2015-2016学年北师大版必修二空间直角坐标系的建立 作业(含答案)
高中数学北师大必修2课时跟踪检测：(二十五) 空间直角坐标系的建立
课时跟踪检测（二十五）空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标层级一学业水平达标1．已知A(－1,2,7)，B(－3，－10，－9)，则线段AB的中点关于原点对称的点的坐标是()A．(4,8,2)B．(4,2,8)C．(4,2,1) D．(2,4,1)解析：选D由题意，得AB中点坐标为(－2，－4，－1)，∴关于原点对称的点的坐标为(2,4,1)．2．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C②③④正确．3．已知P(1,3，－1)关于xOz面对称点为P′，P′关于y轴对称的点为P″，则P″的坐标为()A．(1，－3，－1) B．(－1，－3,1)C．(1，－3,1) D．(－1,3,1)解析：选B由题意，得P′(1，－3，－1)，P″(－1，－3,1)．4．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是()A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)解析：选A过点P向xOy平面作垂线，垂足为N，则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P′连线的中点，又N(－2,1,0)，所以对称点为P′(－2,1，－4)，故选A.5．已知点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为()A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5 B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5C ．λ＝2，μ＝10，v ＝8D ．λ＝2，μ＝10，v ＝7解析：选D 两个点关于x 轴对称，那么这两个点的x 坐标不变，y 坐标与z 坐标均互为相反数，故有λ＝2,7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v )，∴λ＝2，μ＝10，v ＝7.6．如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则CC 1中点N 的坐标为________．解析：由题意C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，∴N (0,2,1)． 答案：(0,2,1)7．点P (2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是________，________，________. 解析：P (2,3,4)在x 轴上的射影为(2,0,0)，在y 轴上的射影为(0,3,0)，在z 轴上的射影为(0,0,4)．答案：(2,0,0) (0,3,0) (0,0,4)8．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′关于原点对称的点的坐标是________．解析：点M 在xOz 上的射影为(－2,0，－3)，其关于原点对称的坐标为(2,0,3)． 答案：(2,0,3)9．如图，棱长为a 的正方体OABC -D ′A ′B ′C ′中，对角线OB ′与BD ′相交于点Q ，顶点O 为坐标原点，OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，试写出点Q 的坐标．解：因为OB ′与BD ′相交于点Q ，所以Q 点在xOy 平面内的投影应为OB 与AC 的交点，所以Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12a ，12a ，z .同理可知Q 点在xOz 平面内的投影也应为AD ′与OA ′的交点，所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12a ，12a ，12a .10．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标．解：以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA 1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设|AB |＝1，则|AD |＝2，|AA 1|＝4， 所以|CF |＝|AB |＝1，|CE |＝12|AB |＝12，所以|BE |＝|BC |－|CE |＝2－12＝32.所以点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，0，点F 的坐标为(1,2,1)． 层级二 应试能力达标1．已知点A (x,5,6)关于原点的对称点为(－2，y ，z )，则P (x ，y )在平面直角坐标系的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 由题可知，x ＝2，y ＝－5，z ＝－6，故(x ，y )＝(2，－5)，在第四象限． 2．设z 为任一实数，则点(2,2，z )表示的图形是( ) A ．z 轴B ．与平面xOy 平行的一直线C ．平面xOyD ．与平面xOy 垂直的一直线解析：选D (2,2，z )表示过点(2,2,0)且与z 轴平行的直线，即与平面xOy 垂直的直线． 3．正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为1，且|BP |＝13|BD ′|，建立如图所示的空间直角坐标系，则P 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫13，13，13B.⎝⎛⎭⎫23，23，23 C.⎝⎛⎭⎫13，23，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，13解析：选D 如图所示，过P 分别作平面xOy 和z 轴的垂线，垂足分别为E ，H ，过E分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，由于|BP |＝13|BD ′|，所以|DH |＝13|DD ′|＝13，|DF |＝23|DA |＝23，|DG |＝23|DC |＝23，所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫23，23，13，故选D. 4．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1在空间直角坐标系中的位置如图所示，且AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，则DD 1C 1C 所在平面上点的坐标形式是( )A ．(0，－2，－1)B ．(x ，－2，z )C ．(－3，－2，－1)D ．(－3，y ，z )解析：选B DD 1C 1C 所在的平面平行于xOz 面，且与xOz 面的距离为2，上面任意一点的y 坐标都是－2，而x ，z 坐标可取任意实数．5．以棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B 1B 对角线交点的坐标为________．解析：如图所示，A (0,0,0)，B 1(1,0,1)．平面AA 1B 1B 对角线交点是线段AB 1的中点，所以由中点坐标公式得所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，12. 答案：⎝⎛⎭⎫12，0，12 6．如图所示，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，点P 在BD ′上，BP ＝13BD ′，则P 点坐标为________．上，∵BP ＝13解析：点P 在坐标平面xOy 上的射影在BD BD ′，所以P x ＝P y ＝23，P z ＝13∴P ⎝⎛⎭⎫23，23，13. 答案：⎝⎛⎭⎫23，23，137．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E ，F ，G ，H 的坐标．解：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．∵点E 在z 轴上，且为D 1D 的中点， 故点E 坐标为⎝⎛⎭⎫0，0，12.过F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ，则|FM |＝|FN |＝12，故点F 坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0.因为点G 在y 轴上，又|GD |＝34，故点G 坐标为⎝⎛⎭⎫0，34，0. 过H 作HK ⊥CG 于点K ，由于H 为C 1G 的中点， 故|HK |＝12，|CK |＝18.∴|DK |＝78.故点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，78，12.8．依次连接四点A ，B ，C ，D 构成平行四边形ABCD ，且已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，求顶点D 的坐标．解：设线段AC 与BD 的交点为M ，设点M 的坐标为M (x 1，y 1，z 1)，点D 的坐标为D (x 2，y 2，z 2)，由M 既是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，得x 1＝72，y 1＝4，z 1＝－1，又2＋x 22＝72，－5＋y 22＝4，1＋z 22＝－1，∴x 2＝5，y 2＝13，z 2＝－3. ∴顶点D 的坐标为(5,13，－3)．。
高中数学北师大版必修2 2.3 提高练习 《空间直角坐标系的建立》(数学北师大必修二)
《空间直角坐标系的建立》提高练习本课时编写：崇文门中学 高巍巍一、选择题1. 点P (2,1,0)在空间直角坐标系中的位置是在( )A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．x 轴上2. 点(1,2,1)A -在xoy 平面上的射影点的坐标是（ ）A ．(1,2,0)-B ．(1,2,0)--C ．(1,0,0)-D ．(1,2,0)-3. 设a 是任意实数，则点(,1,2)P a 的集合在空间直角坐标系中所表示的图形是（）A ．垂直于平面xoy 的一条直线B ．垂直于平面yoz 的一条直线C ．垂直于平面xoz 的一条直线D ．以上均不正确4. 点P （x ，y ，z 2，则点P 在（ ）．A ．以点（1，1，－1B ．以点（1，1，－1C ．以点（1，1，－1）为球心，2为半径的球面上D ．无法确定5. 有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定是（0，b ，c ）；②在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定是（0，b ，c ）；③在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标可记作（0，0，c ）；④在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标是（a ，0，c ）.其中正确的个数是（ ）.A .1B .2C .3D .4二、填空题6. 已知点M （3，-4，5）是空间直角坐标系Oxyz 中的一点，则点M 关于z 轴的对称点坐标是________．7. 设z 为任意实数，相应的所有点P （1，2，z ）组成的图形为___________.三、简单题8. 如图，在长方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝1，|OC |＝3，|OD ′|＝2，点E 在线段AO 的延长线上，且|OE |＝12，写出B ′，C ，E 的坐标．。
2015高中数学北师大版必修二课件：《空间直角坐标系》
∴|B1E|= ( -2) + ( -4) + (0-2) =
5
即 B1E 的长为
5
6 10
5
.
第十四页，编辑于星期五：十二点 八分。
...
导学固思
正确建立空间直角坐标系
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面
ABC,所有的棱长都是1,建立适当的坐标系,并写出各
点的坐标.
第十五页，编辑于星期五：十二点 八分。
助于空间直角坐标系利用这两点的空间坐标来表示出两点
的
问题4
,我们就可以解决上面的这个实际应用题.
距离
如果|OP|是定长r,那么方程x2+y2+z2=r2表示的图形是
以原点为圆心,以r为半径的球面
.
第七页，编辑于星期五：十二点 八分。
...
导学固思
1
点P(2,0,3)在空间直角坐标系的位置是(
A.在y轴上
的中点,点N在A1C1上,且A1N=3NC1,试求MN的长.
【解析】以D为原点,以DA、DC、DD1所在直线分别为
x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为正方体棱长
为a,
第二十页，编辑于星期五：十二点 八分。
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导学固思
所以B(a,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a),D1(0,0,a).
轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于
第四页，编辑于星期五：十二点 八分。
...
导学固思
点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别
为x、y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)
是 一一对应的关系,有序实数组(x,y,z)叫作点M在此空
北师大版必修二 23 空间直角坐标系的建立 作业
课时分层作业(二十三)空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标(建议用时：45分钟)[合格基础练]一、选择题1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于z轴对称D．关于原点对称B[由A，B两点的坐标可知关于y轴对称．]2．空间直角坐标系O-xyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内的射影是点Q，则点Q的坐标为()A．(1,2,0) B．(0,0,3)C．(1,0,3) D．(0,2,3)A[因为空间直角坐标系O-xyz中，在xOy平面内的点的竖坐标是0，所以点Q的坐标为(1,2,0)．]3．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是() A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)A[过点P向xOy平面作垂线，垂足为N(图略)，则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P′连线的中点，又N(－2,1,0)，所以对称点为P′(－2,1，－4)，故选A.]4．以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12 B [A (0,0,0)，B 1(1,0,1)，所以AB 1的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋12，0＋02，0＋12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 0，12.] 5．设z 为任一实数，则点(2,2，z )表示的图形是( )A ．z 轴B ．与平面xOy 平行的一直线C ．平面xOyD ．与平面xOy 垂直的一直线D [(2,2，z )表示过点(2,2,0)且与z 轴平行的直线，即与平面xOy 垂直的直线．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________． (－4,1，－2) [空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．]7．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′关于原点对称的点的坐标是________．(2,0,3) [点M 在xOz 上的射影为(－2,0，－3)，其关于原点对称的坐标为(2,0,3)．]8．在空间直角坐标系中，点M (4，－3,5)到x 轴的距离为m ，到xOy 平面的距离为n ，则m 2＋n ＝________.39 [由题意得m 2＝(－3)2＋52＝34，n ＝5，∴m 2＋n ＝39.]三、解答题9．已知点A (－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A 1，A 1关于xOz 平面的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，求线段AA3的中点M的坐标．[解]因为点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点A1的坐标为(4，－2，－3)，点A1(4，－2，－3)关于xOz平面的对称点A2的坐标为(4,2，－3), 点A2(4,2，－3)关于z轴的对称点A3的坐标为(－4，－2，－3)，所以AA3中点M的坐标为(－4,0,0)．10．如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，所有的棱长均为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当的坐标系写出各顶点的坐标．[解]取AC的中点O和A1C1的中点O1，连接BO，可得BO⊥AC，分别以OB，OC，OO 1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．因为三棱柱各棱长均为2，所以OA＝OC＝1，OB＝3，可得A(0，－1,0)，B(3，0,0)，C(0，1,0)，A1(0，－1,2)，B1(3，0,2)，C1(0,1,2)．[等级过关练]1．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A．7B．－7C．－1D．1D[点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.]2．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的主视图和俯视图分别为()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②D[由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的主视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故主视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②.故选D.]。
高中数学 第二章 解析几何初步 3 空间直角坐标系练习(含解析)北师大版必修2-北师大版高中必修2数
空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式填一填1.空间直角坐标系的特征⎩⎪⎨⎪⎧①三条轴两两相交；②三条轴两两垂直；③有相同的单位长度.2．空间直角坐标系中点的坐标空间一点M 的坐标可用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．3．空间两点间的距离公式空间两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)间的距离|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.判一判1.空间直角坐标系中，y 轴上的点的坐标满足z ＝0，x ＝0.(√) 2．空间直角坐标系中的任意一点的坐标是唯一的．(√) 3．长方体的对角线长度都相等．(√)4．空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点．(×)5．将空间两点间距离公式中两点的坐标对应互换，结果会改变．(×)6．空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式．(√)7．关于坐标平面yOz 对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．(√) 8．点P (1,4，－3)与点Q (3，－2,5)的中点坐标是(2,1,1)．(√)想一想1.在空间直角坐标系中求空间一点P 的坐标的步骤是什么？ 提示：2．求空间两点间距离的关键及方法是什么？提示：关键：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．(2)方法：确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．3．求空间对称点的方法是什么？提示：空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．4．两点间距离公式在几何中的两个应用是什么？ 提示：(1)求立体几何中线段长度问题①建系：将立体图形放在空间直角坐标系中．②定坐标：在空间直角坐标系中，根据条件确定有关的点的坐标． ③定距离：利用空间两点间距离公式确定所求线段的长． (2)判断三角形形状①利用两点间距离公式求三边长．②结合三边长及三角形有关知识判断三角形的形状． 思考感悟：练一练1.点Q (0,0,3)的位置是( )A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在z 轴上D ．在面xOy 上 答案：C2．点A (－3,1,5)，点B (4,3,1)的中点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，－2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，3 C ．(－12,3,5) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，2 答案：B3．已知点A (－1,2,7)，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为( ) A ．(－1，－2，－7) B ．(－1，－2,7) C ．(1，－2，－7) D ．(1,2，－7) 答案：A4．已知点A (2,3,5)，B (－2,1,3)，则|AB |等于( ) A. 6 B ．2 6 C. 2 D ．2 2 答案：B5．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线长为6，且底面是边长为4的正方形，则该长方体的高为( )A ．9 B.92C ．4D ．2 答案：D知识点一空间中点的坐标及其位置1.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点B 1的坐标是( ) A ．(1,0,0) B ．(1,0,1) C ．(1,1,1) D ．(1,1,0)解析：点B 1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C. 答案：C 2.如图所示，已知四棱锥P －ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的等边三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，G 是棱PB 的中点，请建立适当的空间直角坐标系，求出点P ，A ，B ，C ，D ，G 的坐标．解析：如图所示，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O .连接PE .因为AD ⊥PB ，PO ⊥AD ，PO ∩PB ＝P ，所以AD ⊥平面POB ，所以AD ⊥OB .因为PA ＝PD ，所以OA ＝OD . 于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .所以以垂足O 为原点，以OB ，OP 及在底面ABCD 内过O 且垂直于OB 的直线分别为y 轴、z 轴、x 轴建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题意可得∠PEB ＝120°，∠PEO ＝180°－120°＝60°. 又等边三角形PAD 的边长等于2， 所以AE ＝ED ＝1，PE ＝ 3.所以在Rt△POE 中，OE ＝PE ·cos 60°＝32，PO ＝PE ·sin 60°＝32.又底面ABCD 为菱形，所以AD ＝BC ＝AB ＝CD ＝2.所以在Rt△AEB 中，BE ＝AB 2－AE 2＝3，所以OB ＝OE ＋BE ＝332.所以所求坐标分别为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，332，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，332，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，0. 又因为G 是棱PB 的中点，所以由中点坐标公式可得G ⎝⎛⎭⎪⎫0，334，34.知识点二 空间中点的对称问题3.在空间直角坐标系中，若P (3，－2,1)，则P 点关于坐标平面xOz 的对称点坐标为( )A ．(－3，－2，－1)B ．(3,2,1)C ．(－3,2，－1)D ．(3，－2，－1)解析：设所求的点为Q (x ，y ，z )，因为点Q (x ，y ，z )与点P (3，－2,1)关于平面xOz 对称，所以P ，Q 两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标互为相反数，即x ＝3，y ＝2，z ＝1，得Q 点坐标为(3,2,1)，故选B.答案：B4．点P (1,3,5)关于坐标原点对称的点P ′的坐标是( ) A ．(－1，－3，－5) B ．(1，－3,5) C ．(－1，－3,5) D ．(－1,3,5)解析：把点P (1,3,5)的横坐标、纵坐标、竖坐标均变为原来的相反数即可，故点P ′的坐标为(－1，－3，－5)．答案：A知识点三 空间两点间的距离5.已知空间中两点A (1,2,3)，B (4,2，a )，且|AB |＝10，则a 的值为( )A ．2B ．4C ．0D ．2或4解析：由空间两点间的距离公式得|AB |＝4－12＋2－22＋a －32＝10，即9＋a 2－6a ＋9＝10，所以a 2－6a ＋8＝0， 所以a ＝2或a ＝4.故选D. 答案：D6．在空间直角坐标系中，给定点M (2，－1,3)，若点A 与点M 关于xOy 平面对称，点B 与点M 关于x 轴对称，则|AB |等于( )A ．2B ．4C ．2 5D ．37解析：由题可知，A (2，－1，－3)，B (2,1，－3)，所以|AB |＝2－22＋1＋12＋－3＋32＝2.故选A. 答案：A7．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB |取最小值时，x 的值为( )A ．19B ．－87C.87D.1914解析：|AB |＝x －12＋3－2x 2＋3x －32＝14x 2－32x ＋19，∴当x ＝－－322×14＝87时，|AB |最小．答案：C知识点四 距离公式的综合应用8.在空间直角坐标系中，已知A (3,0,1)和B (1,0，－3)． (1)在y 轴上是否存在点M ，满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 的坐标． 解析：(1)假设在y 轴上存在点M ，满足|MA |＝|MB |，设M (0，y,0)，由|MA |＝|MB |，可得32＋y 2＋12＝12＋y 2＋32，显然，此式对任意y ∈R 恒成立．这就是说，y 轴上所有点都满足|MA |＝|MB |. (2)假设在y 轴上存在点M (0，y,0)，使△MAB 为等边三角形． 由(1)可知，对y 轴上任一点都有|MA |＝|MB |，所以只要|MA |＝|AB |就可以使得△MAB 是等边三角形．因为|MA |＝3－02＋0－y 2＋1－02＝10＋y 2，|AB |＝1－32＋0－02＋－3－12＝20，于是10＋y 2＝20，解得y ＝±10，故在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形，点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0).综合知识 空间直角坐标系9.点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于平面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则|BC |的值为( )A ．2 5B ．4C ．2 2D ．27解析：点A 关于平面xOy 对称的点C 的坐标是(1,2,1)，点A 关于x 轴对称的点B 的坐标是(1，－2,1)，故|BC |＝1－12＋2＋22＋1－12＝4.答案：B10．已知ABCD 为平行四边形，且A (1,2,3)，B (2，－5,1)，C (－3,2，－1)，求D 点坐标． 解析：设D (x ，y ，z )，A 、C 的中点坐标(－1,2,1)∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋22＝－1y －52＝2z ＋12＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝9z ＝1∴D 点坐标为(－4,9,1)基础达标一、选择题1．若A (1,3，－2)，B (－2,3,2)，则A ，B 两点间的距离为( ) A.61 B ．25 C ．5 D.57解析：|AB|＝1＋22＋3－32＋－2－22＝5.答案：C2．空间直角坐标系O－xyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内的射影是点Q，则点Q的坐标为( )A．(1,2,0) B．(0,0,3)C．(1,0,3) D．(0,2,3)解析：因为空间直角坐标系O－xyz中，在xOy平面内的点的竖坐标是0，所以点Q的坐标为(1,2,0)．答案：A3．在空间直角坐标系中，点M(－5,3,1)关于x轴的对称点的坐标为( )A．(－5，－3，－1) B．(5,3，－1)C．(5，－3,1) D．(5，－3，－1)解析：关于x轴的对称点的坐标中，横坐标不变，其余坐标变为相反数，故点M关于x 轴的对称点的坐标为(－5，－3，－1)．答案：A4．点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则A，B两点间的距离为( )A．10 B.10C.38 D．38解析：由于A，B关于xOy平面对称，则A，B的横、纵坐标相等，竖坐标互为相反数，故点B的坐标为(2，－3，－5)，所以|AB|＝2－22＋－3＋32＋5＋52＝10.答案：A5．已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为( ) A．(6,0,0) B．(6,0,1)C．(0,0,6) D．(0,6,0)解析：设P(x,0,0)，|PA|＝x－12＋1＋1，|PB|＝x－32＋9＋9，由|PA|＝|PB|得x＝6，故选A.答案：A6．在空间直角坐标系中，已知三点A(1,0,0)，B(1,1,1)，C(0,1,1)，则三角形ABC是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形解析：由题|AB|＝1－12＋0－12＋0－12＝2，|AC|＝0－12＋1－02＋1－02＝3，|BC|＝0－12＋1－12＋1－12＝1，所以AC2＝AB2＋BC2，所以三角形ABC是直角三角形．答案：A7．已知点A(1,2,2)，B(1，－3,1)，点C在yOz平面上，且点C到点A，B的距离相等，则点C的坐标可以为( )A．(0,1，－1) B．(0，－1,6)C．(0,1，－6) D．(0,1,6)解析：由题意设点C的坐标为(0，y，z)，所以1＋y－22＋z－22＝1＋y＋32＋z－12，即(y－2)2＋(z－2)2＝(y＋3)2＋(z－1)2.经检验知，只有选项C满足．答案：C二、填空题8．点P(1,4，－3)与点Q(3，－2,5)的中点坐标是________________________________________________________________________．解析：设点P 与点Q 的中点坐标为(x ，y ，z )，则x ＝1＋32＝2，y ＝4－22＝1，z ＝－3＋52＝1.所以中点坐标是(2,1,1)．答案：(2,1,1)9．已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________.解析：AB 中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92，－2，|PC |＝3. 而⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－922＋[z －－2]2＝3，解为z ＝0，或z ＝－4. 答案：0或－410．已知平行四边形ABCD 中，A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3，7，－5)，则点D 的坐标为________．解析：设平行四边形ABCD 的两条对角线的交点为点P ，则P 为AC ，BD 的中点．由A (4,1,3)，C (3,7，－5)，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，－1.又点B (2，－5,1)，所以点D 的坐标为(5,13，－3)．答案：(5,13，－3)11．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′点关于原点的对称点的坐标是________．解析：点M (－2,4，－3)在平面xOz 上的射影M ′(－2,0，－3)，M ′关于原点的对称点的坐标是(2,0,3)．答案：(2,0,3)12．三棱锥P －ABC 各顶点的坐标分别为A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,2,0)，P (0,0,3)，则三棱锥P －ABC 的体积为________．解析：由A ，B ，C ，P 四点的坐标，知△ABC 为直角三角形，AB ⊥AC ，PA ⊥底面ABC .由空间两点间的距离公式，得|AB |＝1，|AC |＝2，|PA |＝3，所以三棱锥P －ABC 的体积V ＝13Sh ＝13×12×1×2×3＝1. 答案：1 三、解答题13．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，AB ＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求B 1E 的长．解析：如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz .则D (0,0,0)，B 1(2,4,2)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，设点E 的坐标为(x ，y,0)，在坐标平面xOy 内，直线AC 的方程为x 2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0，又DE ⊥AC ，直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x －2y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45，0.∴|B 1E |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45－42＋0－22＝6105，即B 1E 的长为6105.14．已知正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若|CM |＝|BN |＝a (0<a <2)．(1)求|MN |的长；(2)当a 为何值时，|MN |的长最小． 解析：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ， 平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ，∴AB ，BC ，BE 两两垂直． 过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ， 垂足分别为G ，H ， 连接NG ，易证NG ⊥AB . ∵|CM |＝|BN |＝a ，∴|CH |＝|MH |＝|BG |＝|GN |＝22a ，∴以B 为原点，以BA ，BE ，BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0.(1)|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －222＋12.(2)由(1)得，当a ＝22时，|MN |最短，最短为22，这时M ，N 恰好为AC ，BF 的中点.能力提升15.已知三点A (－1,1,2)，B (1,2，－1)，C (a,0,3)，是否存在实数a ，使A 、B 、C 共线？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解析：AB ＝－1－12＋1－22＋2＋12＝14，AC ＝－1－a 2＋1－02＋2－32＝a ＋12＋2，BC ＝1－a 2＋2－02＋－1－32＝a －12＋20，因为BC >AB ，所以，若A ，B ，C 三点共线，有BC ＝AC ＋AB 或AC ＝BC ＋AB ，若BC ＝AC ＋AB ，整理得：5a 2＋18a ＋19＝0， 此方程无解；若AC ＝BC ＋AB ，整理得：5a 2＋18a ＋19＝0，此方程也无解． 所以不存在实数a ，使A 、B 、C 共线． 16.如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．(1)当2|DQ |＝|QC |时，求|PQ |；(2)当点P 为对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ |的最小值； (3)当点Q 为棱CD 的中点，点P 在对角线AB 上运动时，探究|PQ |的最小值． 解析：设正方体的棱长为a .(1)当点P 为对角线AB 的中点时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a2. 由2|DQ |＝|QC |，易知|QC |＝23a ，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，23a 从而|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－02＋a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－23a 2＝196a . (2)∵点Q 在线段CD 上，设Q (0，a ，z ) ∴|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 22＋12a 2. 当z ＝a 2时，|PQ |的最小值为22a .即点Q 在棱CD 的中点时，|PQ |有最小值22a . (3)如图，当Q 为CD 的中点时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2，设P 的坐标为(x ，x ，z )，则由三角形相似可得z a ＝2a －2x 2a，则z ＝a －x . ∴|PQ |2＝x 2＋(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－x 2＝3x 2－3ax ＋54a 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 22.当x ＝a 2时，|PQ |有最小值为22a ，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a2为AB 的中点．。
高中数学课时跟踪检测二十五空间直角坐标系的建立北师大版必修2
课时跟踪检测 (二十五) 空间直角坐标系的建立 空间直角坐标系中点的坐标、基本能力达标1.已知A — 1,2,7) , B ( — 3, - 10,— 9)，则线段AB 的中点关于原点对称的点的坐标是 ( )A.(4,8,2) B . (4,2,8) C . (4,2,1)D . (2,4,1)解析：选D 由题意，得AB 中点坐标为(一2, — 4, — 1) ,•••关于原点对称的点的坐标为 (2,4,1)Ox 轴上的点的坐标一定是(0 , b , c ); yOz 平面上的点的坐标一定是(0 , b , c ); Oz 轴上的点的坐标可记作(0,0 , c ); xOz 平面上的点的坐标是(a, 0, c ). B.2D . 43 •已知P (1,3 , — 1)关于xOz 面对称点为 P', P'关于y 轴对称的点为 P 〃，贝U P 〃的 坐标为 ()C.(1,—3,1)D . (—1,3,1)解析：选 B 由题意，得 P' (1 , — 3, — 1) , P " ( — 1, — 3,1). 4•在空间直角坐标系中，点 R — 2,1,4)关于xOy 平面的对称点的坐标是()A. (—2,1，—4) B . (—2，—1，—4) C. (2 ，— 1,4)D . (2,1 ，— 4)解析：选A 过点P 向xOy 平面作垂线，垂足为 N,则N 就是点P 与它关于xOy 平面的对称点P'连线的中点，又 N — 2,1,0)，所以对称点为 P' ( — 2,1 , — 4)，故选A.5 .已知点A (2,3 — ^ ,— 1 + V )关于x 轴的对称点为 A'(入，7，— 6)，则入，卩，v 的 值为 ()A . 入=—2, 口= — 4, v = — 5B . 入=2, 口= — 4, v =— 5 C.入=2, (1= 10, v = 8D.入=2,(1 = 10, v = 7解析：选 D 两个点关于 x 轴对称，那么这两个点的 x 坐标不变， y 坐标与 z 坐标均互为2.有下列叙述：① 在空间直角坐标系中，在 ② 在空间直角坐标系中，在 ③ 在空间直角坐标系中，在 ④ 在空间直角坐标系中，在 其中正确的个数是 ( )A . 1 C . 3解析：选 C ②③④正确.A. (1 ,— 3,— 1)B. (— 1,— 3,1)相反数，故有 入=2,7 =— (3 — [1 ), — 6=— ( — 1 + V ) ,.•.入=2, [1 = 10, v = 7.6.如图，已知正方体 ABCDABGD 的棱长为2,贝U CG 中点N 的坐标为 ____________ . 解析：由题意 C (0,2,0) , C (0,2,2) ,. N0,2,1).答案：(0,2,1)7 .点P (2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是 _____________ , ________ , ________ . 解析：P (2,3,4)在x 轴上的射影为(2,0,0)，在y 轴上的射影为(0,3,0)，在z 轴上的射 影为(0,0,4). 答案：(2,0,0)(0,3,0)(0,0,4)8 .在空间直角坐标系中，点 M — 2,4，— 3)在xOz 平面上的射影为 M 点，贝U M 关于原 点对称的点的坐标是 _________ .解析：点M 在xOz 上的射影为(一2,0，— 3)，其关于原点对称的坐标为 (2,0,3).答案：(2,0,3)9•如图，棱长为a 的正方体OABCD' A B' C'中，对角线 OB 与BD 相交于点 Q 顶二、综合能力提升1.已知点A (x, 5,6)关于原点的对称点为(一2,y ,z )，则P (x ,y )在平面直角坐标系的( )A .第一象限B .第二象限点O 为坐标原点, OA OC 分别在x 轴、 y 轴的正半轴上，试写出点 Q 的坐标.解：因为OB 与BD 相交于点 Q 所以Q 点在xOy 平面内的投影应为 OB 与AC 的交点, 一 1 、所以Q 的坐标为j ^a ，^a ，z .同理可知Q 点在xOz 平面内的投影也应为 AD 与OA 的交点, 一 i'1 1 1、所以Q 点的坐标为i ^a ,护，尹•10.如图，在长方体 ABCDABCD 中，E , F 分别是棱BC CC 上的点, | CF = | AB = 2| CE , | AB ： | AD ： I AA | = 1 : 2 : 4.试建立适当的坐标系， 写出E , F 点的坐标.解：以A 为坐标原点，射线 AB AD , AA 的方向分别为正方向建立空间 直角坐标系，如图所示.设| AB = 1,则 I AD = 2, | AA | = 4,1 1所以|CF =|AB = 1, |CE = JAB = 2, 1 3所以 | BE = | BC | — |CE = 2 — = ?•所以点E 的坐标为1, 1, 0，点F 的坐标为(1,2,1)C.第三象限D.第四象限解析：选D 由题可知，x = 2, y =— 5, z = — 6，故(x , y ) = (2 , — 5)，在第四象限. 2 •设z 为任一实数，则点(2,2 , z )表示的图形是()A. z 轴B. 与平面xOy 平行的一直线C. 平面xOyD. 与平面xOy 垂直的一直线解析：选D (2,2 , z )表示过点(2,2,0)且与z 轴平行的直线，即与平面 xOy 垂直的直线. 3 .正方体ABCDV B' C D 的棱长为1，且|BR = 3| BD |，建立如图所示的空间直角3 坐标系，贝y P 点的坐标为()C.D 謬2 nD.3，3，3别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为F, G 由于I BP = 3| BD |，所以| DH =弓DD | = 3, | DF =||DA = |, |DG = 3|DC = |,所以 P 点的坐标为 |, |, 1，故选 D.4.长方体ABCDABCD 在空间直角坐标系中的位置如图所示，AB= 3, AD= 2, AA = 1，则DDCC 所在平面上点的坐标形式是 (A . (0，— 2,— 1)B .(X ,— 2, z ) C. ( — 3，一 2，一 1)D. ( — 3, y , z )解析：选B DDCC 所在的平面平行于 xOz 面，且与xOz 面的距 离为2，上面任意一点的y 坐标都是—2,而x , z 坐标可取任意实数.5 .以棱长为1的正方体ABCDABCD 的棱AB AD AA 所在的直线为坐标轴，建立空间 直角坐标系，则平面 AABB 对角线交点的坐标为 ___________解析：如图所示，A (0,0,0) , B (1,0,1)B.3,解析：选D 如图所示，过P 分别作平面xOy 和z 轴的垂线，垂足分别为 E , H,过E 分•••| DK = 7.故点H 的坐标为 8平面AABB 对角线交点是线段 AB 的中点，所以由中点坐标公式得所求点的坐标为i6. 如图所示，在正方体 ABCDA' B' C D'中，棱长为 1，点P 在BD 上，BP= 3BD , 3则P 点坐标为 ________ .一 亠 1 2解析：点P 在坐标平面xOy 上的射影在BD 上，BP= -BD ，所以R = R= 3,P = 1• pi? 2 Hz3 …P 3，3，3 .,■2 2 1^答案：3，3, 37. 如图，在棱长为 1的正方体 ABCDABCD 中，E, F 分别是 DD, BD 的中点，G 在棱CD1上，且CG^-CD H 为CG 的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E, F , G H 的坐标.4解：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 所在直线为z 轴建立空间 直角坐标系.•••点E 在z 轴上，且为 DD 的中点, 故点E 坐标为\0, 0, 11 过 F 作 FM L AD FN 丄 DC 则 | FM = | FN | =-,故点F 坐标为2，1，0 .<2 2〕因为点G 在y 轴上,过H 作HK 丄CG 于点K 由于H 为CG 的中点,1 1 故|HK = 2, |CK = 8.3又I GD =4,故点G 坐标为答案:0,37 8，探究应用题8 •依次连接四点 A , B, C, D 构成平行四边形 ABCD 且已知 A (4,1,3) , B (2 , - 5,1),C (3,7，- 5)，求顶点D 的坐标.解：设线段 AC 与 BD 的交点为 M 设点M 的坐标为 Mx i , y i , z i )，点D 的坐标为D (x 2, y 2,Z 2)，由M 既是线段 AC 的中点，也是线段 BD 的中点，得 x i = 7 y i = 4, z i =- 1,X 2= 5, y 2= i3, Z 2=— 3. •••顶点D 的坐标为(5,i3 , — 3).2 +X 2 2 7 — 5+ y 2_2，2= 4, i + Z 2 2。
高中数学第二章第33课时空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标作业课件北师大版必修2
解析：关于x轴对称的两个点应该是x坐标相等，y坐标、z坐标互 为相反数，得点(－2,2,3)关于x轴对称的点的坐标是(－2，－2，－3)．
5．设x，y为任意实数，相应的所有点P(x，y，－1)表示的图 形是( C )
2．长方体ABCD－A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图 所示，且AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则平面DD1C1C上的点的坐标 形式是( B )
A．(0，－2，－1) B．(x，－2，z) C．(－3，－2，－1) D．(－3，y，z)
解析：平面DD1C1C平行于平面xOz，且与平面xOz的距离为 2，平面DD1C1C上任意一点的纵坐标都是－2，而横坐标和竖坐标 可取任意实数．
③点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；
④点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2，－3)．
其中正确说法的个数是( A )
A．2
B．3
C．4
D．1
解析：①显然正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2， －3)，故②错误；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－ 2，－3)，故③错误；④显然正确．
A．一定在xOy平面上 B．一定在yOz平面上 C．一定在xOz平面上 D．可能在xOz平面上
解析：因为x>y>z且x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0，y有可能为 0，所以M点可能在xOz平面上．
7．关于空间直角坐标系O－xyz中的一点P(1,2,3)有下列说 法：
①OP的中点坐标为12，1，32； ②点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；
第二章 解析几何初步
§3 空间直角坐标系 第33课时 空间直角坐标系的建立、空间直角
(北师大版)高中数学必修2检测2.3.1-2空间直角坐标系的建立 空间直角坐标系中点的坐标 Word版含解析
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．下列说法：①在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定可记为(，，)；②在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标一定可记为(，，)；③在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定可记为(，)；④在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标一定可记为(，)．其中，正确的个数是( )．．．．解析：由定义可知，在轴上的点(，，)，有＝＝，所以点的坐标可记为()，故①错，②③④正确，故选.答案：.如图，在空间直角坐标系中，点(，，)，过点作平面的垂线，则垂足的坐标为( )．(，，)．(，，)．(，，)．(，)解析：点在平面上，＝，其余不变，∴(，，)．答案：．在空间直角坐标系中()，(－)两点的位置关系是( )．关于平面对称．关于轴对称．以上都不对．关于坐标原点对称解析：∵、两点对应的横坐标互为相反数，∴、关于平面对称．答案：．如图，在正方体－中，棱长为，是上的点，且＝，则点的坐标为( )．．()．解析：∵＝，∴＝＝.又在上，∴的坐标为.答案：二、填空题(每小题分，共分)．在空间直角坐标系中，点的坐标是()，则点关于轴对称的点在坐标平面上的射影的坐标为．解析：点关于轴对称点为(－，－)，在上的射影的坐标为，即(－，－)．答案：(－，－)．以正方体－的棱、、所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱中点坐标为．答案：三、解答题(每小题分，共分)．已知－为正四棱锥，为底面中心，＝，＝，试建立空间直角坐标系，并求出各顶点的坐标．解析：因为所给几何体为正四棱锥，其底面为正方形，对角线相互垂直，故以为原点，互相垂直的对角线、所在直线为轴、轴，为轴建立如图所示坐标系．∵正方形边长＝，∴＝＝＝＝，又∵＝.∴(，－，)，(，)，(，，)，(－，)，()．．已知为平行四边形，且()，(，－)，(，－)，求点的坐标．解析：∵为平行四边形，且()，(，－)，∴线段的中点坐标为.设点的坐标为(，，)，则对角线的中点坐标也为.∴(\\((＋)＝(),(－)＝,(＋)＝－))，解得(\\(＝＝＝－)).。
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双基限时练(二十八)
一、选择题
1．点(0,1,0)在空间直角坐标系中的位置是在()
A．x轴上B．y轴上
C．z轴上D．xOy平面上
答案 B
2．点A(3,1,2)在x轴上的射影的坐标为()
A．(3,0,2) B．(3,0,0)
C．(0,1,2) D．(3,1,0)
解析x轴上的点的坐标为(a,0,0)的形式．
答案 B
3．xOy平面内的点的坐标的特点是()
A．竖坐标为0 B．横、纵坐标均为0
C．横坐标为0 D．横、纵、竖坐标均不为0 答案 A
4．已知点A(x,5,6)关于原点的对称点为(－2，y，z)，则P(x，y)在平面直角坐标系的()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析由题可知，x＝2，y＝－5，z＝－6，故(x，y)在第四象限．答案 D
5．已知P(1,3，－1)关于xOz面对称点为P′，P′关于y轴对称的点为P″，则P″的坐标为()
A．(1，－3，－1) B．(－1，－3,1)
C．(1，－3,1) D．(－1,3,1)
解析 P ′(1，－3，－1)，P ″(－1，－3,1)．
答案 B
6．给出下列叙述：
①在空间直角坐标系中，x 轴上的点的坐标可记为(0，b,0)； ②在空间直角坐标系中，yOz 平面上的点的坐标可记为(0，b ，c )； ③在空间直角坐标系中，z 轴上的点的坐标为(0,0，c )；
④在空间直角坐标系中，xOz 平面上的点的坐标可记为(a,0，c )． 其中叙述正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析 ②③④正确，①错误．
答案 C
二、填空题
7．点A (0,1,2)与点B (0,3,0)在空间直角坐标系中的位置都比较特殊，点A 在________上，点B 在________上．
答案 yOz 面 y 轴
8．在平面直角坐标系中，△ABC 三点的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)，C (x 3，y 3)，其中重心坐标G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33，那么在空间直角坐标系中，三角形ABC 三点的坐标分别为A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，C (x 3，y 3，z 3)，其重心坐标为________．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33，z 1＋z 2＋z 33 9．设y ，z 为任意实数，相应的所有点P (－1，y ，z )的集合是________．
答案 过点(－1,0,0)与平面yOz 平行的平面
三、解答题
10．已知点P的坐标为(3,4,5)，试在空间直角坐标系中作出点P.
解由P(3,4,5)可知点P在Ox轴上的射影为A(3,0,0)，在Oy轴上的射影为B(0,4,0)，以OA、OB为邻边的矩形OACB的顶点C是点P在xOy坐标平面上的射影，坐标为(3,4,0)．过C作直线垂直于xOy 坐标平面，并在此直线的xOy平面上方截取5个单位，得到的就是点P.
11．V—ABCD为正四棱锥，O为底面中心，AB＝2，VO＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标．
解以底面中心O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．∴V在z轴正半轴上，且|VO|＝3，它的横坐标与纵坐标都是零，∴点V的坐标是(0,0,3)．
而A，B，C，D都在xOy平面上，
∴它们的竖坐标都是零．又|AB|＝2，
可得A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)．
(注本题答案不唯一)
12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求E，F点的坐标．
解 解法1：如图，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，E 点在xOy 面上的投影为B (1,0,0)，
∵E 点的竖坐标为12，
∴E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，0，12. ∵F 在xOy 面上的投影为BD 的中点G ，竖坐标为1，
∴F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12，1. 解法2：如解法1所建空间直角坐标系．
∵B 1(1,0,1)，D 1(0,1,1)，B (1,0,0)，
且E 为BB 1的中点，F 为B 1D 1的中点，
∴E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12
，0＋02，1＋02＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12， F 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋02，0＋12，1＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1. 思 维 探 究
13．依次连接四点A ，B ，C ，D 构成平行四边形ABCD ，且已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，求顶点D 的坐标．
解 设线段AC 与BD 的交点为M ，设点M 的坐标为M (x 1，y 1，
z 1)，点D 的坐标为D (x 2，y 2，z 2)，由M 既是线段AC 的中点，也是
线段BD 的中点，得x 1＝72，y 1＝4，z 1＝－1，
又2＋x 22＝72，－5＋y 22＝4，1＋z 22＝－1， ∴x 2＝5，y 2＝13，z 2＝－3. ∴顶点D 的坐标为(5,13，－3)．。