与a-c的符号，当a＞0时，则A成立，c＜0时，B成立，又根据ac＜0，得到D成立，当b=0时，C不一定成立．本题考查了不等关系与不等式，属于基础题．3.已知复数，给出下列四个结论：①|z|=2；②z2=2i；③z的共轭复数是；④z的虚部为i．其中正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】解：复数===1+i．∴|z|==．z2=（1+i）2=2i，=1-i，z的虚部为1．综上可知：②正确．故选：B．利用复数的运算法则可得：复数=1+i．进而得出|z|，z2，，z的虚部．本题考查了复数的运算法则及其有关概念，属于基础题．4.执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得m=1，i=1，m=1×（2-1）+1=2，i=2，不满足条件m=0，m=2×（2-2）+1=1，i=3，不满足条件m=0，m=1×（2-3）+1=0，i=4，满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．故选：B．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的m，i的值，当m=0时满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的m，i的值是解题的关键，属于基础题．5.甲，乙，丙，丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r如表：则这四位同学的试验结果能体现出A，B两变量有更强的线性相关性的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】解：由相关系数的意义可知，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，结合题意可知丁的线性相关性更强，故选：D根据相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强可判．本题考查相关系数的意义，属基础题．6.已知A为△ABC的内角，向量，，，，若，则角A=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：向量，，，，若，则•=cos A-sin A=0，解得tan A=；又A为△ABC的内角，∴A=．故选：A．根据平面向量的数量积运算，列出方程求出A的值．本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题目．7.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）A.104人 B.108人 C.112人 D.120人【答案】B【解析】解：由题意可得×300=108，故选：B根据分层抽样即可求出答案．本题考查了分层抽样的问题，属于基础题．8.欧拉公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】解：e2i=cos2+isin2，∵2∈，，∴cos2∈（-1，0），sin2∈（0，1），∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B．e2i=cos2+isin2，根据2∈，，即可判断出．本题考查了复数的欧拉公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.已知a n=log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列算式：a1•a2=log23•log34==2；a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•…•log78=•…•=3，…；若a1•a2•a3•…•a m=2016（m∈N*），则m的值为（）A.22016+2B.22016C.22016-2D.22016-4【答案】C【解析】解：由已知得a1•a2•a3•…•a m==2016，lg（m+2）=lg22016，解得m=22016-2．故选：C．由已知得lg（m+2）=lg22014，由此能求出m．本题考查归纳推理的问题，解题时要注意对数性质的合理运用，是中档题．10.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则f（0）=（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】解：由图象知A=1，T=4×（）=π，则ω==2，此时f（x）=sin（2x+φ），将（，-1）代入解析式得sin（+φ）=-1，又|φ|＜，则φ=，所以f（x）=sin（2x+），所以f（0）=sin=．故选D．先由图象确定A、T，然后由T确定ω，再由特殊点确定φ，则求得函数解析式，最后求f（0）即可．本题主要考查由三角函数的部分图象信息求其解析式的方法．[-1，5]，部分对应值如下表，f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④函数y=f（x）最多有3个零点．其中正确命题的序号是（）A.①②B.③④C.①②④D.②③④【答案】A【解析】解：由导数图象可知，当-1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，所以当x=0和x=4时，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2）=0，所以f（x）的极小值为0，故①②正确；x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，t的最大值是5，故③错误；当f（2）=0时，函数3个零点，f（2）＞0时，函数2个零点，f（2）＜0时，函数4个零点，故④错误；故选：A．根据导函数的图象求出函数的单调区间以及函数的极值点，对①②③④分别判断即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．12.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，则该双曲线的离心率e是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，则|OM|=a，OM⊥PF1，取PF1的中点N，连接NF2，由于|PF2|=|F1F2|=2c，则NF2⊥PF1，|NP|=|NF1|，由|NF2|=2|OM|=2a，则|NP|==2b，即有|PF1|=4b，由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，即4b-2c=2a，即2b=c+a，4b2=（c+a）2，即4（c2-a2）=（c+a）2，4（c-a）=c+a，即3c=5a，则e==．故选A．设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，取PF1的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF1|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到．本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，运用中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若直线l1：mx+y-1=0与直线l2：x+（m-1）y+2=0垂直，则实数m= ______ ．【答案】【解析】解：当m=1时，两条直线分别化为：x+y-1=0，x+2=0，此时两条直线不垂直，舍去；当m≠1时，两条直线的斜率分别为：-m，，由于两条直线相互垂直，∴-m•=-1，解得m=．综上可得：m=．故答案为：．对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．14.设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则p的值为______ ．【答案】2或8【解析】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（，0），设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5-，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为=，由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4，即M（5-，4），代入抛物线方程得p2-10p+16=0，所以p=2或p=8．故答案为2或8．求出M（5-，4），代入抛物线方程得p2-10p+16=0，求出p．本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求p的值，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．15.若实数x，y满足，则目标函数z=x-y的最小值为______ ．【答案】-2【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（7，1），C（3，5）设z=F（x，y）=x-y，将直线l：z=x-y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（3，5）=-2故答案为：-2作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x-y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=5时，z=x-y取得最小值．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x-y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16.等边△ABC的边长为2，则在方向上的投影为______ ．【答案】-1【解析】解：∵=||•||•cos（π-B）=2×2×（-cos）=-2，∴在方向上的投影为==-1．故答案为：-1．可求出向量AB，BC的数量积，由在方向上的投影为，计算即可．本题考查平面向量的数量积的定义，投影概念，注意向量的夹角，是一道基础题．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.已知函数f（x）=sinxcosx+2，x∈R．（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【答案】解：f（x）=sinxcosx+2=，（1），f（x）的最小正周期．（2）由得，∴f（x）的单调递增区间为，，．【解析】（1）将f（x）变形为：，求出f（x）的最大值和f（x）周期T即可；（2）根据正弦函数的单调性求出函数的递增区间即可．本题考查了三角函数的最值以及函数的周期，考查函数的单调性问题，是一道基础题．18.已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+（-1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．【答案】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=1，当n≥2时，a n=s n-s n-1=-=n，∴数列{a n}的通项公式是a n=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n=2n+（-1）n n，记数列{b n}的前2n项和为T2n，则T2n=（21+22+…+22n）+（-1+2-3+4-…+2n）=+n=22n+1+n-2．∴数列{b n}的前2n项和为22n+1+n-2．【解析】（Ⅰ）利用公式法即可求得；（Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论．本题主要考查数列通项公式的求法-公式法及数列求和的方法-分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题．19.已知A、B、C为△ABC的内角，tan A，tan B是关于方程x2+px-p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．【答案】解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px-p+1=0的判别式：△=（p）2-4（-p+1）=3p2+4p-4≥0，所以p≤-2，或p≥．由韦达定理，有tan A+tan B=-p，tan A tan B=1-p．所以，1-tan A tan B=1-（1-p）=p≠0，从而tan（A+B）==-=-．所以tan C=-tan（A+B）=，所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sin B==°=，解得B=45°，或B=135°（舍去）．于是，A=180°-B-C=75°．则tan A=tan75°=tan（45°+30°）=°°==2+．所以p=-（tan A+tan B）=-（2+）=-1-．【解析】（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p-4≥0，可得p≤-2，或p≥，由韦达定理，有tan A+tan B=-p，tan A tan B=1-p，由两角和的正切函数公式可求tan C=-tan（A+B）=，结合C的范围即可求C的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sin B==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tan A=tan75°，从而可求p=-（tan A+tan B）的值．本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．20.某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以X（单位：盒，100≤X≤200）表示这个开学季内的市场需求量，Y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．（Ⅰ）根据直方图估计这个丌学季内市场需求量X的平均数和众数；（Ⅱ）将Y表示为X的函数；（Ⅲ）根据直方图估计利润不少于4800元的概率．【答案】解：（Ⅰ）由频率直方图得到：需求量为110的频率=0.005×20=0.1，需求量为130的频率=0.01×20=0.2，需求量为150的频率=0.015×20=0.3，需求量为170的频率=0.0125×20=0.25，需求量为190的频率=0.0075×20=0.15，∴这个丌学季内市场需求量X的众数是150，这个丌学季内市场需求量X的平均数：=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153．（Ⅱ）∵每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，∴当100≤x≤160时，y=50x-（160-x）•30=80x-4800，当160＜x≤200时，y=160×50=8000，∴y=．（Ⅲ）∵利润不少于4800元，∴80x-4800≥4800，解得x≥120，∴由（Ⅰ）知利润不少于4800元的概率p=1-0.1=0.9．【解析】（Ⅰ）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量X 的众数和平均数．（Ⅱ）由已知条件推导出当100≤x≤160时，y=50x-（160-x）•30=80x-4800，当160＜x≤200时，y=160×50=8000，由此能将Y表示为X的函数．（Ⅲ）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率．本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．21.以椭圆M：+y2=1（a＞1）的四个顶点为顶点的四边形的四条边与⊙O：x2+y2=1共有6个交点，且这6个点恰好把圆周六等分．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若直线l与⊙O相切，且与椭圆M相交于P，Q两点，求|PQ|的最大值．【答案】解：（Ⅰ）如图，依题意，A（0，1），B（a，0），∠OAB=60°，∵tan∠OAB=，∴，∴a=，∴椭圆方程为．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±1，代入，得y=，此时|PQ|=，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，∵直线l与⊙O相切，∴=1，即m2=1+k2，由，消去y，整理，得（1+3k2）x2+6kmx+3（m2-1）=0，△=36k2m2-12（1+3k2）（m2-1）=12（13k2-m2）=24k2，由△＞0，得k≠0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-，，∴|x1-x2|==．∴|PQ|==|x1-x2|=|x1-x2|=•=•≤2•=．∴当且仅当1+k2=2k2，即k=±1时，|PQ|取得最大值．综上所述，|PQ|的最大值为．【解析】（Ⅰ）依题意，A（0，1），B（a，0），∠OAB=60°，从而得到a=，由此能求出椭圆方程．高中数学试卷第11页，共13页（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±1，此时|PQ|=，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，由直线l与⊙O相切，得m2=1+k2，由，得（1+3k2）x2+6kmx+3（m2-1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出|PQ|的最大值．本题主要考查圆的方程、椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．22.设函数．（1）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）当时，求函数f（x）的单调区间；（3）在（2）的条件下，设函数，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．【答案】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），′．（1）当a=1时，，∴f（1）=-3，′，∴f'（1）=1，∴f（x）在x=1处的切线方程为y-3=x-1，即x-y-4=0．（2）当时，′．所以当0＜x＜2，f'（x）＞0，当x＞2时，f'（x）＜0，故当时，函数f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（2，+∞）．（3）当时，由（2）知函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，所以函数f（x）在[1，2]上的最小值为．若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立⇔g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值（※）．又，，．高中数学试卷第12页，共13页①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，＞与（※）矛盾．②当0≤b≤1时，，由及0≤b≤1得b无解．③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，，此时．综上所述，b的取值范围是，∞．【解析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（3）问题转化为g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值，通过讨论b的范围，得到函数的单调性，从而确定b的范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．高中数学试卷第13页，共13页。