人教版九年级数学上册同步练习：21.2.3 因式分解法

21．2.3 因式分解法
1．方程x (x －4)＋x －4＝0的解是( )
A ．x ＝4
B ．x ＝－4
C ．x ＝－1
D ．x 1＝4，x 2＝－1 2．计算整式3x －5与x ＋3的积得3x 2＋4x －15，则一元二次方程3x 2＋4x －15＝0的根是( )
A ．x 1＝53，x 2＝3
B ．x 1＝53，x 2＝－3
C ．x 1＝－53
，x 2＝3 D ．x 1＝－53，x 2＝－3 3．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( )
A ．(2x －2)(3x －4)＝0，∴2x －2＝0或3x －4＝0
B ．(x ＋3)(x －1)＝1，∴x ＋3＝0或x －1＝1
C ．(x －2)(x －3)＝2×3，∴x －2＝2或x －3＝3
D ．x (x ＋2)＝0，∴x ＋2＝0
4．解一元二次方程5x 2－2x ＝0时，最合适的解法是( )
A ．直接开平方法
B ．配方法
C ．公式法
D ．因式分解法
5．解下列方程：①3x 2－27＝0；②2x 2－3x －1＝0；③x 2－5x ＋2＝0；④2(3x －1)2＝3x －1.较简便的方法是( )
A ．依次为直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
B ．依次为因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法
C ．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D ．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
6． 若实数x ，y 满足(x 2＋y 2＋3)·(x 2＋y 2－3)＝0，则x 2＋y 2的值为________．
7．若定义一种新运算：a @b ＝a 2－b ，则方程(x －1)@2x ＝－3的解是__________．
8．方程x 2－9x ＋18＝0的两个根分别是等腰三角形的底边长和腰长，则这个等腰三角形的周长为________．
9．若一元二次方程(x －4)2＝x －4的两个根是等腰三角形的两条边长，则这个等腰三角形的周长为________．
10．用因式分解法解下列方程：
(1)x 2－4＝0; (2)y 2－4y ＝－4；
(3)9t 2－(t －1)2＝0; (4)2(x ＋2)2＝x (x ＋2)；
(5)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0.
11．阅读下列材料，解答问题：
解方程：(2x －5)2＋(3x ＋7)2＝(5x ＋2)2.
解：设m ＝2x －5，n ＝3x ＋7，则m ＋n ＝5x ＋2，原方程可化为m 2＋n 2＝(m ＋n )2，所以mn ＝
0，即(2x －5)(3x ＋7)＝0，解得x 1＝52，x 2＝－73
. 请利用上述方法解方程：(4x －5)2＋(3x －2)2＝(x －3)2.
12．已知a >1，且关于x 的方程(ax －2)(x －2a ＋1)＝0的一个根为x ＝3.
(1)求a 的值及方程的另一个根；
(2)如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．
易错警示(10题)
不要漏掉三边相等的情况.
13．用适当的方法解下列方程：
(1)x2－4x＋1＝0；
(2)2x2－7x－3＝0;
(3)x2－6x＋9＝7x－21.
14．由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)·(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试：分解因式：
x2＋6x＋8＝(x＋________)(x＋________)；
(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
方法点拨(14题)
(1)二次项系数是1的二次三项式使用十字相乘法分解因式的方法：先将常数项分解成两个数的乘积形式，再观察哪两个数的和恰好等于一次项系数. (2)对于二次项系数为1的一元二次方程，若一次项系数能写成两个数的和，且常数项恰好是这两个数的积，则这两个数的相反数就是这个一元二次方程的两个根．
15．探究下表中的规律，并填空.
对于一般的二次三项式ax2＋bx＋c(b2－4ac≥0)，用你发现的结论对其进行因式分解．
模型建立(15题)
若已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则可以利用这两个根将二次三项式ax2＋bx＋c 分解为ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2).
答案
1．D 2．B 3．A 4．D 5．C
6．3
7．x 1＝x 2＝2
8．15
9．13或14
10．解：(1)x 1＝2，x 2＝－2.(2)y 1＝y 2＝2.
(3)t 1＝－12，t 2＝14
. (4)原方程可变形为2(x ＋2)2－x (x ＋2)＝0，
∴(x ＋2)(x ＋4)＝0，
∴x ＋2＝0或x ＋4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝－4.
(5)原方程可变形为(x ＋2－5)2＝0，
即(x －3)2＝0，∴x －3＝0，解得x 1＝x 2＝3.
11．解：设m ＝4x －5，n ＝3x －2，则m －n ＝(4x －5)－(3x －2)＝x －3，
原方程可化为m 2＋n 2＝(m －n )2，整理得mn ＝0，
即(4x －5)(3x －2)＝0，
解得x 1＝54，x 2＝23
. 12．解：(1)把x ＝3代入原方程，得(3a －2)(3－2a ＋1)＝0，所以3a －2＝0或3－2a ＋1＝0，
解得a ＝23
(舍去)或a ＝2. 把a ＝2代入原方程，可得(2x －2)(x －3)＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，则方程的另一个根是x ＝1.
(2)由题设知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形：
①三边相等，边长为1，1，1或3，3，3，
那么这个三角形的周长是3或9；
②仅有两边相等，因为1＋1＝2＜3，
所以这个三角形的三边长只能为3，3，1，
那么这个三角形的周长是7.
综上，这个三角形的周长是3或7或9.
13．解：(1)x 2－4x ＋1＝0，x 2－4x ＋4＝－1＋4，(x －2)2＝3，
开平方，得x －2＝±3，
即x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.
(2)在此方程中a ＝2，b ＝－7，c ＝－3，
Δ＝b 2－4ac ＝(－7)2－4×2×(－3)＝73＞0，
∴x ＝7±734，即x 1＝7＋734，x 2＝7－734
. (3)原方程可变形为(x －3)2＝7(x －3)，
∴(x －3)(x －3－7)＝0，解得x 1＝3，x 2＝10.
14．解：(1)x 2＋6x ＋8＝x 2＋(2＋4)x ＋2×4＝(x ＋2)(x ＋4)．故答案为2，4.
(2)∵x 2－3x －4＝0，∴(x ＋1)(x －4)＝0，则x ＋1＝0或x －4＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4.
15．解：表中依次填：－14，－3，14
，3. 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(b 2－4ac ≥0)的两根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a
， x 2＝－b －b 2－4ac 2a
， 则二次三项式ax 2＋bx ＋c (b 2－4ac ≥0)可进行因式分解：ax 2＋bx ＋c ＝a (x －－b ＋b 2－4ac 2a
)(x － －b －b 2－4ac 2a
)．。