北京中考圆基础题练习填空选择题类型
2024年北京市九年级中考一模数学汇编：圆(含解析)
2024北京初三一模数学汇编圆章节综合一、单选题1．（2024北京东城初三一模）如图，是的弦，是的直径，于点E ．在下列结论中，不一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2024北京东城初三一模）如图，作线段，在线段的延长线上作点，使得，取线段的中点，以为圆心，线段的长为半径作，分别过点作直径的垂线，交于点，连接，过点作于点．设，给出下面4个结论：①；；；④；上述结论中，正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题3．（2024北京门头沟初三一模）如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是 ．4．（2024北京大兴初三一模）如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为 ．AB O CD O CD AB ⊥AE BE =90CBD ∠=︒2COB D ∠=∠COB C∠=∠AC a =AC B ()CB b a b =<AB O O OA O C O 、AB O D F 、OD AF CF 、、C CE OD ⊥E CF c =2a b c +<c <)a b <+2ab ac bc <+AB O C D O AC BC =D ∠︒5．（2024北京通州初三一模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，的面积近似为的面积，可得的估计值为 ．6．（2024北京平谷初三一模）如图，内接于，为的直径， D 为上一点，连接．若，则的度数为 ．7．（2024北京西城初三一模）如图， 在的内接四边形中， 点A 是的中点，连接， 若，则 ．8．（2024北京石景山初三一模）如图，是的直径，是延长线上一点， 与相切于点．若，则 ．πO O 1612S =⨯⨯正六边形O πO πABC O BC O O AD CD 、20D ∠=︒ACB ∠O ABCD BDAC 130DAB ∠=︒ACB =∠︒AB O P AB PC O C 40P ∠=︒A ∠=︒9．（2024北京顺义初三一模）如图，是的外接圆，，，平分，交于点D ，则的度数为 ．10．（2024北京朝阳初三一模）如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为 ．11．（2024北京燕山初三一模）如图，是的直径，点在上，过点作的切线与直线交于点．若，则 °．三、解答题12．（2024北京朝阳初三一模）如图，在矩形中，，，点A 在直线l 上，与直线l 相交所得的锐角为．点F 在直线l 上，，⊥直线l ，垂足为点F 且，以为直径，在的左侧作半圆O ，点M 是半圆O 上任一点．发现：的最小值为 ，的最大值为 ，与直线l 的位置关系是 ．思考：矩形保持不动，半圆O 沿直线l 向左平移，当点E 落在边上时，重叠部分面积为多少？O ABC AB AC =36BAC ∠=︒BD ABC ∠O DAB ∠O Rt ABC △OE AB ⊥D O E 8AB =2DE =BC AB O C O B O AC D 50D ∠=︒BOC ∠=ABCD 6AB =8BC =AD 60︒8AF =EF 6EF =EF EF AM AM OB ABCD AD13．（2024北京通州初三一模）如图，为的直径，过点A 作的切线，C 是半圆上一点（不与点A 、B 重合），连结，过点C 作于点E ，连接并延长交于点F ．(1)求证：；(2)若的半径为5，，求的长．14．（2024北京东城初三一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”．(1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____；(2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围；(3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围．AB O O AM AB AC CD AB ⊥BD AM ∠=∠CAB AFB O 8AC =DF xOy O PQ PQ O M N ==PM MN NQ PQ O A B C D ，，，AB CB CD O O PQ 2x =E E E y O PQ (1,0)y x b =+PQ b15．（2024北京西城初三一模）在平面直角坐标系 中，已知的半径为．对于上的点 和平面内的直线 给出如下定义：点关于直线的对称点记为，若射线 上的点满足 则称点为点关于直线的“衍生点”．(1)当时，已知上两点 在点， 中，点关于直线的“衍生点”是 ，点关于直线的“衍生点”是 ；(2)为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，． 若线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，直接写出的取值范围；(3)当时，若过原点的直线上存在线段 ，对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”． 将线段长度的最大值记为，对于所有的直线，直接写出的最小值．16．（2024北京房山初三一模）在平面直角坐标系中，将中心为的等边三角形记作等边三角形，对于等边三角形和点（不与重合）给出如下定义：若等边三角形的边上存在点N ，使得直线与以为半径的⊙相切于点，则称点为等边三角形的“相关切点”．xOy O 1O P :l y ax =P l P 'OP Q OQ PP ='，Q P l 0a =O121.2P P ⎛⎛ ⎝⎝，()112Q，232Q ⎫⎪⎪⎭，()(341,1Q Q --，1P l 2P l P O y x m =+()0m ≠x y A B AB S T S P l T P l m 11a -≤≤s MN MN R O P l R P l MN ()D s s ()D s xOy M M M P O M OP MN M P P M(1)如图，等边三角形的顶点分别为点，，．①在点，，中，等边三角形的“相关切点”是 ；②若直线上存在等边三角形的“相关切点”，求的取值范围；(2)已知点，等边三角形的边长为的两个“相关切点”，，使得△为等边三角形，直接写出的取值范围．17．（2024北京顺义初三一模）在平面直角坐标系中，对于图形M 和图形N 给出如下定义：如果图形M 上存在点P 、轴上存在点T ，使得点P 以点T 为旋转中心，逆时针旋转得到的点Q 在图形N 上，那么称图形N 是形M 的“关联图形”．(1)如图，点，，，．①在点B ，C ，D 中，点A 的“关联图形”是_____；②若不是点A 的“关联图形”，求的半径的取值范围；(2)已知点，，，的半径为1，以线段为对角线的正方形为，若是正方形的“关联图形”，直接写出的最小值和最大值．18．（2024北京门头沟初三一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，点P 、Q 是平面内的点，如果点P 关于点Q 的中心对称点在上，我们称圆上的点为点P 关于点Q 的“等距点”．M ()0,0O (A (3,B 132P ⎛ ⎝23,2P ⎛ ⎝()32,2P M y x b =+M b (2)M m m -，M M E F OEF m xOy y 90︒()3,2A -()0,1B -()3,2C ()1,6D -O O r (),0O m '()3,0E m -()2,1G m -O ' EG EFGH O ' EFGH m xOy O O(1)已知如图1点．①如图1，在点 中，上存在点P 关于点Q 的“等距点”的是________；②如图2，点 ，上存在点P 关于点Q 的“等距点”，则m 的取值范围是________；(2)如图3，已知点，点P 在的图象上，若上存在点P 关于点Q 的“等距点”，求b 的取值范围．40（，）P ()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，O (),Q m n O ()1,1Q y x b =-+O参考答案1．D【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可．【详解】解：是的直径，，，，，，故A 、B 、C 不符合题意，D 符合题意；故选：D ．2．C【分析】本题考查了圆的基本性质以及勾股定理内容以及完全平方公式的应用，先找出半径，结合斜边大于直角边，得知①是正确的，结合勾股定理以及完全平方公式的变形运算，得证③是错误的；同理得证②是正确的．对④运用反证法，得出，与①的结论相矛盾，即可作答．【详解】解：∵∴∵∴（斜边）大于即故①是正确的；∴在中，即∴∵故③是错误的；∵∴∴CD OCD AB ⊥AE BE ∴=90CBD ∠=︒2COB D ∠=∠CBO C ∠=∠2a b c +<2a b c +>2a b c +<()A b C a CB b a ==>，()1122OF AB a b ==+OF AB⊥CF OF2a bc +>()111222OC AO AC a b a b a =-=+-=-Rt COF △222OC OF FC +=22211222a b b a c +⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222a b c +==2a b c +<)a b =+b a>()2b a ->222b a ab +>，故②是正确的；假设是正确的则∴∵，且∴∴即与①的结论相矛盾故④是错误的综上：正确结论的个数是个故选：C3．的圆周角所对的弦是直径【分析】本题考查圆周角定理，掌握“的圆周角所对的弦是直径”是正确解答的关键．根据圆周角定理进行判断即可．【详解】解：根据“的圆周角所对的弦是直径”即可得出答案，故答案为：的圆周角所对的弦是直径．4．45【分析】本题主要考查了圆周角定理，先由直径所对的圆周角为，可得，然后由得：，然后根据同弧所对的圆周角相等，即可求出的度数．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∴．故答案为：455．3【分析】过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正十二边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．【详解】如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，设的半径为1，过作于，>=>c 2ab ac bc <+0ac ab bc ab<-+-()()0a c b b c a <-+-00c b c a -<->，a b<0c b c a ->->b c c a->-2a b c +>2a b c +<290︒90︒90︒90︒90︒90ACB ∠=︒AC BC =45CAB CBA ∠=∠=︒D ∠AB O 90ACB ∠=︒AC BC =45CAB CBA ∠=∠=︒45D CAB ∠=∠=︒A AM OB ⊥M AOB ∠AM AB O O A AM OB ⊥M在正十二边形中，，∴正十二边形的面积为,，,的近似值为3，故答案为：3．6．/70度【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．由为的直径，可得，由，可得，根据，计算求解即可．【详解】解：∵为的直径，∴，∵，∴，∴，故答案为：．7．25【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出的性质，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：∵的内接四边形中，，∴，∵点A 是的中点，3601230AOB ∠=︒÷=︒1122AM OA ∴==111112224AOB S OB AM ∴=⋅=⨯⨯= 11234⨯=231π∴=⨯3π∴=π∴70︒BC O 90BAC ∠=︒ AC AC =20ABC D ∠=∠=︒180ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠BC O 90BAC ∠=︒ AC AC =20ABC D ∠=∠=︒18070ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒70︒BCD ∠O ABCD 130DAB ∠=︒18500DA BCD B ∠︒∠==︒- BD∴，∴，故答案为：25．8．【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，切线的性质，如图，连接，求解，再根据圆周角定理即可得答案．【详解】解：如图，连接，∵ 与相切于点．，∴，，∴，故答案为：9．/72度【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质及圆周角定理是解题的关键．根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，再由角平分线及圆周角定理确定，即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，故答案为：．10．【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和中位线定理，由垂径定理得，，则可得是的中位线，设半径为，由勾股定理得，求出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵，AD AB =1252ACD ACB BCD ∠=∠=∠=︒25OC 904050COP ∠=︒-︒=︒OC PC O C 40P ∠=︒90OCP ∠=︒904050COP ∠=︒-︒=︒1252A COP ∠=∠=︒2572︒72ABC C ∠=∠=︒36CBD CAD ∠=∠=︒AB AC =36BAC ∠=︒180180367222BAC ABC C ︒-∠︒-︒∠=∠===︒BD ABC ∠36CBD ∠=︒36CBD CAD ∠=∠=︒72DAB DAC CAB ∠=∠+∠=︒72︒6142AD BD AB ===90ADO BDO ∠=∠=︒OD ABC r 222OA OD AD =+=5r OE AB ⊥∴，，∵，∴是的中位线，∴，即，设半径为，则，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴，∴．11．【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到，根据直角三角形两个锐角互余计算出，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵是的直径，为的切线，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．12；；平行（或）；思考：【分析】发现：如图1，连接，作于，由题意知，，，当三点共线时，最小，为；当重合时，最大，由勾股定理求解即可；由题意知，则，进而求解作答即可； 思考：如图2，连接，作于，则，，由，可得，，根据，计算求解即可．【详解】发现：解：如图1，连接，作于，142AD BD AB ===90ADO BDO ∠=∠=︒OA OC =OD ABC 12OD BC =2BC OD =r 2OD OE DE r =-=-Rt AOD 222OA OD AD =+()22224r r =-+=5r 23OD r =-=26BC OD ==8090ABD Ð=°40A ∠=︒AB O BD O AB BD ⊥90ABD Ð=°50D ∠=︒40A ∠=︒280BOC A ∠=∠=︒80310 3πAO AE 、BP AF ⊥P 3OM =60DAF ∠=︒A M O 、、AM AO OM -M E 、AM 30BAP ∠=︒132BP AB OF ===OG OH AD ⊥H 30AEF ∠=︒1322OH OE ==OE OG =120EOG ∠=︒2GE EH =EOG EOG S S S =- 重叠扇形AO AE 、BP AF ⊥P由题意知，，，当三点共线时，最小，由勾股定理得，∴；当重合时，最大，由勾股定理得，，∴的最大值为；∵矩形，∴，∴，∴，又∵，∴，故答案为：平行（或）；；；平行（或）；思考：解：如图2，连接，作于，∵，∴，∴，∵，∴，∴3OM =60DAF ∠=︒A M O 、、AM AO ==AM 3-M E 、AM 10AE ==AM 10ABCD 90BAD ∠=︒30BAP ∠=︒132BP AB OF ===BP OF ∥OB l ∥ 310 OG OH AD ⊥H 60DAF EF AF ∠=︒⊥，30AEF ∠=︒1322OH OE ==OE OG =120EOG ∠=︒2GE EH ===EOG EOG S S S =- 重叠扇形212031336022π⋅=-⨯3π=∴重叠部分面积为【点睛】本题考查了勾股定理，含的直角三角形，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形面积等知识．熟练掌握勾股定理，含的直角三角形，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形面积是解题的关键．13．(1)证明见解析(2)【分析】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握切线的性质和判断方法，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理是正确解答的关键．（1）根据切线的性质，平行线的判定和性质以及圆周角定理即可得出结论；（2）根据相似三角形的判定和性质以及垂径定理进行计算即可．【详解】（1）证明：是的切线，，于点，，，，，．（2）解：连结，于点，是的直径，，是的垂直平分线，，的半径为5，，，是的直径，，3π30︒30︒323DF =AM O 90BAM ∴∠=o CD AB ⊥ E 90CEA ∴∠= CD AF ∴∥∴∠=∠CDB AFB CDB CAB ∠=∠ ∴∠=∠CAB AFB AD CD AB ⊥ E AB O CE DE ∴=AB ∴CD 8AC AD ∴==O 10AB ∴=6BD =∴AB O 90BDA =∴∠，，，，．14．(1)、；(2)；(3)．【分析】本题是新定义阅读题，考查了理解能力，与圆的位置关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是几何直观能力，数形结合．（1）根据定义验证可得结果；（2）根据最大值为6，所以以为圆心，3为半径画圆，根据勾股定理求得，进而求得结果；（3）以为圆心，1为半径作圆，直线与圆相切，此时，以为圆心，2为半径作圆，直线与圆相切，求得，进而求得结果．【详解】（1）解：如图1，，，，是的“倍弦线”，与不相交，，和不是的“倍弦线”，故答案为：、；（2）如图2，BAD AFB ∴∠=∠tan tan ∴∠=∠BAD AFB ∴=AD BD DF AD2AD DF BD ∴=⋅323∴=DF AB CD ≤≤E y 21b -≤≤+PQ O EF (2,0)y x b =+2b =-(1,0)-y x b =+I b 2AF FH BH === CG GF DF ===AB ∴CD O BC O 23AI AE DI BH ==BC ∴AD O AB CD以为圆心，3 为半径画圆交直线于和，，；（3）如图3，以为圆心，2为半径画圆，直线与相切，此时，以为圆心，1为半径作，直线与线切，此时15．(1)(2)(3)【分析】（1）先得出直线为，根据轴对称得出进而可得，勾股定理求得点与原点的距离，进而根据新定义即可求解；（2）依题意，当线段上存在一个点到原点的距离为时，则符合题意，进而分画出图形，即可求解；（3）根据题意，画出图形，就点的位置，分类讨论，根据新定义即可求解．【详解】（1）解：∵当时，直线为，即轴，∵∴∴∵， O 2x =E E'EFE y (1,0)O '-O '1y x b =+ 11b =(2,0)O ''O '' 2y x b =+O '' 22b =-21b ∴-≤≤+23Q Q ，2m ≤≤2m -≤≤-2l 0y =121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎝，11PP '=22P P '=1234,,,Q Q Q Q 02PP '≤≤AB 20,0m m ><P 0a =l 0y =x 121.2P P ⎛⎛ ⎝⎝，121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎝，11PP '=22P P '=()112Q ，232Q ⎫⎪⎪⎭，()(341,1Q Q --，∴，，∴点关于直线的“衍生点”是，点关于直线的“衍生点”是，故答案为：．（2）解：依题意，，由（2）可得当点是点关于直线的“衍生点”则，∵为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，．∴，∴当线段上存在一个点到原点的距离为时，当时，如图所示，当时，即与点重合时，存在点是点关于直线的“衍生点”，则则（除端点外）上所有的点到的距离都，∵对称轴为直线，不能为轴，则和不是点关于直线的“衍生点”，则符合题意，∵线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，∴，当，此时最短，则当时，，此时只有1个点到的距离为，其他的点都不是点关于直线的“衍生点”，∴根据对称性，当时，可得；综上所述，（3）∵时∴随着的变化，点关于直线的对称点始终在圆上，如图所示，依题意，直线是经过圆心，且经过的直线，经过圆心，1OQ =2OQ ==3OQ ==42OQ ==1P l 2Q 2P l 3Q 23Q Q ，02PP '≤≤S P l 2OS ≤P O y x m =+()0m ≠x y A B OA OB m ==AB 20m >2OS =S B S P l 2m =AB O 2<y ax =y ()0,2()2,0-P l 2m =AB S T S P l T P l m 2≥OS y x m '⊥=+OS '2OS '=m =O 2P l 2m ≤≤0m <2m -≤≤-2m ≤≤2m -≤≤-11a -≤≤a P l P 'l AB s①当点在（包括边界）上时，当重合时，当为直径时，则，根据新定义可得，∴，②当点在的内部的圆弧上时（不包括边界），当为直径时，则，则对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”．当在轴上时，两条边界线的正中间，则P AB ,P P 'PP '2OQ PP '==02PP '≤≤()2D s =P AD PP '2OQ PP '==MN R O P l R P l P y PP '即综上所述，【点睛】本题考查了一次函数，圆的定义，轴对称的性质，勾股定理求线段长，理解新定义，熟练掌握几何变换是解题的关键．16．(1)①，；②；(2)或．【分析】（）根据新定义即可求解；找到关键点先求出此时的值，然后即可求解；（）由可知，点在直线上，再根据新定义分四种情况画出图即可；本题考查了圆的切线，勾股定理和等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）如图，根据题意，直线与以为半径的相切，由图可知，等边三角形的“相关切点”是，故答案为：；根据题意，满足题意的点是以，半径为的弧上，如图，2PP OQ '≤=≤()2D s =()2D s =1P 2P 312b -≤21m ≤≤10m ≤1①②b 2().2M m m -2y x =-①OP MN M M 12P P 、12P P 、②P ()1,01若直线上存在等边三角形的“相关切点”，如图，由，是等腰直角三角形，，∴，∴，即，∵，∴，∴此时，∴的取值范围为；（2）如图，此时中，，，y x b =+M HIK OSK 1HI=KI =1OK OS ==b =3,2P ⎛ ⎝PL =32KL =OG =b =b b 312b -≤≤OEM △30EOM ∠=︒90OEM ∠=︒(),2M m m -此时，，解得：，如图，此时中，，，此时，，解得：（正值舍去），如图，4OM =()22224m m +-=1m =+OEM △30EOM∠=︒90OEM ∠=︒(),2M m m -4OM =()22224m m +-=1m =此时，，解得：或（舍去），如图，此时，，解得：（舍去）或，综上可知：．17．(1)①②；(2)．【分析】（1）①根据“关联图形”的定义判断即可；②根据关联图形的定义，判断出点旋转后的轨迹， 从而得到的半径范围（2）根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最小值；根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最大值；2OM =()22222m m +-=2m =0m =2OM =()22222m m +-=2m =0m =21m ≤≤10m ≤B0r <<m m A O G O ' m E O ' m【详解】（1）①点绕逆时针旋转得到点，故答案为：；②设点，那么点绕点逆时针旋转得到点,作轴交轴于点，作轴交轴于点，如图所示由旋转可知，，，，坐标为在上运动设与轴的交点为，与轴交点为当，，当时，，，以点为圆心，作圆，当与有为唯一交点时，半径为斜边上的高当不是点的关联图形时，故答案为：．（2）设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，连接A (0,2)90B B (0,)T a A T 90 A 'AJ y ⊥y J A K y '⊥y K AT A T '=90ATA ∠='︒90AJT ∠=︒90TAJ ATJ ∴∠+∠=︒90ATJ A TK =︒'+ TAJ A TK'∴∠=ATJ A KT'∴ ≌(3,2)A - 2TJ a KA '∴=-=3AJ TK==3OK TO TK a ∴=-=-∴A '(2,3)a a --A '∴1y x =-1y x =-x M y N0x =1y =-0y =1x =(1,0)M ∴(0,1)N-MN ∴==O O 1y x =-OMNOM ON r MN ⋅∴===∴OA 0r <0r <<(3,0)E m -(0,)T a 90︒E 'E 'E S y '⊥y S，，如图所示由旋转可知，，，，点坐标为所以在上运动，与轴的夹角为设在轴的交点为，那么点坐标为当与有唯一交点时，最大与相切为等腰直角三角形且故；TE TE 'AE =TE T E '=90ETE ∠='︒90ETO E TO '∴∠+∠=︒90ETO TEO ∠+∠=︒0E T TEO'∴∠=∠90EOT E ST '∠=∠=︒ETO TE S'∴ ≌3EO TS m ∴==-TO E S a'==(3)3TS TO SO a m a m∴=-=--=+-E '∴(,3)a a m +-E '3y x m =+-1k = 3y x m ∴=+-x 45︒3y x m =+-x Q Q (3,0)m -3y x m =+-O ' R m 3y x m =+- O ' 90O RQ ∴='∠︒O RQ '∴ 1O R '=(3)23O Q m m m '∴=--=-=m ∴=m设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，过点作轴交连接，，如图所示同理可证，，的坐标是在上运动设与轴的交点为，当与该直线有唯一交点时，取最小值．同理可证为等腰直角三角形，且故【点睛】本题考查了线段的旋转，三角形全等的判定与性质，圆与直线的关系判断，圆的切线的性质与计算，一次函数， “关联图形”等知识点，熟练掌握以上知识点并根据画出正确的图形是解题的关键．18．(1)①；②(2)【分析】（1）①求出点P关于的对称点，利用点到圆心的距离与半径比较，即可判断“等距点”；②在上任取一点点P 关于点Q 的“等距点”M ，连接，取的中点即为点Q ，连接，取其中点，连接，根据中位线定理则判断出点Q 的在以为圆心，半径为1的上，即可求解；（2）过点O 作点Q 的对称点，则点为，则上所有的点关于点Q 的对称点都在以为圆心，半径为2的上，那么直线与有公共点即可，找到两个临界状态，即相切位置，分别求b 即可．(2,1)G m -(0,)T a 90 G 'G 'G P y '⊥y P G GQ y ⊥TG TG 'GTQ G TP ' ≌1TQ PG a '∴==-2GQ TP m==-(2)2PO TO TP a m a m ∴=-=--=+-G '∴(1,2)a a m -+-G '∴1y x m =+-1y x m =+-x (1,0)L m -O ' K m O KL ' O L K ''==112O L m m m '∴=--=-=m ∴=m 12,Q Q 13m ≤≤44b -≤≤+()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，O MP MP OP O 'QO '()2,0O 'O ' O 'O '()2,2O O '()2,2O ' y x b =-+O '【详解】（1）解：①如图，点P 关于的对称点分别为，则，，∴在上，∴点P 关于点Q 的“等距点”的是故答案为：；②在上任取一点点P 关于点Q 的“等距点”M ，连接，取的中点即为点Q ，连接，取其中点，连接，∴，∴点Q 的在以为圆心，半径为1的上，()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，()()()2,0,0,2,2,2--12d R ==22d R ==3d R==>()()2,0,0,2-O 12,Q Q 12,Q Q O MP MP OP O 'QO '112QO OM '==()2,0O 'O '∵与轴交于点，∴，故答案为：．（2）解：过点O 作点Q 的对称点，则点为，∴上所有的点关于点Q 的对称点都在以为圆心，半径为2的上，∵点P 在的图象上，∴当直线与相交即可，当直线与第一次相切时，设切点为点E ，直线与y 轴交点G ，当直线与第二次相切时，设切点为点F ，∵，∴∴，∵点，∴其点Q 与点O 的水平距离与铅锤距离均是1，∴，由相切得：，∴为等腰直角三角形，∴，同理可求当直线与第二次相切时，综上：【点睛】本题考查了新定义，中心对称，圆的定义，中位线定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．O ' x ()()1,0,3,0-13m ≤≤13m ≤≤O 'O '()2,2O O '()2,2O ' y x b =-+y x b =-+O ' y x b =-+O ' y x b =-+O ' ()2,2O 'OO ¢=2OE OO O E ''=-=()1,1Q 45EOG ∠=︒GE OO '⊥ OGE 4OG b ==-=y x b =-+O ' 4b =+44b -≤≤+。
北京中考专题《圆》(原卷版)
5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（北京专用）专题11圆（共78题）一．填空题（共2小题）1．（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB̂=CD̂，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝．2．（2017•北京）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD̂=CD̂．若∠CAB＝40°，则∠CAD＝．二．解答题（共10小题）3．（2020•北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD 于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC＝∠AOF；（2）若sin C=13，BD＝8，求EF的长．4．（2019•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；五年中考真题（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．5．（2018•北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．6．（2017•北京）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB＝DE；（2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径．7．（2016•北京）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交AĈ于点D，过点D作⊙O 的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．8．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．9．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DÊ上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称DÊ为△ABC的中内弧．例如，图1中DÊ是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC=2√2，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧DÊ，并直接写出此时DÊ的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t=12，求△ABC的中内弧DÊ所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧DÊ，使得DÊ所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．10．（2018•北京）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）＝1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接写出t的取值范围．̂所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB̂于点M，连接MB，过点P 11．（2017•北京）如图，P是AB作PN⊥MB于点N．已知AB＝6cm，设A、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm．（当点P 与点A或点B重合时，y的值为0）小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm0123456y/cm0 2.0 2.3 2.10.90（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△P AN为等腰三角形时，AP的长度约为cm．12．（2016•北京）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0），①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为√2，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．一．选择题（共19小题）1．（2020•怀柔区二模）如图，在⊙O中，A，B，P为⊙O上的点，∠AOB＝68°，则∠APB的度数是（）A．136°B．34°C．22°D．112°2．（2020•朝阳区三模）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．130πcm2B．120πcm2C．65πcm2D．60πcm23．（2020•石景山区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝125°，则∠BOD的度数为（）A．55°B．65°C．110°D．125°4．（2020•朝阳区三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝50°，则∠B的度数为（）一年模拟新题A．50°B．65°C．75°D．130°5．（2020•西城区二模）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（）A．√2B．2√2C．2√3D．46．（2020•门头沟区二模）如图，线段AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，如果AB＝4，AC＝2，那么∠ADC的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°7．（2020•丰台区二模）如图，点A，B是⊙O上的定点，点P为优弧AB上的动点（不与点A，B重合），在点P运动的过程中，以下结论正确的是（）A．∠APB的大小改变B．点P到弦AB所在直线的距离存在最大值C．线段P A与PB的长度之和不变D．图中阴影部分的面积不变8．（2020•海淀区二模）如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于90°，那么圆心O 到弦AB 的距离为（ ）A ．√2B ．2C ．2√2D ．3√29．（2020•西城区一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点．若∠CAB ＝65°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．65°B ．35°C ．32.5°D ．25°10．（2020•朝阳区一模）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，CD ＝4，tan C =12，则AB 的长为（ ）A ．2.5B ．4C ．5D ．1011．（2020•朝阳区校级模拟）如图，在△ABC 中，∠C ＝40°，∠A ＝60°．以B 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB ，BC 于点D ，E ；分别以D ，E 为圆心，大于12DE 长度为半径作弧，两弧交于点F ；作射线BP ，交AC 于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于M ；以P 为圆心，PM 的长为半径作⊙P ．则下列结论中，错误的是（ ）A ．∠PBA ＝40°B ．PC ＝PBC ．PM ＝MBD ．⊙P 与△ABC 有4个公共点12．（2020•海淀区校级二模）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD ＝CD ＝2√3．则BC ̂的长为（ ）A ．π3B ．2π3C ．√3π3D ．2√3π313．（2020•海淀区校级模拟）如图，已知⊙O 的半径为6，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为（ ）A ．6B ．8C ．3√3D ．6√314．（2020•朝阳区模拟）如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，当∠OBC ＝40°时，∠A 的度数是（ ）A ．65°B ．60°C ．55°D ．50°15．（2020•青州市一模）如图，⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点，半径OD ⊥弦BC 于D ，如果∠BAC ＝60°，那么OD 的长是（ ）A ．2B ．√3C ．√32D ．116．（2020•丰台区模拟）已知⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3是等圆，△ABP 内接于⊙O 1，点C ，E 分别在⊙O 2，⊙O 3上．如图，①以C 为圆心，AP 长为半径作弧交⊙O 2于点D ，连接CD ； ②以E 为圆心，BP 长为半径作弧交⊙O 3于点F ，连接EF ； 下面有四个结论： ①CD +EF ＝AB ②CD̂+EF ̂=AB ̂ ③∠CO 2D +∠EO 3F ＝∠AO 1B ④∠CDO 2+∠EFO 3＝∠P 所有正确结论的序号是（ ） A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．②③④17．（2020•丰台区三模）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若∠CDB ＝32°，则∠CBA 的度数为（ ）A ．68°B ．58°C ．64°D ．32°18．（2020•北京模拟）如图，抛物线y =19x 2−1与x 轴交于A ，B 两点，D 是以点C （0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接OE ，BD ，则线段OE 的最小值是（ ）A ．2B ．3√22C ．52D ．319．（2020春•海淀区校级月考）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，∠A ＝30°，CD ＝4√3，则⊙O 的直径的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二．填空题（共21小题）20．（2020•石景山区二模）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，OA ＝3，∠OCA ＝40°，则阴影部分的面积为 ．21．（2020•怀柔区二模）扇形的半径为3，圆心角θ为120°，这个扇形的面积是 ．22．（2020•顺义区二模）如图，在每个小正方形的边长为1cm 的网格中，画出了一个过格点A ，B 的圆，通过测量、计算，求得该圆的周长是 cm ．（结果保留一位小数）23．（2020•海淀区二模）如图，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，则∠ACB∠ADB．（填“＞”，“＝”或“＜”）̂的长约为cm．（π取3.14，结果24．（2020•房山区二模）如图，扇形AOB，通过测量、计算，得AB保留一位小数）25．（2020•大兴区一模）将面积为225cm2的正方形硬纸片围成圆柱的侧面，则此圆柱的底面直径为cm （结果保留π）．26．（2020•石景山区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．27．（2020•东城区一模）如果一个正n边形的每个内角为108°，那么这个正n边形的边数为．28．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，点D为AĈ的中点，且OD与AC相交于点E，若⊙O的半径为4，∠CAB＝30°，则弦AC的长度为．29．（2020•房山区一模）如图，AC是⊙O的弦，AC＝6，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝60°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．30．（2020•泰州二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为．̂上两点，若∠D＝110°，则∠ABC＝31．（2020•海淀区校级二模）如图，AB是半圆O的直径，C，D是AB度．32．（2020•延庆区一模）把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，AB＝2，则光盘的直径是．33．（2020•东城区校级模拟）我们知道任意三角形都存在内切圆．同样的，一些凸四边形也存在内切圆．我们规定：存在与凸四边形的三条边相切的圆叫四边形的伪内切圆．以下结论正确的是：．①凸四边形必存在伪内切圆；②当平行四边形只存在1个伪内切圆时，它的对角线一定相等；③矩形伪内切圆个数可能为1、2、4；④当且仅当四边形对角线互相垂直平分且相等时，该四边形的伪内切圆与内切圆重合．34．（2020•东城区校级模拟）如图，点C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA＝CD，且∠CAB＝25°，则∠ACD的度数为°．35．（2020•西城区校级模拟）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC ＝2∠ACD＝90°．如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，则BD的长为．36．（2020•朝阳区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边BC的中点，点P在边AD上，设DP＝x，若以点D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点，则所有满足条件的x的取值范围是．37．（2020•西城区校级模拟）如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O 上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于．38．（2020•丰台区模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AĈ=CD̂，则∠ACD的度数是．39．（2020•丰台区模拟）如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC ＝5cm，AB＝3cm，则⊙O的半径长为．40．（2020•朝阳区校级模拟）如图，tan∠1＝．三．解答题（共10小题）̂的中点，CA与⊙O相切于点A交BE延长于41．（2020•怀柔区二模）如图，AB是⊙O的直径，点E是AB点C，过点A作AD⊥OC于点F，交⊙O于点D，交BC于点Q，连接BD．（1）求证：BD＝AF；（2）若BD＝2，求CQ的长．42．（2020•丰台区三模）如图，四边形OABC中，∠OAB＝∠OCB＝90°，BA＝BC．以O为圆心，以OA 为半径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，①补全图形；②若AD̂=AĈ，求证：OF＝OB．43．（2020•怀柔区二模）如图，在半⊙O中，P是直径AB上一动点，且AB＝6，过点P作PC⊥AB交半⊙O 于点C，P为垂足，连接BC，过点P作PD⊥BC于点D．小明根据学习函数的经验，对线段AP，CP，PD的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于动点P在AB上的不同位置，画图，测量，得到了线段AP，CP，PD的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9位置10 AP/cm0.370.88 1.59 2.01 2.44 3.00 3.58 4.37 5.03 5.51 CP/cm 1.45 2.12 2.65 2.83 2.95 3.00 2.95 2.67 2.21 1.65 PD/cm 1.40 1.96 2.27 2.31 2.27 2.13 1.87 1.390.890.48在AP，CP，PD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当CP＝2PD时，AP的长度约为．44．（2020•朝阳区三模）如图，P A是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若cos∠P AB=√55，BC＝2，求PO的长．45．（2020•丰台区三模）如图1，在弧MN和弦MN所组成的图形中，P是弦MN上一动点，过点P作弦MN的垂线，交弧MN于点Q，连接MQ．已知MN＝6cm，设M、P两点间的距离为xcm，P、Q两点间的距离为y1cm，M、Q两点间的距离为y2cm．小轩根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小轩的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm x/cm0123456y1/cm0 2.24 2.83 3.00 2.83 2.240y2/cm0 2.45 3.46 4.24 4.90m6上表中m的值为．（保留两位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy（图2）中，函数y1的图象如图，请你描出补全后的表中y2各组数值所对应的点（x，y2），并画出函数y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△MPQ有一个角是60°时，MP的长度约为．（保留两位小数）46．（2020•石景山区二模）如图，点A，B，C在⊙O上，D是弦AB的中点，点E在AB的延长线上，连接OC，OD，CE，∠CED+∠COD＝180°．（1）求证：CE是⊙O切线；（2）连接OB，若OB∥CE，tan∠CEB＝2，OD＝4，求CE的长．47．（2020•昌平区二模）如图，P A，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，AC是⊙O的直径．（1）若∠ACB＝70°，求∠APB的度数；（2）连接OP，若AB＝8，BC＝6，求OP的长．48．（2020•门头沟区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O 的切线DE交AB于E．（1）求证：DE⊥AB；（2）如果tan B=12，⊙O的直径是5，求AE的长．49．（2020•平谷区二模）如图，以AB为直径的⊙O，交AC于点E，过点O作半径OD⊥AC于点G，连接BD交AC于点F，且FC＝BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，tan A=34，求GF的长．50．（2020•密云区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC平分∠BAD，过点C的切线交直径AB的延长线于点E，连接AD、BC．（1）求证：∠BCE＝∠CAD；（2）若AB＝10，AD＝6，求CE的长．51．（2020•朝阳区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，对角线AC经过点O，过点D作⊙O 的切线DE，交BC的延长线于点E．（1）求证：DE∥AC；（2）若AB＝8，tan E=43，求CD的长．52．（2020•房山区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC 中点，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）设CD与OE的交点为F，若AB＝10，BC＝6，求OF的长．53．（2020•北京二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O切线CD交BA的延长线于点D，过点O作OE∥AC交切线DC于点E，交BC于点F．（1）求证：∠B＝∠E；（2）若AB＝10，cos B=45，求EF的长．54．（2020•海淀区二模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于点E，⊙O的切线BD交OC的延长线于点D．（1）求证：∠DBC＝∠OCA；（2）若∠BAC＝30°，AC＝2．求CD的长．55．（2020•门头沟区一模）如图，∠APB，点C在射线PB上，PC为⊙O的直径，在∠APB内部且到∠APB 两边距离都相等的所有的点组成图形M，图形M交⊙O于D，过点D作直线DE⊥P A，分别交射线P A，PB于E，F．（1）根据题意补全图形；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）如果PC＝2CF，且DF=√3，求PE的长．56．（2020•通州区一模）已知：△ABC为等边三角形．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）（2）射线AO交BC于点D，交⊙O于点E，过E作⊙O的切线EF，与AB的延长线交于点F．①根据题意，将（1）中图形补全；②求证：EF∥BC；③若DE＝2，求EF的长．57．（2020•大兴区一模）已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D 作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）延长DE交BA的延长线于点F，若AB＝8，sin B=√55，求线段F A的长．58．（2020•海淀区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．59．（2020•北京一模）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为BĈ中点，过点D作DE⊥直线AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EF＝4，sin∠F=35，求⊙O的半径．60．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．（1）若∠ABD＝2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为√5，tan∠BDC=12，求AC的长．61．（2020•顺义区一模）如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接BD，若AB＝8，求BD的长．62．（2020•西城区一模）如图，四边形OABC中，∠OAB＝90°，OA＝OC，BA＝BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，若AD̂=AĈ，①补全图形；②求证：OF＝OB．63．（2020•房山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，线段BC 上有一点P．（1）当点P在什么位置时，直线DP与⊙O有且只有一个公共点，补全图形并说明理由．（2）在（1）的条件下，当BP=√102，AD＝3时，求⊙O半径．64．（2020•海淀区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线交于点D，过点B作BE⊥BA，交DC延长线于点E，连接OE，交⊙O于点F，交BC于点H，连接AC．（1）求证：∠ECB＝∠EBC；（2）连接BF，CF，若BF＝5，sin∠FBC=35，求AC的长．65．（2020•朝阳区校级模拟）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连结BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．（1）求证：∠AEB＝2∠C；（2）若AB＝5，tan B=43，求DE的长．66．（2020•北京模拟）如图，AC是Rt△OAB斜边上的高，到点O的距离等于OA的所有点组成的图形记为G，图形G与OB交于点D，连接AD．（1）依题意补全图形，并求证：AD平分∠BAC；（2）如果OC＝6，tan B=34，求BD的长．。
(人教版)北京市九年级数学上册第四单元《圆》测试(答案解析)
一、选择题1．已知⊙O ，如图，（1）作⊙O 的直径AB ；（2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点；（3）连接CD 交AB 于点E ，连接AC ，BC ．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE DE =；②3BE AE =；③2BC CE =．其中正确的推断的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．如图，在O 中，AB ，AC 为互相垂直且相等的两条弦，⊥OD AB ，OE AC ⊥，垂足分别为D ，E ，若4AB =，则O 的半径是（ ）A ．22B ．2C ．3D ．42 3．如图，⊙O 的直径12CD =，AB 是⊙O 的弦，AB CD ⊥，垂足为P ，:1:2CP PO =，则AB 的长为（ ）A ．5B ．15C ．16D ．84．如图，在等边ABC 中，点O 在边AB 上，O 过点B 且分别与边AB BC 、相交于点D 、E ，F 是AC 上的点，判断下列说法错误的是（ ）A．若EF AC⊥，则EF是O的切线B．若EF是O的切线，则EF AC⊥C．若32BE EC=，则AC是O的切线D．若BE EC=，则AC是O的切线5．如图，O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM可取的整数值有（）个A．1 B．2 C．3 D．46．如图，⊙O的半径为1，点 O到直线a的距离为2，点 P是直线a上的一个动点，PA切⊙O于点 A，则 PA的最小值是（）A．1 B．3C．2 D．57．已知AB是经过圆心O的直线，P为O上的任意一点，则点P关于直线AB的对称点P'与O的位置关系是（）A．点P'在⊙○内B．点P'在O外C．点P'在O上D．无法确定8．如图，AB是⊙的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝35°，则∠D的度数是（）A．65°B．55°C．60°D．70°9．如图，ABC 的顶点A 是O 上的一个动点，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，边AC ，AB 分别交O 于点E ，D ，分别过点E ，D 作O 的切线交于点F ，且点F 恰好在边BC 上，连接OC ，若O 的半径为6，则OC 的最大值为（ ）A ．393+B ．2103+C ．353+D ．5310．如图，⊙P 与y 轴相切于点C （0，3），与x 轴相交于点A （1，0），B （7，0），直线y=kx-1恰好平分⊙P 的面积，那么k 的值是（ ）A ．12B ．45C ．1D ．4311．下列说法中，正确的是（ ）A ．三点确定一个圆B ．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等C ．平分弦的直径垂直于弦D ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等12．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=AC 且∠BAC=45°，⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，DF 与⊙O 相切，OD 与BE 相交于点H ．下列结论错误的是（ ）A ．BD=CDB ．四边形DHEF 为矩形C ．2AE DE= D ．BC=2CE二、填空题13．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，若OA=2，∠P=60°，则AB 的长为________14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点,,A B C 的坐标分别是(0,),(22,0),()4,0,M是ABC ∆的外接圆，则圆心M 的坐标为__________________，M 的半径为_______________________．15．如图，点A 、D 、G 、M 在半圆上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =，则a ，b ，c 之间的大小关系是_________________．（用“>”、“<”、“=”连接）16．已知O 的直径10AB =cm ，CD 是O 的弦，AE CD ⊥，垂足为点E ，BF CD ⊥，垂足为点F ，且8CD =cm ，则BF AE -的长为________cm ．17．已知半径为5的圆O 中，弦AB =8，则以AB 为底边的等腰三角形腰长为___________．18．如图，在圆O 的内接五边形ABCDE 中，40CAD ∠=︒，则B E ∠+∠=_______°．19．已知一个圆锥形纸帽的底面半径为5cm ，母线长为10cm ，则该圆锥的侧面积为_____cm 2（结果保留π）20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （8，0），⊙O 半径为3，B 为⊙O 上任意一点，P 是AB 的中点，则OP 的最小值是____．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，3），点B （4，0），点C （0，﹣1）． （1）以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C ；（2）在（1）中的条件下，①点A 经过的路径1AA 的长为 （结果保留π）；②写出点B′的坐标为 ．22．如图，已知点A 、B 的坐标分别是(0，0) ，(4，0)，将ABC 绕A 点按逆时针方向旋转90°后得到A B C '''．（1）画出A B C '''（不要求写出作法）；（2）写出点C '的坐标；（3）求旋转过程中点B 所经过的路径长．23．如图，AB 是O 的一条弦，⊥OD AB ，垂足为C ，OD 交O 于点D ，点E 在O 上，若50AOD ．（1）求DEB ∠的度数：（2）若3OC =，5OA =，①求弦AB 的长；②求劣弧AB 的长．24．如图，若O 是ABC 的外接圆，AD 为直径，60ABC ∠=︒．（1）求DAC ∠的度数；（2）若4=AD ，求阴影部分的面积．25．如图，已知AB 是O 的直径，四边形AODE 是平行四边形，请用无刻度直尺按下列要求作图． （1）如图1，当点D 在圆上时，作BAC ∠的平分线；（2）如图2，当点D 不在圆上时，作BAC ∠的平分线．26．如图，AB是O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切O于点E，交AM 于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF．OD BE；（1）求证：//（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】①根据作图过程可得AC AD=，根据垂径定理可判断；②连接OC，根据作图过程可证得△AOC为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断；③根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可判断．【详解】解：①∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，∴AC AD=，根据垂径定理可知，AB⊥CE，CE=DE，∴①正确；②连接OC，∵AC=OA=OC，∴△AOC为直角三角形，∵AB⊥CE，∴AE=OE，∴BE=BO+OE=3AE，∴②正确；③∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=60°，∴∠ABC=30°，∴BC=2CE，∴③正确，故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键．2．A解析：A【分析】根据垂径定理可知，AE=CE ，AD=BD ，易证四边形ODAE 是正方形，即可求得．【详解】如图，连接OA∵⊥OD AB ，OE AC ⊥，AB ⊥AC∴四边形ODAE 是矩形，AE=CE ，AD=BD又∵4AB AC ==，∴AE=AD=2∴四边形ODAE 是正方形，且边长为2∴O 的半径OA=22故选A【点睛】本题考查垂径定理，掌握垂径定理的条件和结论是解题的关键．3．A解析：A【分析】连接OA ，先根据⊙O 的直径CD ＝12，CP ：PO ＝1：2求出CO 及OP 的长，再根据勾股定理可求出AP 的长，进而得出结论．【详解】连接OA，∵⊙O的直径CD＝12，CP：PO＝1：2，∴CO＝6，PO=4，∵AB⊥CD，∴22OA OP-2264-5，∴AB＝2AP＝22545⨯=故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式2222ar d⎛⎫=+⎪⎝⎭成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．4．D解析：D【分析】A、如图1，连接OE，根据同圆的半径相等得到OB=OE，根据等边三角形的性质得到∠BOE=∠BAC，求得OE∥AC，于是得到A选项正确；B、由于EF是⊙O的切线，得到OE⊥EF，根据平行线的性质得到B选项正确；C、根据等边三角形的性质和圆的性质得到AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，根据三角函数得到OH=32AO≠OB，于是得到C选项正确；由于C正确，D自然就错误了．【详解】解：A、如图，连接OE，则OB=OE，∵∠B=60°∴∠BOE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BOE=∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确；C、如图，∵BE=32，∴23BE，∵AB=BC，BO=BE，∴23OB，∴3，∴AC是⊙O的切线，∴C选项正确．D、∵∠B=60°，OB=OE，∴BE=OB，∵BE=CE，∴BC=AB=2BO，∴AO=OB，如图，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC=60°，∴OH=3AO≠OB，∴D选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5．C解析：C【分析】当M与A或B重合时，达到最大值；当OM⊥AB时，为最小，从而确定OM的取值范围即可解决问题．【详解】解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，∴当OM于OM′重合时OM最短，∵AB=8，OA=5，∴AM′=1×8=4，2∴在Rt△OAM′中，2222-'=3，OA AM=-54∴线段OM长的最小值为3，最大值为5．所以，OM的取值范围是：3≤OM≤5，故线段OM长的整数值为3，4，5，共3个．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点M的运动状态不清楚，无法判断什么时候会为最大值，什么时候为最小值．6．B解析：B【分析】因为PA为切线，所以△OPA是直角三角形．又OA为半径为定值，所以当OP最小时，PA 最小．根据垂线段最短，知OP=2时PA最小．运用勾股定理求解．【详解】解：作OP⊥a于P点，则OP=2．根据题意，在Rt△OPA中，AP=22-21=3OP OA-=22故选：B．【点睛】此题考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PA最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上．7．C解析：C【分析】圆是轴对称图形，直径所在的直线就是对称轴，从而得到圆上的点关于对称轴对称的点都在圆上求解．【详解】解：∵圆是轴对称图形，直径所在的直线就是对称轴，∴点P关于AB的对称点P′与⊙O的位置为：在⊙O上，故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，利用了圆的对称性求解．8．D解析：D【分析】连结BC，则由已知可以求得∠BCD与∠CBD的度数，最后由三角形的内角和定理可以得到∠D的度数．【详解】解：如图，连结BC，则由弦切角定理可知：∠ABC=∠ACE=35°，∵DB与⊙O相切，∴∠CBD=90°-∠ABC=90°-35°=55°，∵AB是⊙的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCD=180°-∠ACE-∠90°=55°，∴∠D=180°-∠BCD-∠CBD=70°，故选D ．【点睛】本题考查圆的应用，灵活运用直线与圆相切的性质求解是解题关键．9．A解析：A【分析】先推出∠DOE=2∠DAE=60°，连接OE，OD，OF，证明Rt△EFO≌Rt△DFO，得到∠EOF=∠DOF=30°，根据EO=6，在Rt△EFO中，∠EOF=30°，得出EF=23，推出点C在以EF为直径的半圆上，设EF中点为G，得出当OC经过半圆圆心G时，OC最长，即OC的值最大，求出OG，CG即可得出答案．【详解】在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠DAE是DE所对的圆周角，∠DOE是DE所对的圆心角，∴∠DOE=2∠DAE=60°，连接OE，OD，OF，∵过点E，D作O的切线交于点F，∴∠FEO=∠FDO=90°，∴在Rt△EFO和Rt△DFO中EO DO FO FO=⎧⎨=⎩，∴Rt△EFO≌Rt△DFO（HL），∴∠EOF=∠DOF=30°，又∵EO=6，在Rt△EFO中，∠EOF=30°，∴EF=23又∵点F恰好是腰BC上的点，∠ECF=90°，∴点C在以EF为直径的半圆上，∴设EF中点为G，则EG=FG=CG=12EF=12×233，∴当OC经过半圆圆心G时，OC最长，即OC的值最大，在Rt△OEG中，OE=6，3∴OG=22OE EG=39，∴OC=OG+CG=39+3，故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆的性质，证明Rt△EFO≌Rt△DFO是解题关键．10．C解析：C【分析】连接PC，PA，过点P作PD⊥AB于点D，根据切线的性质可知PC⊥y轴，故可得出四边形PDOC是矩形，所以PD=OC=3，再求出AB的长，由垂径定理可得出AD的长，故可得出OD 的长，进而得出P点坐标，再把P点坐标代入直线y=kx-1即可得出结论．【详解】解：连接PC，PA，过点P作PD⊥AB于点D，∵⊙P与y轴相切于点C（0，3），∴PC⊥y轴，∴四边形PDOC是矩形，∴PD=OC=3，∵A（1，0），B（7，0），∴AB=7-1=6，∴AD=12AB=12×6=3，∴OD=AD+OA=3+1=4，∴P（4，3），∵直线y=kx-1恰好平分⊙P的面积，∴3=4k-1，解得k=1．故选：C．【点睛】本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出P点坐标即可得出结论．11．D解析：D【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理一一判断即可．【详解】解：A、任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆，不符合题意；B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，错误，不符合题意；C、平分弦的直径垂直于弦，错误，此弦不是直径，不符合题意；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．D解析：D【分析】A、利用直径所对的圆周角是直角，以及等腰三角形的三线合一性质即可得出结论；B、根据中位线得出OD//AC，再根据矩形的判定即可得出结论C、根据垂径定理得出BD DE=，再根据等腰直角三角形的性质得出AE=BE，从而得出=，即可得出2BD DE=AE DED、不能得出BC=2CE【详解】解：连接AD∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=∠BEA =90°，即AD⊥BC，又∵AB=AC，∴BD=DC，∠BAD=∠DAE，故A正确；∵OA=OB∴OD是三角形ABC的中位线∴OD//AC∴∠DHE =90°=∠BEF，∵DF与⊙O相切，∴∠ODF =90°∴四边形DHEF为矩形故B正确；∵∠BEA =90°，∠BAC=45°，∴AE=BE∴AE BE=∵∠DHE =90°∴OD⊥BE∴BD DE=∴2=AE DE故C正确；不能得出BC=2CE故选：D【点睛】本题考查了切线的性质、三线合一定理、三角形中位线定理、垂径定理；熟练掌握等腰三角形的性质和圆周角定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．二、填空题13．【分析】连接AB并延长BO交圆于C连接ACPAPB是⊙O的切线由切线长定理知PA=PB；又∠P=60°则等腰三角形APB是等边三角形则有∠ABP=60°BC是直径；由直径对的圆周角是直角得∠PBC=解析：23【分析】连接AB，并延长BO交圆于C，连接AC，PA、PB是⊙O的切线，由切线长定理知PA=PB；又∠P=60°，则等腰三角形APB是等边三角形，则有∠ABP=60°，BC是直径；由直径对的圆周角是直角得∠PBC=90°，则在Rt△ABC中，有∠ABC=30°，进而可知AB的长．【详解】解：连接AB，并延长BO交圆于C，连接AC，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵∠P=60°，∴∠PBA=60°；又∵BC是圆的直径，∴CB⊥PB，∠BAC=90°，∴∠ABC=30°，而BC=4，∴在Rt△ABC中，cos30°=AB BC，∴AB=4×2=故答案为：【点睛】本题利用了切线长定理，等边三角形的判定和性质，弦切角定理，直角三角形的性质，正弦的概念求解．注意本题的解法不唯一．掌握相关知识是解题的关键．14．【分析】M点为BC和AB的垂直平分线的交点利用点ABC坐标易得BC的垂直平分线为直线x=3AB的垂直平分线为直线y=x从而得到M点的坐标然后计算MB得到⊙M的半径【详解】解：∵点ABC的坐标分别是（解析：()3,3【分析】M点为BC和AB的垂直平分线的交点，利用点A、B、C坐标易得BC的垂直平分线为直线x=3，AB的垂直平分线为直线y=x，从而得到M点的坐标，然后计算MB得到⊙M的半径．【详解】解：∵点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），∴BC的垂直平分线为直线x=3，∵OA=OB，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x，∵直线x=3与直线y=x的交点为M点，∴M点的坐标为（3，3），∵MB==∴⊙M．故答案为（3，3．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了坐标与图形的性质．15．【分析】连接OAODOM则OA=OD=OM由矩形的性质得出OA=BC=aOD=EF=bOM=NH=c即可得出a=b=c【详解】解：连接OMODOA根据矩形的对角线相等得BC=OAEF=ODNH=OM==解析：a b c【分析】连接OA、OD、OM，则OA=OD=OM，由矩形的性质得出OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，即可得出a=b=c．【详解】解：连接OM、OD、OA、根据矩形的对角线相等，得BC=OA，EF=OD，NH=OM．再根据同圆的半径相等，得a=b=c．故答案是：a=b=c．【点睛】此题主要能够根据矩形的对角线相等把线段进行转换，根据同圆的半径相等即本题考查了矩形的性质、同圆的半径相等的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．16．6【分析】如图作OH⊥CD于H连接AH延长AH交BF于K连接OC证明AE=FK利用勾股定理求出OH再利用三角形的中位线定理求出BK即可解决问题【详解】解：如图作OH⊥CD于H连接AH延长AH交BF于解析：6【分析】如图，作OH⊥CD于H，连接AH，延长AH交BF于K，连接OC．证明AE=FK，利用勾股定理求出OH，再利用三角形的中位线定理求出BK即可解决问题．【详解】解：如图，作OH⊥CD于H，连接AH，延长AH交BF于K，连接OC．∵OH⊥CD，∴CH=DH=4（cm），∠CHO=90°，∴2222-=-=3（cm），OC CH54∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴AE∥OH∥BF，∵OA=OB，∴EH=FH，∵∠AEH=∠KFH=90°，∠AHE=∠FHK，∴△AEH≌△KFH（AAS），∴AH=HK，AE=FK，∵AO=OB，∴OH=1BK，2∴BK=6（cm），∴BF-AE=BF-FK=BK=6（cm）．故答案为6．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．17．或【分析】根据题意分该等腰三角形是钝角还是锐角的情况进行讨论再结合圆的有关性质计算即可【详解】①当等腰三角形为锐角三角形时如图所示连接OAOBOC并延长OC与AB交于D∵OA=OBAC=BC∴CD垂解析：【分析】根据题意分该等腰三角形是钝角还是锐角的情况进行讨论，再结合圆的有关性质计算即可．【详解】①当等腰三角形为锐角三角形时，如图所示，连接OA，OB，OC，并延长OC与AB交于D，∵OA=OB，AC=BC，∴CD垂直平分AB，CD⊥AB，AD=BD=4，∵圆的半径为5，∴在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，OD=3，∴CD=OC+OD=8，∴在Rt△ADC中，AC==②若等腰三角形是钝角三角形时，如图所示：连接OA，OB，OC交AB于D，同理的可得OC垂直平分AB，在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，OD=3，∴CD=2，∴在Rt△ADC中，2225=+=，AC CD AD故答案为：545【点睛】本题考查圆与等腰三角形的综合问题，主要涉及到垂径定理的推论，及勾股定理解三角形，灵活思考所有可能的情况是解题关键．18．220【分析】连接CE根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD然后求解即可【详解】解析：220【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．【详解】连接CE，∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝40°，∴∠B＋∠AED＝180°＋40°＝220°【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题关键．19．50π【分析】首先求得圆锥的底面周长然后利用扇形的面积公式即可求解【详解】解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π则圆锥的侧面积是：×10π×10＝50π（cm2）故答案是：50π【点睛】本题主要考查解析：50π【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．【详解】解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π，则圆锥的侧面积是：12×10π×10＝50π（cm2）．故答案是：50π．【点睛】本题主要考查了圆锥侧面积的求法，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．20．【分析】作点A关于y轴的对称点C连接BC由题意可得若OP取最小值则BC也为最小因此可根据圆外的点到圆上的距离为最小只需过圆心即可求解【详解】解：作点A关于y轴的对称点C连接BC如图所示：∴点O为AC解析：5 2【分析】作点A关于y轴的对称点C，连接BC，由题意可得12OP BC，若OP取最小值，则BC也为最小，因此可根据圆外的点到圆上的距离为最小只需过圆心即可求解．【详解】解：作点A关于y轴的对称点C，连接BC，如图所示：∴点O 为AC 的中点，∵点P 为AB 的中点， ∴12OP BC =，//OP BC ， 当OP 取最小值，则BC 也取最小值，∵()8,0A ，OB=3，∴OA=OC=8，当点C 、O 、B 三点共线时，BC 的长为最小，即为：835BC =-=， ∴52OP =，即OP 的最小值为52； 故答案为52． 【点睛】本题主要考查圆的最值问题，关键是根据三角形的中位线得到线段的最值问题，然后根据点与圆的位置关系进行求解即可．三、解答题21．（1）见解析；（2）①52π；②（﹣1，3） ． 【分析】（1）根据旋转的定义作出点A 、B 绕点C 逆时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接即可；（2）①根据弧长公式列式计算即可；②根据（1）中所作图形可得点B '的坐标；【详解】（1）如图所示，△A B C ''即为所求；（2）① ∵AC ＝2234=5+，∠ACA′＝90°，∴点A 经过的路径ACA ' 的长为90551802ππ⨯⨯= ， 故答案为：52π ；②由图知点B '的坐标为(﹣1，3)，故答案为：(﹣1，3)．【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是根据旋转角度、旋转方向、旋转中心作出对应点；22．（1）见解析；（2）(﹣2，5)；（3）2π【分析】（1）根据旋转的性质得到B '、C '，顺次连线即可；（2）根据（1）直接得到答案；（3）利用弧长公式计算即可.【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为△ABC 绕A 点按逆时针方向旋转90°后的图形；（2）点C′（﹣2，5）；（3）点B 所经过的路径长＝9042180ππ⨯=.【点睛】此题考查旋转的性质，确定直角坐标系中点的坐标，弧长的计算公式，正确画出旋转图形是解题的关键.23．（1）25°；（2）①8；②25π9 【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理求解即可；（2）①根据勾股定理和垂径定理求解即可；②先求出100AOB ∠=︒，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：（1）∵⊥OD AB ，∴AD BD =， ∴11502522DEB AOD ∠=∠=⨯︒=︒； （2）①∵3OC =，5OA =，⊥OD AB ，∴4AC ==，∴AB=2AC=8；②∵50AOD ，AD BD =，∴100AOB ∠=︒， ∵5OA =，∴弧AB 的长π1005π25π1801809n r ⨯===． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，以及弧长公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．24．（1）30°；（2）23π+【分析】连接DC,则有ABC ADC ∠=∠ 利用AD 是直径，得到90ACD ∠= ，便可求出DAC ∠． 根据（1）的结论和已知，先求出AOC s、OCD S 扇形 便可求出阴影部分面积．【详解】解：（1）连接DC 如图所示∵60ABC ∠=︒∴ABC ADC ∠=∠60=︒∵AD 是直径∴90ACD ∠=∴DAC ∠=30°（2）连接OC,作OE ⊥ AC,垂足为E∵4=AD∴AO=OD=OC=230OCA DAC ∴∠=∠=60DOC ∴∠=在Rt AOE 中OE=1、3∴3∴AOC s =12OE AC •3 ∴OCD S 扇形=2360n R π 2602360π⨯ =23π ∴阴影部分面积为：233π 【点睛】 本题考查了圆周角性质，圆直径所对的圆周角是直角，扇形面积计算，属于基础题． 25．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由四边形AODE 是平行四边形，结合圆的 半径相等，可知四边形AODE 是菱形，利用菱形的性质即可做出BAC ∠的平分线；（2）延长OD 交于圆一点，连接该点与点A ，由此即可作出C BA ∠的平分线．【详解】解：（1）如图①：AD 即为所求．∵四边形AODE 是平行四边形点D 在圆上∴四边形AODE 是菱形∴AD 平分BAC ∠；（2）如图②：延长OD 交于圆一点P ，连接AP ，同理可证AP 即为所求．【点睛】此题考查尺规作图，关键是掌握圆的相关知识及角平分线的判定方法．26．（1）见解析；（2）（2）12OF CD =，理由见解析 【分析】（1）连接OE ，利用直角三角形HL 判定Rt AOD Rt EOD ∆∆≌，根据全等三角形的性质可知AOD ABE ∠=∠，根据平行线的判定即可求证结论；（2）根据切线长定理可知DA=DE ，CB=CE ，根据切线的性质可知AB ⊥AD ，BC ⊥AB ，证得四边形ABCD 是梯形，根据梯形的中位线定理并代换即可求证.【详解】（1）证明：连接OE ，∵AM ，DE 是O 的切线，OA 、OE 是O 的半径，∴OA OE =，90DAO DEO ∠=∠=︒，又∵OD 为公共边∴Rt AOD Rt EOD ∆∆≌（HL ） ∴12AOD EOD AOE ∠=∠=∠， ∵12ABE AOE ∠=∠， ∴AOD ABE ∠=∠，∴OD BE（2）12OF CD =， 理由：∵AM 、DE 是圆的切线，∴DA=DE ，AB ⊥AD ，同理可得：CB=CE ，BC ⊥AB ，证得四边形ABCD 是梯形，∵F 是CD 的中点、O 是AB 的中点，∴OF ＝()12AD BC + ＝()12DE CE +， ∴12OF CD =． 【点睛】 本题主要考查与圆有关的位置关系、切线长定理、全等三角形的判定与其性质、梯形，解题的关键是综合运用所学知识.。
北京中考数学试题及答案
北京中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是方程x^2 - 5x + 6 = 0的解？A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：C2. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是多少？A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米答案：A3. 计算下列算式的结果：(2x - 3)(x + 4) = ?A. 2x^2 + 5x - 12B. 2x^2 - 5x - 12C. 2x^2 + 5x + 12D. 2x^2 - 5x + 12答案：A4. 如果一个角的补角是它的两倍，那么这个角的度数是多少？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B5. 一个数的平方是25，那么这个数是多少？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C6. 计算下列算式的结果：(3x^2 - 2x + 1) + (2x^2 - 5x + 3) = ?A. 5x^2 - 7x + 4B. 5x^2 - 3x + 4C. 5x^2 - 7x + 2D. 5x^2 - 3x + 2答案：A7. 一个三角形的三个内角分别是α、β和γ，已知α + β = 120°，那么γ的度数是多少？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：D8. 计算下列算式的结果：(3x - 2)^2 = ?A. 9x^2 - 12x + 4B. 9x^2 + 12x + 4C. 9x^2 - 12x - 4D. 9x^2 + 12x - 4答案：A9. 一个数的立方是-8，那么这个数是多少？A. -2B. 2C. -2或2D. 0答案：A10. 一个等腰三角形的底角是45°，那么顶角的度数是多少？A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______。
(北师大版)北京市九年级数学下册第三单元《圆》检测(包含答案解析)
一、选择题1．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝12（弦×矢＋矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB ，“矢”等于半径长与圆心O 到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos ∠OAB ＝（ ）A ．35B ．2425C ．45D ．12252．如图，EM 经过圆心O ，EM ⊥CD 于M ，若CD=4，EM=6，则弧CED 所在圆的半径为（ ）A ．3B ．4C ．83D ．1033．如图，矩形ABCD 中，10AB =，4=AD ，点P 是CD 上的动点，当90APB ∠=︒时，线段DP 的长应是（ ）A ．2B ．6C ．2或6D ．2或8 4．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，1BE =，6CD =，则AE 的长度为（ ）A ．10B ．9C ．5D ．45．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D E 、，则CDE △面积的最小值为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．346．已知⊙O 的半径是一元二次方程2690x x -+=的解，且点O 到直线AB 的距离为2，则⊙O 与直线AB 的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定 7．边长为2的正六边形的边心距为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．23 8．探究性学习小组的同学接受了测量同样型号圆柱工件直径的任务．他们使用的工具是有一个角是60°的直角三角板和刻度尺．小明的测量方法如图甲所示．测得PC=12cm ．小亮的测量方法如图乙所示．则与QA 的值最接近的是（ ）A ．8cmB ．7 cmC ．6 cmD ．5 cm9．数轴上有两个点A 和B ，点B 表示实数6，点A 表示实数a ，B 半径为4．若点A 在B 内，则（ ） A ．2a <或10a > B ．210a <<C ．2a >D ．10a < 10．如图，P 是正方形ABCD 内的一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转到与△CBP '重合，若PB ＝3，则点P 经过的路径长度为（ ）A ．23B ．32C ．32πD ．34π 11．如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 、E 都是圆上的点，其中C 、D 在AB 下方，E 在AB 上方，则∠C +∠D 等于（ ）A ．60°B ．75°C ．80°D ．90°12．如图，在扇形BOC 中，∠BOC ＝60°，点D 为弧BC 的中点，点E 为半径OB 上一动点，若OB ＝2，则阴影部分周长的最小值为（ ）A ．2＋6πB ．323＋3π C ．322＋6π D ．22＋3π 二、填空题13．如图，ABC 在中，125BIC ∠=︒，I 是内心，O 是外心，则BOC ∠=__________．14．如图，AB 是O 的直径，点C 是上半圆的中点，1AC =，点P 是下半圆上一点（不与点A ，B 重合），AD 平分PAB ∠交PC 于点D ，则PD 的最大值为______．15．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设半径为1的圆的面积与其内接正n 边形的面积差为n ∆．如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，则182ΔΔ-=___________．16．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，以AB 直径作圆，P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，则图中阴影部分周长的最小值为______．17．一个边长为4的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径_______．18．如图，在ABCD 中，2AD =，3AB =，45A ∠=︒，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）．19．点E 在正方形ABCD 的内部，BCE 是以EC 为底边的等腰三角形，1AB =，则DE 的最小值为_________．20．如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，70A ∠=，50C ∠=，那么tan AEB ∠=___________．三、解答题21．如图，AB 是O 的直径，AD 是O 的弦，点F 是DA 延长线上的一点，过O 上一点C 作O 的切线交DF 于点E ，AC 平分FAB ∠．（1）求证：CE DF ⊥；（2）若2,4AE CE ==，求O 的半径．22．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠P ＝44°．（1）如图①，若点C 为优弧AB 上一点，求∠ACB 的度数；（2）如图②，在（1）的条件下，若点D 为劣弧AC 上一点，求∠PAD ＋∠C 的度数． 23．如图，在平行四边形ABCD 中，2,4,120AB BC ABC ==∠=︒，将平行四边形绕点B 顺时针旋转()090αα︒<<︒得到平行四边形BEFG ．（1）求点B 到AD 的距离；（2）当点E 落在AD 边上时，求点D 经过的路径长．24．如图，AB 为O 的直径，点C 为AB 上方的圆上一动点，过点C 作O 的切线l ，过点A 作直线l 的垂线AD ，交O 于点D ，连接OC ，CD ，BC ，BD ，且BD 与OC 交于点E ．（1）求证：CDE CBE ≅△△；（2）若6AB =，填空：①当CD 的长是________时，OBE △是等腰三角形；②当BC =________时，四边形OADC 为菱形．25．已知EF 为O 的一条弦，OB EF ⊥交O 于点B ，A 是弦EF 上一点（不与E ，F 重合），连接BA 并延长交O 于点C ，过点C 作O 的切线交EF 的延长线于点D ．（1）如图1，若EF 在圆心O 的上方，且与OB 相交于点H ，求证：ACD △是等腰三角形；（2）如图2，若EF 是O 的直径，25AB =，O 的半径为4，求线段DC 的长； （3）如图3，若EF 在圆心O 的下方，且与BO 的延长线相交于点H ，试判断线段DA ，DE ，DF 之间的数量关系，并说明理由．26．如图，已知BC 是O 的直径，AC 切O 于点C ，AB 交O 于点D ，E 为AC 的中点，连接CD ，DE ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若8BD =，6CD =，求AC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】如图，作射线OH ⊥AB 于H ．交圆弧于C ，利用垂径定理以及勾股定理构建方程组求出OA ，OH ，利用余弦函数定义即可解决问题．【详解】解：如图，作OH⊥AB于H．交圆弧于C，由题意：AB＝8，HC=3，∴OA﹣OH＝3，∵OH⊥AB，OC为半径，∴AH＝BH＝1AB2=4，在Rt△OAH中由勾股定理得AH2＋OH2＝OA2，∴42＝（OA＋OH）（OA﹣OH），∴OA＋OH＝163，∴OA＝256，OH＝76，∴cos∠OAB＝AH424==25OA256，故选：B．【点睛】本题考查垂径定理与勾股定理，三角函数的定义，掌握垂径定理与勾股定理的条件与结论，三角函数的定义是解题关键．2．D解析：D【分析】连接OC，设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6−R，根据垂径定理求出CM，根据勾股定理得出方程，求出即可．【详解】解：连接OC，设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6−R，∵EM经过圆心O，EM⊥CD于M，CD＝4，∴CM＝DM＝2，在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2＝OM2＋CM2，R2＝（6−R）2＋22，R＝103，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，用了方程思想，题目比较典型，难度适中．3．D解析：D【分析】以AB的中点O为圆心，AB的一半5为半径作圆，交CD于点P，点P即为所求；设PC=x，则PD=10-x，证△ADP∽△PCB，对应边成比例列方程，解之可得答案．【详解】如图，以AB的中点O为圆心，AB的一半5为半径作圆，交CD于点P，点P即为所求；设PC= x，则PD= 10- x，∵四边形A BCD是矩形，∴∠D=∠C= 90°∴∠DAP+∠APD= 90°∵∠APB= 90°，∴∠APD +∠BPC= 90°∴∠DAP=∠CPB，∴△ADP∽△PCB，∴AD DPPC CB=即4104xx-=，解得: x = 2或8，PD= 10-x= 2或8，即PD = 2或8.故选: D.【点睛】本题主要考查圆周角定理和相似三角形的判定与性质及矩形的性质，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键.4．B解析：B【分析】利用垂径定理EC 的长，再在Rt OEC 中，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设OC=OB=x ，OE=OB-BE= x-1∵在O 中，AB ⊥CD ，AB 是直径，6CD = ∴11=6=322CD EC DE =⨯=， ∵在Rt OEC 中，OC 2=CE 2+OE 2，即x 2=32+（x-1）2，解得：x=5，∴OE = x-1=4，∴AE=OA+OE=5+4=9，故选：B ．【点睛】本题考查垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．5．A解析：A【分析】连接OB ,取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN DE ⊥于N ，先证明点C 的运动轨迹是以点(1,0)M 为圆心，1为半径的M ，设M 交MN 于点C '，解得直线DE 与坐标轴的交点，即可解得OD OE 、的长，再由勾股定理解得DE 的长，接着证明DNM DOE 解得MN 的长，最后当点C 与点C '重合时， 此时CDE △面积的最小值，据此解题．【详解】解：如图，连接OB ,取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN DE ⊥于N ，,AC CB AM OM ==112MC OB ∴== C ∴的运动轨迹是以点(1,0)M 为圆心、半径为1的圆，设M 交MN 于点C '， 直线DE 的解析式为334y x =-， 令0x =，得3y =- (0,3)E ∴-令0y =，得4x =(4,0)D ∴3,4,OE OD ∴==3DM =22345DE ∴+=,MDN ODE MND DOE ∠=∠∠=∠DNM DOE ∴MN DM OE DE ∴= 335MN ∴= 95MN ∴= 94155C N '∴=-= 当点C 与点C '重合时，此时CDE △面积的最小值11452225DE C N '=⋅=⨯⨯= 故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合题，涉及一次函数与坐标轴的交点、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．6．A解析：A【分析】解方程确定圆的半径为3，圆心距d=2,比较半径与圆心距的大小，根据法则判断即可.【详解】∵2690x x-+=，∴123x x==，∴圆的半径为3，∵点O到直线AB的距离为2，即d=2，∴d＜R，∴直线与圆相交，故选A.【点睛】本题考查了用半径、圆心距判定直线和圆的位置关系，熟练解方程，熟记d，R法则是解题的关键.7．C解析：C【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用勾股定理即可求出．【详解】解：连接OA，作OM⊥AB，垂足为M，连接OB，∵六边形ABCDEF是正六边形∴△AOB是等边三角形∴∠AOM=30°，AO=AB∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴AM=12AB=12×2=1，OA=2．∴正六边形的边心距是OM2222213OA AM-=-=故选：C．【点睛】本题考查了正多边形的计算，正多边形的计算常用的方法是转化为直角三角形的计算．8．B解析：B【分析】先计算出QA的长，由于图甲测得PC=12cm，即圆的半径等于12cm，在图乙中直角三角形OAQ中利用30度角的三角函数可求得tan30°=3=12AQ，解得AQ的值为43．先估计3的近似值，再求解．【详解】解：如图甲，连结OP，并设⊙O与x轴相切于点D，图乙，连结OQ、OA，并设⊙O与x 轴相切于点E，∴由切线定义及圆性质可得四边形OPCD是正方形，∴OQ=OP=PC=12cm，由题意可知：∠QAO=（180°-∠BAC）÷2=60°，∴∠QOA=90°-∠QAO=30°，∴tan∠QOA=AQ÷OQ，即tan30°=33=12AQ，解得AQ=3∵1.532，∴6＜438．故选B．【点睛】本题考查的是切线的性质，解直角三角形和无理数的估算．估算无理数的近似值在实际生活中有着广泛的应用，我们应熟练掌握．9．B解析：B【分析】根据点与圆的位置关系可得出AB=∣a ﹣6∣＜4，解之即可解答．【详解】解：∵点A 在B 内，∴AB=∣a ﹣6∣＜4，即﹣4＜a ﹣6＜4，解得：2＜a ＜10，故选：B ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系、数轴上两点间的距离、解一元一次不等式组，熟练掌握点与圆的位置关系是解答的关键．10．C解析：C【分析】根据旋转的性质，可得BP′的长，∠PBP′的度数，得到P 点运动轨迹为四分之一圆，圆的半径为3，根据弧长公式即可求解．【详解】由旋转的性质，得BP′=BP=3，∠PBP′=∠ABC=90°，P 点运动轨迹为四分之一圆，圆的半径为3，∴弧PP ' =90331801802n r πππ⨯⨯== 故选C ．【点睛】此题考查旋转的性质、正方形的性质、弧长公式，重点是熟记弧长公式． 11．D解析：D【分析】连接OE ，根据圆周角定理即可求出答案．【详解】解：连接OE ，根据圆周角定理可知：∠C ＝12∠AOE ，∠D ＝12∠BOE ， 则∠C +∠D ＝12（∠AOE +∠BOE ）＝90°， 故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角的性质，解题关键是连接半径，构造圆心角，依据圆周角与圆心角的关系进行计算．12．D解析：D【分析】作点C 关于OB 对称点点A ，连接AD 与OB 的交点即为E ，此时CE+ED 最小，进而得到阴影部分的周长最小，再由勾股定理求出AD 的长，由弧长公式求出弧CD 的长．【详解】解：阴影部分的周长=CE+ED+弧CD 的长，由于C 和D 均为定点，E 为动点，故只要CE+ED 最小即可，作C 点关于OB 的对称点A ，连接DA ，此时即为阴影部分周长的最小值，如下图所示：∵A 、C 两点关于OB 对称，∴CE=AE ，∴CE+DE=AE+DE=AD ，又D 为弧BC 的中点，∠COB=60°，∴∠DOA=∠DOB+∠BOA=30°+60°=90°，在Rt △ODA 中，2222=+=DA OD OA ，弧CD 的长为302=1803ππ⨯⨯， ∴阴影部分周长的最小值为2+3π，故选：D ．【点睛】 本题考查了轴对称图形求线段的最小值，弧长公式，勾股定理等，本题的关键是找出阴影部分周长最小值时点E 的位置进而求解．二、填空题13．140°【分析】根据三角形的内心得出根据三角形内角和定理求出进而可求得的度数根据圆周角定理即可求得∠BOC 【详解】解：在△ABC 中∠BIC=125°I 是内心∴∴∴∴∵O 是外心∴故答案为：140°【点解析：140°【分析】 根据三角形的内心得出11,22IBC ABC ICB ACB ∠=∠∠∠=，根据三角形内角和定理求出55IBC ICB ∠+∠=︒，进而可求得A ∠的度数，根据圆周角定理即可求得∠BOC ．【详解】解：在△ABC 中，∠BIC =125°，I 是内心， ∴11,22IBC ABC ICB ACB ∠=∠∠∠=， ∴18055IBC ICB BIC ︒∠+∠=-∠=︒，∴222()110,ABC ACB IBC ICB IBC ICB ∠+∠=∠+∠=∠∠=︒+∴180()70A ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒，∵O 是外心，∴2140BOC A ∠=∠=︒,故答案为：140°．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和三角形的外接圆，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点．正确识别图中相关角是解题关键．14．【分析】由同弧所得的圆周角相等得到直径所得的圆周角是90°得到继而证明再根据角平分线的性质解得结合三角形外角的性质可证接着由线段的和差解得由此可知当为直径时值最大然后证明为等腰直角三角形最后根据等腰1【分析】由同弧所得的圆周角相等得到APC ABC ∠=∠，直径所得的圆周角是90°得到90ACB ∠=︒，继而证明45APC ABC ，再根据角平分线的性质解得BAD DAP ∠=∠，结合三角形外角的性质可证CAD ADC ∠=∠，接着由线段的和差解得1PD CP CD CP =-=-，由此可知当CP 为直径时PD 值最大，然后证明ACB △为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质及勾股定理解题．【详解】 解：点C 是上半圆的中点，AC BC ∴=APC ABC1AC BC ∴== AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒45CAB CBA ∴∠=∠=︒45APC ABC AD 平分PAB ∠12BAD DAP BAP ∴∠=∠=∠ 45,45ADC APC DAP DAP CAD CAB BAD BAD ∠=∠+∠=︒+∠∠=∠+∠=︒+∠ CAD ADC ∴∠=∠1AC AD ∴==1PD CP CD CP ∴=-=-要使PD 最大，即使得CP 最大，当CP 为直径时值最大，在Rt ACB 中，45,CAB AC BC ∠=︒=ACB ∴为等腰直角三角形，AB ∴==CP ∴PD ∴1，1-．【点睛】本题考查同弧所得的圆周角相等、直径所得的圆周角是90°、角平分线的性质、三角形外角的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．15．【分析】由题意△8-△12=（S 圆-S 八边形）-（S 圆-S 十二边形）=S 十二边形-S 八边形由此计算即可【详解】解：如图由题意△8-△12=（S 圆-S 八边形）-（S 圆-S 十二边形）=S 十二边形-S 八边解析：3-【分析】由题意△8-△12=（S 圆-S 八边形）-（S 圆-S 十二边形）=S 十二边形-S 八边形，由此计算即可．【详解】解：如图，由题意，△8-△12=（S 圆-S 八边形）-（S 圆-S 十二边形）=S 十二边形-S 八边形 =12×12×1×1×sin30°-8×12×1×1×sin45°．故答案为：3-22．【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16．【分析】首先根据垂直平分线的性质将的长度转化为的长度求出的最小值然后根据直角三角形的性质求出AP 和CP 的长并证明是等边三角形据此求出圆心角的大小即可计算出的长度用的长度加上的长度即为阴影部分的周长【 解析：483π+【分析】首先根据垂直平分线的性质将AP CP +的长度转化为AP BP +的长度，求出AP BP +的最小值，然后根据直角三角形的性质求出AP 和CP 的长，并证明ACP △是等边三角形，据此求出圆心角AEC ∠的大小，即可计算出AC 的长度，用AC 的长度加上AP CP +的长度即为阴影部分的周长.【详解】解：如图，连接CE ，连接BP∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，∴点C 和点B 关于直线DE 对称，∴CP BP =,∴AP CP AP BP +=+∴当动点P 与点E 重合时AP BP +最小，此时AP CP +最小，∵90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，∴28AB AC ==，4AE =,∴CP AP AC ==，∴ACP △是等边三角形，∴60APC ∠=︒，∵8AP CP AP BP AB +=+==，∴阴影部分的周长最小值为6044881803ππ︒⨯⨯+=+︒. 故答案为483π+. 【点睛】本题主要考察弧长的计算以及利用垂直平分线的性质求两线段长度和的最小值，阴影部分的周长可以分为AC 和AP CP +两部分的长度分别计算然后求和即可. 17．【分析】先求出正多边形边数为6再根据正六边形性质即可求解【详解】解：设正多边形的边数为n 由题意得解得n=6∴正多边形为正六边形∵边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形∴该正多边形的半径等于 解析：4【分析】先求出正多边形边数为6，再根据正六边形性质即可求解．【详解】解：设正多边形的边数为n ，由题意得()21803602n -︒=︒⨯，解得 n=6∴正多边形为正六边形，∵边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形，∴该正多边形的半径等于4．故答案为：4【点睛】本题考查了正多边形的相关概念，和正六边形的性质，熟知相关概念是解题关键． 18．【分析】过点作于点根据等腰直角三角形的性质求得从而求得最后由结合扇形面积公式平行四边形面积公式三角形面积公式解题即可【详解】解：过点作于点故答案为：【点睛】本题考查等腰直角三角形平行四边形的性质扇形解析：2π- 【分析】过点D 作DF AB ⊥于点F ，根据等腰直角三角形的性质求得DF ，从而求得EB ，最后由ABCD EBC ADE S SS S =--阴影扇形结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．【详解】解：过点D 作DF AB ⊥于点F ，2,3,45AD AB A ==∠=︒，22DF AD ∴==， 2AE AD ==，1EB AB AE ∴=-=，ABCD EBC ADE S S S S ∴=--阴影扇形2452132123602π⨯=-⨯2322π= 22π=， 故答案为：522π-． 【点睛】 本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．19．-1【分析】根据△BCE 是以CE 为底边的等腰三角形推出点E 在以B 为圆心AB 长为半径的圆弧AC 上根据圆的基本性质得到DE 最小时点E 的位置从而利用BD-BE 计算出结果【详解】解：如图正方形ABCD 中∵△ 2-1【分析】根据△BCE 是以CE 为底边的等腰三角形推出点E 在以B 为圆心，AB 长为半径的圆弧AC 上，根据圆的基本性质得到DE 最小时点E 的位置，从而利用BD-BE 计算出结果．【详解】解：如图，正方形ABCD 中，∵△BCE 是以CE 为底边的等腰三角形，∴BE=BC ，∴点E 在以B 为圆心，AB 长为半径的圆弧AC 上，连接BD ，与弧AC 交于点E ，则此时DE 最小，∵AB=1，∴BE=1，2211+2，∴2-1，故答案为：2-1．【点睛】本题考查了圆的基本性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意得到点E在弧AC上．20．【分析】求出∠AEB的度数再求三角函数值即可【详解】解：∵∠B=∠C=50°∠A=70°∴∠AEB=180°-∠A-∠B=60°故答案为：【点睛】本题考查了圆周角的性质三角形内角和特殊角的三角函数值3【分析】求出∠AEB的度数，再求三角函数值即可．【详解】解：∵∠B=∠C=50°，∠A=70°，∴∠AEB=180°-∠A-∠B=60°，∠=︒=，AEBtan tan6033【点睛】本题考查了圆周角的性质，三角形内角和，特殊角的三角函数值，解题关键是灵活运用圆中角的关系，把已知条件集中在一个三角形中求角．三、解答题21．（1）见解析；（2）5．【分析】（1）连接BC、OC，根据切线及等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACE，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，利用直角三角形性质及角平分线定义可得∠ACE＋∠CAE＝90°，即可求出∠CEA＝90°，则结论得证；（2）根据勾股定理求出AC，利用∠ACB＝∠CEA＝90°，∠B＝∠ACE，证明△ACB∽△AEC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可求出O的半径．【详解】（1）证明：连接BC、OC，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCA＋∠ACE＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA＋∠OCB＝90°，∴∠OCB＝∠ACE，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB，∴∠B＝∠ACE，∴∠B＋∠CAB＝90°，∴∠ACE＋∠CAB＝90°，∵AC平分∠FAB，∴∠CAE＝∠CAB，∴∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠CEA＝90°，∴CE⊥DF；（2）解：∵∠CEA＝90°，∴AC2222AE CE+=+=2425∵∠ACB＝∠CEA＝90°，∠B＝∠ACE，∴△ACB∽△AEC，∴AB AC=，AC AE25=，225解得AB＝10，∴⊙O的半径为5．【点睛】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，掌握圆的切线的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．22．（1）68°；（2）248°【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，根据圆周角定理即可得到结论；（2）连接AB，根据切线长的性质得到PA＝PB，得到∠PAB＝∠PBA＝68°，再根据圆内接四边形定理可求．【详解】解：（1）∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣44°＝136°，∴∠ACB＝12∠AOB＝68°；（2）连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵∠P＝44°，∴∠PAB＝∠PBA＝12（180°﹣44°）＝68°，∵∠DAB＋∠C＝180°，∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋68°＝248°．【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质和圆周角定理，解题关键是熟练运用圆的有关知识，恰当的连接辅助线，建立角与角之间的联系．23．（13223．【分析】（1）如图，作BH⊥AD于H，利用平行四边形的性质可得//AD BC，则可计算出60?A，解直角三角形求出BH即可．（2）如图，连接BD、BF，根据旋转性质与60?A可证明△ABE是等边三角形，利用勾股定理求出BD，再利用弧长公式计算即可．【详解】解：（1）如图，作BH AD ⊥于点H ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，∴180?A ABC ∠+∠=，∵°120ABC ∠=，∴60?A ，∵90?AHB ∠=， ∴0sin 603BH AB ==（2）如图，连接,BD BF ．在Rt ABH ∆中，∵30?,2ABH AB ∠==， ∴112AH AB ==， ∴3DH AD AH =-=，∴()223323BD BF ==+=∵,60?BA BE A =∠=，∴ABE ∆是等边三角形，∴60?ABE DBF ∠=∠=，∴点D 经过的路径长6023231803π==． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行四边形的性质、解直角三角形、弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．（1）见解析；（2）①34π；②3【分析】（1）根据题意可证//OC AD ，OC BD ⊥，再结合垂径定理即可证明（2）①根据等腰三角形的性质，结合（1）得CD CB =根据等弦对等弧得CD BC =，再根据弧长公式求解即可；②根据菱形的性质即可求解【详解】解：（1）∵过点C 作O 的切线l ， ∴OC l ⊥，∵AD l ⊥，∴//OC AD ，∵AB 为O 的直径，点D 为AB 上方的圆上一点， ∴AD BD ⊥，∴BD OC ⊥90CED CEB ∴∠=∠=︒，∴点E 为BD 中点，∴BE DE =，∴在CDE △和CEB △中DB BE CED CEB CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CDE CBE SAS ≅；（2）①若OBE △为等腰三角形，OC BD ⊥ ∴OBE △为等腰直角三角形∴45EOB EBO ∠=∠=︒CDE CBE ≅△△CD CB ∴=CD BC ∴=6345331801804AB OB n r BC πππ=∴=⨯∴=== 34CD π∴= ∴当34CD π=时OBE △为等腰三角形 ②若四边形OADC 为菱形132AO OC CD DA AB ∴===== CD BC =3BC ∴=∴当3BC =时OADC 为菱形【点睛】本题考查了切线的性质定理，平行线的判定，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握以上性质和定理是解题关键．25．（1）见解析；（2）线段DC 的长为3；（3）线段DA ，DE ，DF 之间的数量关系为2DA DE DF =⋅，理由见解析．【分析】（1）连接OC ，由题意易得OC DC ⊥，∠B=∠OCB ，则有9090DCA ACO B ∠=︒-∠=︒-∠，进而可得DAC DCA ∠=∠，然后问题可求证； （2）连接OC ，则OC DC ⊥，由勾股定理可得2AO =，由（1）可得DA DC =，设DC x =，则2OD x =+，然后再由勾股定理可求DC 的长；（3）连接CF ，CE ，连接CO 并延长交O 于点G ，连接GF ，由题意可得9090DCA OCB HBA ∠=︒-∠=︒-∠，则有DA DC =，进而可得CED DCF ∠=∠，然后有CDF EDC ∽△△，则根据相似三角形的性质及线段的等量关系可求解．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，则OC DC ⊥，∵OB=OC ，∴∠B=∠OCB ，∴9090DCA ACO B ∠=︒-∠=︒-∠，又∵90DAC BAH B ∠=∠=︒-∠，∴DAC DCA ∠=∠，∴DA DC =，∴ACD △是等腰三角形；（2）如图，连接OC ，则OC DC ⊥，∵在Rt ABO △中，25AB =O 的半径为4，∴2AO =，由（1）可得DA DC =，设DC x =，则2OD x =+，∴在Rt OCD △中，()22242x x +=+， ∴3x =，即线段DC 的长为3；（3）线段DA ，DE ，DF 之间的数量关系为2DA DE DF =⋅，理由：如图，连接CF ，CE ，连接CO 并延长交O 于点G ，连接GF ， ∵DC 为O 的切线，∴9090DCA OCB HBA ∠=︒-∠=︒-∠，又∵90BAH HBA ∠=︒-∠，CAD BAH ∠=∠，∴∠=∠DCA CAD ，∴DA DC =，∵CG 是O 的直径，∴90CFG ∠=︒，∴90CED CGF GCF ∠=∠=︒-∠，又∵90DCF GCF ∠=︒-∠，∴CED DCF ∠=∠，又∵D D ∠=∠，∴CDF EDC ∽△△， ∴DC DF DE DC=， ∴2DC DE DF =⋅，∴2DA DE DF =⋅．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质及切线的性质定理，熟练掌握相似三角形的性质及切线的性质定理是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）152 【分析】（1）连接OD ，根据切线的性质和直角三角形斜边的中线以及等腰三角形的性质得出，EDC ECD ∠=∠，ODC OCD ∠=∠，然后利用等量代换即可得出DE OD ⊥，从而证明结论；（2）首先根据勾股定理求出BC 的长度，然后证明BCD BAC ∽△△，最后利用CDBDAC BC =求解即可．【详解】（1）证明：连接OD ，如图，∵BC 是O 的直径，∴90BDC ∠=︒，∴90ADC ∠=︒，∵E 为AC 的中点，∴12DE EC AC ==，∴EDC ECD ∠=∠， ∵OD OC = ，∴ODC OCD ∠=∠，∵AC 切O 于点C ，∴AC OC ⊥，∴90EDC ODC ECD OCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴DE OD ⊥，∴DE 是O 的切线；（2）解：在Rt BCD 中，∵8BD =，6CD =，∴2210BC BD CD =+=∵90BDC BCA ∠=∠=︒，B B ∠=∠，∴BCD BAC ∽△△，∴CD BD AC BC=，即6810 AC=，∴152AC=．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．。
2022年北师九下《圆》配套练习(附答案)
1. 举出一些日常生活中圆形物体的实例.
2. ：线段AB= 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形.
【综合练习】
1. 菱形各边的中点是否在同一个圆上？为什么？
2. 在△ABC中，∠ACB= 90°，AC= = 4 cm，CD⊥AB于D. 指出以D为圆心，2 cm为半径的⊙D与点A、B、C的位置关系.
6.如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用________ 次就可以找到圆形工件的圆心.
二、选择题:
7.以下条件,可以画出圆的是( )
A.圆心B.半径;
8.三角形的外心是( )
A.三条中线的交点;B.三条边的中垂线的交点;
9.以下命题不正确的选项是( )
10.一个三角形的外心在它的内部,那么这个三角形一定是( )
那么PD是圆上所有的点中到AB 距离最大的点.
∵AB的长为定值,
∴当P为优弧 的中点时,△APB的面积最大,连接PA、PB,
那么等腰三角形APB即为所求.
由作法知:圆心O必在PD上,如下图,连接AO,那么由垂径定理得AD= AB=2.
又∠AOD=∠1+∠2,而∠2=∠3,∠1=∠2
故∠AOD=∠2+∠1=∠2+∠3=∠APB,即cos∠AOD= ,
二、选择题：
1. 点M的坐标是〔2，1〕点N的坐标是〔0，6〕，⊙M的半径为5，那么点N的位置〔 〕；
A. 在⊙M外 B. 在⊙M上 C. 在⊙M内 D. 不能确定
2. 线段AB= 7 cm，那么在以AB为直径的圆上，到A点的距离等于3.5 cm的点共有〔 〕.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
中考数学《圆（一）》专题练习含答案解析
圆（一）一、选择题1．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．如图，在⊙O中，=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°3．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠A=∠D B．=C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠D5．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50°B．20°C．60°D．70°6．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（）A．32°B．38°C．52°D．66°7．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（）A．15°B．18°C．20°D．28°9．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．70°10．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100° D．80°或100°12．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．513．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°14．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°15．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°16．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100° D．130°17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°18．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100° D．130°二、填空题19．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．20．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为度．21．如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB=°．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为．23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为．24．如图，点O为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，则∠D=．25．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB=度．三、解答题（共5小题）26．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．28．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF 并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）30．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．圆（一）参考答案与试题解析一、选择题1．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形．【专题】几何图形问题．【分析】由⊙O的直径是AB，得到∠ACB=90°，根据特殊三角函数值可以求得∠B的值，继而求得∠A和∠D的值．【解答】解：∵⊙O的直径是AB，∴∠ACB=90°，又∵AB=2，弦AC=1，∴sin∠CBA=，∴∠CBA=30°，∴∠A=∠D=60°，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，比较简单，但在解答时要注意特殊三角函数的取值．2．如图，在⊙O中，=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】先求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=50°，∴∠AOC=50°，∴∠ADC=∠AOC=25°，故选D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【考点】圆周角定理．【分析】连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．【解答】解：连接OB，∵∠ACB=25°，∴∠AOB=2×25°=50°，由OA=OB，∴∠BAO=∠ABO，∴∠BAO=（180°﹣50°）=65°．故选C．【点评】本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键．4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠A=∠D B．=C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠D【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据垂径定理、圆周角定理，进行判断即可解答．【解答】解：A、∠A=∠D，正确；B、，正确；C、∠ACB=90°，正确；D、∠COB=2∠CDB，故错误；故选：D．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理，解集本题的关键是熟记垂径定理和圆周角定理．5．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50°B．20°C．60°D．70°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】先根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，再利用互余得∠ACD=90°﹣∠DCB=70°，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解．【解答】解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB=90°﹣20°=70°，∴∠DBA=∠ACD=70°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．6．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（）A．32°B．38°C．52°D．66°【考点】圆周角定理．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB的度数，继而求得∠A的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=52°，∴∠A=90°﹣∠ABD=38°；∴∠BCD=∠A=38°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°【考点】圆周角定理；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB=2∠C，得到答案．【解答】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，∴=，∴∠DOB=2∠C=50°．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（）A．15°B．18°C．20°D．28°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】连结OB，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=144°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠BCO的度数．【解答】解：连结OB，如图，∠BOC=2∠A=2×72°=144°，∵OB=OC，∴∠CBO=∠BCO，∴∠BCO=（180°﹣∠BOC）=×（180°﹣144°）=18°．故选B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．9．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．70°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．【解答】解：∵∠ABC=∠AOC，而∠ABC+∠AOC=90°，∴∠AOC+∠AOC=90°，∴∠AOC=60°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，∴∠AOB=∠ACB，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=90°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB 与∠ACB是优弧AB所对的圆周角．11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100° D．80°或100°【考点】圆周角定理．【分析】首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．12．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】圆周角定理；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】根据AB⊥MN，垂径定理得出①③正确，利用MN是直径得出②正确，==，得出④正确，结合②④得出⑤正确即可．【解答】解：∵MN是⊙O的直径，AB⊥MN，∴AD=BD，=，∠MAN=90°（①②③正确）∵=，∴==，∴∠ACM+∠ANM=∠MOB（④正确）∵∠MAE=∠AME，∴AE=ME，∠EAF=∠AFM，∴AE=EF，∴AE=MF（⑤正确）．正确的结论共5个．故选：D．【点评】此题考查圆周角定理，垂径定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识．13．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【考点】圆周角定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB都对，且∠AOB=100°，∴∠ACB=∠AOB=50°，故选C【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．14．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°【考点】圆周角定理．【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A=68°，∴∠BOC=2∠A=136°．∵OB=OC，∴∠OBC==22°．故选A．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．15．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°【考点】圆周角定理．【分析】根据∠DOB=140°，求出∠AOD的度数，根据圆周角定理求出∠ACD的度数．【解答】解：∵∠DOB=140°，∴∠AOD=40°，∴∠ACD=∠AOD=20°，故选：A．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．16．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100° D．130°【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．【解答】解：∵∠BOD=100°，∴∠BAD=100°÷2=50°，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=180°﹣50°=130°故选：D．【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【考点】圆周角定理．【分析】先根据OA=OC，∠ACO=45°可得出∠OAC=45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵OA=OC，∠ACO=45°，∴∠OAC=45°，∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°，∴∠B=∠AOC=45°．故选D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．18．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100° D．130°【考点】圆周角定理．【分析】首先在上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理即可求得∠D的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得∠ABC的度数．【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC=100°，∴∠ADC=∠AOC=50°，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=130°．故选D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．二、填空题19．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是①②④．【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；弧长的计算．【专题】压轴题．【分析】根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角等知识，运用排除法逐条分析判断．【解答】解：连接AD，AB是直径，则AD⊥BC，又∵△ABC是等腰三角形，故点D是BC的中点，即BD=CD，故②正确；∵AD是∠BAC的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确；∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确；∵AE=BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误．综上所述，正确的结论是：①②④．故答案是：①②④．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质以及弧长的计算等．利用了圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角求解．20．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为25度．【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】连接OA，OB，根据题意确定出∠AOB的度数，利用圆周角定理即可求出∠ACB 的度数．【解答】解：连接OA，OB，由题意得：∠AOB=50°，∵∠ACB与∠AOB都对，∴∠ACB=∠AOB=25°，故答案为：25【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．21．如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB=40°．【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∠ACB=∠AOB=×80°=40°．故答案为40．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为2．【考点】圆周角定理；解直角三角形．【专题】计算题．【分析】连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B，则sinD=sinB=，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．【解答】解：连结CD，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B，∴sinD=sinB=，在Rt△ACD中，∵sinD==，∴AC=AD=×8=2．故答案为2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为42°．【考点】圆周角定理．【分析】根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．【解答】解：∵OA=OB，∠OBA=48°，∴∠OAB=∠OBA=48°，∴∠AOB=180°﹣48°×2=84°，∴∠C=∠AOB=42°，故答案为：42°．【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．解决本题的关键是熟记一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．24．如图，点O为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，则∠D=28°．【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．【分析】由AD=AC，可得∠ACD=∠ADC，由∠BAC=∠ACD+∠ADC=2∠D，可得∠BAC的度数，由∠D=∠BAC即可求解．【解答】解：∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC，∵∠BAC=∠ACD+∠ADC=2∠D，∴∠BAC=∠BOC=×112°=56°，∴∠D=∠BAC=28°．故答案为：28°．【点评】本题主要考查了圆周角及等腰三角形的性质，解题的关键是找出∠D与∠BOC 的关系．25．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB=150度．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质．【分析】根据AO=AB，且OA=OB，得出△OAB是等边三角形，再利用圆周角和圆心角的关系得出∠BAC+∠ABC=30°，解答即可．【解答】解：∵点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠BAC+∠ABC=30°，∴∠ACB=150°，故答案为：150【点评】此题考查了圆心角、圆周角定理问题，关键是根据AO=AB，且OA=OB，得出△OAB是等边三角形．三、解答题26．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．【考点】圆周角定理；勾股定理；扇形面积的计算．【分析】（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；（2）根据S阴影=S扇形﹣S△OBD即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=6cm，AC=8cm，∴AB=10cm．∴OB=5cm．连OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABD=45°．∴∠BOD=90°．∴BD==5cm．（2）S阴影=S扇形﹣S△OBD=π•52﹣×5×5=cm2．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接OD构造直角三角形是解题的关键．27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】计算题．【分析】（1）根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°，再根据圆周角定理得∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°；（2）根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE，再利用三角形外角性质得∠CEB=∠2+∠BAE，则∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，加上∠BAE=∠CBD，所以∠1=∠2．【解答】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，∴∠1=∠2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．28．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：等边三角形；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理．【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得；（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．=AB•PE，S△ABC=AB•CF，∵S△APB=AB•（PE+CF），∴S四边形APBC当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=，=×2×=．∴S四边形APBC【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF 并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算．【分析】（1）解直角三角形求出OB，求出AB，根据圆周角定理求出∠ACB，解直角三角求出AC即可；（2）求出△ACF和△AOF全等，得出阴影部分的面积=△AOD的面积，求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF +S△OFD=S△AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．【点评】本题考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形的应用，能求出△AOD的面积=阴影部分的面积是解此题的关键．30．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧长的计算．【分析】（1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出的长即可．（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根据圆周角定理，可得∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．【解答】解：（1）如图，连接OC，OD，，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，∵，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，∴的长=．（2）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45°，在Rt△ABD中，BD=AB×sin45°=10×．【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了弧长的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．②在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．。
北京课改版九年级数学上册《第二十二章圆》单元测试卷-附答案
北京课改版九年级数学上册《第二十二章圆》单元测试卷-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________(满分100分，限时60分钟)一、选择题(共8小题，每小题4分，共32分)1.(2023北京北大附中月考)如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是()A.以PA长为半径的圆B.以PB长为半径的圆C.以PC长为半径的圆D.以PD长为半径的圆2.(2023北京八十中期中)如图，AB是☉O的直径，C、D是☉O上的点，∠CDB=25°，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于()A.40°B.50°C.60°D.30°3.(2022江苏无锡中考)如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD=25°，则下列结论错误的是()A.AE⊥DEB.AE∥ODC.DE=ODD.∠BOD=50°4.(2022四川成都中考)如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，若☉O的周长等于6π，则正六边形的边长为()A.√3B.√6C.3D.2√35.如图，已知PA，PB是☉O的两条切线，A，B为切点，线段OP交☉O于点M.给出下列四种说法:①PA=PB;②OP⊥AB;③四边形OAPB有外接圆;④M是△AOP外接圆的圆心。
其中正确说法的个数是()A.1B.2C.3D.46.(2023天津九十中期末)如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB=125°，则∠AOB的度数为()A.120°B.125°C.135°D.140°7.(2022广东深圳中考)如图，已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE=90°，BC为圆O的切线，C为切点，CA=CD，则△ABC和△CDE的面积之比为()A.1∶3B.1∶2C.√2∶2D.(√2-1)∶18.(2023北京四中期中)如图，☉O的半径是1，点P是直线y=-x+2上一动点，过点P作☉O的切线，切点为A，连接OA，OP，则AP的最小值为()A.√2-1B.1C.√2D。
北师大版2021年九年级中考数学总复习《圆》(含答案)
北师大版2021年中考数学总复习《圆》一、选择题1.有下列四种说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆.其中，错误的说法有（）A.1种B.2种C.3种D.4种2.如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．83.如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（）A.20°B.40°C.50°D.80°4.有四个命题，其中正确的命题是( )①经过三点一定可以作一个圆；②任意一个三角形有且只有一外接圆；③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦A.①②③④B.①②③C.②③④D.②③5.如图，两个圆的圆心都是点O，AB是大圆的直径，大圆的弦BC所在直线与小圆相切于点D．则下列结论不一定成立的是（）A.BD=CDB.AC⊥BCC.AB=2ACD.AC=2OD6.如图，PA、PB、AB都与⊙O相切，∠P=60°，则∠AOB等于（）A.50°B.60°C.70°D.70°7.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A.2，B.2，πC.，D.2，8.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)( )A．8﹣π B．16﹣2π C．8﹣2π D．8﹣π二、填空题9.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于．10.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D= °．11.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是．12.如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为．三、解答题13.如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别是点M、N， BA、DC的延长线交于点P ．求证：PA=PC.14.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．15.如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于点C，BC和AD的延长线相交于点E，且AD⊥PD．（1）求证：AB=AE；（2）当AB：BP为何值时，△ABE为等边三角形并说明理由．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．参考答案1.答案为：B.2.D3.D4.答案为：D5.C．6.B.7.D8.答案为：C.9.答案为：36°．10.答案为：96．11.答案为：．12.答案为：﹣．13.略14.（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；（2）解：设BC=x，则AC=x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x﹣2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．15. (1）证明：连接OC，∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD；又∵AD⊥PD，∴OC∥AD；∵O是AB的中点，∴OC=0.5AE，而OC=0.5AB，∴AB=AE．（2）解：当AB：BP=2：1时，△ABE是等边三角形．理由如下：由（1），知△ABE是等腰三角形，要使△ABE成为等边三角形，只需∠ABE=60°（或∠EAB=60°），从而∠OCB=60°，∠BCP=∠P=30°，故PB=BC=0.5AB，即当AB：BP=2：1时，△ABE是等边三角形．16.解：。
北京初中中考数学习题精选：圆的基本性质
一、选择题1.〔 2021 北京朝阳区二模〕 5.⊙O 是一个正n 边形的外接圆，假设⊙ O 的半径与这个正n 边形的边长相等，那么n的值为〔 A 〕 3〔B〕4〔C〕5〔D〕6答案 :D2．〔 2021 北京市朝阳区一模〕如图，四边形ABCD 内接于⊙ O， E 为 CD 延长线上一点，假设∠ADE=110 °，那么∠ AOC 的度数是〔 A〕 70°〔 B〕 110°〔 C〕 140°〔 D〕 160°答案 C3 ．〔 2021 北京顺义区初三练习〕如下图圆规，点 A 是铁尖的端点，点 B 是铅笔芯尖的端点，点 A 与点B 的距离是 2cm，假设铁尖的端点 A 固定，铅笔芯尖的端点 B 绕点 A 旋转一周，那么作出的圆的直径是．．A． 1 cm B． 2 cm C． 4 cm D． cm答案： C4.〔2021 北京海淀区二模〕如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是A .GH B.EFC. CDD.AB答案： A5.〔2021北京房山区一模〕如图，在⊙ O中，AC为⊙ O直径，B为圆上一点，假设∠OBC =26 °，那么∠AOB 的度数为CA ． 26°B．52°C． 54° D ． 56°O1A B北京初中中考数学习题精选：圆的基本性质答案 B6．〔 2021 北京市大兴区检测〕如图，⊙ O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5 °， OC=6 ，那么 CD 的长为Ａ． 3Ｂ． 3 2Ｃ． 6Ｄ． 6 2答案 D7.〔 2021 年北京昌平区第一学期期末质量抽测〕如图，⊙O 是△ ABC 的外接圆，∠ A = 50，那么∠ BOC 的大小为A ．40°B ．30°C． 80°D． 100 °答案： D8.〔 2021 北京朝阳区第一学期期末检测〕如图，AB 为⊙ O 的直径， C， D 为⊙ O 上的两点，假设AB=14 ， BC=7.那么∠ BDC 的度数是(A) 15°(B) 30°(C) 45°(D) 60°D CA BO答案： B9. 〔 2021 北京大兴第一学期期末〕如图，点，P 是⊙ O 上的三点，假设AOB 40，A， B则APB 的度数为A.80B.140C.20D.50答案： C10.〔 2021 北京东城第一学期期末〕边长为2的正方形内接于M ，那么M 的半径是A．1B．2C．2D．22答案： C211.〔 2021 北京房山区第一学期检测〕7．如图，在⊙ O 中， AB AC ， ∠ AOB=50°，那么∠ ADC 的度数是A ． 50°B ． 45°C ． 30°D ． 25°答案： D12.〔 2021 北京丰台区第一学期期末〕如图，A ，B 是⊙ O 上的两点，C 是⊙ O 上不与 A ， B 重合的任意一点 . 如果∠ AOB=140 °，那么∠ ACB 的度数为A ．70°B ．110 °OBC ． 140°AD ．70°或 110 °答案： D13.〔 2021 北京怀柔区第一学期期末〕如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，∠ BOC=100 °，那么∠ A 的大小为〔〕A ． 40B ． 50C ． 80D ． 100答案： B14.〔 2021 北京怀柔区第一学期期末〕某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O ，再任意找出圆O 的一条直径标记为AB 〔如图1〕，测量出 AB=4 分米；②将圆环进行翻折使点B 落在圆心O 的位置，翻折局部的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C 、D 〔如图 2〕；③用一细橡胶棒连接C 、D 两点〔如图3〕；④计算出橡胶棒CD 的长度 .A A AOOOCDCDB第 7 题图 1第 7 题图 2第 7 题图 33小明计算橡胶棒CD的长度为A．2 2 分米B． 2 3 分米C． 3 2 分米D． 3 3 分米答案： B15. 〔 2021北京门头沟区第一学期期末调研试卷〕如图，DCE 是圆内接四边形ABCD 的一个外角，如果DCE75 ，那么BAD 的度数是AA．65B．75D OC．85D．105B C E 答案： B16. 〔 2021 北京密云区初三〔上〕期末〕如图，ABC 内接于O ， AOB80，那么ACB 的大小为A.20B.40C.80COD.90答案： B AB17.〔 2021 北京平谷区第一学期期末〕如图，△ABC 内接于⊙ O，连结 OA ， OB ，∠ABO=40°，那么∠ C 的度数是〔 A〕 100°〔 B〕80°〔 C〕 50°〔 D〕 40°答案： C18〔.2021 北京石景山区第一学期期末〕如图，AB 是⊙ O 的直径，点 C、D 在⊙ O 上．假设ACD25 ，那么BOD的度数为〔 A〕 100〔 B〕 120〔 C〕 130〔 D〕 150答案： C19.〔 2021 北京石景山区第一学期期末〕如图，在⊙O 中，弦AB垂直平分半径OC ．假设⊙ O 的半径为4，那么弦AB 的长为〔 A〕23〔B〕4 3〔C〕2 5〔D〕454答案： B20.〔 2021 北京顺义区初三上学期期末〕如图，⊙O 的半径为 6，弦 AB 的长为 8，那么圆心 O 到 AB 的距离为A．5B．25C．27D．10答案： B21〔.2021 北京通州区第一学期期末〕如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C ，D 在⊙ O 上.假设ABD 55 ，那么BCD的度数为〔〕CA O BDA ．25B ．30C．35 D ．40答案： C22.〔 2021北京通州区第一学期期末〕如图，⊙ O 的半径为 4.将⊙O的一局部沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心.〕O 那么折痕AB的长为〔A. 3B. 2 3C. 6D. 4 3答案： D23.〔 2021 北京西城区第一学期期末〕如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 的弦，如果∠ ACD=34 °，那么∠ BAD 等于〔〕．A ． 34°B ． 46°C． 56°D． 66°5答案： C24.〔 2021 北京燕山地区第一学期初四年级期末〕如图，圆心角∠ AOB=25°，将AB旋转n°得到CD，那么∠COD 等于A ． 25°B． 25°+ n°C． 50° D． 50°+ n°答案： A.二、填空题25.〔 2021北京房山区二模〕如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD AB，垂C足为点E，连结 OC，假设OC=5， CD =8，那么 AE=.答案： 2A BE OABC 中， AB=AC，BC=8.e O D26.〔 2021北京东城区二模〕如图，在△是△ABC的外接圆，其半径为5. 假设点 A 在优弧 BC上，那么tan∠ABC的值为 _____________.答案：227.. 〔 2021 北京西城区二模〕如图，AB 为⊙ O 的直径， AC 与⊙ O 相切于点A，弦 BD ∥ OC.假设C 36 ，那么∠DOC=．答案： 5428.〔 2021 北京朝阳区二模〕如图，△ABC 内接于⊙ O，AB 是⊙ O的直径，点 D 在圆O 上，弧 BD=弧 CD ， AB= 10， AC=6，连接 OD 交 BC 于点 E，DE=．6答案： 229.〔 2021 北京昌平区二模〕如图，在圆O 的内接四边形ABCD中， AB=3，A AD=5，∠ BAD=60°，点 C 为弧 BD 的中点，那么 AC 的长是．答案：8 3O3B DC30.．〔 2021 北京延庆区初三统一练习〕如图，AB 是⊙ O 的弦， OC⊥AB，∠ AOC=42°，D那么∠ CDB 的度数为 ____________．OA BC答案： 21°31.．〔 2021 北京西城区九年级统一测试〕如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，BOC 50 ，AD∥OC，AD 交⊙O于点 D ，连接AC，CD，那么ACD__________．DCBA答案： 40O32.〔 2021 北京市朝阳区综合练习〔一〕〕如图，点 A， B，C 在⊙ O 上，四边形OABC是平行四边形， OD⊥ AB 于点 E，交⊙ O 于点 D，那么∠ BAD=度.答案 157第13 题图33.〔2021北京门头沟区初三综合练习〕如图，PC是⊙ O的直径，PA切⊙ O于点P，AO交⊙ O于点B；连接BC，假设∠ C=32°，那么∠ A=_____________ °．P答案26°A B OC34．〔 2021 北京平谷区中考统一练习〕如图，E，假设 AB=10 ，CD =8，那么 BE=．AB是⊙ O的直径，AB⊥弦CD于点答案 235．〔 2021 北京石景山区初三毕业考试〕如图， AB 是⊙O的直径，CD 是弦，C DA O的半径是5，CD 8，那么 AE．于点 E ，假设⊙答案： 236．〔2021 北京丰台区一模〕如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E．如果∠ A = 15 °，弦 CD = 4，那么 AB 的长是．8CA O E B答案 837.〔 2021 北京朝阳区第一学期期末检测〕如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙ O，⊙ O 的半径为3，那么正六边形 ABCDEF 的边长为.CDBEOA答案： 3F38.〔 2021 北京大兴第一学期期末〕如图，在半径为5cm的⊙ O中，如果弦 AB的长为 8cm，OC⊥ AB，垂足为 C，那么 OC的长为cm ．答案： 3.39.〔 2021 北京东城第一学期期末〕如图，AB 是O 的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交O 于点D.假设CD=1， AB=4,那么O 的半径是.答案：40.〔 2021 北京东城第一学期期末〕O 是四边形ABCD的外接圆, AC平分∠BAD，那么正确结论的序号是.① AB=AD;② BC=CD;③ AB AD ;④∠ BCA=∠ DCA;⑤ BC CD9答案：②⑤41.〔 2021 北京房山区第一学期检测〕如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦， OC⊥ AB，垂足为E，如果CE=2，那么 AB 的长是．答案： 8ABC的外接圆⊙O 的半径OA的长为2，那么其内切圆半42.〔2021 北京丰台区第一学期期末〕如图，等边三角形径的长为.答案： 143.〔 2021 北京丰台区第一学期期末〕在平面直角坐标系中，过三点A〔 0， 0〕， B〔 2， 2〕，C〔4， 0〕的圆的圆心坐标为.答案：〔 2，0〕44. 〔2021 北京门头沟区第一学期期末调研试卷〕如图，在△ABC 中，∠ A=60°，⊙ O 为△ ABC 的外接圆．如果BC= 2 3 , 那么⊙ O 的半径为 ________.答案： 245.〔 2021 北京平谷区第一学期期末〕13．“割之弥细，所失弥少，割之又割，以A BC算术注? 中提到的“如何求圆的周长和面积〞的方法，即“割圆术〞．“割圆术〞的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB 是圆内接正六边形的一条边，半径OB=1， OC⊥ AB 于点 D，那么圆内接正十二边形的边BC 的长是〔结果不取近似值〕．22答案：11323 2246.〔2021 北京石景山区第一学期期末〕如图，在Rt△ ABC 中， C 90 ，AB=10．假设以点 C 为圆心， CB 为半径的圆恰好经过AB 的中点 D，那么 AC=________．答案： 5347.〔2021北京通州区第一学期期末〕⊙O 的半径为1△ ABC的边AB2，那么C 的度数为，其内接______________.答案： 45°或 135°48.〔2021北京西城区第一学期期末〕如图，⊙O 的半径等于4，如果弦 AB 所对的圆心角等于120 ，那么圆心 O到弦 AB 的距离等于.答案： 249〔.2021 北京西城区第一学期期末〕如图，⊙ O 的半径为3，A，P 两点在⊙ O 上，点 B 在⊙ O 内，tan APB 4 ，3 AB AP .如果OB⊥OP，那么OB的长为.答案： 150.〔2021北京燕山地区第一学期初四年级期末〕如图，AB、AC是⊙ O的弦，OM⊥ AB，ON⊥ AC，垂足分别为 M 、 N．如果MN=2.5 ，那么BC=答案：551.〔2021 北京丰台区二模〕数学课上，老师提出如下问题：△ABC 是⊙ O 的内接三角形， OD⊥ BC 于点 D .请借助直尺，画出△ABC 中∠ BAC 的平分线 .晓龙同学的画图步骤如下：A?〔1〕延长 OD 交BC于点M；〔2〕连接 AM 交 BC 于点 N.O所以线段 AN 为所求△ ABC 中∠ BAC 的平分线 .请答复：晓龙同学画图的依据是.C答案：垂径定理，等弧所对的圆周角相等BD52.〔 2021 北京燕山地区第一学期初四年级期末〕如图，量角器的直径与直角三角尺ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3 °的速度旋转， CP 与量角器的半圆弧交于点 E，那么第 20 秒点E 在量角器上对应的读数是°答案：120°三、解答题53．〔 2021 北京海淀区第二学期练习〕如图，AB 是⊙O的直径，弦 EF AB 于点C，过点 F 作⊙O的切线交 AB 的延长线于点 D .〔1〕A，求 D 的大小〔用含的式子表示〕；2BE的中点M，连接MF，请补全图形；假设A 30，MF7，求⊙O的半径.〔〕取EBA DO CF解：〔 1〕连接OE，OF．∵ EF⊥ AB ， AB 是O 的直径，∴∠ DOF∠ DOE ．∵∠ DOE2∠ A ，∠ A，∴∠ DOF 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵FD 为O的切线，∴ OF ⊥ FD .∴∠OFD90 .∴∠ D +∠DOF90.D 902．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分（2〕图形如下图 .连接OM .∵AB 为O的直径，∴ O 为AB中点，AEB 90 ．∵ M 为 BE 的中点，∴OM ∥ AE ，OM =1AE.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分2∵ A 30 ，∴MOB A 30 ．∵DOF 2 A 60，∴MOF90 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分∴ OM 2 +OF 2MF 2．设O 的半径为r．∵AEB 90 ， A 30 ，∴ AE AB cos303r .∴1OM =3r ．∵FM = 7 ，1222∴ (3r ) +r( 7) .解得 r =2 ．〔舍去负根〕∴O 的半径为2．EBA DO CFEMA B DCOF⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分54.〔 2021 年北京昌平区第一学期期末量抽〕如，AB是⊙ O的直径，弦CD⊥ AB于点E，接AC，BC．〔 1〕求：A BCD ；（2〕假设 AB=10， CD =8，求 BE 的．答案：〔 1〕明：∵ 直径 AB⊥弦 CD ，∴弧 BC=弧 BD . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∴ABCD .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分（2〕解：接 OC∵直径 AB⊥弦 CD ， CD =8，∴CE=ED =4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∵直径 AB =10，∴CO =OB=5 .在Rt △ COE 中AOC E DBOE CO 2CE 2 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∴ BE 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分55.〔 2021 北京朝阳区第一学期期末〕如，四形ABCD 是⊙ O 的内接四形，角AC 是⊙ O 的直径， AB= 2，B∠ADB ＝ 45° . 求⊙ O 半径的 .答案： 18．解：∵ AC是⊙ O 的直径，∴∠ ABC =90°.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯A1C分∵∠ ADB＝45°，O∴∠ ACB =∠ ADB＝ 45° . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∵ AB=2，D∴ B C = A B = 2.⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 3 分∴ AC AB 2BC 2 2 2 .⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯4分∴⊙ O 半径的 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分56. 〔 2021 北京大第一学期期末〕：如，⊙ O的直径AB 的5cm， C ⊙ O 上的一个点，∠ACB的平分交⊙O 于点 D，求 BD 的．A答案： 21. 解：∵ AB 直径，C∴ ∠ ADB =90°，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分O∵ CD 平分∠ ACB，D∴ ∠ ACD=∠BCD，B⌒ ⌒2∴ AD =BD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分∴ AD=BD ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分3在等腰直角三角形ADB 中，25BD=ABsin45 =5°×2=2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 52∴5 BD=2 . 257.〔 2021 北京大第一学期期末〕：如，AB 半 O 的直径， C 是半 O 上一点，点 C 作 AB 的平行交⊙ O 于点 E，接 AC、BC、 AE， EB. 点C作 CG⊥ AB 于点 G，交 EB于点H.（1〕求：∠ BCG=∠EBG；〔 2〕假设sin CAB 5，求EC的. 5GB答案：明：〔 1〕∵ AB 是直径，∴∠ ACB=90°. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分..1∵CG⊥ AB 于点 G，∴∠ ACB=∠ CGB=90 °.∴∠ CAB=∠ BCG. .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分..∵CE∥AB，∴∠CAB=∠ ACE.∴∠ BCG=∠ ACE又∵∠ ACE=∠ EBG∴∠ BCG=∠ EBG. . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分..〔 2〕解：∵ sin5 CAB5∴ tan1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分.. CAB2由〔 1〕知，∠ HBG =∠ EBG =∠ACE =∠CAB ∴在 Rt△ HGB中，tan HBG GH 1 .GB2由〔 1〕知，∠ BCG=∠CAB 在Rt△BCG中，tan BCG GB 1. CG 2GH=a， GB=2a， CG=4a.CH=CG－ HG=3a. ⋯⋯⋯⋯⋯6分..∵EC∥ AB，∴∠ ECH =∠ BGH，∠ CEH=∠ GBH∴△ ECH∽△ BGH．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分..∴EC CH 3a3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分GB GH a58.〔 2021 北京城第一学期期末〕等腰△ ABC内接于O , AB=AC，∠BOC=100°，求△ABC的角和底角的度数 .解：如 1，当点 A 在弧上，∠ A=50°，∠ ABC =∠ ACB =65°； -------------------- 3 分如 2，当点 A 在劣弧上，∠ A=130°，∠ ABC=∠ ACB=25°.------------------- 5 分12〔2021北京密云区初三〔上〕期末〕如，是O 的弦，O 的半径OD AB垂足C.假设AB 2 3，59.21.ABCD=1 ，求O 的半径.DA CB O答案： 21.解：AB 是O的弦，O的半径 OD AB 垂足C，AB 2 3AC=BC= 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..分2DO 半径r，A CB接 OA.OA2AC 2OC 2即 r 2( 3) 2(r 1)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..4分解得： r 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分60.〔 2021 北京平谷区第一学期期末〕如，AB 是⊙ O 的直径，弦CD⊥ AB 于 E，∠ A=15 °， AB=4．求弦 CD 的．答案：解：∵∠ A=15°，∴∠ COB=30°． (1)∵AB=4，∴OC=2． (2)∵弦 CD ⊥ AB 于 E，13∴CE = CD ． ..............................................................................................................2在 Rt△OCE 中，∠ CEO=90°，∠ COB=30°， OC=2，∴CE =1． (4)∴CD =2． (5)61.〔 2021 北京区初三上学期期末〕：如，AB ⊙ O 的直径， CE⊥AB 于 E，BF∥ OC，接 BC，CF．求：∠ OCF=∠ ECB．答案：明：延 CE交⊙ O 于点 G．∵AB ⊙ O 的直径， CE⊥ AB 于 E，∴BC=BG，∴∠ G=∠ 2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..2分∵BF∥OC，∴∠ 1=∠F，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分又∵∠ G=∠ F，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯...5分∴∠1=∠2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6分〔其它方法对应给分〕62.〔 2021 北京通州区第一学期期末〕如图，△ABC内接于⊙O .假设⊙O的半径为 6，B 60，求AC的长．答案：63.〔2021北京燕山地区第一学期初四年级期末〕如图，A B为⊙ O的直径，弦CD⊥ A B于点E，连接BC ．假设 A B＝ 6 ，∠ B ＝ 30 °，求：弦CD 的长。