七年级数学平行线的性质同步练习题(一)
2022-2023学年人教版七年级数学下册《5-3平行线的性质》同步练习题(附答案)
2022-2023学年人教版七年级数学下册《5.3平行线的性质》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，AB∥EC，则下列结论正确的是（）A．∠A＝∠ECD B．∠A＝∠ACE C．∠B＝∠ACE D．∠B＝∠ACB 2．如图，已知AB∥EF，DE∥BC，则与∠1相等的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．20°B．30°C．45°D．50°4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°5．如图，直线a∥b，直线c与a、b相交，∠1＝55°，则∠2＝（）6．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（）A．112°B．110°C．108°D．106°7．如图，直线a，b，a∥b，点C在直线b上，∠DCB＝90°，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°8．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是66°，第二次拐弯处的角是∠B，第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B是（）A．87°B．93°C．39°D．109°9．一艘轮船从A港出发，沿着北偏东63°的方向航行，行驶至B处时发现前方有暗礁，所以转向北偏西27°方向航行，到达C后需要把航向恢复到出发时的航向，此时轮船航行的航向向顺时针方向转过的度数为（）10．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（）A．40°B．43°C．45°D．47°二．填空题（共6小题）11．如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点B，∠ABE＝150°，则∠A为．12．如图，AB∥DE，FC⊥CD于点C，∠ABC＝107°，∠CDE＝130°，点G在BC的延长线上，则∠FCG的度数是．13．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1＝45°，则∠2＝．14．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A＝60°），按如图所示放置，若∠1＝55°，则∠2的度数为．15．如图，已知l1∥l2，直线l与l1、l2相交于C、D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1＝130°，则∠2＝．16．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是度．三．解答题（共6小题）17．如图：已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，求∠BCD的度数．18．如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1＝∠2＝60°．（1）AB与DE平行吗？请说明理由；（2）若DC是∠NDE的平分线．①试说明∠ABC＝∠C；②试说明BD是∠ABC的平分线．19．如图所示，已知AB∥CD，分别探讨下面四个图形中，∠APC，∠P AB与∠PCD的关系．20．如图所示，直线a∥b，AC丄AB，AC交直线b于点C，∠1＝60°，求∠2的度数．21．如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2，求证：∠E＝∠F．22．如图，已知AB∥ED，∠C＝90°，∠ABC＝∠DEF，∠D＝130°，∠F＝100°，求∠E的大小．参考答案一．选择题1．解：∵AB∥EC，∴∠A＝∠ACE，∠B＝∠ECD．故选：B．2．解：如图所示，与∠1相等的角有∠B、∠DEF、∠EFC共3个，故选：C．3．解：∵直线m∥n，∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+20°＝50°，故选：D．4．解：∵CD∥AB，∠ACD＝40°，∴∠A＝∠ACD＝40°，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝50°．故选：B．5．解：∵a∥b，∴∠1＝∠3，∵∠1＝55°，∴∠3＝55°，又∵∠2＝∠3，∴∠2＝55°，故选：A．6．解：∵∠AGE＝32°，∴∠DGE＝148°，由折叠可得，∠DGH＝∠DGE＝74°，∵AD∥BC，∴∠GHC＝180°﹣∠DGH＝106°，故选：D．7．解：∵∠1＝70°，∠1与∠3是对顶角，∴∠3＝∠1＝70°．∵a∥b，点C在直线b上，∠DCB＝90°，∴∠2+∠DCB+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠DCB＝180°﹣70°﹣90°＝20°．故选：A．8．解：如图：过B作直线b平行于拐弯之前的道路a，由平行线的传递性得a∥b∥c，∵a∥b，∴∠A＝∠1＝66°，∵b∥c，∴∠2＝180°﹣∠C＝180°﹣153°＝27°，∴∠ABC＝∠1+∠2＝66°+27°＝93°．故选：B．9．解：根据题意，得AE∥BF，AM∥CN；∠A＝63°，∠FBC＝27°．∵AE∥BF，∴∠1＝∠A＝63°．∵AM∥CN，∴∠DCN＝∠DBM＝∠1+∠FBC＝63°+27°＝90°．故选：C．10．解：方法1：如图，∵∠1＝47°，∠4＝45°，∴∠3＝∠1+∠4＝92°，∵矩形对边平行，∴∠5＝∠3＝92°，∵∠6＝45°，∴∠2＝180°﹣45°﹣92°＝43°．方法2：如图，作矩形两边的平行线，∵矩形对边平行，∴∠3＝∠1＝47°，∵∠3+∠4＝90°，∴∠4＝90°﹣47°＝43°∴∠2＝∠4＝43°．故选：B．二．填空题11．解：∠ABC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣150°＝30．∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC＝30°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠BCD＝60°．∴∠A＝180°﹣∠ACD＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．12．解：过点C作CH∥AB∴∠GCH＝∠ABC＝107°∴∠HCD+∠CDE＝180°∴∠HCD＝180°﹣130°＝50°∴∠GCD＝∠GCH﹣∠HCD＝107°﹣50°＝57°∴∠FCG＝90°﹣57°＝33°．故答案为33°．13．解：∵直线a∥b，∠1＝45°，∴∠3＝45°，∴∠2＝180°﹣45°＝135°．故答案为：135°．14．解：∵∠1＝55°，∠A＝60°，∴∠3＝∠4＝65°，∵a∥b，∴∠4+∠2＝180°，∴∠2＝115°．故答案为：115°．15．解：∵∠1＝130°，∴∠3＝50°，又∵l1∥l2，∴∠BDC＝50°，又∵∠ADB＝30°，∴∠2＝20°，故答案为：20°．16．解：如图2，AB∥CD，∠AEC＝90°，作EF∥AB，则EF∥CD，所以∠1＝∠AEF，∠2＝∠CEF，所以∠1+∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠AEC＝90°．故答案为90．三．解答题17．解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∠CDE＝130°，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．18．解：（1）AB∥DE，理由如下：∵MN∥BC，（已知）∴∠ABC＝∠1＝60°．（两直线平行，内错角相等）又∵∠1＝∠2，（已知）∴∠ABC＝∠2．（等量代换）∴AB∥DE．（同位角相等，两直线平行）；（2）①∵MN∥BC，∴∠NDE+∠2＝180°，∴∠NDE＝180°﹣∠2＝180°﹣60°＝120°．∵DC是∠NDE的平分线，∴∠EDC＝∠NDC＝∠NDE＝60°．∵MN∥BC，∴∠C＝∠NDC＝60°．∴∠ABC＝∠C．②∠ADC＝180°﹣∠NDC＝180°﹣60°＝120°，∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°．∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝120°﹣90°＝30°．∵MN∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝30°．∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC．∴BD是∠ABC的平分线．19．解：图1：∠APC＝∠P AB+∠PCD．理由：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD（平行线的传递性），∴∠1＝∠A，∠2＝∠C，∴∠APC＝∠1+∠2＝∠P AB+∠PCD，即∠APC＝∠P AB+∠PCD；图2：∠APC+∠P AB+∠PCD＝360°．理由：过点P作PE∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD（平行线的传递性），∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，∴∠APC+∠P AB+∠PCD＝360°；图3：∠APC＝∠PCD﹣∠P AB．理由：延长DC交AP于点E．∵AB∥CD，∴∠1＝∠P AB（两直线平行，同位角相等）；又∵∠PCD＝∠1+∠APC，∴∠APC＝∠PCD﹣∠P AB；图4：∴∠P AB＝∠APC+∠PCD．理由：∵AB∥CD，∴∠1＝∠P AB（两直线平行，内错角相等）；又∵∠1＝∠APC+∠PCD，∴∠P AB＝∠APC+∠PCD．20．解：∵AC丄AB，∴∠BAC＝90°，∵∠1＝60°，∴∠B＝180°﹣∠1﹣∠BAC＝30°，∵a∥b，∴∠2＝∠B＝30°．21．证明：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1＝∠2（已知），∴∠FP A＝∠EAP，∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行）．∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．22．解：延长DC、AB交于G，∵ED∥AB，∠D＝130°，∴∠G＝50°，又∵∠BCD＝90°，∠BCD＝∠G+∠CBG，∴∠CBG＝40°，∴∠ABC＝140°，∴∠E＝∠ABC＝140°．。
七上数学每日一练：平行线的性质练习题及答案_2020年综合题版
七上数学每日一练：平行线的性质练习题及答案_2020年综合题版答案解析2020年七上数学：图形的性质_相交线与平行线_平行线的性质练习题1.(2019南关.七上期末)（1） 感知：如图①，若AB ∥CD ，点P 在AB 、CD 内部，则∠P 、∠A 、∠C 满足的数量关系是．（2） 探究：如图②，若AB ∥CD ，点P 在AB 、CD 外部，则∠APC 、∠A 、∠C 满足的数量关系是．请补全以下证明过程：证明：如图③，过点P 作PQ ∥AB∴∠A ＝∵AB ∥CD ，PQ ∥AB∴∥CD∴∠C ＝∠∵∠APC ＝∠﹣∠∴∠APC ＝（3） 应用：① 如图④，为北斗七星的位置图，如图⑤，将北斗七星分别标为A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，其中B 、C 、D 三点在一条直线上，AB ∥EF ，则∠B 、∠D 、∠E 满足的数量关系是．② 如图⑥，在（1）问的条件下，延长AB 到点M ，延长FE 到点N ，过点B 和点E 分别作射线BP 和EP ，交于点P ，使得B D 平分∠MBP ，EN 平分∠DEP ，若∠MBD ＝25°，则∠D ﹣∠P ＝°．考点： 角的平分线;平行线的性质;2.(2019德惠.七上期末) 三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C 按如图方式叠放在一起，当0°＜∠ACE ＜90°且点E 在直线AC 的上方时，解决下列问题：（友情提示：∠A ＝60°，∠D ＝30°，∠B ＝∠E ＝45°）．答案解析答案解析答案解析（1） ①若∠DCE ＝45°，则∠ACB 的度数为；②若∠ACB ＝140°，则∠DCE 的度数为；（2） 由（1）猜想∠ACB 与∠DCE 的数量关系，并说明理由．（3） 这两块三角板是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE 的角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．考点： 角的运算;平行线的性质;3.(2019宽城.七上期末) （探究）如图①，∠AFH 和∠CHF 的平分线交于点O ，EG 经过点O 且平行于FH ，分别与AB 、C D交于点E 、G ．（1） 若∠AFH ＝60°，∠CHF ＝50°，求∠EOF 与∠FOH 的度数．（2） 若∠AFH+∠CHF ＝100°，求∠FOH 的度数．（3） 如图②，∠AFH 和∠CHI 的平分线交于点O ，EG 经过点O 且平行于FH ，分别与AB 、CD 交于点E 、G ．若∠AFH +∠CHF ＝α，直接写出∠FOH 的度数．(用含a 的代数式表示)考点： 角的平分线;平行线的性质;三角形内角和定理;4.(2018平.七上期末) 如图，已知AB ∥CD ，∠B=40°，CN 是∠BCE 的平分线CM ⊥CN ．（1） 求∠BCE 的度数；（2） 求∠BCM 的度数．考点： 角的平分线;平行线的性质;5.(2018孟津.七上期末) 如图（1），AB ∥CD ，试求∠BPD 与∠B 、∠D 的数量关系，说明理由．（1） 填空：解：过点P 作EF ∥AB ，答案解析∴∠B+∠BPE=180°∵AB ∥CD ，EF ∥AB∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∠EPD+=180°∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°∴∠B+∠BPD+∠D=360°（2） 依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB ∥CD ，猜想图中的∠BPD 与∠B 、∠D 的数量关系，并说明理由．（3） 观察图（3）和（4），已知AB ∥CD ，直接写出图中的∠BPD 与∠B 、∠D 的数量关系，不用说明理由．考点： 平行线的性质;平行公理及推论;2020年七上数学：图形的性质_相交线与平行线_平行线的性质练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。
数学七年级下学期第03讲 平行线的性质(1)
第03讲平行线的性质（核心考点讲与练）平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．考点一：平行线的性质【例题1】（2021秋•宜宾期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°【变式训练1】（（2020秋•宁波期末）如图，已知AB∥CD，则下列结论中正确的是（）A．∠EAD＝∠ABC B．∠BAC＝∠DCA C．∠ADB＝∠DBC【变式训练2】（（2021•浙江模拟）如图，三根木条相交形成∠1，∠2，∠3，∠4（∠1为锐角）固定木条b，c，转动木条a，则可能和∠1相等的角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．不存在【变式训练3】（（2021秋•鄞州区月考）如图，AB∥CD，∠A＝25°，∠E＝80°，则∠C的度数是．【变式训练4】（（2020秋•温州期末）一副直角三角板，按如图方式叠放在一起，其中∠A＝45°，∠D＝30°．若DF∥BC，则∠AGE等于．【变式训练5】（（2021秋•温州月考）已知：如图，直线m∥n，将Rt△ABC按如图方式放置，其中点C在直线n上，点A在直线m上，若∠1＝50°，则∠2的度数为．【变式训练6】（（2021春•上虞区期末）如图，将直角三角板ABC与直尺贴在一起，使三角板ABC的直角顶点C在直尺的一边上，若∠1＝63°，则∠2的度数为．【变式训练7】（（2021秋•琼海期末）一副三角板摆放如图所示，斜边FD与直角边AC相交于点E，点D在直角边BC上，且FD∥AB，∠B＝30°，则∠ADB的度数是（）A．95°B．105°C．115°D．125°【变式训练8】（（2021•浙江模拟）如图，将一副直角三角板按如图所示位置摆放，∠A＝∠FDE＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，点D在边AC上，若EF∥BC，则∠ADE的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．80°【变式训练9】（（2021•义乌市模拟）如图，一辆汽车经过两次转弯后，行驶的方向与原来保持平行，如果第一次转过的角α为64°，则第二次转过的角β为°．【变式训练10】（（2020秋•柯桥区期末）如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l．在△ABC中，若∠BOC＝125°，则∠BAC的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【变式训练11】（（2021秋•平阳县期中）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成，在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行．当∠EFH＝65°，BC∥EF时，∠ABC＝度；如图3，为了参与另外一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝68°，则这时∠ABC＝度．【变式训练12】（（2021春•嵊州市期末）如图，AB∥CD，∠BOC＝100°，BE，CF分别平分∠ABO，∠OCD，则∠2﹣∠1＝．【变式训练13】（（2021春•嵊州市期末）如图，将长方形纸片沿EB，CF折叠成图1，使AB，CD 在同一直线上，再沿BF折叠成图2，使点D落在点D'处，BD'交CF于点P，若∠CEB＝37°，则∠CPB的度数为（）A．110°B．111°C．112°D．113°【变式训练14】（（2021春•诸暨市期末）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝25°，∠FED＝65°，则∠GFH＝．考点二：平行线的判定与性质【例题2】（2021春•浦江县期末）如图是小聪同学的作业，在※处填的理由是（）如图，∠A+∠D＝180°，则∠DCE＝∠B．完成下面的说理过程．解：已知∠A+∠D＝180°，根据（同旁内角互补，两直线平行），得AB∥CD又根据（※）得∠DCE＝∠BA．两直线平行，同位角相等B．两直线平行，内错角相等C．两直线平行，同旁内角互补D．同位角相等，两直线平行【变式训练1】（2021春•拱墅区期末）如图，能判定BE∥CD的条件是（）A．∠BAD+∠2＝180°B．∠1＝∠BC．∠BAD+∠B＝180°D．∠1＝∠D【变式训练2】（2021春•拱墅区期末）如图，已知直线AB，CD被EF所截，EG是∠AEF的角平分线，若∠1＝∠2，∠2+∠4＝120°，则∠3＝．【变式训练3】（2021春•镇海区期中）如图，∠1＝∠2＝∠3＝55°，求∠4的度数．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．解：∵∠1＝∠2＝55°（已知），∴∥（），∴∠3+∠4＝180°（），∵∠3＝55°（已知），∴∠4＝．【变式训练4】（2021春•鹿城区校级期中）如图，已知a，b，c，d四条直线，若∠1＝105°，∠2＝75°，∠3＝65°，则∠4＝度．【变式训练5】（2021•金华）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（）如图，已知直线l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4．请完成下面的说理过程．解：已知∠1＝∠2，根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2．再根据（※），得∠3＝∠4．A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，同旁内角互补【变式训练6】（2021•椒江区校级开学）如图，AD与BC交于点O，点E在AD上，∠C＝∠3，∠2＝80°，∠1+∠3＝140°，∠A＝∠D，求∠B的度数．【变式训练7】（2021春•嵊州市期末）如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E．（1）若∠1＝∠A，判断DF与AC是否平行，并说明理由；（2）若DF∥AC，∠B+∠C＝120°，求∠1的度数．【变式训练8】（2021春•任丘市期末）如图，直线l1，l2被l3所截，下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③l1∥l2，其中能判断AC∥BD的条件是．【变式训练9】（2021•温州三模）如图，已知AB⊥BC，DE⊥AB，∠1＝∠2．（1）请说明BD∥FG的理由．（2）若D是AC的中点，F是BC的中点，已知AB＝4，BC＝3，求FG的长度．【变式训练10】（2021春•长兴县月考）如图，已知CF∥AG，E是直线AB上的一点，CE平分∠ACD，射线CF⊥CE，∠2＝58°．（1）求∠ACE的度数；（2）若∠1＝32°，说明：AB∥CD．类型一、平行线的性质例1、如图，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数.【变式】如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（）A．132° B．134° C．136° D．138°类型二、两平行线间的距离例2、如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由．【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是厘米.类型三、平行的性质与判定综合应用例3、如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．【变式】如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为 ( )A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m2例4、如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，下面给出三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填人“试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来．已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，________，________，试说明________．【变式】已知，如图，∠1=∠2，∠3=65°，则∠4＝ .例5、如图，AB∥CD，点M，N分别为AB，CD上的点.（1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，则∠MP1N＝；（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1 P2N与∠MP1 P2+∠P2ND的关系，并证明你的就论；（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB平行，直接写出你得到的就论.【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是( )A．120° B．130° C．140° D．150°题组A 基础过关练一．选择题（共6小题）1．（2021春•上虞区期末）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，设∠1为x度，用关于x的代数式表示α，则表示正确的是（）A．α＝120°﹣x B．α＝90°﹣x C．α＝60°+x D．α＝45°+x2．（2021春•北仑区期末）如图，平行直线a，b被直线c所截，∠1＝120°，则∠2的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°3．（2021春•西湖区期末）如图，直线a与直线b被直线c所截，b⊥c，垂足为点A，∠1＝60°，若使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针旋转（）分层提分A．60°B．40°C．30°D．20°4．（2021春•拱墅区期中）下列语句中正确的是（）A．经过一点有只有一条直线与已知直线平行B．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等C．垂直于同一直线的两条直线互相平行D．平行于同一条直线的两条直线互相平行5．（2020•奎文区一模）如图，若∠A+∠ABC＝180°，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠4 C．∠1＝∠3 D．∠2＝∠3 6．（2020春•曹县期末）如图，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠DFE C．∠1＝∠AFD D．∠2＝∠AFD二．填空题（共6小题）7．（2021春•拱墅区期末）如图，AB∥CD，CB∥DE，若∠D＝2∠B+30°，则∠C的度数为°．8．（2021春•镇海区校级期末）如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠A＝60°，∠B＝76°，则∠EDC的度数为．9．（2021•宁波模拟）如图，AB⊥CD于点B，BE∥AC，∠DBE＝40°，则∠A的度数为度．10．（2021•江干区模拟）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝35°，∠EFC＝120°，则∠A＝．11．（2020春•如皋市期末）如图，已知∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝70°，则∠4＝．12．（2020春•下城区期末）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4＝．三．解答题（共8小题）13．（2021春•宁阳县期末）如图，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝82°，∠B＝48°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．14．（2019春•鹿城区校级期中）如图，已知AB∥CD，∠B＝60°，∠FCG＝90°，CF平分∠BCE，求∠BCG的度数．15．（2018春•椒江区校级月考）如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，求∠2的度数．16．（2021春•嘉兴期末）如图，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°．（1）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；（2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度数．17．（2021春•慈溪市期末）如图，已知AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，说明AD∥BC的理由．18．（2021春•双辽市期末）如图所示，AD与BE相交于点F，∠A＝∠C，∠1与∠2互补．证明：AB∥CE．19．（2021春•鹿城区校级期中）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠4＝∠A，试说明∠ACB＝∠DEB．解：∵∠1+∠2＝180°（已知），又∵+∠5＝180°（平角的意义），∴∠2＝（同角的补角相等），∴AB∥EF（），∴∠3＝（两直线平行，内错角相等）．∵∠4＝∠A（已知），∴＝∠A（等量代换），∴∥AC（），∴∠ACB＝∠DEB（）．20．（2021春•拱墅区期中）如图，FG∥CD，∠1＝∠3，∠B＝60°，求∠BDE的度数，请把下面的解答过程补充完整．解：∵FG∥CD（已知），∴∠1＝（）．又∵∠1＝∠3（已知），∴∠3＝（），∴BC∥（），∴∠B+ ＝180°（）．又∵∠B＝60°（已知），∴∠BDE＝（）．题组B 能力提升练一．选择题（共7小题）1．（2021春•浦江县期末）如图，AD∥BE，AC与BC相交于点C，且∠1＝∠DAB，∠2＝∠EBA．若∠C＝45°，则n＝（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2021春•椒江区期末）如图，BD为∠ABC的角平分线，AD∥BC，∠BDC＝90°，∠A与∠C的数量关系为（）A．∠A+∠C＝180°B．∠A＝2∠CC．∠A﹣∠C＝90°D．∠A+∠C＝90°3．（2021春•望城区期末）将一个直角三角板和一把直尺按如图所示摆放，若∠1＝35°，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．50°D．55°4．（2021•启东市模拟）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝44°，则∠AEF等于（）A．136°B．102°C．122°D．112°5．（2021春•奉化区校级期末）如图，将一副三角板如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝45°，则有BC∥AE；③如果∠2＝30°，则有DE∥AB；④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．其中正确的有（）A．①②B．①③C．①②④D．①③④6．（2021春•奉化区校级期末）如图，已知GF⊥AB，∠1＝∠2，∠B＝∠AGH，则下列结论：①GH∥BC；②∠D＝∠F：③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2021春•奉化区校级期末）如图，小明用两块同样的三角板，按下面的方法作出了平行线，则AB∥CD的理由是（）A．∠2＝∠4 B．∠3＝∠4C．∠5＝∠6 D．∠2+∠3+∠6＝180°二．填空题（共9小题）8．（2021•深圳模拟）将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝42°，那么∠BAF的度数为．9．（2020秋•奉化区校级期末）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上，若∠1＝55°，则∠2的度数是．10．（2020春•东阳市期末）已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为；（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为秒时，PB′∥QC′．11．（2021秋•平阳县期中）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB，EF与上拉杆CF形成的∠F＝150°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB＝40°时，点H，D，B在同一直线上，则∠H的度数是．12．（2020春•海曙区期末）两块不同的三角板按如图所示摆放，两个直角顶点C重合，∠A＝60°，∠D＝45°．接着保持三角板ABC不动，将三角板CDE绕着点C旋转，但保证点D在直线AC 的上方，若三角板CDE有一条边与斜边AB平行，则∠ACD＝．13．（2021春•滨江区校级期末）如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D 分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝°．14．（2021春•奉化区校级期末）如图，C为∠AOB的边OA上一点，过点C作CD∥OB交∠AOB的平分线OE于点F，作CH⊥OB交BO的延长线于点H，若∠EFD＝α，现有以下结论：①∠COF＝α；②∠AOH＝180°﹣2α；③CH⊥CD；④∠OCH＝2α﹣90°．其中正确的是（填序号）．15．（2021春•奉化区校级期末）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ ∥MN．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动秒，两灯的光束互相平行．16．（2021春•奉化区校级期末）如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A＝α，则∠BDF＝．其中正确的有．（把你认为正确结论的序号都填上）三．解答题（共9小题）17．（2021春•温州期末）如图，AB∥CD，E是CD上一点，AE交BC于点F，且∠ABE＝∠DBC，∠ABC ＝∠AEB．（1）试判断AE与BD的位置关系，并说明理由；（2）若BE平分∠CBD，∠AEB＝40°，求∠D的度数．18．（2021春•诸暨市月考）推理填空：如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°．将求∠AGD的过程及依据填写完整．∵EF∥AD，∴∠2＝（），又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3（），∴AB∥（），∴∠BAC+ ＝180°（），∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝．19．（2021春•鹤城区期末）如图，E，G是分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，如果AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）判断AD与EF的位置关系，并说明理由；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝145°，求∠B的度数．20．（2021春•拱墅区月考）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∥BC；（2）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．21．（2021春•奉化区校级期末）如图，∠ABC和∠BCD的平分线交于点P，延长CP交AB于点Q，且∠PBC+∠PCB＝90°．（1）求证：AB∥CD．（2）探究∠PBC与∠PQB的数量关系．22．（2021春•奉化区校级期末）如图，D、E、F分别在△ABC的三条边上，DE∥AB，∠1+∠2＝180°．（1）DF与AC平行吗？请说明理由．（2）若∠1＝110°，DF平分∠BDE，求∠C的度数．23．（2020秋•北仑区期末）如图1，点O在直线AB上，过点O引一条射线OC，使∠AOC＝50°，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，直角边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O以每秒15°的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．（1）∠BOC的度数是，图1中与它互补的角是．（2）三角尺旋转的度数可表示为（用含t的代数式表示）：当t＝时，MO⊥OC．【操作二】：如图2将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线OC上．如图3，在三角尺绕着点O以每秒15°的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O以每秒5°的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转，设旋转的时间为t秒．（3）当t为何值时，OM⊥OE，并说明理由？（4）试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，当0≤t≤，是否存在某个时刻，使得∠COM 与∠COE中其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由．24．（2021春•诸暨市期末）如图，直线FG∥直线HK，一块三角板的顶点A在直线HK上，边BC、AC 分别交直线FG于D、E两点．∠BAC＝60°，∠B＝90°，∠C＝30°．（1）如图1，∠BAH＝40°，则：①∠FDB＝°；②若∠CDE与∠CAK的角平分线交于点I，则∠I＝°．（2）如图2，点I在∠EDC的平分线上，连接AI，且∠CAI：∠KAI＝1：3，若∠I＝35°，求∠FDB的度数；（3）如图3，若∠CDI：∠GDI＝1：n，∠CAI：∠KAI＝1：n，则∠I＝°（用含n的式子表示）．25．（2021春•嵊州市期末）如图，直线AB、CD被DQ所截，AB∥CD，∠BDC＝50°，点E是直线CD上的动点（点E与点D不重合），连结BE，作∠ABE的角平分线交直线CD于点F．（1）如图1，点E在点D左侧，若∠DBE＝20°，求∠EBF的度数．（2）射线BG平分∠EBQ．①如图2，点E在点D左侧，求∠FBG的度数．②若F′是BF反向延长线上的一点，求∠F′BG的度数．题组C 培优拔尖练一．解答题（共8小题）1．（2020秋•罗湖区校级期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．2．（2021春•临邑县期末）如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．3．（2021春•河北区期末）如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．（1）试说明：AB∥CD；（2）若∠2＝35°，求∠BFC的度数．4．（2021春•饶平县校级期末）如图，AE∥CF，∠A＝∠C．（1）若∠1＝35°，求∠2的度数；（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由；（3）若AD平分∠BDF，试说明BC平分∠DBE．5．（2020春•九龙坡区期末）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．6．（2021春•越城区期末）如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．（1）求证∠APB＝∠DAP+∠FBP；（2）利用（1）的结论解答：①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你直接写出∠P与∠P1的数量关系是．②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝80°，则∠AP2B的度数是．7．（2021春•奉化区校级期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．8．（2018春•金华期中）为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB、BC、CD、DE，做成折线ABCDE，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出．（1）如图2，小明将折线调节成∠B＝60°，∠C＝85°，∠D＝25°，判别AB是否平行于ED，并说明理由；（2）如图3，若∠C＝∠D＝25°，调整线段AB、BC使得AB∥CD，求出此时∠B的度数，要求画出图形，并写出计算过程．（3）若∠C＝85°，∠D＝25°，AB∥DE，求出此时∠B的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．。
七年级下册数学同步练习题库：平行线的性质(简答题：较难)
平行线的性质（简答题：较难）1、阅读：如图1所示，因为CE∥AB，所以∠1＝∠A，∠2＝∠B，所以∠ACD＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B，这是一个有用的事实．请用这个结论在如图2所示的四边形ABCD内过点D引一条和边AB平行的直线，求∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC的度数．2、如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，D，C分别落在D′，C′的位置上，若∠EFG＝55°，求∠1与∠2的度数．3、平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D．得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．4、如图所示，已知∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠3，求证：∠ACB＝∠AED.5、如图，若AB∥CD，在下列三种情况下探究∠APC与∠PAB，∠PCD的数量关系．（1）图①中，∠APC+∠PAB+∠PCD=；（2）图②中，；（3）图③中，写出∠APC与∠PAB，∠PCD的三者数量关系，并说明理由6、如图，已知AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC =70°.（1）求∠EDC的度数；（2）若∠ABC =n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，画出图形并判断∠BED的度数是否改变，若改变，求出它的度数（用含n的式子表示），不改变，请说明理由.7、(本题12分)如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；（2）如图2，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并说明理由；；（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，①当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由．8、课上教师呈现一个问题甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如下图：甲同学辅助线的做法和分析思路如下：（1）请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路.辅助线：___________________；分析思路：（2）请你根据丙同学所画的图形，求∠EFG的度数．9、如图所示，在△ABC中，AB =AC，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证：DE=DF．10、如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．11、（1）问题发现如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C=∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC∴∠C= ．∵EF∥AB，∴∠B= ，∴∠B+∠C= .即∠B+∠C=∠BEC．（2）拓展探究如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C=360°﹣∠BEC．（3）解决问题如图③，AB∥DC，∠C=120°，∠AEC=80°，则∠A=．（直接写出结论，不用写计算过程）12、如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠DAC=45°，OA=1，求OC的长．13、如图是小明设计的智力拼图玩具，现在小明遇到了下面两个问题，请你帮助解决.(1)如图⑴，∠D=,∠ACD=.为保证AB∥DE,∠A应等于多少度？(2)如图⑵，若GP∥HQ,则∠G,∠F, ∠H之间有什么样的关系？14、（8分）如图1，直线AB∥CD，直线l与直线AB、CD相交于点E、F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处.⑴若∠PEF=48°，点Q恰好落在其中的一条平行线上，请直接写出∠EFP的度数.⑵若∠PEF＝75°，∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数.15、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=8，CF=6，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．16、(1)如图1，若AB∥CD，则∠B＋∠D＝∠E，你能说明理由吗？(2)反之，若∠B＋∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？(3)若将点E移至图2的位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？(4)若将点E移至图3的位置，此时∠B，∠D，∠E之间的关系又如何？(5)在图4中，AB∥CD，∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D之间有何关系？17、如图所示，已知∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠3，求证：∠ACB＝∠AED.18、如图1，已知：AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，且OE⊥OF．（1）求证：∠1＋∠2＝90°；（2）如图2，分别在OE，CD上取点G，H，使FO平分∠CFG，EO平分∠AEH，求证：FG∥EH．19、（1）如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C=∠BEC．证明过程如下：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC，EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC∴∠C=∠CEF．∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF∴∠B+∠C=∠CEF+∠BEF即∠B+∠C=∠BEC．（2）如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，∠B，∠C，∠BEC又有什么关系？并证明你的结论；（3）如图③，AB∥DC，∠C=120°，∠AEC=80°，则∠A=．（写出结论，不用写计算过程）。
七年级数学上册平行线的性质综合练习题
七年级数学上册平行线的性质综合练习题在七年级数学上册中，平行线是一个非常重要的概念。
掌握平行线的性质对于解决各种数学问题至关重要。
本文将为大家提供一些关于平行线性质的综合练习题，帮助大家巩固对平行线的理解和应用。
练习题1：判断平行根据图中的线段关系，判断下列线段是否平行。
题1.1：AB与CD题1.2：EF与GH题1.3：IJ与KL练习题2：平行线的判定利用平行线的判定定理，判断下列命题是否成立。
题2.1：若两条线段的斜率相等，则它们平行。
题2.2：若两条线段的倾斜角相等，则它们平行。
题2.3：若两条线段的截距相等，则它们平行。
练习题3：平行线的性质根据平行线的性质，回答下列问题。
题3.1：若两条平行线与一条横切线相交，那么相交线与两条平行线之间的夹角关系是什么？题3.2：若两条平行线与一条横切线相交，那么相交线与所形成的平行线内部的角关系是什么？题3.3：若两条平行线与一条横切线相交，那么两条平行线之间的相应角相等。
练习题4：平行线的应用利用平行线的性质，解决下列实际问题。
题4.1：在一个长方形中，对角线互相垂直交于点O。
若AB是长方形的一条边，且与BD平行，求证：AOCD是一个平行四边形。
题4.2：已知一个梯形ABCD，且AB∥CD，AD与BC的长度相等。
若角BAD的度数为60°，求证：BCD为等腰梯形。
练习题5：平行线的证明根据给出的条件和结论，选择合适的命题证明方法，完成以下证明。
题5.1：已知AB∥CD，角ABC和角BCD互为邻补角，求证：角ABC和角BCD是等角。
题5.2：已知AB∥CD，AO是线段AB的中点，CO与BD垂直交于点O，求证：AO=OC。
练习题6：解决实际问题利用平行线的性质，解决下列实际问题。
题6.1：一条直线上有两个房子，从房子A到房子B的距离为500米，从房子B到直线的另一侧距离为200米。
已知这两条线段都与另一条平行线相交于点C，求从房子A到点C的距离。
2.3.1 平行线的性质(作业)-2020-2021学年七年级数学下(北师大版)
2.3.1 平行线的性质一、选择题。
1．一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∥1的度数为（）A．80°B．60°C．105°D．75°2．如图，AB∥CD，∥1＝65°，∥2＝35°，则∥B＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°3．如图，将直尺与含30°角的直角三角板叠放在一起，若∥1＝140°，则∥2的度数是（）A．105°B．100°C．110°D．120°4．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于A，B两点，AC∥AB于点A，交直线b于点C，如果∥1＝58°，那么∥2的度数为（）A．32°B．42°C．58°D．122°5．如图，已知直线AB∥CD，∥GEB的平分线EF交CD于点F，∥1＝30°，则∥2等于（）A．135°B．145°C．155°D．165°6．如图，AB∥DE，BC∥EF，∥B＝50°，则∥E的度数为（）A．50°B．120°C．130°D．150°二、填空题。
7．∥1的两边与∥2的两边分别平行，且∥2是∥1的余角的4倍，则∥1＝．8．如图，AB∥CD，∥A＝40°，∥C＝30°，则∥AEC的度数为°．9．如图，已知AB∥CD∥EF，∥1＝60°，∥3＝20°，则∥2＝．10．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C'，D'的位置上，EC'交AD于点G．已知∥EFG＝58°，那么∥BEG＝度．11．已知∥MON＝40°，OE平分∥MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D，设∥OAC＝x°，若AB∥ON，当x＝时，使得∥ADB中有两个相等的角．三、解答题。
七年级数学上册《第五章 平行线的性质》同步练习题及答案(华东师大版)
七年级数学上册《第五章平行线的性质》同步练习题及答案(华东师大版）班级姓名学号一、选择题1.如图，已知直线a∥b，∠1=60°，则∠2的度数是( )A.45°B.55°C.60°D.120°2.一条公路两次转弯后又回到到原来的方向(即AB∥CD，如图)，如果第一次转弯时的∠B＝140°，那么∠C应是( )A.40°B.140°C.100°D.180°3.如图，已知直线AB∥CD，当点E在直线AB与CD之间时，下列关系式成立的是( )A.∠BED＝∠ABE＋∠CDEB.∠BED＝∠ABE－∠CDEC.∠BED＝∠CDE－∠ABED.∠BED＝2∠CDE－∠ABE4.如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，则图中与∠1互余的角有( )A.4个B.3个C.2个D.1个5.如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠2＝44°，那么∠1的度数是( )A.14°B.15°C.16°D.17°6.如图，DE∥AB，∠CAE＝13∠CAB，∠CDE＝75°，∠B＝65°则∠AEB是 ( )A.70°B.65°C.60°D.55°7.如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α与∠β的3倍少36°，则∠α的度数是( )A.18°B.126°C.18°或126°D.以上都不对8.如图，DH∥EG∥BC，DC∥EF，那么与∠DCB相等的角的个数为（）A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题9.如图，a∥b，若∠1=46°，则∠2= °．10.如图，已知l1∥l2，直线l与l1，l2相交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1＝130°，则∠2＝________°.11.已知一副三角板如图1摆放，其中两条斜边互相平行，则图2中∠1＝________.12.如图，DB平分∠ADE，DE∥AB，∠CDE=80°，则∠ABD= ，∠A= ．13.如图,直线l1∥l2，∠A=125°,∠B=105°,则∠1+∠2= °．14.如图1是长方形纸袋,∠DEF=a,将纸袋沿EF折叠成图2,在沿BF折叠成图3,用表示图3中∠CFE的大小为_________三、解答题15.如图,∠1+∠2=180°,∠DAE=∠BCF,DA平分∠BDF.(1)AE与FC会平行吗?说明理由.(2)AD与BC的位置关系如何?为什么?(3)BC平分∠DBE吗?为什么.16.如图，已知AB∥CD，∠1：∠2：∠3=1：2：3.求证：BA平分∠EBF.下面给出证法1.证法1：设∠1、∠2、∠3的度数分别为x,2x,3x.∵AB∥CD∴2x+3x=180°，解得x=36°∴∠1=36°，∠2=72°，∠3=108°∵∠EBD=180°∴∠EBA=72°∴BA平分∠EBF请阅读证法1后，找出与证法1不同的证法2，并写出证明过程.17.如图，AB∥CD，若∠ABE=120°，∠DCE=35°，求∠BEC的度数．18.如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于O，AE∥OF，且∠A＝30°．(1)求∠DOF的度数；(2)试说明OD平分∠AOG．答案1.C2.B3.A4.A.5.C6.B7.C8.D9.答案为：46．10.答案为：20.11.答案为：15°.12.答案为：50°，80°．13.答案为50．14.答案为：180°﹣3α．15.解：(1)平行因为∠1+∠2=180°,∠2+∠CDB=180°(邻补角定义) 所以∠1=∠CDB所以AE∥FC( 同位角相等两直线平行)(2)平行因为AE∥CF所以∠C=∠CBE(两直线平行, 内错角相等)又∠A=∠C所以∠A=∠CBE所以AF∥BC(两直线平行,内错角相等)(3) 平分因为DA平分∠BDF所以∠FDA=∠ADB因为AE∥CF,AD∥BC所以∠FDA=∠A=∠CBE,∠ADB=∠CBD所以∠EBC=∠CBD.16.证明：∵AB∥CD∴∠2+∠3=180°∵∠1：∠2：∠3=1：2：3∴设∠1=x°，∠2=2x°，∠3=3x°∴2x+3x=180解得：x=36∴∠1=36°，∠2=72°∴∠EBA=180°-36°-72°=72°∴BA平分∠EBF．17.解：如图，延长BE交CD的延长线于点F∵AB∥CD[已知]∴∠ABE+∠EFC=180°[两直线平行，同旁内角互补]又∵∠ABE=120°，[已知]∴∠EFC=180°﹣∠B=180°﹣120°=60°，[两直线平行，同旁内角互补] ∵∠DCE=35°∴∠BEC=∠DCE+∠EFC=35°+60°=95°18.解：(1)∵AE∥OF∴∠FOB＝∠A＝30°∵OF平分∠BOC∴∠COF＝∠FOB＝30°∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝150°；(2)∵OF⊥OG∴∠FOG＝90°∴∠DOG＝∠DOF﹣∠FOG＝150°﹣90°＝60°∵∠AOD＝∠COB＝∠COF+∠FOB＝60°∴∠AOD＝∠DOG ∴OD平分∠AOG．。
北师大版初中数学七年级下册《第2章 相交线与平行线：2.3 平行线的性质》同步练习卷2020.2
北师大新版七年级下学期《2.3 平行线的性质》2020年同步练习卷一．解答题（共60小题）1．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG ＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．2．如图1，MN∥EF，C为两直线之间一点．（1）如图1，若∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，若∠ACB＝100°，求∠ADB的度数．（2）如图2，若∠CAM与∠CBE的平分线相交于点D，∠ACB与∠ADB有何数量关系？并证明你的结论．（3）如图3，若∠CAM的平分线与∠CBF的平分线所在的直线相交于点D，请直接写出∠ACB与∠ADB之间的数量关系：．3．如图1，直线AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G和点H分别是直线AB和CD上的动点，作直线GH，EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，EI与HI交于点I．（1）如图1，点G在点E的左侧，点H在点F的右侧，若∠AEF＝70°，∠CHG＝60°，求∠EIH的度数．（2）如图2，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，若∠AEF＝α，∠CHG＝β，其他条件不变，求∠EIH的度数．（3）如图3，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，∠GHC的平分线HJ交∠KEG 的平分线EJ于点J．其他条件不变，若∠AEF＝α，∠CHG＝β，求∠EJH的度数．4．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ ∥EC交射线CD于点Q，连结CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．（1）若点P，F，G都在点E的右侧．①求∠PCG的度数；②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ 的度数；若不存在，请说明理由．5．已知点D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，DF∥AC．（1）如图1，点G是线段FD延长线上一点，连接EG，∠CEG的平分线EM交AB于点M，交FD于点N．则∠A，∠AME，∠CEG之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程；（2）如图2，在（1）的条件下，若EG平分∠AED，∠AME＝35°，且∠EDF﹣∠A＝30°，求∠C的度数．6．如图1，已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD（1）求证：∠EMF＝90°．（2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：3，求∠N的度数．（3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．7．已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于H，过A作AG⊥AC交CM于G．（1）如图1，点G在CH的延长线上时，①若∠GAB＝36°，则∠MCD＝．②猜想：∠GAB与∠MCD之间的数量关系是．（2）如图2，点G在CH上时，（1）②猜想的∠GAB与∠MCD之间的数量关系还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出∠GAB与∠MCD之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP；（2）如图（2），若∠BAP＝∠BAC，∠DCP＝∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；（3）在（1）的条件下，当∠BAQ＝∠BAP，∠DCQ＝∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围．9．如图，已知直线AB∥CD．（1）在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在AB、CD之间，若∠1＝30°，∠3＝75°，则∠2＝；（2）如图2，若FN平分∠CFG，延长GE交FN于点M，EM平分∠AEN，当∠N+∠FGE＝54°时，求∠AEN的度数；（3）如图3，直线MF平分∠CFG，直线NE平分∠AEG相交于点H，试猜想∠G与∠H的数量关系，并说明理由．10．已知：如图，点A、B、C、D在同一直线上，BE∥CG，CG平分∠DCF，若∠1＝50°，求∠ABE的度数．11．如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM．（1）求证：∠ABD＝∠C；（2）如图2，在（1）问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN，①求证：∠ABF＝∠AFB；②求∠CBE的度数．12．问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．操作发现（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；结论应用（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，则∠CFG等于（用含α的式子表示）．13．如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE⊥DE．14．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝．15．已知：AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上．（1）如图（1），∠1＝∠2，∠3＝∠4．①若∠4＝36°，求∠2的度数；②试判断EM与FN的位置关系，并说明理由；（2）如图（2），EG平分∠MEF，EH平分∠AEM，试探究∠GEH与∠EFD的数量关系，并说明理由．16．已知：∠MON＝48°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°（1）如图1，若AB∥ON，则：①∠ABO的度数是°；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝°；③当∠BAD＝∠BDA时，x＝°．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．17．如图，两条射线AM∥BN，线段CD的两个端点C、D分别在射线BN、AM上，且∠A ＝∠BCD＝108°．E是线段AD上一点（不与点A、D重合），且BD平分∠EBC．（1）求∠ABC的度数．（2）请在图中找出与∠ABC相等的角，并说明理由．（3）若平行移动CD，且AD＞CD，则∠ADB与∠AEB的度数之比是否随着CD位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．18．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时，∠APB：∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数．19．如图，点C在∠AOB的边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF 于C．（1）若∠O＝40°，求∠ECF的度数；（2）试说明CG平分∠OCD；（3）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF？并说明理由．20．如图，已知CD∥AB，OE平分∠BOD，OE⊥OF，∠CDO＝62°，分别求出∠BOE，∠DOF的度数．21．生活中处处有数字，只要同学们学会数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的．（1）图1中的∠ABC的度数是多少？（2）图2中已知AE∥BC，则∠AFD的度数是多少？22．P是三角形ABC内一点，射线PD∥AC，射线PE∥AB．（1）当点D，E分别在AB，BC上时，①补全图1；②猜想∠DPE与∠A的数量关系，并证明；（2）当点D，E都在线段BC上时，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．23．已知：如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动（不与A、B两点重合）．（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，总有：∠CPD＝∠PCA+∠PDB，请说明理由；（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间有怎样的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间又有怎样的数量关系（只需直接给出结论）？24．如图，已知BC∥AD，BE∥AF．（1）请说明∠A＝∠B．（2）若∠DOB＝135°，求∠A的度数．25．已知：如图，AD∥BC，∠B＝∠D，求证：∠E＝∠F．26．如图，AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于E、F，FG⊥PQ，若∠PEB＝130°，求∠CFG的度数．27．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O．（1）若∠ABC＝66°，∠ACB＝34°，则∠A＝°，∠O＝°；（2）探索∠A与∠O的数量关系，并说明理由；（3）若AB∥CO，AC⊥BO，求∠ACB的度数．28．如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？证明你的结论．（2）当点P移动到如图（2）的位置时，∠P与∠A、∠C又有怎样的关系？请证明你的结论．29．已知△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．（1）如图1，连接CE，①若CE∥AB，求∠BEC的度数；②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．（2）若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数．30．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝116°，∠ACF＝25°，求∠FEC 的度数．31．如图，已知AB∥CD，∠B＝96°，EF平分∠BEC，EG⊥EF，求∠BEG和∠DEG的度数．32．如图，已知直线a∥b，∠3＝131°，求∠1、∠2的度数（填理由或数学式）解：∵∠3＝131°（）又∵∠3＝∠1 （）∴∠1＝（）∵a∥b（）∴∠1+∠2＝180°（）∴∠2＝（）．33．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB 于点E，PN交CD于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．34．如图，已知AB∥CD，∠1：∠2：∠3＝1：2：3，那么BA是否平分∠EBF，试说明理由．35．已知AD∥BC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE＝∠BEA．（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE＝3∠CDE，∠AED＝60°．①求证：∠ABC＝∠ADC；②求∠CED的度数．36．如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67度方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，就改变方向，由B点沿北偏东23度的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，使所修路段CE∥AB，此时∠ECB有多少度？试说明理由．37．（1）①如图1，已知AB∥CD，∠ABC＝60°，根据可得∠BCD＝°；②如图2，在①的条件下，如果CM平分∠BCD，则∠BCM＝°；③如图3，在①、②的条件下，如果CN⊥CM，则∠BCN＝°．（2）尝试解决下面问题：已知如图4，AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线，CN⊥CM，求∠BCM的度数．38．阅读理解如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．（1）阅读并补充下面推理过程解：过点A作ED∥BC∴∠B＝∠，∠C＝∠．又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°（平角定义）∴∠B+∠BAC+∠C＝180°从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．小明受到启发，过点C作CF∥AB如图所示，请你帮助小明完成解答：（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°．BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝60°，则∠BED的度数为°．②如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝n°，则∠BED的度数为°（用含n的代数式表示）39．如图，已知AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC＝70°．（1）求∠EDC的度数；（2）若∠ABC＝n°，求∠BED的度数（用含n的式子表示）；（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，画出图形并判断∠BED的度数是否改变，若改变，求出它的度数（用含n的式子表示），不改变，请说明理由．40．如图，已知AD∥BC，∠1＝∠2，求证：∠3+∠4＝180°．41．如图所示，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，求∠2的度数．42．如图，已知DE∥BC，BE平分∠ABC，∠C＝65°，∠ABC＝50°．（1）求∠BED的度数；（2）判断BE与AC的位置关系，并说明理由．43．如图，是我们生活中经常接触的小刀，由刀片和刀柄组成，在刀柄ABCD中，∠A和∠B都是直角，在刀片EFGH中，EF∥GH．转动刀片时会形成∠1、∠2，试判断∠1与∠2的度数和是一个定值吗？若是，请求出∠1与∠2的度数和；若不是，请说明理由44．如图1，对于直线MN同侧的两个点A，B，若直线MN上的点P满足∠APM＝∠BPN，则称点P为A，B在直线MN上的反射点．已知如图2，MN∥HG，AP∥BQ，点P为A，B在直线MN上的反射点，判断点B是否为P，Q在直线HG上的反射点，如果是请证明，如果不是，请说明理由．45．如图，MN∥OP，点A为直线MN上一定点，B为直线OP上的动点，在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D，使得AD⊥BD．设∠DAB＝α（α为锐角）．（1）求∠NAD与∠PBD的和；（提示过点D作EF∥MN）（2）当点B在直线OP上运动时，试说明∠OBD﹣∠NAD＝90°；（3）当点B在直线OP上运动的过程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，请求出此时α的值46．（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE、DE．求证：∠E＝∠ABE+∠CDE．（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．47．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，FH平分∠EFD，若∠FEH＝110°，求∠EHF的度数．48．如图，已知AB∥CD∥EF，∠CMA＝30°，∠CNE＝80°，CO平分∠MCN．求∠MCN，∠DCO的度数（要求有简要的推理说明）．49．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB 上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．（1）如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是°，当DP⊥OE时，x＝；②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．50．如图，已知AB∥DE，∠ABC、∠CED的平分线交于点F．探究∠BFE与∠BCE之间的数量关系，并证明你的结论．51．如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE平行直线OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于点C．（Ⅰ）若∠O＝50°，求∠ACE的度数；（Ⅱ）求证：CG平分∠OCD；（Ⅲ）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF，并说明理由．52．已知AB∥CD，解决下列问题：（1）如图①，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，若∠E＝100°，求∠P的度数．（2）如图②，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，试写出∠P与∠E的数量关系并说明理由．（3）如图③，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，设∠E＝m°，求∠P的度数（直接用含n、m的代数式表示，不需说明理由）．53．如图，AB∥CD，∠B＝120°，EF是∠CEB的平分线，FG∥HD，求∠EDH的度数．54．如图，已知直线11∥12，且13和11、12分别交于A、B两点，点P在直线AB上．（1）试说明∠1，∠2，∠3之间的关系式；（要求写出推理过程）（2）如果点P在A、B两点之间（点P和A、B不重合）运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系是否发生变化？（只回答）（3）如果点P在A、B两点外侧（点P和A、B不重合）运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系．（要求写出推理过程）55．已知，两直线AB，CD，且AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，放置一个足够大的直角三角尺，使得三角尺的两边EP，EQ分别经过点M，N，过点N作射线NF，使得∠ENF＝∠ENC．（1）转动三角尺，如图①所示，当射线NF与NM重合，∠FND＝45°时，求∠AME 的度数；（2）转动三角尺，如图②所示，当射线NF与NM不重合，∠FND＝60°时，求∠AME 的度数．（3）转动直角三角尺的过程中，请直接写出∠FND与∠AME之间的数量关系．56．问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC．（1）按照小明的思路，求∠APC的度数；（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠P AB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．57．如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线l3上有点P（点P 与点C、D不重合），点A在直线l1上，点B在直线l2上．（1）如果点P在C、D之间运动时，试说明∠1+∠3＝∠2；（2）如果点P在直线l1的上方运动时，试探索∠1，∠2，∠3之间的关系又是如何？（3）如果点P在直线l2的下方运动时，试探索∠P AC，∠PBD，∠APB之间的关系又是如何？（直接写出结论）58．模型与应用．【模型】（1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1+∠MEN+∠2＝360°．【应用】（2）如图②，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为．如图③，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n的度数为．（3）如图④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分线M1O与∠CM n M n﹣1的角平分线M n O 交于点O，若∠M1OM n＝m°．在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n ﹣1的度数．（用含m、n的代数式表示）59．如图，已知BC∥GE，AF∥DE，点D、F分别在直线BC、GE上，∠1＝50°．（1）求∠AFG的度数；（2）若AQ平分∠F AC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACB的度数．60．①如图1，O是直线AB上一点，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，求证：OE⊥OF．②如图2，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D．求证：BE⊥DE北师大新版七年级下学期《2.3 平行线的性质》2020年同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共60小题）1．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG ＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．【分析】（1）过G作GH∥AB，依据两直线平行，内错角相等，即可得到∠AMG+∠CNG 的度数；（2）过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α，即可得到∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°；（3）过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，再根据2∠MEN+∠G＝105°，即可得到2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，求得x＝25°，即可得出∠AME＝2x＝50°．【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，∵MG⊥NG，∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，∵GK∥AB，AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝α，∵GK∥AB，∠BMG＝30°，∴∠MGK＝∠BMG＝30°，∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，∴∠GMP＝∠BMG＝30°，∴∠BMP＝60°，∵PQ∥AB，∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，∵ND平分∠GNP，∴∠DNP＝∠GND＝α，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPN＝∠DNP＝α，∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α，∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°；（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，∴∠AME＝2x，∵GK∥AB，∴∠MGK＝∠BMG＝x，∵ET∥AB，∴∠TEM＝∠EMA＝2x，∵CD∥AB∥KG，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝y，∴∠MGN＝x+y，∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，∵ET∥AB∥CD，∴ET∥CD，∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，∵2∠MEN+∠G＝105°，∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，∴x＝25°，∴∠AME＝2x＝50°．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．2．如图1，MN∥EF，C为两直线之间一点．（1）如图1，若∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，若∠ACB＝100°，求∠ADB的度数．（2）如图2，若∠CAM与∠CBE的平分线相交于点D，∠ACB与∠ADB有何数量关系？并证明你的结论．（3）如图3，若∠CAM的平分线与∠CBF的平分线所在的直线相交于点D，请直接写出∠ACB与∠ADB之间的数量关系：∠ADB＝90°﹣ACB．【分析】（1）如图1，根据平行线的性质得到∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠MAC＝∠ACG，∠EBC＝∠BCG，根据角平分线的定义得到∠1＝ACG，∠2＝，即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，根据角平分线的定义得到∠1＝ACG，∠2＝，根据平角的定义即可得到结论；（3）根据平行线的性质得到∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，根据平行线的定义得到∠1＝MAC，∠2＝∠CBF，根据四边形的内角和和角的和差即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，过C作CG∥MN，DH∥MN，∵MN∥EF，∴MN∥CG∥DH∥EF，∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠MAC＝∠ACG，∠EBC＝∠BCG，∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，∴∠1＝ACG，∠2＝，∴∠ADB＝（∠ACG+∠BCG）＝∠ACB；∵∠ACB＝100°，∴∠ADB＝50°；（2）如图2，过C作CG∥MN，DH∥MN，∵MN∥EF，∴MN∥CG∥DH∥EF，∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，∴∠1＝ACG，∠2＝，∴∠ADB＝∠1+∠2＝（∠MAC+∠EBC）＝（180°﹣∠NAC+180°﹣∠FBC）＝（360°﹣∠ACB），∴∠ADB＝180°﹣∠ACB；（3）如图3，过C作CG∥MN，DH∥MN，∵MN∥EF，∴MN∥CG∥DH∥EF，∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，∵∠MAC与∠FBC的平分线相交于点D，∴∠1＝MAC，∠2＝∠CBF，∵∠ADB＝360°﹣∠1﹣（180°﹣∠2）﹣∠ACB＝360°﹣∠MAC﹣（180°﹣∠CBF）﹣∠ACB＝360°﹣（180°﹣∠ACG）﹣（180°﹣∠BCG）＝90°﹣∠ACB．∴∠ADB＝90°﹣ACB．故答案为：∠ADB＝90°﹣ACB．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图1，直线AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G和点H分别是直线AB和CD上的动点，作直线GH，EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，EI与HI交于点I．（1）如图1，点G在点E的左侧，点H在点F的右侧，若∠AEF＝70°，∠CHG＝60°，求∠EIH的度数．（2）如图2，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，若∠AEF＝α，∠CHG＝β，其他条件不变，求∠EIH的度数．（3）如图3，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，∠GHC的平分线HJ交∠KEG 的平分线EJ于点J．其他条件不变，若∠AEF＝α，∠CHG＝β，求∠EJH的度数．【分析】（1）过点I作IM∥AB，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠EIH 的度数．（2）过点I作IM∥AB，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠EIH的度数．（3）过点J作MN∥AB，依据平行线的性质、对顶角相等以及角平分线的定义，即可得到∠EJH的度数．【解答】（1）解：如图1，过点I作IM∥AB，∵EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，∠AEF＝70°，∠CHG＝60°，∴∠AEI＝35°，∠CHI＝30°，∵IM∥AB，∴∠MIE＝∠AEI＝35°，∵AB∥CD，IM∥AB，∴IM∥CD，∴∠MIH＝∠CHI＝30°，∴∠EIH＝∠MIE+∠MIH＝35°+30°＝65°；（2）解：如图2，过点I作IM∥AB，∵EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，∠AEF＝α，∠CHG＝β，∴∠AEI＝，∠CHI＝，∵IM∥AB，∴∠MIE＝∠AEI＝，∵AB∥CD，IM∥AB，∴IM∥CD，∴∠MIH＝∠CHI＝，∴∠EIH＝∠MIE+∠MIH＝+；（3）解：如图3，过点J作MN∥AB，∵∠AEF＝α，∴∠KEB＝α，∵EJ平分∠KEB，HJ平分∠CHG，∠KEB＝α，∠CHG＝β，∴∠JEG＝，∠JHF＝，∵MN∥AB，∴∠MJE＝∠JEG＝，∵AB∥CD，MN∥AB，∴MN∥CD，∴∠NJH＝∠CHJ＝，∴∠EJH＝180°﹣∠MJE﹣∠NJH＝180°﹣﹣．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质的综合运用，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．4．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ ∥EC交射线CD于点Q，连结CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．（1）若点P，F，G都在点E的右侧．①求∠PCG的度数；②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ 的度数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG＝∠GCF＝20°，再根据PQ∥CE，即可得出∠CPQ＝∠ECP＝60°；（2）设∠EGC＝3x，∠EFC＝2x，则∠GCF＝3x﹣2x＝x，分两种情况讨论：①当点G、F在点E的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．【解答】解：（1）①∵∠CEB＝100°，AB∥CD，∴∠ECQ＝80°，∵∠PCF＝∠PCQ，CG平分∠ECF，∴＝；②∵AB∥CD∴∠QCG＝∠EGC，∠QCG+∠ECG＝∠ECQ＝80°，∴∠EGC+∠ECG＝80°又∵∠EGC﹣∠ECG＝40°，∴∠EGC＝60°，∠ECG＝20°∴∠ECG＝∠GCF＝20°，，∵PQ∥CE，∴∠CPQ＝∠ECP＝60°；（2）设∠EGC＝3x，∠EFC＝2x，则∠GCF＝3x﹣2x＝x，①当点G、F在点E的右侧时，则∠ECG＝∠PCF＝∠PCD＝x，∵∠ECD＝80°，∴4x＝80°，解得x＝20°，∴∠CPQ＝3x＝60°；②当点G、F在点E的左侧时，则∠ECG＝∠GCF＝x，∵∠CGF＝180°﹣3x，∠GCQ＝80°+x，∴180°﹣3x＝80°+x，解得x＝25°，∴∠FCQ＝∠ECF+∠ECQ＝50°+80°＝130°，∴，∴∠CPQ＝∠ECP＝65°﹣50°＝15°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．5．已知点D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，DF∥AC．（1）如图1，点G是线段FD延长线上一点，连接EG，∠CEG的平分线EM交AB于点M，交FD于点N．则∠A，∠AME，∠CEG之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程；（2）如图2，在（1）的条件下，若EG平分∠AED，∠AME＝35°，且∠EDF﹣∠A＝30°，求∠C的度数．【分析】（1）利用外角定理即可求解；（2）由平角AEC得：∠CEM+∠MED+∠DEA＝180°，即：2α+γ+α+γ＝180°；利用∠EDF﹣∠A＝30°，得：2α﹣∠A＝30°；利用∠CEM＝∠AME＝∠A，即可求解．【解答】解：（1）∠CEM＝∠A+∠AME，而∠CEG＝2∠CEM＝2∠A+2∠AME；（2）EG平分∠AED，设：∠GEA＝∠GED＝α，DF∥AC，则∠EDF＝2α，由平角AEC得：∠CEM+∠MED+∠DEA＝180°，即：2α+γ+α+γ＝180°…①，∠EDF﹣∠A＝30°，则2α﹣∠A＝30°…②，∠CEM＝∠AME＝∠A，即：35°+∠A＝α+γ…③，联立①②③并解得：α＝34°，∠C＝2α＝68°．【点评】本题考查的是平行线的性质，涉及到三角形内角和定理、外角定理、角平分线的性质等，综合性较强，难度较大．6．如图1，已知直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD（1）求证：∠EMF＝90°．（2）如图2，若FN平分∠MFD交EM的延长线于点N，且∠BEN与∠EFN的比为4：3，求∠N的度数．（3）如图3，若点H是射线EA之间一动点，FG平分∠HFE，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线定义进行判断即可；（2）如图2中，由题意可以假设：∠BEN＝4x，∠EFN＝3x，（3）先根据题意得到∠GFQ＝90°﹣∠FGQ，再根据FG平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD＝2∠GFQ，最后根据∠EHF+∠HFD＝180°，即可得出∠EHF＝2∠FGQ．【解答】解：（1）如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，∴∠FEM＝∠BEF，∠EFM＝∠DFE，∴∠FEM+∠EFM＝×180°＝90°，∴∠EMF＝90°．（2）如图2中，由题意可以假设：∠BEN＝4x，∠EFN＝3x，∵∠EMF＝90°，∠FEM＝∠MEB＝4x，∴∠EFM＝90°﹣4x，∴NFM＝∠NFD＝3x﹣（90°﹣4x）＝7x﹣90°，∵∠MFE＝∠MFD，∴90°﹣4x＝2（7x﹣90°），∴x＝15°，∴∠MFN＝15°，∴∠N＝90°﹣15°＝75°（3）如图3，∵GQ⊥FM，∴∠GFQ+∠FGQ＝180°﹣90°＝90°（三角形的内角和等于180°）．∴∠GFQ＝90°﹣∠FGQ．∵FG平分∠HFE，FM平分∠EFD，又∵∠GFQ＝∠GFE+∠QFE＝（∠HFE+∠EFD）＝∠HFD，∴∠HFD＝2∠GFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD＝180°，∴∠EHF＝180°﹣∠HFD＝180°﹣2∠GFQ＝180°﹣2（90°﹣∠FGQ）＝2∠FGQ，即无论点H在何处都有∠EHF＝2∠FGQ．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．7．已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于H，过A作AG⊥AC交CM于G．（1）如图1，点G在CH的延长线上时，①若∠GAB＝36°，则∠MCD＝63°．②猜想：∠GAB与∠MCD之间的数量关系是2∠MCD﹣∠GAB＝90°．（2）如图2，点G在CH上时，（1）②猜想的∠GAB与∠MCD之间的数量关系还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出∠GAB与∠MCD之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）①依据AG⊥AC，∠GAB＝36°，可得∠CAH的度数，依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠MCD的度数；②设∠ACH＝∠AHC＝∠MCD＝α，∠GAB＝β，则∠AGC＝∠AHC﹣∠GAB＝α﹣β，依据Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC＝90°，即可得出∠GAB与∠MCD之间的数量关系；（2）设∠ACH＝∠AHC＝∠MCD＝α，∠GAB＝β，则∠AGC＝∠AHC+∠GAB＝α+β，依据Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC＝90°，即可得出∠GAB与∠MCD之间的数量关系．【解答】解：（1）①∵AG⊥AC，∠GAB＝36°，∴∠CAH＝90°﹣36°＝54°，∵CM是∠ACD的平分线，∴∠ACH＝∠DCH，∵AB∥CD，∴∠AHC＝∠DCH，∴∠ACH＝∠AHC＝（180°﹣∠CAH）＝×126°＝63°，故答案为：63°；②∠GAB与∠MCD之间的数量关系是2∠MCD﹣∠GAB＝90°；理由：∵CM是∠ACD的平分线，∴∠ACH＝∠DCH，∵AB∥CD，∴∠AHC＝∠DCH，∴∠ACH＝∠AHC，设∠ACH＝∠AHC＝∠MCD＝α，∠GAB＝β，则∠AGC＝∠AHC﹣∠GAB＝α﹣β，∵GA⊥AC，∴Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC＝90°，即α+α﹣β＝90°，∴2α﹣β＝90°，即2∠MCD﹣∠GAB＝90°；故答案为：2∠MCD﹣∠GAB＝90°；（2）上述∠GAB与∠MCD之间的数量关系不成立，应该为2∠MCD+∠GAB＝90°，理由：∵CM是∠ACD的平分线，∴∠ACH＝∠DCH，∵AB∥CD，∴∠AHC＝∠DCH，∴∠ACH＝∠AHC，设∠ACH＝∠AHC＝∠MCD＝α，∠GAB＝β，则∠AGC＝∠AHC+∠GAB＝α+β，∵GA⊥AC，∴Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC＝90°，即α+α+β＝90°，∴2α+β＝90°，即2∠MCD+∠GAB＝90°．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质和三角形内角和定理的运用，利用直角三角形两个锐角互余是解决问题的关键．8．如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP；（2）如图（2），若∠BAP＝∠BAC，∠DCP＝∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；（3）在（1）的条件下，当∠BAQ＝∠BAP，∠DCQ＝∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围．【分析】（1）依据平行线的性质，以及角平分线的定义，即可得到∠P＝180°﹣90°＝90°，进而得到AP⊥CP；（2）过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，依据平行线的性质即可得到∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，再根据∠BAP＝∠BAC，∠DCP＝∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，即可得到∠E+∠F＝108°；（3）过Q作QE∥AB，依据平行线的性质可得∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝∠BAQ+∠DCQ，依据∠BAQ＝∠BAP，∠DCQ＝∠DCP，即可得出∠AQC＝30°，再根据∠M＝∠MQH﹣∠K进行计算，即可得出∠QMK的大小不变，是定值15°．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，又∵AP平分∠CAB，CP平分∠ACD，∴∠CAP＝∠CAB，∠ACP＝∠ACD，∴∠CAP+∠ACP＝（∠BAC+∠ACD）＝×180°＝90°，∴△ACP中，∠P＝180°﹣90°＝90°，即AP⊥CP；（2）∠E+∠F＝108°．证明：如图2，过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∠BAC+∠DCA＝180°，∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH，∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，∵∠BAP＝∠BAC，∠DCP＝∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，∴∠BAE＝∠BAC，∠DCF＝∠DCA，∴∠AEC＝∠BAC+∠ACD，∠AFC＝∠BAC+∠DCA，∴∠AEC+∠AFC＝∠BAC+∠ACD+∠BAC+∠DCA＝∠ACD+∠BAC＝（∠BAC+∠DCA）＝×180°＝108°；（3）如图，过Q作QE∥AB，∵AB∥CD，QE∥CD，∴∠BAQ＝∠AQE，∠DCQ＝∠CQE，∴∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝∠BAQ+∠DCQ，由（1）可得∠BAP+∠DCP＝180°﹣90°＝90°，又∵∠BAQ＝∠BAP，∠DCQ＝∠DCP，∴∠AQC＝∠BAQ+∠DCQ＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝30°，∵∠AQH是△AQK的外角，QA＝QK，∴∠K＝∠AQH，∵QM是∠CQH的平分线，∴∠MQH＝∠CQH，∵∠MQH是△MQK的外角，∴∠M＝∠MQH﹣∠K＝∠CQH﹣∠AQH＝（∠CQH﹣∠AQH）＝∠AQC＝30°＝15°，即∠QMK的大小不变，是定值15°．【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角性质以及角平分线的定义的综合运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是过拐点作平行线．9．如图，已知直线AB∥CD．（1）在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在AB、CD之间，若∠1＝30°，∠3＝75°，则∠2＝45°；（2）如图2，若FN平分∠CFG，延长GE交FN于点M，EM平分∠AEN，当∠N+∠FGE＝54°时，求∠AEN的度数；（3）如图3，直线MF平分∠CFG，直线NE平分∠AEG相交于点H，试猜想∠G与∠H的数量关系，并说明理由．【分析】（1）过G作GH∥AB，依据AB∥CD∥GH，即可得到∠1＝∠EGH，∠2＝∠FGH，进而得出∠2的度数；（2）过G作GP∥CD，过N作NQ∥AB，依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到∠AEN的度数；（3）过H作HP∥CD，过G作GQ∥AB，依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到∠G与∠H的数量关系．【解答】解：（1）如图1所示，过G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GH，∴∠1＝∠EGH，∠2＝∠FGH，∴∠1+∠2＝∠EGF，即30°+∠2＝75°，∴∠2＝45°，故答案为：45°；（2）∵FN平分∠CFG，EM平分∠AEN，∴可设∠AEM＝∠NEM＝α，∠CFN＝∠GFN＝β，如图2所示，过G作GP∥CD，过N作NQ∥AB，∵AB∥CD，∴NQ∥AB∥CD∥PG，∴∠QNF＝∠CFN＝β，∠QNE＝∠AEN＝2α，∠PGE＝∠AEM＝α，∠PGF＝∠DFG＝180°﹣2β，∴∠FNE＝∠QNF﹣∠QNE＝β﹣2α，∠FGE＝∠PGE+∠PGF＝α+180°﹣2β，又∵∠FNE+∠FGE＝54°，∴β﹣2α+（α+180°﹣2β）＝54°，∴α＝24°，∴∠AEN＝2α＝48°；（3）猜想：∠G＝2∠H．理由：∵MF平分∠CFG，NE平分∠AEG，∴可设∠AEN＝∠NEG＝α，∠CFM＝∠GFM＝β，如图3所示，过H作HP∥CD，过G作GQ∥AB，∵AB∥CD，∴GQ∥AB∥CD∥PH，∴∠QGE＝∠AEG＝2α，∠QGF＝∠CFG＝2β，∠PHM＝∠CFM＝β，∠PHN＝∠AEN ＝α，。
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平行线的性质同步练习题
一、基础过关:
1．如图1，a∥b，a、b被c所截，得到∠1=∠2的依据是（）
A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
(1) (2) (3)
2．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（）
A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法确定
3．如图2，AB∥CD，那么（）
A．∠1=∠4 B．∠1=∠3 C．∠2=∠3 D．∠1=∠5
4．如图3，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）
A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180°
C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180°
5．如图4，AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为（）A．30° B．60° C．90° D．120°
(4) (5)
6．如图5，AB∥EF，BC∥DE，则∠E+∠B的度数为________．
7．如图，AB∥CD，AE、DF分别是∠BAD、∠CDA的角平分线，
AE与DF平行吗？•为什么？
二、综合创新:
8．如图，已知∠AMB=∠ENF，∠BCN=∠BDE，求证：∠CAF=∠AFD．
9．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角A是120°，第二次拐的角B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，问∠C是多少度？说明你的理由．
10．（1）如图，若AB∥DE，∠B=135°，∠D=145°，你能求出∠C的度数吗？
（2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠C、∠D之间的数量关系吗？并说明理由．
11．（1）（2005年，江苏常州）如图6，已知AB∥CD，直线L分别交AB、CD•于点E、F，EG平分∠BEF，若∠EFG=40°，则∠EGF的度数是（）
A．60° B．70° C．80° D．90°
(6) (7)
（2）（2005年，新疆乌鲁木齐）已知：如图7，AB∥DE，∠E=65°，则∠B+∠C•的度数是（）
A．135° B．115° C．65° D．35°
三、名校培优:
12．如图，在折线ABCDEFG中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=•∠5，•延长AB、GF交于点M．试探索∠AMG与∠3的关系，并说明理由．
13．已知如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，那么∠A与∠C，∠B与∠D的大小关系如何？请说明你的理由．
答案:
1．A 2．B 3．D 4．D 5．B
6．180°点拨：∵AB∥EF，∴∠B=∠CFG．∵BC∥DE，
∴∠E+∠BFE=180°．
∵∠GFC=∠BFE，
∴∠B+∠E=180°．
7．解：平行．
∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠CDA（两直线平行，内错角相等）．∵AE、DF分别是∠BAD、∠CDA的平分线，
∴∠EAD=1
2
∠BAD，∠FDA=
1
2
∠CDA．
∴∠EAD=∠FDA．
∴AE∥DF（内错角相等，两直线平行）．
8．证明：∵∠AMB=∠DMN，又∠ENF=∠AMB，∴∠DMN=∠ENF，
∴BD∥CE．∴∠BDE+∠DEC=180°．
又∠BDE=∠BCN，∴∠BCN+∠CED=180°，
∴BC∥DE，∴∠CAF=∠AFD．
点拨：本题重点是考查两直线平行的判定与性质．
9．解：∠C=150°．
理由：如答图，过点B作BE∥AD，则∠ABE=∠A=120°（两直线平行，内错角相等）．∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=150°-120°=30°．
∵BE∥AD，CF∥AD，
∴BE∥CF（平行于同一条直线的两直线平行）．
∴∠C+∠CBE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠C=180°-∠CBE=180°-30°=150°．
10．解：（1）如答图5-3-2，过点C作CF∥AB，
则∠1=180°-∠B=180°-135°=45°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CF∥AB，DE∥AB，
∴CF∥DE（平行于同一条直线的两直线平行）．
∴∠2=∠180°-∠D=180°-145°=35°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠BCD=∠1+∠2=45°+35°=80°．
（2）∠B+∠C+∠D=360°．
理由：如答图5-3-2过点C作CF∥AB，得∠B+∠1=180°（两直线平行，•同旁内角互补）．
∵CF∥AB，DE∥AB，
∴CF∥DE（平行于同一条直线的两直线平行）．
∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠B+∠1+∠2+∠D=360°．
即∠B+∠BCD+∠D=360°．
点拨：辅助线CF是联系AB与DE的纽带．
11．（1）B （2）C
12．解：∠AMG=∠3．
理由：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∵∠3=∠4，
∴CD∥EF（内错角相等，两直线平行）．
∴AB∥EF（平行于同一条直线的两直线平行）．
∴∠AMG=∠5（两直线平行，同位角相等）．
又∠5=∠3，
∴∠AMG=∠3．
点拨：因为∠3=∠5，所以欲证∠AMG=∠3，只要证AM∥EF即可．
13．解：∠A=∠C，∠B=∠D．
理由：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∠C+∠B=180°．
∴∠A=∠C．
同理∠B=∠D．。