关于圆的综合练习题
中考数学总复习《圆的综合题》练习题(附答案)
中考数学总复习《圆的综合题》练习题（附答案）班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．在平面直角坐标系xOy中以点(3,4)为圆心，4为半径的圆（）A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离2．如图，在平面直角坐标系xOy中以原点O为圆心的圆过点A(13,0)直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为()A．22B．24C．10√5D．12√33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DCB等于（）A．90°B．100°C．130°D．140°4．如图，在正五边形ABCDE中连接AD，则∠DAE的度数为（）A．46°B．56°C．36°D．26°5．如图，PA、PB为∠O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交∠O 于点D．下列结论不一定成立的是（）A．△BPA为等腰三角形B．AB与PD相互垂直平分C．点A，B都在以PO为直径的圆上D．PC为△BPA的边AB上的中线6．如图，四边形ABCD内接于半径为6的∠O中连接AC，若AB＝CD，∠ACB＝45°，∠ACD＝12∠BAC，则BC的长度为（）A．6 √3B．6 √2C．9 √3D．9 √27．如图，点A，B，D，C是∠O上的四个点，连结AB，CD并延长，相交于点E，若∠BOD=20°，∠AOC=90°，则∠E的度数为()A．30°B．35°C．45°D．55°8．∠ABC中∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点E，D，则AE的长为()A．95B．125C．185D．3659．如图，AB为∠O的直径，点C在∠O上，若∠B=60°，则∠A等于（）A．80°B．50°C．40°D．30°10．两个圆的半径分别是2cm和7cm，圆心距是5cm，则这两个圆的位置关系是() A．外离B．内切C．相交D．外切11．已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是()A．B．C．D．12．一个扇形的弧长为4π，半径长为4，则该扇形的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π二、填空题13．在Rt∠ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，求内切圆半径14．如图，∠C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO=120°，则∠C的半径为．15．一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为.16．一个半径为5cm的球形容器内装有水，若水面所在圆的直径为8cm，则容器内水的高度为cm.17．如图，在直角坐标系中以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，已知P（4，2）和A（2，0），则点B的坐标是．18．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A=30°．作法：如图①作射线AB；②在射线AB取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；③以C为圆心，OC C为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．则∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是．三、综合题19．如图，在△ABC中AC=BC=BD，点O在AC边上，OC为⊙O的半径，AB是⊙O 的切线，切点为点D，OC=2，OA=2√2．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求阴影部分的面积．20．如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG=∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．（1）求证：直线BG与⊙O相切；（2）若BEOD=54，求EFAC的值．21．如图，四边形ABCD 内接于∠O，BD是∠O的直径，过点A作∠O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE∠CD；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求∠O的半径．22．如图，∠O是∠ABC的外接圆，BC为∠O的直径，点E为∠ABC的内心，连接AE并延长交∠O 于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为∠O的切线．23．公元前5世纪，古希腊哲学家阿那克萨哥拉因“亵渎神灵罪”而被投人监狱，在狱中他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣．他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大，于是伟大的古希腊尺规作图几何三大问题之--的化圆为方问题诞生了：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积（1）设有一个半径为√3的圆，则这个圆的周长为，面积为，作化圆为方得到的正方形的边长为(计算结果保留π)（2）由于对尺规作图的限制(只能有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图)，包括化圆为方在内的几何三大问题都已被证明是不可能的．但若不受标尺的限制，化圆为方并非难事。
初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案解析
初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案解析一、圆的综合1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题：（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积．【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解．试题解析：（1）证明：连接OD ，∵OD=OA ，∴∠ODA=∠A ，∵四边形OABC 是平行四边形，∴OC ∥AB ，∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ，∴∠EOC=∠DOC ，在△EOC 和△DOC 中，OE OD EOC DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EOC ≌△DOC （SAS ），∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD ⊥DC ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）由（1）知CD 是圆O 的切线，∴△CDO 为直角三角形，∵S △CDO =12CD•OD ， 又∵OA=BC=OD=4，∴S△CDO=12×6×4=12，∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24．2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT=TC=123∴124；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF=90°，∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，在△AEH和△AFH中，∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH=FH；（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，∵⊙O的半径为4，∴CG=4，连AG，∵∠BCG=90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG=90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AF=CG=4．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．3．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．（1）求证：AC∥OD；（2）如果DE⊥BC，求»AC的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606180π⨯=2π．点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．4．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD＝23．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，DE＝7，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）32π．【解析】【分析】（1）连结OD，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，根据切线的判定定理证明；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，证明△OBD为等边三角形，得到∠ODB=60°，3PE，证明△ABE∽△AFD，根据相似三角形的性质求出AE，根据阴影部分的面积=△BDF的面积-弓形BD的面积计算．【详解】证明：（1）连结OD，∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD=∠CAD，∴»»BD CD=，∴OD⊥BC，∵BC∥DF，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD为等边三角形，∴∠ODB=60°，3，∴∠BDF=30°，∵BC∥DF，∴∠DBP=30°，在Rt△DBP中，PD=123，3，在Rt△DEP中，∵37∴22(7)(3)=2，∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，∵∠DBE=∠CAE，∠BED=∠AEC，∴△BDE∽△ACE，∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=17，∴57∵BE∥DF，∴△ABE∽△AFD，∴BE AE DF AD=，即5757125DF=，解得DF=12，在Rt△BDH中，BH=12BD=3，∴阴影部分的面积=△BDF的面积﹣弓形BD的面积=△BDF的面积﹣（扇形BOD的面积﹣△BOD的面积）=22160(23)3123(23)23604π⨯⨯⨯--⨯ =93﹣2π．【点睛】考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公式是解题的关键．5．如图1，是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M点开始（即M点的读数为0），如图2，把这个量角器与一块30°（∠CAB＝30°）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，现有射线C绕点C从CA开始沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转到与CB，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．连接BE．（1）当射线CP经过AB的中点时，点E处的读数是，此时△BCE的形状是；（2）设旋转x秒后，点E处的读数为y，求y与x的函数关系式；（3）当CP旋转多少秒时，△BCE是等腰三角形？【答案】（1）60°，直角三角形；（2）y＝4x（0≤x≤45）；（3）7.5秒或30秒【解析】【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；（2）如图2﹣2中，由题意∠ACE＝2x，∠AOE＝y，根据圆周角定理可知∠AOE＝2∠ACE，可得y＝2x（0≤x≤45）；（3）分两种情形分别讨论求解即可；【详解】解：（1）如图2﹣1中，∵∠ACB＝90°，OA＝OB，∴OA＝OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOE＝60°，∴点E处的读数是60°，∵∠E＝∠BAC＝30°，OE＝OB，∴∠OBE＝∠E＝30°，∴∠EBC＝∠OBE+∠ABC＝90°，∴△EBC是直角三角形；故答案为60°，直角三角形；（2）如图2﹣2中，∵∠ACE＝2x，∠AOE＝y，∵∠AOE＝2∠ACE，∴y＝4x（0≤x≤45）．（3）①如图2﹣3中，当EB＝EC时，EO垂直平分线段BC，∵AC⊥BC，∵EO∥AC，∴∠AOE＝∠BAC＝30°，∠AOE＝15°，∴∠ECA＝12∴x＝7.5．②若2﹣4中，当BE＝BC时，易知∠BEC＝∠BAC＝∠BCE＝30°，∴∠OBE＝∠OBC＝60°，∵OE＝OB，∴△OBE是等边三角形，∴∠BOE＝60°，∴∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACE＝12∴x＝30，综上所述，当CP旋转7.5秒或30秒时，△BCE是等腰三角形；【点睛】本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．6．.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6．D是线段AC上一个动点（不与点A 重合），⊙D与AB相切，切点为E，⊙D交射线．．DC于点F，过F作FG⊥EF交直线．．BC于点G，设⊙D的半径为r．（1）求证AE＝EF；（2）当⊙D与直线BC相切时，求r的值；（3）当点G落在⊙D内部时，直接写出r的取值范围．【答案】(1)见解析,(2)r=3,(3)63 3r<<【解析】【分析】（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，即可求解；（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F，∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r，由勾股定理，即可求解；（3）分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况，分别求解即可．【详解】解：设圆的半径为r；（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，∴AE=EF；（2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r ，由勾股定理得：（3r ）2+9=36，解得：r=3； （3）①当点F 在线段AC 上时，如图3所示，连接DE 、DG ，333,3933FC r GC FC r =-==-②当点F 在线段AC 的延长线上时，如图4所示，连接DE 、DG ，333,3339FC r GC FC r ===-两种情况下GC 符号相反，GC 2相同，由勾股定理得：DG 2=CD 2+CG 2，点G 在圆的内部，故：DG2＜r2，即：22(332)(339)2r r r +-<整理得：25113180r r -+<6335r <<【点睛】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．7．如图1，等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，过点A ，C 的圆交AB 于点D ，交BC 于点E ，连结DE（1）若AD=7，BD=1，分别求DE ，CE 的长（2）如图2，连结CD ，若CE=3，△ACD 的面积为10，求tan ∠BCD（3）如图3，在圆上取点P 使得∠PCD=∠BCD （点P 与点E 不重合），连结PD ，且点D 是△CPF 的内心①请你画出△CPF ，说明画图过程并求∠CDF 的度数②设PC=a ，PF=b ，PD=c ，若（a-2c ）（b-2c ）=8，求△CPF 的内切圆半径长．【答案】（1）DE=1，CE=322）tan ∠BCD=14；（3）①135°；②2. 【解析】 【分析】（1）由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解；（2）找∠BDF 与∠ODA 为对顶角，在⊙O 中，∠COD=2∠CAD ，证明△OCD 为等腰直角三角形，从而得到∠EDC+∠ODA=45°，即可证明∠CDF=135°；（3）过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ，结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出∠CPF=90°，然后根据角平分线性质得出114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明∠DCF+∠CFD=45°，从而证明∠CPF 是直角，再求证四边形PKDN 是正方形，最后以△PCF 面积不变性建立等量关系，结合已知（2c ）（2c ）=8，消去字母a ，b 求出c 值，即求出△CPF 2c ． 【详解】 （1）由图可知：设BC=x ．在Rt △ABC 中，AC=BC ．由勾股定理得： AC 2+BC 2=AB 2，∵AB=AD+BD ，AD=7，BD=1， ∴x 2+x 2=82， 解得：x=42．∵⊙O 内接四边形，∠ACD=90°， ∴∠ADE=90°， ∴∠EDB=90°， ∵∠B=45°，∴△BDE 是等腰直角三形． ∴DE=DB ， 又∵DB=1， ∴DE=1， 又∵CE=BC-BE ， ∴CE=42232-=． （2）如图所示：在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ，设BE=y ，则DM=12y ， 又∵CE=3，∴BC=3+y ， ∵S △ACB =S ACD +S DCB ，∴()1114242103y y 222⨯=+⨯+⨯， 解得：y=2或y=-11（舍去）． ∴EM=1，CM=CE+ME=1+3=4， 又∵∠BCD=∠MCD ，∴tan ∠BCD=tan ∠MCD ， 在Rt △DCM 中，tan ∠MCD=DM CM =14， ∴tan ∠BCD=14． （3）①如下图所示：过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ．∵∠CAD=45°， ∴∠CPD=∠CAD=45°， 又∵点D 是CPF ∆的内心， ∴PD 、CD 、DF 都是角平分线，∴∠FPD=∠CPD =45°，∠PCD=∠DCF ，∠PFD=∠CFD ∴∠CPF=90° ∴∠PCF+∠PFC=90°∴114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°， 即∠CDF 的度数为135°． ②如下图所示过点D 分别作DK ⊥PC ，DM ⊥CF ，DN ⊥PF 于直线PC ，CF 和PF 于点K ，M ，N 三点， 设△PCF 内切圆的半径为m ，则DN=m ，∵点D 是△PCF 的内心， ∴DM=DN=DK ，又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°，∠FDC=45°， ∴∠DCF+∠CFD=45°，又∵DC ，DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线， ∴∠PCF=2∠DCF ，∠PFC=2∠DFC ， ∴∠PCF+∠PFC=90°， ∴∠CPF=90°．在四边形PKDN 中，∠PND=∠NPK=∠PKD=90°， ∴四边形PKDN 是矩形， 又∵KD=ND ，∴四边形PKDN 是正方形． 又∵∠MBD=∠BDM=45°， ∠BDM=∠KDP ， ∴∠KDP=45°． ∵PC=a ，PF=b ，PD=c ，∴，∴NF=b -，CK=a -， 又∵CK=CM ，FM=FN ，CF=CM+FM ， ∴CF=a b +， 又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ，∴1111ab a b (a b 2222=+++-），化简得：)2a b c c +-------（Ⅰ），又∵若（c ）（c ）=8化简得：()2ab a b 2c 8++=------（Ⅱ），将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c 2=8，解得：c =c =-∴m=c 222==， 即△CPF 的内切圆半径长为2． 【点睛】本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求△CPF 的内切圆半径长．8．如图，四边形为菱形，且，以为直径作，与交于点．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．(保留作图痕迹)(1)在如图中，过点作边上的高．(2)在如图中，过点作的切线，与交于点．【答案】(1)如图1所示．(答案不唯一),见解析；(2)如图2所示．(答案不唯一)，见解析.【解析】【分析】（1）连接AC交圆于一点F，连接PF交AB于点E,连接CE即为所求．（2）连接OF交BC于Q，连接PQ即为所求．【详解】(1)如图1所示．(答案不唯一)(2)如图2所示．(答案不唯一)【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形和圆的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．如图，△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝35，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D，过点D作DE⊥CB于点E．（1）当⊙P与边BC相切时，求⊙P的半径．（2）连接BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.【答案】（1）409R=;（2）25880320xy x xx=-++;（3）50105-.【解析】【分析】（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝35，则sinC＝45，sinC＝HPCP＝10RR-＝45，即可求解；（2）首先证明PD∥BE，则EB BFPD PF=，即：2024588x yxxx-+--=，即可求解；（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG＝EP＝BD，即：AB＝DB+AD＝AG+AD＝45，即可求解．【详解】（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝35，则sinC＝45，sinC ＝HP CP ＝10R R -＝45，解得：R ＝409； （2）在△ABC 中，AC ＝BC ＝10，cosC ＝35， 设AP ＝PD ＝x ，∠A ＝∠ABC ＝β，过点B 作BH ⊥AC ，则BH ＝ACsinC ＝8，同理可得：CH ＝6，HA ＝4，AB ＝45，则：tan ∠CAB ＝2， BP ＝228+(4)x -＝2880x x -+，DA ＝25x ，则BD ＝45﹣25x ， 如下图所示，PA ＝PD ，∴∠PAD ＝∠CAB ＝∠CBA ＝β，tanβ＝2，则cosβ5，sinβ5， EB ＝BDcosβ＝（525x ）5＝4﹣25x ，∴PD ∥BE ，∴EB BFPD PF=，即：2024588x y x xx -+--=，整理得：y 25xx 8x 803x 20-++（3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，两个圆交于点G，则PG＝PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，∵点Q是弧GD的中点，∴DG⊥EP，∵AG是圆P的直径，∴∠GDA＝90°，∴EP∥BD，由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，∴AG＝EP＝BD，∴AB＝DB+AD＝AG+AD＝5设圆的半径为r，在△ADG中，AD＝2rcosβ5DG5AG＝2r，5＝52r51+，则：DG550﹣5相交所得的公共弦的长为50﹣5【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，»»BD AD=，DE⊥BC，垂足为E．（1）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CE=1，AC=4，求阴影部分的面积．【答案】（1）ED 与O e 相切.理由见解析；（2）2=33S π-阴影. 【解析】 【分析】（1）连结OD ，如图，根据圆周角定理，由»»BD AD =得到∠BAD =∠ACD ，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE =∠BAD ，所以∠ACD =∠DCE ；利用内错角相等证明OD ∥BC ，而DE ⊥BC ，则OD ⊥DE ，于是根据切线的判定定理可得DE 为⊙O 的切线；（2）作OH ⊥BC 于H ，易得四边形ODEH 为矩形，所以OD =EH =2，则CH =HE ﹣CE =1，于是有∠HOC =30°，得到∠COD =60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD 进行计算即可． 【详解】（1）直线ED 与⊙O 相切．理由如下：连结OD ，如图，∵»»BD AD =，∴∠BAD =∠ACD ．∵∠DCE =∠BAD ，∴∠ACD =∠DCE ．∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，而∠OCD =∠DCE ，∴∠DCE =∠ODC ，∴OD ∥BC ． ∵DE ⊥BC ，∴OD ⊥DE ，∴DE 为⊙O 的切线；（2）作OH ⊥BC 于H ，则四边形ODEH 为矩形，∴OD =EH ．∵CE =1，AC =4，∴OC =OD =2，∴CH =HE ﹣CE =2﹣1=1．在Rt △OHC 中，∵OC =2，CH =1，∠OHC =90°，∠HOC =30°，∴∠COD =60°，∴阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD26023360π⋅⋅=-•2223=π3-．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积的计算．11．已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠DAB ＝120°，BC ＝CD ，AD ＝4，AC ＝7，求AB 的长度．【答案】AB ＝3． 【解析】 【分析】作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，根据弦、弧、圆周角、圆心角的关系，求得BC CD =u u u r u u u r，进而得到∠DAC ＝∠CAB ＝60°，在Rt △ADE 中，根据60°锐角三角函数值，可求得DE ＝23，AE ＝2，再由Rt △DEC 中，根据勾股定理求出DC 的长，在△BFC 和△ABF 中，利用60°角的锐角三角函数值及勾股定理求出AF 的长，然后根据求出的两个结果，由AB ＝2AF ，分类讨论求出AB 的长即可. 【详解】作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∵BC ＝CD ， ∴BC CD =u u u r u u u r， ∴∠CAB ＝∠DAC ， ∵∠DAB ＝120°， ∴∠DAC ＝∠CAB ＝60°， ∵DE ⊥AC ，∴∠DEA ＝∠DEC ＝90°， ∴sin60°＝4DE ，cos60°＝4AE， ∴DE ＝3AE ＝2， ∵AC ＝7，∴CE ＝5，∴DC= ∴BC ，∵BF ⊥AC ，∴∠BFA ＝∠BFC ＝90°，∴tan60°＝BF AF，BF 2+CF 2＝BC 2， ∴BF，∴()2227AF +-=， ∴AF ＝2或AF ＝32， ∵cos60°＝AF AB， ∴AB ＝2AF ，当AF ＝2时，AB ＝2AF ＝4，∴AB ＝AD ，∵DC ＝BC ，AC ＝AC ，∴△ADC ≌△ABC （SSS ），∴∠ADC ＝∠ABC ，∵ABCD 是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC ＝180°，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，但AC 2＝49，2222453AD DC +=+=，AC 2≠AD 2+DC 2，∴AB ＝4（不合题意，舍去）， 当AF ＝32时，AB ＝2AF ＝3， ∴AB ＝3．【点睛】 此题主要考查了圆的相关性质和直角三角形的性质，解题关键是构造直角三角形模型，利用直角三角形的性质解题.12．如图，BD 为△ABC 外接圆⊙O 的直径，且∠BAE ＝∠C ．（1）求证：AE 与⊙O 相切于点A ；（2）若AE ∥BC ，BC ＝AC ＝2，求AD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）23【解析】【分析】（1）根据题目中已出现切点可确定用“连半径，证垂直”的方法证明切线，连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，则AF为直径，∠ABF＝90°，根据同弧所对的圆周角相等，则可得到∠BAE＝∠F，既而得到AE与⊙O相切于点A．（2））连接OC，先由平行和已知可得∠ACB＝∠ABC，所以AC＝AB，则∠AOC＝∠AOB，从而利用垂径定理可得AH＝1，在Rt△OBH中，设OB＝r，利用勾股定理解得r＝2，在Rt△ABD中，即可求得AD的长为3【详解】解：（1）连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，则AF为直径，∠ABF＝90°，∵»»，AB AB∴∠ACB＝∠F，∵∠BAE＝∠ACB，∴∠BAE＝∠F，∵∠FAB+∠F＝90°，∴∠FAB+∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∴AE与⊙O相切于点A．（2）连接OC，∵AE∥BC，∴∠BAE＝∠ABC，∵∠BAE＝∠ACB，∴∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB＝2，∴∠AOC＝∠AOB，∵OC＝OB，∴OA⊥BC，∴CH＝BH＝1BC32在Rt△ABH中，AH＝22AB BH-＝1，在Rt△OBH中，设OB＝r，∵OH2+BH2＝OB2，∴（r﹣1）2+（3）2＝r2，解得：r＝2，∴DB＝2r＝4，在Rt△ABD中，AD＝22BD AB-＝2242-＝23，∴AD的长为23．【点睛】本题考查了圆的综合问题，恰当的添加辅助线是解题关键.13．如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C＝12∠P．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C 为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）PM＝32；（3）满足条件的DH的值为632-或122311+． 【解析】【分析】（1）如图1中，作PH ⊥FM 于H ．想办法证明∠PFH=∠PMH ，∠C=∠OFC ，再根据等角的余角相等即可解决问题；（2）解直角三角形求出AD ，PD 即可解决问题；（3）分两种情形①当△CDH ∽△BFM 时，DH CD FM BF =． ②当△CDH ∽△MFB 时，DH CD FB MF=，分别构建方程即可解决问题； 【详解】（1）证明：如图1中，作PH ⊥FM 于H ．∵PD ⊥AC ，∴∠PHM ＝∠CDM ＝90°，∵∠PMH ＝∠DMC ，∴∠C ＝∠MPH ，∵∠C ＝12∠FPM ，∴∠HPF ＝∠HPM ， ∵∠HFP+∠HPF ＝90°，∠HMP+∠HPM ＝90°，∴∠PFH ＝∠PMH ，∵OF ＝OC ，∴∠C ＝∠OFC ，∵∠C+∠CMD ＝∠C+∠PMF ＝∠C+∠PFH ＝90°，∴∠OFC+∠PFC ＝90°，∴∠OFP ＝90°，∴直线PA 是⊙O 的切线． （2）解：如图1中，∵∠A ＝30°，∠AFO ＝90°，∴∠AOF ＝60°，∵∠AOF ＝∠OFC+∠OCF ，∠OFC ＝∠OCF ，∴∠C ＝30°，∵⊙O 的半径为4，DM ＝1，∴OA ＝2OF ＝8，CD 33，∴OD ＝OC ﹣CD ＝43，∴AD ＝OA+OD ＝8+43 ＝123 ，在Rt △ADP 中，DP ＝AD•tan30°＝（12﹣3 ）×33 ＝43 ﹣1， ∴PM ＝PD ﹣DM ＝4 3﹣2． （3）如图2中，由（2）可知：BF ＝12BC ＝4，FM ＝3BF ＝43 ，CM ＝2DM ＝2，CD ＝3 ， ∴FM ＝FC ﹣CM ＝43﹣2，①当△CDH ∽△BFM 时，DH CD FM BF = ， ∴ 3432=- ，∴DH ＝63- ②当△CDH ∽△MFB 时，DH CD FB MF =， ∴34432DH =- ，∴DH ＝1223+ ， ∵DN ＝()22443833--=- ，∴DH ＜DN ，符合题意，综上所述，满足条件的DH 的值为63- 或1223+． 【点睛】本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题.14．如图，是大半圆的直径，是小半圆的直径，点是大半圆上一点，与小半圆交于点，过点作于点. （1）求证：是小半圆的切线； （2）若，点在上运动（点不与两点重合），设，. ①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②当时，求两点之间的距离.【答案】（1）见解析；（2）①，，②两点之间的距离为或.【解析】【分析】（1）连接CO、CM，只需证到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需证到CM∥OP，只需证到CM 是△AOP的中位线即可．（2）①易证△ODC∽△CDP，从而得到CD2=DP•OD，进而得到y与x之间的函数关系式．由于当点P与点A重合时x=0，当点P与点B重合时x=4，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），因此自变量x的取值范围为0＜x＜4．②当y=3时，得到-x2+4x=3，求出x．根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出∠CPD，运用勾股定理等知识就可求出P，M两点之间的距离．【详解】（1）连接，如图1所示∵是小半圆的直径，∴即∵∴∵∴∴，∵∴，∴∴.，即∵经过半径的外端，且∴直线是小半圆的切线.（2）①∵，，∴∴∴∽∴∴∵,,，∴当点与点重合时，；当点与点重合时，∵点在大半圆上运动（点不与两点重合），∴∴与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是.②当时，解得,Ⅰ当时，如图2所示在中，∵，∴，∴∵，∴是等边三角形∵∴∴.Ⅱ当时，如图3所示，同理可得∵∴∴过点作，垂足为，连接，如图3所示∵，∴同理在中，∵，∴综上所述，当时，两点之间的距离为或.【点睛】考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，综合性比较强．15．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连结AC、AE，∠ACB=∠BAE=45°．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AB=AD，AC=32，tan∠ADC=3，求BE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）52 BE【解析】试题分析：（1）连接OA、OB，由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=45°，求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出结论；（2）过点A 作AF ⊥CD 于点F,由AB=AD ，得到∠ACD =∠ACB =45°，在Rt △AFC 中可求得AF＝3，在Rt △AFD 中求得DF ＝1，所以AB ＝AD ＝ ，CD = CF +DF =4，再证明△ABE ∽△CDA ，得出BE AB DA CD =，即可求出BE 的长度； 试题解析：（1）证明：连结OA ，OB ，∵∠ACB =45°，∴∠AOB =2∠ACB = 90°，∵OA=OB ，∴∠OAB =∠OBA =45°，∵∠BAE =45°，∴∠OAE =∠OAB +∠BAE =90°，∴OA ⊥AE ．∵点A 在⊙O 上，∴AE 是⊙O 的切线．（2）解：过点A 作AF ⊥CD 于点F ，则∠AFC =∠AFD =90°．∵AB=AD ， ∴AB u u u r =AD u u u r∴∠ACD =∠ACB =45°，在Rt △AFC 中，∵AC =∠ACF =45°，∴AF=CF=AC ·sin ∠ACF =3，∵在Rt △AFD 中， tan ∠ADC=3AF DF =， ∴DF =1，∴AB AD ==且CD = CF +DF =4，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ABE =∠CDA ，∵∠BAE =∠DCA ，∴△ABE ∽△CDA ， ∴BE AB DA CD=，∴10=，10∴5BE=．2。
圆的专项练习题
圆的专项练习题一、选择题（每题3分，共30分）1. 圆的周长公式是（）。
A. C = πrB. C = 2πrC. C = 4πrD. C = πd2. 半径为5厘米的圆的周长是（）厘米。
A. 31.4B. 15.7C. 62.8D. 94.23. 圆的面积公式是（）。
A. S = πr²B. S = 2πrC. S = πrD. S = πd²4. 半径为3厘米的圆的面积是（）平方厘米。
A. 9πB. 18πC. 28.26D. 56.525. 一个扇形的半径为4厘米，圆心角为30°，其面积是（）平方厘米。
A. 2πB. 4πC. 6πD. 8π6. 圆的直径是半径的（）倍。
A. 1B. 2C. 3D. 47. 圆的内接四边形的对角线（）。
A. 互相垂直B. 互相平分C. 相等D. 互相垂直且相等8. 圆的切线在切点处与半径（）。
A. 垂直B. 平行C. 重合D. 相交9. 圆的外切四边形的对边（）。
A. 相等B. 互相垂直C. 平行D. 互相垂直且相等10. 圆的弧长公式是（）。
A. L = rθB. L = πrθC. L = 2πrθD. L = πr/θ二、填空题（每题2分，共20分）11. 圆的周长是半径的________倍。
12. 如果圆的周长为40π厘米，那么它的半径是________厘米。
13. 一个圆的直径为10厘米，它的面积是________平方厘米。
14. 圆的内接正六边形的边长等于圆的________。
15. 圆的内接正三角形的边长是半径的________倍。
16. 圆的外切正六边形的边长等于圆的________。
17. 圆的外接正三角形的边长是半径的________倍。
18. 圆的切线与圆相切于一点，这一点叫做圆的________。
19. 圆的内切圆与外接圆的半径之和等于________。
20. 圆的内切正多边形的边数越多，其形状越接近于________。
2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合题(含答案)
2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合题1．如图，在⊙ O中，弦AC，BD相交于点M，且∠OAC=∠OBD．（1）求证：AC=BD；（2）若OA=4，∠OAC=30°，当AC⊥BD时，求：①图中阴影部分面积．②弧CD的长．2．已知⊙O中，弦AB＝AC，⊙BAC＝120°（1）如图①，若AB＝3，求⊙O的半径．（2）如图②，点P是⊙BAC所对弧上一动点，连接PB、PA、PC，试请判断PA、PB、PC之间的数量关系并说明理由．3．如图（1），已知矩形ABCD中，AB=6cm，BC=2√3cm，点E为对角线AC 上的动点.连接BE，过E作EB的垂线交CD于点F.（1）探索BE与EF的数量关系，并说明理由.（2）如图（2），过F作AC垂线交AC于点G，交EB于点H，连接CH.若点E从A出发沿AC方向以2√3cm/s的速度向终点C运动，设E的运动时间为ts.①是否存在t，使得H与B重合？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；②t为何值时，△CFH是等腰三角形；③当CG=GH时，求△CGH的面积.4．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：⊙C＝2⊙DBE.（3）若EA＝AO＝2，求图中阴影部分的面积.（结果保留π）5．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，⊙ABC中，点D 是BC边上一点，连结AD，若AD2=BD⋅CD，则称点D是⊙ABC中BC边上的“好点”.（1）如图2，⊙ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.（2）⊙ABC中，BC=9，tanB=43，tanC=23，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长.（3）如图3，⊙ABC是⊙O的内接三角形，OH⊙AB于点H，连结CH并延长交⊙O于点D.①求证：点H是⊙BCD中CD边上的“好点”.②若⊙O的半径为9，⊙ABD=90°，OH=6，请直接写出CHDH的值.6．如图，⊙O为等边⊙ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B 重合），连接DA，DB，DC.（1）求证：DC是⊙ADB的平分线；（2）设四边形ADBC的面积为S，线段DC的长为x，试用含x的代数式表示S；（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置，⊙DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值.7．在⊙ABC中，D，E分别是⊙ABC两边的中点，如果弧DE（可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在⊙ABC的内部或边上，则称弧DE为⊙ABC的中内弧．例如，图1中弧DE是⊙ABC其中的某一条中内弧．（1）如图2，在边长为4 √3的等边⊙ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．画出⊙ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时弧DE的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2 √3，6），B（0，0），C（t，0），在⊙ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t＝2 √3，求⊙ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②请写出一个t的值，使得⊙ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标可以取全体实数值．8．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊙AB于点D，延长DO 交⊙O于点P，过点P作PE⊙AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若⊙POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．9．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O.点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F，使DF=32CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF.设AQ=3x.（1）用关于x的代数式表示BQ=，DF=.（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长.（3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长.10．如图，⊙ABC中，⊙ACB=90°，D是边AB上一点，且⊙A=2⊙DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长．11．已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM 在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持⊙ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；（2）请利用如图1所示的情形，求证：ABPB=OMBM；（3）若AO=2 √6，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．12．（问题情境）如图①，小区A、B位于一条笔直的道路l的同侧，为了方便A，B两个小区居民投放垃圾，现在l上建一个垃圾分类站C，使得C与A，B的距离之比为2：1.（1）（初步研究）在线段AB上作出点C，使CACB=2.如图，做法如下：第一步：过点A作射线AM，以A为圆心，任意长为半径画弧，交AM于点P1；以P1为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P2；以P2为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P3.第二步：连接BP3，作∠AP2C=∠AP3B，交AB于点C.则点C即为所求.请证明所作的点C满足CACB=2.（2）（深入思考）如图，点C在线段AB上，点D在直线AB外，且DADB=CACB=2.求证：DC是∠ADB的平分线.（3）（问题解决）如图，已知点A，B和直线l，点C在线段AB上，且CACB=2.用直尺和圆规完成下列作图.（保留作图痕迹，不写作法）（⊙）在直线AB上作出点E（异于点C），使EAEB=2；（⊙）在直线l上作出点F，使FAFB=2.13．在矩形ABCD中，BC=2AB，点E是对角线AC上任意一点，过点E作AD的垂线分别交AD，BC于点F，G，作FH平行AC交CD于点H．（1）证明：EF=CH．（2）连结GH交AC于点K，若AE：CK=3，求AE：EK的值．（3）作⊙FGH的外接圆⊙O，且AB=1．①若⊙O与矩形的边相切时，求CH的长．②作点E关于GH的对称点E'，当E'落在⊙O上时，直接写出⊙FGH的面积。
小学六年级圆的练习题综合
小学六年级圆的练习题综合圆单元练题（一）一、完成下表。
圆的半径r | 2cm | 4cm | 8cm |圆的直径d | 4cm | 8cm | 16cm |圆的周长C | 12.56cm | 25.12cm | 50.24cm |圆的面积S | 12.56cm² | 50.24cm² | 201.06cm² |二、想一想，填一填。
1、当圆规两脚间的距离为4厘米时，画出圆的周长是（12.56）厘米。
2、在一张长8厘米，宽12厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径是（8cm），面积是（16π）平方厘米，周长是（8π）厘米。
3、一个车轮的直径是55厘米，车轮转动一周，大约前进（172.7）米。
4、一个环形的外圆直径是10cm，内圆直径是8cm，它的面积（9.42）cm²。
5、一个圆的半径扩大2倍，它的周长扩大（2）倍，面积扩大（4）倍。
6、把一个圆分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形。
这个长方形的长相当于（圆的周长），长方形的宽就是圆的（直径）。
因为长方形的面积是（πr²），所以圆的面积是（πr²）。
7、圆的直径是6厘米，它的周长是（18.84）厘米，面积是（28.27）平方厘米。
8、圆的周长是25.12分米，它的面积是（50.24）平方分米。
9、甲圆半径是乙圆半径的3倍，甲圆的周长是乙圆周长的（3）倍，甲圆面积是乙圆面积的（9）倍。
10、一个圆的半径是8厘米，这个圆面积的3/4是（48π）平方厘米。
11、周长相等的长方形、正方形、圆，（圆）面积最大。
12、圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了（63π-36π=27π）平方厘米。
13、要在一个边长为10厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆，剩下的面积是（100-25π）平方厘米。
14、用圆规画一个圆，如果圆规两脚之间的距离是7厘米，画出的这个圆的周长是（14π）厘米。
这个圆的面积是（49π）平方厘米。
初三圆的综合练习题
初三圆的综合练习题练习一：计算圆的面积和周长题目1：一个圆的半径是4cm，求它的面积和周长。
解析：圆的半径为4cm，可以根据圆的面积和周长的公式来计算。
面积公式：S = πr²，其中r为半径，π取值3.14周长公式：C = 2πr代入半径r=4cm，可得到：面积S = 3.14 * 4² = 50.24 cm²周长C = 2 * 3.14 * 4 = 25.12 cm练习二：求解圆的直径和半径题目2：一个圆的周长为31.4cm，求它的直径和半径。
解析：已知圆的周长为31.4cm，可以利用周长公式和直径、半径的关系求解。
周长公式：C = 2πr，其中C为周长，r为半径直径和半径的关系：直径d = 2r设圆的半径为r，则周长C = 31.4cm，代入周长公式可得：31.4 = 2πr解方程可以得到：r = 31.4 / (2π) ≈ 4.99 cm代入半径r，可以计算直径：d = 2 * 4.99 ≈ 9.98 cm练习三：判断点是否在圆内题目3：已知圆心坐标为(2, 3)，半径为5，判断点P(5, 6)是否在圆内。
解析：根据点到圆心的距离与半径的关系，可以判断点是否在圆内。
点到圆心的距离公式：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]其中，(x1, y1)为圆心坐标，(x2, y2)为点P的坐标代入圆心坐标(2, 3)和点P坐标(5, 6)，可以计算距离d：d = √[(5 - 2)² + (6 - 3)²] = √(9 + 9) = √18 ≈ 4.24比较距离d与圆的半径5，可以判断点P是否在圆内。
因为d < 5，所以点P(5, 6)在圆内。
练习四：求解两个圆的交点题目4：已知圆A的圆心坐标为(3, 4)，半径为5；圆B的圆心坐标为(7, 2)，半径为3。
求解两个圆的交点坐标。
解析：利用两个圆的方程求解交点坐标。
备考2020年中考数学复习专题 《圆》综合练习题(含答案)
备考2020年中考数学复习专题《圆》综合练习题一．选择题1．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（）A．4 B．5 C．6 D．102．如图，在⊙O中，弦AB长6cm，圆心O到AB的距离是3cm，⊙O的半径是（）A．3cm B．C．4cm D．3．如图为球形灯笼的截面图，过圆心的CD垂直弦AB于D，AB＝2dm，CD＝4dm，则⊙O半径为（）A．2dm B．dm C．dm D．dm4．下列判断中不正确的是（）A．半圆是弧，但弧不一定是半圆B．平分弦的直径垂直于弦C．在平面内，到圆心的距离等于半径的点都在圆上D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等5．如图，点A、B、C在⊙O上，D是的中点，若∠ACD＝20°，则∠AOB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°6．在菱形ABCD中，记∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD＝2，则（）A．C与∠α的大小有关B．当∠α＝45°时，S＝C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上D．S随∠α的增大而增大7．如图在一次游园活动中有个投篮游戏，活动开始时四个人A、B、C、D在距篮筐P都是5米处站好，篮球放在AC和BD的交点O处，已知取篮球时A要走6米，B要走3米，C要走2米，则D要走（）A．2米B．3米C．4米D．5米8．⊙O半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．点P在⊙O上或外9．给定下列条件可以确定一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上三点10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，半径OE⊥AB，垂足为点F，连结弦AE，已知OE ＝1，则下面的结论：①AE2+BC2＝4 ②sin∠ACB＝③cos∠B＝，其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．②11．若半径为5m的圆，其圆心到直线的距离是5m，则直线和圆的位置关系为（）A．相离B．相交C．相切D．无法确定12．如图，圆上有A、B、C三点，直线l与圆相切于点A，CD平分∠ACB，且与l交于点D，若＝80°，＝60°，则∠ADC的度数为（）A．80°B．85°C．90°D．95°二．填空题13．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的半径为2cm，则此时M、N两点间的距离是cm．14．如图，⊙O的半径OA垂直于弦BC，垂足是D，OA＝5，AD：OD＝1：4，则BC的长为．15．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在墙壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”问题题意为：如图，有一圆柱形木材埋在墙壁中，不知其直径大小．用锯去锯这木材，锯口深1寸（即CD＝1寸），锯道长1尺（即AB＝1尺），问这圆形木材直径是多少？（注：1尺＝10寸）由此，可求出这圆形木材直径为为寸．16．′如图，在平面直角坐标系xOy中，扇形OAB的圆心角∠AOB＝60°，点A在x轴正半轴上且OA＝2，带你C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在扇形OAB内（不含边界），则点E的横坐标x取值范围为．17．如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB ＝4，则阴影部分的面积是．18．在一个圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝100°，则∠C的度数为．三．解答题19．如图AB＝3cm，用图形表示：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离不小于2cm 的所有点的集合（用阴影表示，注意边界上的点是否在集合中，如果在，用实线表示，如果不在，则用虚线表示）．20．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．21．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝10m，水面宽AB＝12m，某天下雨后，水管水面上升了2m，求此时排水管水面的宽CD．22．如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，＝，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC＝BD．23．如图，CD为⊙O的弦，P为⊙O上一点，OP∥CD，∠PCD＝15°（1）求∠POC的度数；（2）若＝，AB⊥CD，点A在CD的上方，直接写出∠BPA的度数．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O的半径长．25．已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．参考答案一．选择题1．解：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所以小圆在每一边上滚动正好一周，在五条边上共滚动了5周．由于每次小圆从五边形的一边滚动到另一边时，都会翻转72°，所以小圆在五个角处共滚动一周．因此，总共是滚动了6周．故选：C．2．解：如图所示，由题意知OC＝3，且OC⊥AB，∵AB＝6，∴AC＝AB＝3，则OA＝＝＝3，故选：B．3．解：∵过圆心的CD垂直弦AB于D，AB＝2dm，CD＝4dm，∴BD＝AD＝1dm，在Rt△ODB中，OD2+DB2＝OB2，即（4﹣r）2+12＝r2，解得：r＝dm，故选：C．4．解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；B、平分弦的直径垂直于弦，不正确．需要添加条件：此弦非直径；C、在平面内，到圆心的距离等于半径的点都在圆上，正确；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，正确，故选：B．5．解：连接OD，∴∠AOD＝2∠ACD，∵D是的中点，∴∠AOB＝2∠AOD＝4∠ACD＝80°，故选：C．6．【解答】解：A、错误．菱形的周长＝8，与∠α的大小无关；B、错误，∠α＝45°时，菱形的面积＝2•2•sin45°＝2；C、错误，A，B，C，D四个点不在同一个圆上；D、正确．∵0°＜α＜90°，S＝菱形的面积＝2•2•sinα，∴菱形的面积S随α的增大而增大．故选：D．7．解：根据题意得：A、B、C、D在以P为圆心，半径是5米的圆上．∴OA•OC＝OB•OD，即6×2＝3×OD．解得OD＝4．故选：C．8．解：∵点P的坐标为（3，4），∴由勾股定理得，点P到圆心O的距离＝＝5，∴点P在⊙O上，故选B．9．解：A、不能确定．因为半径不确定，故不符合题意；B、不能确定．因为圆心的位置不确定，故不符合题意；C、不能确定，因为圆心的位置不确定，故不符合题意；D．不在同一直线上三点可以确定一个圆．故符合题意；故选：D．10．解：连接AO，延长AO交⊙O于M，连接BM、CM、EM．∵AM是直径，∴∠AEM＝90°，∴AE2+EM2＝AM2，∴AE2+EM2＝4，显然无法判定BC＝EM，故①错误，∵∠ACB＝∠AMB，∴sin∠ACB＝sin∠AMB＝＝，故②正确，∵∠ABC＝∠AMC，∴cos∠ABC＝cos∠AMC＝＝，显然无法判断CM＝AE，故③错误，故选：D．11．解：根据圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线和圆相切．故选：C．12．解：设圆心为O，连接OA、OC，∵＝80°，＝60°，∴∠AOC＝140°，∠ACB＝40°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝20°，∵直线l与圆相切于点A，∴OA⊥l，∴∠OAD＝90°，∴∠CAD＝70°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB＝20°，∴∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠ACD＝90°，故选：C．二．填空题（共6小题）13．解：根据题意得：EF＝BC，MN＝EF，把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，则线段BC形成一半径为2cm的圆，线段BC是圆的周长，BC＝EF＝2π×2＝4π，∴的长＝EF＝＝，∴n＝120°，即∠MON＝120°，∵OM＝ON，∴∠M＝30°，过O作OG⊥MN于G，∵OM＝2，∴OG＝1，MG＝，∴MN＝2MG＝2，故答案为：2．14．解：连接OB，∵OA＝5，AD：OD＝1：4，∴AD＝1，OD＝4，OB＝5，在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB2＝OD2+BD2，52＝42+BD2，解得：BD＝3，∵OD⊥BC，OD过O，∴BC＝2BD＝6，故答案为：6．15．解：延长CD，交⊙O于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且OC⊥AB，则AD＝BD＝AB＝5（寸），设圆形木材半径为r，则OD＝r﹣1，OA＝r，∵OA2＝OD2+AD2，∴r2＝（r﹣1）2+52，解得r＝13，所以⊙O的直径为26寸，故答案为：26．16．解：当点E落在半径OA上时，连接OC，如下图1所示，∵∠ADC＝90°，∠AOB＝60°，点C为弧AB的中点，点A（2，0），∴∠COD＝30°，OA＝OC＝2，∴CD＝OC•sin30°＝2×＝1，∴OD＝O C•cos30°＝2×＝，∴AD＝OA﹣OD＝2﹣，∵DE＝DA，∴OE＝OD﹣OE＝﹣（2﹣）＝2﹣2，即点E的坐标为（2﹣2，0）；当点E落在半径OB上时，连接OC，CD，如图2所示，由已知可得，CE＝CA＝CB，由上面的计算可知，OE＝2﹣2，∴点E的横坐标为：（2﹣2）×cos60°＝﹣1，点E的纵坐标为：（2﹣2）×sin60°＝3﹣，∴E（﹣1，3﹣），∴满足条件的点E的横坐标x取值范围为﹣1＜x＜2﹣2．故答案为﹣1＜x＜2﹣2．17．解：如图，连接OD，OE，DE．∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵OA＝OD＝OB＝OE＝2，∴△AOD，∠EOB都是等边三角形，∴∠AOD＝∠EOB＝60°，∴∠DOE＝60°，△DOE是等边三角形，∴∠DOE＝∠EOB，∴弓形DE与弓形BE的面积相等，∵CD＝DE＝CE＝2，∴△CDE是等边三角形，∴S阴＝S△CDE＝×22＝，故答案为．18．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠A＝180°，∴∠C＝180°﹣100°＝80°．故答案为：80°三．解答题（共7小题）19．解：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离不小于2cm的所有点的集合如图所示：20．解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF＝DF，∵AE＝2，EB＝6，∴AB＝AE+EB＝2+6＝8，∴OA＝4，∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，∴OF＝OE＝1，在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4，根据勾股定理得：DF＝＝，则CD＝2DF＝2．21．解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F，∵AB＝12m，OE⊥AB，OA＝1m，∴OE＝8m．∵水管水面上升了2m，∴OF＝8﹣2＝6m，∴CF＝＝8m，∴CD＝16m．22．证明：连接OA、OB，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∵＝，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD．23．解：（1）∵OP∥CD，∴∠OPC＝∠PCD＝15°，∵OP＝OC，∴∠OPC＝∠OCP＝15°，∴∠OCD＝30°．（2）①如图1中，当AB在点O的左侧时，连接PA，PB，OD，OA，OB．∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝30°，∴∠COD＝120°，∵＝，∴∠AOB＝∠COD＝120°，∴∠APB＝∠AOB＝60°．②如图2中，当AB在点O的右侧时，同法可得∠ACB＝60°，∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠APB＝120°，综上所述，∠APB＝60°或120°．24．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠D＝90°，∵OA＝OC，且AC＝4，∴OA＝OC＝AC＝2，即⊙O的半径长为2．25．解：（1）连接AD、BC．∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△ADM∽△CBM∴即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2 ∴CD＝CM＝＝＝由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．。
关于圆的练习题初三含答案
关于圆的练习题初三含答案一、选择题1. 下列说法中，关于圆的说法正确的是：A. 圆是由无数直线组成的B. 圆是所有点到一个固定点的距离相等的图形C. 圆是一个半径为1的正方形D. 圆是与坐标轴平行的图形答案：B2. 在平面上，如果一个圆的圆心到圆上的任意一点的距离等于半径的长度，那么这个点一定在圆的：A. 外部B. 内部C. 边界D. 中心答案：C3. 若O为圆心，半径为r的圆，P为圆上一点，且角POQ的度数为60°，则弧PQ的弧度数是：A. π/3B. π/4C. π/6D. π/2答案：C二、填空题1. 已知圆O的半径为5cm，点A在圆上，则弧OA的长为_________cm。
答案：5π cm2. 已知圆O的半径为7cm，则圆O的直径为_________cm。
答案：14 cm3. 半径为6cm的圆的面积为_________cm²。
答案：36π cm²三、解答题1. 已知圆O的直径AB的长度为16cm，求圆O的周长和面积。
解析：圆的周长是圆的一部分，即2πr，其中r为半径。
圆的面积是整个圆的面积，即πr²。
半径r = 直径AB的长度 / 2 = 16cm / 2 = 8cm周长= 2πr = 2π * 8cm ≈ 50.27cm面积= πr² = π * 8cm * 8cm ≈ 201.06cm²所以，圆O的周长约为50.27cm，面积约为201.06cm²。
2. 如图，O为一个半径为6cm的圆的圆心，点A、B、C分别是圆上的三个点，弧AB的弧度数为1.5π弧度，弧BC的弧度数为0.5π弧度。
求线段AC的长度。
解析：由于弧AB的弧度数为1.5π，弧BC的弧度数为0.5π，所以弧AC的弧度数为1.5π + 0.5π = 2π弧度，即一圈。
对于一圈的弧度，弧长等于圆的周长。
圆的周长= 2πr = 2π * 6cm ≈ 37.69cm所以，线段AC的长度约为37.69cm。
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关于圆的综合练习题
1.如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）EM ＝FM 。
2.如图，以正方形ABCD 的边AB 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O ，CG 切半圆于E ，交AD 于F ，交BA 的延长线于G ，GA ＝8。
（1）求∠G 的余弦值； （2）求AE 的长。
3.如图，已知△ABC 中，AC ＝BC ，∠CAB ＝α（定值），⊙O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC 、BC 相切于点P 、Q 。
（1）求∠POQ ；
（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与⊙O 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断∠DOE 的大小是否保持不变，并说明理由。
4、如图，抛物线y=ax 2
+bx+c 与x 轴相交于A 、B 两点（A 、B 分别在原点左、右两侧），与y
轴正半轴交于点C ，OA ：OB ：OC=1：4：4，△ABC 的面积为20。
1.求A 、B 、C 三点的坐标；
2.求抛物线的解析式；
3.若以抛物线上一点P 为圆心的圆恰与直线BC 相切于点C ，求点P 的坐标
∙ 1 图
M
F
O E
D C
B A
∙ 2图
G F E
O D
C B
A
3图
N
Q
P E
O D
C
B
A
5. 21．如图 9，在三角形ABC 中，∠BAC=900，AB=AC=22，圆A 的半径为1，若点O 在B 上，运动，（与B 、C 点不重合），设BO=x ，△AOC 的面积为y 。
（1）求y 关于x 的函数解析式
（2）以点O 为圆心，BO 长为半径作⊙O ，求当⊙O 与⊙A 相切 时，△ABC 的面积.
6. 已知：如图所示，直线l 的解析式为
334
y x =
-，并且与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 。
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位/秒的速度向x 轴正方向运动，问在什么时刻与直线l 相切；
（3）在题(2)中，若在圆开始运动的同时，一动点P 从B 点出发，沿BA 方向以0.5个单位/秒的速度运动，设t 秒时点P 到动圆圆心的距离为s ，求s 与t 的关系式； （4）问在整个运动过程中，点P 在动圆的圆面(圆上和圆内部)上，一共运动了多长时间？ 7. 如图，⊙O 与⊙A 相交于C 、D 两点，A 点在⊙O 上，过A 点的直线与CD 、 ⊙A 、⊙O 分别交于F 、E 、B .求证：AB AF AE ⋅=2
.
8.如图所示，在圆O 的内接等边三角形ABC 中，经过A 点的弦与弦BC 和 BC 弧分别交于点D 和P ，连结PB 、PC 。
求证：PA2=BC2+PB*PC 。
_l
_y
_x
_O
_B
_A B
C
（5图）
A
9.如图， AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于E ，AC ⊥CD 于C ，BD ⊥CD 于D ，交⊙O 于F ．连结AE 、EF ．
（1）求证：AE 是∠BAC 的平分线．
（2）若∠ABD ＝60°，问：AB 与EF 是否平行？
· A
B
C
D
E
O
G
10.如图，⊙O 的两条割线AB 、AC 分别交圆O 于 D 、B 、E 、C ，弦DF//AC 交 BC 于C ． （1）求证：CG BC FG AC ⋅=⋅；
（2）若CF ＝AE ．求证：△ABC 为等腰三角形．
11.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，P A 是过A 点的直线，∠P AC ＝∠B ． （l ）求证：PA 是⊙O 的切线；
（2）如果弦CD 交AB 于E ，CD 的延长线交P A 于F ，AC ＝8，CE ：ED ＝6：5，AE ：EB ＝2：3，求AB 的长和∠ECB 的正切值．
·
·
1
O 2O P
A
B C
D
E
12. 已知：如图，⊙1O ；和⊙2O 内切于点P ，过点P 的直线交⊙1O 于点D ，交⊙2O 于点E ；DA 与⊙2O 相切，切点为C ．
（1）求证：PC 平分∠APD ； （2）若PE ＝3，PA ＝6，求PC 的长．
·
A B
E
C
D
O F
．
A
B
C
D
P
O
E F
13.如图1、2，已知AB 为半圆O 的直径， AP 为过点A 的半圆的切线．在 AB 上任取一点C （点C 与A,B 不重合），过点C 作半圆的切线CD 交AP 于点D ；过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ．连结BD ，交CE 于点F ．
（l ）当点C 为 AB 的中点时（如图1）
，求证：CF ＝EF ； （2）当点C 不是 AB 的中点时（如图2），试判断CF 与EF 的相等关系是否保持不变，并证明你的结论．
14.如图，以等腰△ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作DE ⊥AC 于E ，可得结论：DE 是⊙O 的切线．问：
（1）若点O 在AB 上向点B 移动，以O 为圆心，OB 长为半径的圆仍交BC 于D ，DE ⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由； （2）如果AB ＝AC ＝5㎝，5
3sin =
，那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O 与AC 相切？
15.已知：如图，AB 是半圆O 的直径，C 为AB 上一点，AC 为半圆O '的直径，BD 切半圆O '于点D ， CE ⊥AB 交半圆O 于点E ． （1）求证：BD ＝BE ；
（2）若两圆半径的比为3：2，试判断∠EBD 是直角、锐角还是钝角？并给出证明．
16.如图，正方形ABCD 中，有一直径为BC 的半圆,BC ＝2cm ．现有两点E 、F ，分别从点B 、点A 同时出发，点E 沿线段BA 以1cm/s 的速度向点A 运动，点F 沿折线A －D －C 以2cm/s 的速度向点C 运动．设点E 离开点B 的时间为t （秒）．
· A B C O P D
E
F ( )A
B
C O
P D F
( 图1 )
E ( 图2 )
·
A
B
C
O D
E
·
· · O 'O
E
D
C
B
A
（l）当t为何值时，线段EF与BC平行？
（2）设1＜t＜2，当t为何值时，EF与半圆相切？
（3）当l≤t＜2时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP：PC的值．
A
D
B C。