全国通用2017届高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线10.1椭圆及其性质专用题组理
§10.1椭圆及其性质
考点一椭圆的定义与标准方程
7.(2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )
A.+=1
B.+y2=1
C.+=1
D.+=1
答案 A 由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又==,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为+=1,选A.
8.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .
答案12
解析解法一:由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(-,0),右焦点为F2(,0).则M(m,n)关于F1的对称点为A(-2-m,-n),关于F2的对称点为B(2-m,-n),设MN中点为(x,y),所以N(2x-m,2y-n).所以|AN|+|BN|=+
=2[+],
故由椭圆定义可知|AN|+|BN|=2×6=12.
解法二:根据已知条件画出图形,如图.设MN的中点为P,F1、F2为椭圆C的焦点,连结PF1、PF2.显然PF1是△MAN的中位线,PF2是△MBN的中位线,
∴|AN|+|BN|=2|PF1|+2|PF2|=2(|PF1|+|PF2|)=2×6=12.
评析本题主要考查椭圆的定义等知识,重点考查学生的运算能力,也考查数形结合思想,难度适宜.
9.(2012陕西,19,12分)已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.
解析(1)由已知可设椭圆C2的方程为+=1(a>2),
其离心率为,故=,则a=4,故椭圆C2的方程为+=1.
(2)解法一:A,B两点的坐标分别记为(x A,y A),(x B,y B),
由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,
因此可设直线AB的方程为y=kx.
将y=kx代入+y2=1中,
得(1+4k2)x2=4,所以=,
将y=kx代入+=1中,
得(4+k2)x2=16,所以=,
又由=2,得=4,即=,
解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.
解法二:A,B两点的坐标分别记为(x A,y A),(x B,y B),
由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,
因此可设直线AB的方程为y=kx.
将y=kx代入+y2=1中,
得(1+4k2)x2=4,所以=,
由=2,得=,=,
将,代入+=1中,得=1,
即4+k2=1+4k2,解得k=±1,
故直线AB的方程为y=x或y=-x.
评析本题考查了直线和椭圆的方程,考查了待定系数法.考查了运算求解能力及方程思想. 考点二椭圆的几何性质及应用
12.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.
(1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程;
(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.
解析设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).
(1)因为B(0,b),所以BF2==a.
又BF2=,故a=.
因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.
故所求椭圆的方程为+y2=1.
(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,
所以直线AB的方程为+=1.
解方程组得
所以点A的坐标为.
又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.
因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB,所以·=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.
故e2=.因此e=.
评析本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.。
2013-2017高考数学真题分类-第10章-圆锥曲线-1-椭圆及其性质(理科)
第十章圆锥曲线第1节椭圆及其性质题型113 椭圆的定义与标准方程1。
(2014 大纲理 6）已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的左、右焦点为1F ,2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A ,B 两点，若1AF B △的周长为C 的方程为（）.A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y +=2。
（2014 安徽理 14)设21,F F 分别是椭圆E ：2221yx b+=()01b <<的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若113AF BF =，2AF x ⊥轴,则椭圆E 的方程为。
3.（2014 辽宁理 15）已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合。
若M关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ，线段MN 的中点在C 上，则AN BN +=。
4.（2014 福建理 19）（本小题满分13分）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的两条渐近线分别为1:2l y x =,2:2l y x =-。
（1)求双曲线E 的离心率；（2）如图所示,O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一，四象限），且OAB △的面积恒为8,试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程;若不存在，说明理由。
5。
（2016北京理19（1））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，(),0A a ，()0,B b ，()0,0O ，OAB △的面积为1。
求椭圆C 的方程；5.解析可先作出本题的图形：由题设，可得2222(0)112c a a b c a b ab ⎧=⎪⎪⎪=+>>⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,1a b ==。
2017年新课标全国理数高考试题汇编：圆锥曲线 - 学生专用
2017年新课标全国理数高考试题汇编：圆锥曲线1．【2017全国高考浙江卷理数·2T】椭圆的离心率是（）ABC．D．2．【2017全国高考新课标I卷理数·10T】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．103．【2017全国高考新课标II卷理数·9T】若双曲线:C22221x ya b-=（0a>，0b>）的一条渐近线被圆()2224x y-+=所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B C D4．【2017全国高考新课标III卷理数·5T】已知双曲线C：22221x ya b-=(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为y x=,且与椭圆221123x y+=有公共焦点，则C的方程为（）A．221810x y-=B．22145x y-=C．22154x y-=D．22143x y-=5．【2017全国高考新课标III卷理数·10T】已知椭圆C：22221x ya b+=，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bx ay ab-+=相切，则C的离心率为（）A B C D．136.【2017全国高考新课标I卷理数·15T】已知双曲线C：22221x ya b-=（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为. 7．【2017全国高考新课标II卷理数·16T】已知F是抛物线:C28y x=的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则FN=____________．8.【2017全国高考北京卷理数·9T】若双曲线m=_________.22194x y+=2359221yxm-=9.【2017全国高考江苏卷理数·8T 】在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是10.【2017全国高考山东卷理数·14T 】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为.11．【2017全国高考新课标I 卷理数·20T 】（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2，P 4（1，2C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.12．【2017全国高考新课标II 卷理数·20T 】（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．13．【2017全国高考新课标III 卷理数·20T 】（12分）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆。
2017年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线
2017 年高考试题分类汇编之圆锥曲线（理数） 解析一、选择题1 二、填空题3 三、大题5一、选择题【XX 卷】2．椭圆22194x y +=的离心率是 AB．23D ．59【解析】33e ==，选B.【全国1卷（理）】10.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴易知11cos 22AF GF AK AK AF P P GP Pθ⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AF θ⋅+=∴同理1cos P AF θ=-，1cos P BF θ=+∴22221cos sin P P AB θθ==-又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭而24y x =，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24θ=21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号 即AB DE +最小值为16，故选A【全国Ⅱ卷（理）】9.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2 BCD．3【解析】取渐近线by x a=，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，=得224c a =，24e =，2e =．【全国III 卷（理）】5.已知双曲线C:22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为( ) A. 221810x y -= B. 22145x y -= C. 22154x y -= D. 22143x y -=【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y，则b a =又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b ==C 的方程为22145x y -=，故选B.【全国III 卷（理）】10.已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )A.C.3D.13 【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a == 又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =∴63c e a ==，故选A【XX 卷】（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，离心率为2.若经过F和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）A.22144x y -=B.22188x y -=C.22148x y -=D.22184x y -=【解析】由题意得224,14,22188x y a b c a b c ==-⇒===⇒-=- ，故选B.二、填空题【全国1卷（理）】15.已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________. 【解析】如图，OA a =，AN AM b == ∵60MAN ∠=︒，∴3AP =，222234OP OA PA a b =-=-∴2232tan 34AP OP a b θ=-又∵tan b a θ=b a =，解得223a b =∴e =【全国2卷（理）】16.已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =． 【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6NF NM MF =+=【卷】（9）若双曲线221y x m-=m =_______________. 【解析】.21m =⇒= 【XX 卷】8.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1PF 2Q 的面积是.【解析】右准线方程为33101010x ==，渐近线为33y x =±，则31030(,)1010P ，31030(,)1010Q -，1(10,0)F -，2(10,0)F ，则302102310S =⨯=. 【XX 卷】14.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为.三、大题【全国I 卷（理）】20.（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32 ），P 4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.20.解：（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P 又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点将()233011P P ⎛- ⎝⎭，，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b =∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-=122814kbx x k -+=+,21224414b x x k -⋅=+则22121211P A P B y y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时，1y =-所以l 过定点()21-，．【全国II 卷（理）】20. （12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦 点F .．解：⑴设()P x y ，，易知(0)N x ， (0)NP y =，又0NM ⎛== ⎝∴M x ⎛⎫⎪⎝⎭，又M 在椭圆上．∴2212x +=，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠， 由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()21OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，∴213OP OQ OP ⋅=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=． 设直线OQ ：3Q y y x =⋅-，因为直线l 与OQ l 垂直． ∴3l Qk y =故直线l 方程为3()P P Qy x x y y =-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-， 13P Q P y y x x -⋅=-， ∴13P Q P x y y x =-⋅+，∵33P Q P y y x =+，∴1(33)13P P x x x =-++=-，若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±，直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-，直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．【全国III 卷（理）】20.（12分）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上； （2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程.解:(1)显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y x x my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-．1212OA OBx x y y ⋅=+ 12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++ 24(1)2(2)4m m m =-+++0=∴OA OB ⊥，即O 在圆M 上． (2)若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅=1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==-，001924x y =-+=，半径||r OQ ==则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=【卷】（18）（14分）已知抛物线C ：y 2=2px 过点P (1,1).过点(0,12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ,B ，其中O 为原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.（18）解：（Ⅰ）把P （1,1）代入y 2=2Px 得P =12∴C :y 2=x ， ∴焦点坐标（14，0），准线：x =-14. （Ⅱ）设l ：y =kx +12，A （x 1，y 1），B (x 2，y 2)，OP ：y =x ，ON ：y =22yx x ，由题知A (x 1，x 1)，B (x 1，122x y x ) 212y kx y x⎧>+⎪⎨⎪=⎩⇒k 2x 2+（k -1）x +14=0，x 1+x 2=21k k -，x 1·x 2=214k .1112121112221122,22x kx x y x x y kx kx x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=++=+由x 1+x 2=21k k -，x 1x 2=214k， 上式()2111121122122124kk kx kx k x x x k x -=+=+-⋅=∴A 为线段BM 中点. 【XX 卷】17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1(0)2222x y E :+a b a b=＞＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1,过点F 2作直线PF 2的垂线l 2. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.17.解:（1）∵椭圆E 的离心率为12，∴12c a =①.∵两准线之间的距离为8，∴228a c =②.联立①②得2,1a c ==，∴3b =，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=.【XX 卷】B .[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A = ，B =. (1) 求AB ;(2)若曲线C 1;22y =182x +在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程.B.解:（1）AB ==.（2）设11(,)P x y 是曲线1C 上任意一点，变换后对应的点为1`0210x x y y ⎡⎤⎢⎥⎣⎡⎤⎡⎦⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，方程.【XX 卷】（21）（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：1y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.（21）解：（I ）由题意知 22c e a ==，22c =， 所以 2,1a b ==，因此 椭圆E 的方程为2212x y +=. （Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程2211,23,2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2211424310k x k x +--=， 由题意知0∆>，且()112122211231,21221k x x x x k k +==-++，令2112t k =+，【XX 卷】（19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △AP 的方程.所以，直线AP 的方程为3630x y +-=，或3630x y --=.【XX 卷】21．（本题满分15分）如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点11()()24P x y x -<<，.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求AP PQ ⋅的最大值.21．解：（Ⅰ）由题易得P （x ，x 2），-12<x <32， 故k AP=21412x x -+=x -12∈（-1,1）， 故直线AP 斜率的取值范围为（-1,1）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知P （x ，x 2），-12<x <32，故PA =（-1设直线AP 的斜率为k ，故1(PQ +=又2(1,)PA k k k =---- ，32(1)k PA PQ PA PQ k +==3(1)(1)PA PQ k k =+-，令2(1)(24)2(x x x =+-=-时，()0f x '<，PA PQ 的最大值为。
(高三一轮复习)圆锥曲线
椭圆标准方程及其性质一、请细读1、已知椭圆2212516x y +=，12,F F 是椭圆的左右焦点，p 是椭圆上一点。
（1）a = ； b = ； c = ； e = ； （2）长轴长= ； 短轴长= ； 焦距= ；12||||PF PF += ; 12F PF ∆的周长= ；12F PF S ∆= = ； 2、已知椭圆方程是192522=+y x 的M 点到椭圆的左焦点为1F 距离为6，则M 点到2F 的距离是3、已知椭圆方程是192522=+y x ，过左焦点为1F 的直线交椭圆于A,B 两点，请问2ABF ∆的 周长是 ；4 ．（2012年高考（上海春））已知椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=则 （ ） A ．顶点相同 B ．长轴长相同. C ．离心率相同. D ．焦距相等. 5、 (2007安徽)椭圆1422=+y x 的离心率为（ ）（A ）23 （B ）43（C ）22（D ）32 6．（2005广东）若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ）A ．3B ．23 C ．38D ．327.【2102高考北京】已知椭圆C ：22x a +22y b=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为2，则椭圆C 的方程：8、【2012高考广东】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上，则椭圆1C 的方程；9、【2012高考湖南】在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y 2-4x+2=0的圆心，椭圆E 的方程；10．（2004福建理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）（A ）32 （B ）33 （C ）22 （D ）2311．（2006上海理）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2 倍，则该椭圆的标准方程是 ．12、经过)2-,3-(16B A ），，（两点的椭圆方程是 13、动点M 与定点），（04F 的距离和它到定直线425:=x l 的比是常数54，则动点M 的轨迹方程是：14．（2012年高考）椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为（ ）A ．2211612x y += B ．221168x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 15．（2012年高考（四川理））椭圆22143x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积是____________.16．（2012年高考（江西理））椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.17．（2012年高考江苏）在平面直角坐标系xoy 中,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，,2(0)F c ，.已知(1)e ，和32e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，都在椭圆上,其中e 为椭圆的离心率，则椭圆的方程 ;18．（2012年高考广东理）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :221x y a b+=(0a b >>)的离心率23e =且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3，则椭圆C 的方程 ; 19．（2012年高考福建理）椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ,右焦点为2F ,离心率12e =.过1F 的直线交椭圆于,A B 两点,且2ABF ∆的周长为8，椭圆E 的方程 . 20．（2012年高考（北京理））已知曲线C: 22(5)(2)8()m x m y m R -+-=∈，若曲线C 是焦点在x 轴的椭圆,则m 的取值范围是 ;22．（2012年高考（陕西理））已知椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率，则椭圆2C 的方程 ; 23、如果点M ()y x ，在运动过程中，总满足：()()10332222=-++++y x y x试问点M 的轨迹是 ；写出它的方程 。
方法技巧专题07 圆锥曲线的概念及其几何性质(解析版)
方法技巧专题7 圆锥曲线的概念及其几何性质 解析版一、 圆锥曲线的概念及其几何性质知识框架二、圆锥曲线的定义、方程【一】圆锥曲线的定义1、椭圆（1）秒杀思路：动点到两定点(距离为2c )距离之和为定值(2a )的点的轨迹；（2）秒杀公式：过抛圆的一个焦点作弦AB ,与另一个焦点F 构造FAB ∆，则FAB ∆的周长等于a 4。
（3） ①当c a 22>时，表示椭圆；②当c a 22=时，表示两定点确定的线段；③当c a 22<时，表示无轨迹。
2、双曲线（1）秒杀思路： ①双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值是常数2a ;②注意定义中两个加强条件:（I ）绝对值; （II ）22a c <； ③加绝对值表示两支(或两条),不加绝对值表示一支(或一条);（2）秒杀公式：过双曲线的一个焦点作弦AB （交到同一支上），与另一个焦点F 构造FAB ∆，则FAB ∆的周长等于AB a 24+。
（3） ①当22a c <时，表示双曲线； ②当22a c =时，表示以两定点为端点向两侧的射线；③当22a c >时，无轨迹； ④当20a =时表示两定点的中垂线。
3、抛物线（1）秒杀思路：到定点(焦点)距离等于到定直线(准线)距离。
所以，一般情况下,抛物线已知到焦点的距离需转化为到准线的距离,已知到准线的距离需转化为到焦点的距离。
（2）秒杀公式一：焦点在x 轴上的圆锥曲线,曲线上的点到同一个焦点的距离成等差数列，则横坐标成等差数列，反过来也成立。
（3）秒杀公式二：作过抛物线焦点且倾斜角为︒60或︒120的弦,两段焦半径分别为:32,2pp .1. 例题【例1】设P 是椭圆2212516x y +=上的点,若21,F F 是椭圆的两个焦点,则12PF PF +等于 ( )A.4B.5C.8D.10【解析】利用椭圆的定义得12PF PF +=102=a ,选D 。
【例2】已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为B A ,,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .【解析】如图,22QF BN =,12QF AN =,||||AN BN +=124)(221==+a QF QF .【例3】已知双曲线122=-y x ,点21,F F 为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若21PF PF ⊥,则21PF PF +的值为_______.【解析】,8,2222121=+=-r r r r 得21PF PF +=32. 【例4】设椭圆1C 的离心率为135,焦点在x 轴上且长轴长为26,若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线2C 的标准方程为 ( )A.1342222=-y xB.15132222=-y xC.1432222=-y xD.112132222=-y x【解析】由双曲线定义得4=a ，5=c ，3=b ，选A 。
2017年高考数学题分类汇编(10)圆锥曲线
2017年全国各地高考数学真题分章节分类汇编第10部分:圆锥曲线一、选择题:1．（ 2010年高考全国卷I 理科9）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为(A)2(B)2(C)(D)1.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]1a PF e x a ex c =--=+=+，22000||[)]1a PF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 060=,解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x轴的距离为0||y =2．（2010年高考福建卷理科2）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A.22x +y +2x=0 B. 22x +y +x=0 C. 22x +y -x=0 D. 22x +y -2x=0 【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D 。
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。
3．（2010年高考福建卷理科7）若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)ax y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为 ( )A. )+∞B. [3)++∞C. 7[-,)4+∞D. 7[,)4+∞ 【答案】B【解析】因为(2,0)F -是已知双曲线的左焦点，所以214a +=，即23a =，所以双曲线方程为2213x y -=，设点P 00(,)x y ，则有220001(3)3x y x -=≥，解得220001(3)3x y x =-≥，因为00(2,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(2)OP FP x x y ⋅=++=00(2)x x ++2013x -=2004213x x +-，此二次函数对应的抛物线的对称轴为034x =-，因为03x ≥，所以当03x =时，OP FP ⋅取得最小值432313⨯+-=323+，故OP FP ⋅的取值范围是[323,)++∞，选B 。
2017年全国卷高考数学复习专题——圆锥曲线的综合问题
2017年全国卷高考数学复习专题——圆锥曲线的综合问题考点一定值与最值问题1.(2014湖北,9,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=π3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233C.3D.2答案 A2.(2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆x 210+y2=1上的点,则P,Q 两点间的最大距离是( )A.5B.C.7+D.6答案 D3.(2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA·OB=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A.2B.3C.1728D.10答案 B4.(2014安徽,19,13分)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1>0)和E 2:y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.(1)证明:A1B1∥A2B2;(2)过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求S1S2的值.解析(1)证明:设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则由y=k1x,y2=2p1x,得A12p1k12,2p1k1,由y=k1x,y2=2p2x,得A22p2k12,2p2k1.同理可得B12p1k22,2p1k2,B22p2k22,2p2k2.所以A1B1=2p1k22-2p1k12,2p1k2-2p1k1=2p11k22-1k12,1k2-1k1,A2B2=2p2k22-2p2k12,2p2k2-2p2k1=2p21k22-1k12,1k2-1k1,故A1B1=p1p2A2B2,所以A1B1∥A2B2.(2)由(1)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2.所以△A1B1C1∽△A2B2C2.因此S1S2=|A1B1||A2B2|2.又由(1)中的A1B1=p1p2A2B2知|A1B1||A2B2|=p1p2.故S1S2=p12p22.5.(2014浙江,21,15分)如图,设椭圆C:x 2a +y2b=1(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.解析(1)设直线l的方程为y=kx+m(k<0),由y=kx+m,x2a2+y2b2=1消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.由于l与C只有一个公共点,故Δ=0,即b2-m2+a2k2=0,解得点P的坐标为-a2km b2+a2k2,b2mb2+a2k2.又点P在第一象限,故点P的坐标为P22222222.(2)由于直线l1过原点O且与l垂直,故直线l1的方程为x+ky=0,所以点P到直线l1的距离d=2kb2+a2k2+b2kb2+a2k22,整理得d=22b2+a2+a2k2+b 2k2 .因为a2k2+b 2k2≥2ab,所以22b2+a2+a2k2+2k2≤2222=a-b,当且仅当k2=ba时等号成立.所以,点P到直线l1的距离的最大值为a-b.6.(2014湖南,21,13分)如图,O为坐标原点,椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为e1;双曲线C2:x2a-y2b=1的左、右焦点分别为F3、F4,离心率为e2,已知e1e2=32,且|F2F4|=3-1.(1)求C1,C2的方程;(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.解析(1)因为e1e2=32,所以a2-b2a·a2+b2a=32,即a4-b4=34a4,因此a2=2b2,从而F 2(b,0),F4(3b,0),于是3b-b=|F2F4|=3-1,所以b=1,所以a2=2.故C1,C2的方程分别为x22+y2=1,x22-y2=1.(2)因为AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),故可设直线AB的方程为x=my-1.由x=my-1,x22+y2=1得(m2+2)y2-2my-1=0,易知此方程的判别式大于0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个实根,所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-1m2+2.因此x1+x2=m(y1+y2)-2=-4m+2,于是AB的中点M的坐标为-2m+2,mm+2.故直线PQ的斜率为-m2,则PQ的方程为y=-m2x,即mx+2y=0.由y=-m2x,x22-y2=1得(2-m2)x2=4,所以2-m2>0,且x2=42-m,y2=m22-m,从而|PQ|=2 x2+y2=2m2+42-m.设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,所以2d=11222,因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,从而2d=212m2+4.又因为|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=222m2+2,所以2d=21+m22. 故四边形APBQ的面积S=12|PQ|·2d=21+m22-m2=2-1+2-m2.而0<2-m2<2,故当m=0时,S取得最小值2. 综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.7.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C 于点P,Q.(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)当|TF||PQ|最小时,求点T的坐标.解析(1)由已知可得 a2+b2=2b,2c=2a2-b2=4,解得a2=6,b2=2,所以椭圆C的标准方程是x 26+y22=1.(2)(i)由(1)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).则直线TF 的斜率k TF =m -0-3-(-2)=-m.当m≠0时,直线PQ 的斜率k PQ =1m ,直线PQ 的方程是x=my-2. 当m=0时,直线PQ 的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式. 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得 x =my -2,x 26+y 22=1.消去x,得(m 2+3)y 2-4my-2=0, 其判别式Δ=16m 2+8(m 2+3)>0. 所以y 1+y 2=4mm +3,y 1y 2=-2m +3, x 1+x 2=m(y 1+y 2)-4=-12m +3.所以PQ 的中点M 的坐标为 -6m +3,2mm +3 . 所以直线OM 的斜率k OM =-m3,又直线OT 的斜率k OT =-m 3,所以点M 在直线OT 上, 因此OT 平分线段PQ. (ii)由(i)可得, |TF|=2+1,|PQ|= (x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2= (m 2+1)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2]= (m 2+1) 4mm 2+3 2-4·-2m 2+3 =24(m 2+1)m 2+3.所以|TF ||PQ |= 124·(m 2+3)m +1= 124· m 2+1+4m +1+4 ≥ 124×(4+4)= 33.当且仅当m 2+1=4m +1,即m=±1时,等号成立,此时|TF ||PQ |取得最小值. 所以当|TF ||PQ |最小时,T 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1). 考点二 存在性问题。
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。
2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编 第十章 圆锥曲线 Word版含解析
第十章 圆锥曲线第一节 椭圆及其性质题型113 椭圆的定义与标准方程4.椭圆22194x y +=的离心率是（ ）.A.3B. 3C. 23D. 594.解析 由椭圆方程可得,229,4a b ==,所以2225c a b =-=,所以3a =,c =3c e a ==.故选B ． 5.（2017江苏17（1））如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,离心率为12,两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上,且位于第一象限,过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；5.解析 （1）设椭圆的半焦距为c ,由题意21228c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得21a c =⎧⎨=⎩,因此b =,所以椭圆E 的标准方程为22143x y+=． 6.（2017山东理21（1））在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的离心率焦距为2. （1）求椭圆E 的方程；6.解析 （1）由题意知c e a ==,22c =,所以a 1b =,因此椭圆E 的方程为2212x y +=. 7.（2107全国1卷理科20（1））已知椭圆()2222:=10x y C a b a b+>>,四点()111P ，,()201P ，,3–1P ⎛ ⎝⎭,41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；7. 解析 （1）根据椭圆对称性,必过3P ,4P ,又4P 横坐标为1,椭圆必不过1P ,所以过 234P P P ，，三点.将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得24a =, 21b =,所以椭圆C 的方程为2214x y +=．题型114 椭圆离心率的值及取值范围8.（2107全国3卷理科10）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ,2A ,且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为（ ）. ABCD ．138．解析 因为以12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,所以圆心到直线的距离d 等于半径,即d a ==,又因为0,0a b >>,则上式可化简为223a b =.因为222b a c =-,可得()2223a a c =-,即2223c a =,所以c e a ==故选A.题型115 椭圆焦点三角形——暂无第二节 双曲线及其性质题型116 双曲线的定义与标准方程9.（2017北京理9）若双曲线221y x m-=则实数m =_________.9. 解析 =,则2m =.10.（2017天津理5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ,若经过点F 和点(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为（ ）.A.22144x y -=B.22188x y -=C.22148x y -=D.22184x y -= 10.解析 由题意得a b =,41c=--,所以4c =.又因为22216c a b =+=,所以28a =,28b =,则双曲线方程为22188x y -=.故选B.11.（2017全国3卷理科5）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点,则C 的方程为（ ）. A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=11．解析 因为双曲线的一条渐近线方程为y =,则b a =① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点,易知3c =,则2229a b c +== ②由①,②,解得2,a b ==则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选B.题型117 双曲线的渐近线12.（2017江苏08）在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点,P Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ． 12.解析 双曲线的渐近线方程为y x =,而右准线为32x =,所以3,22P ⎛ ⎝⎭,3,22Q ⎛- ⎝⎭,从而1214222F PF Q S ⎛=⨯⨯⨯= ⎝⎭13（2017山东理14）.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线()222210,0x ya b a b -=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x py p =>交于,A B 两点,若4AF BF OF +=,则该双曲线的渐近线方程为 .13. 解析 设()(),,,A B B B A x y B x y ,由题意得||||4222A B A B p p pAF BF y y y y p +=+++=⨯⇒+=. 又22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩,所以222A B pb y y p a +==a ⇒,从而双曲线的渐近线方程为2y x =±. 题型118 双曲线离心率的值及取值范围14.（2107全国2卷理科9）若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2,则C 的离心率为（ ）.A ．2 BCD14．解析 取渐近线by x a=,化成一般式0bx ay -=,圆心()20，到直线的距离为=,得224c a=,24e=,2e=．故选A.15.（2017全国1卷理科15）已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若60MAN∠=,则C 的离心率为________.15. 解析如图所示,OA a=,AN AM b==.因为60MAN∠=,所以AP=,OP==从而tanAPOPθ==又因为tan baθ=,所以ba=,解得223a b=,则e.题型119 双曲线的焦点三角形第三节抛物线及其性质题型120 抛物线的定义与标准方程16.（2017北京理18（1））已知抛物线22C y px=：过点()11P，.过点12⎛⎫⎪⎝⎭，作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.（1）求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程；16.解析 （1）由抛物线2:2C y px =过点()1,1P ,得12p =.所以抛物线C 的方程为2y x =,抛物线C 的焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭,准线方程为14x =-.17.（2107全国2卷理科16）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点,则FN = ．17．解析 由28y x =,得4p =,焦点为()20F ，,准线:2l x =-.如图所示,由M 为FN 的中点,故易知线段BM 为梯形AFNC 的中位线.因为2CN =,4AF =,所以3MB =.又由抛物线的定义知MB MF =,且MN MF =,所以6NF NM MF =+=.题型121 与抛物线有关的距离和最值问题——暂无18.（2017全国1卷理科10）已知F 为抛物线24C y x =：的焦点,过点F 作两条互相垂直的直线1l ,2l ,直线1l 与C 交于A ,B 两点,直线2l 与C 交于D ,E 两点,则AB DE +的最小值为（ ）.A ．16B ．14C ．12D ．10 18. 解析 解法一：设直线1l 的斜率为k ,则直线2l 的斜率为1k-,设()11,A x y , ()22,B x y ,()33,D x y ,()44,E x y ,直线()11l k x =-,直线()21:1l y x k=--.联立 ()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩,消去y 整理得()2222240k x k x k -++=,所以2122224424k AB x x p k k+=++=+=+,同理 22342124441k DE x x p k k+=++==+,从而22184+16AB DE k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭…,当且仅当1k =±时等号成立.故选A.解法二：设AB 的倾斜角为θ,抛物线的准焦距为p ．作1AK 垂直准线于点1K ,2AK 垂直x 轴于点2K ,如图所示.易知11cos 22AF GF AK AK AF p p GP pθ⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩（几何关系）（抛物线定义）, 所以cos AF p AF θ⋅+=, 即1cos p AF θ=-,同理1cos p BF θ=+,所以22221cos sin p pAB θθ==-.又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为π2θ+,2222πcos sin 2p pDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 而24y x =,即2p =,所以22112sin cos AB DE p θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24θ== 21616sin 2θ≥,当π4θ=时取等号,即AB DE +的最小值为16.故选A.题型122 抛物线中三角形、四边形的面积问题——暂无第四节 曲线与方程题型123 求动点的轨迹方程19. （2017全国2卷理科20（1））设O 为坐标原点,动点M 在椭圆22:12x C y +=上,过M作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NPNM =.（1）求点P 的轨迹方程；19．解析 （1）设点()P x y ，,易知(0)N x ，,(0)NP y =，,又0NM NP ⎛== ⎝,所以点M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又M 在椭圆C 上,所以2212x +=,即222x y +=． 第五节 直线与圆锥曲线题型124 直线与圆锥曲线的位置关系20.（2017江苏17）如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,离心率为12,两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上,且位于第一象限,过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标．20解析 （1）设椭圆的半焦距为c ,由题意21228c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得21a c =⎧⎨=⎩,因此b =,所以椭圆E 的标准方程为22143x y+=． （2）由（1）知()11,0F -,()21,0F ．设()00,P x y ,因为点P 为第一象限的点,故000,0x y >>．当01x =时,2l 与1l 相交于1F ,与题设不符．当01x ≠时,直线1PF 的斜率为001y x +,直线2PF 的斜率为001y x -．因为11l PF ⊥,22l PF ⊥,所以直线1l 的斜率为001x y --,直线2l 的斜率为001x y --,从而直线1l 的方程为()0011x y x y +=-+ ① 直线2l 的方程为()0011x y x y -=-- ② 联立①②,解得20001,x x x y y =-=-,所以20001,x Q x y ⎛⎫- ⎝-⎪⎭． 因为点Q 在椭圆上,由对称性得20001x y y =±-,即22001x y -=或22001x y +=． 又点P 在椭圆E 上,故2200143x y +=．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,解得00x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,无解． 因此点P的坐标为⎝⎭． 21.（2017北京理18）已知抛物线22C y px =：过点()11P ，.过点102⎛⎫ ⎪⎝⎭，作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ,B ,其中O 为原点.（1）求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点.21.解析 （1）由抛物线2:2C y px =过点()1,1P ,得12p =.所以抛物线C 的方程为2y x =, 抛物线C 的焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭,准线方程为14x =-.（2）解法一：由题意,设直线l 的方程为()102y kx k =+≠,l 与抛物线C 的交点为11(,)M x y ,22(,)N x y .由212y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩,得224(44)10k x k x +-+=.则1221kx x k -+=,12214x x k =. 因为点P 的坐标为()1,1,所以直线OP 的方程为y x =,点A 的坐标为11(,)x y . 因为直线ON 的方程为22y y x x =,所以点B 的坐标为2112,y x x x ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为21122112112222y x y x y x x x y x x x +-+-=122112211222kx x kx x x x x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== ()()121221222k x x x x x -++()2221122420kk k k x --⨯+==,所以211122y x y x x +=. 故A 为线段BM 的中点.解法二：要证A 为BM 的中点,且,,A B M x x x 相同,只需证2A M B y y y =+,等式两边同时除以M x ,则有2OA OM ON k k k =+.因为1221121*********11++22OM ONkx x kx x y y y x y x k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+=+=== ()121222122111122422214k k kx x x x k k x x k -++⨯++==.又1OA OPk k ==,所以等式成立,即M 为OB 的中点.题型125 弦长与面积问题22.（2107天津理19）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为12. （1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ,Q 关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ）,直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △求直线AP 的方程.22.解析 (1)依题意设点F (,0)c -,由题意知21==a c e ,且2pa =.由对称性知抛物线的准线l 方程为a x -=,则12a c -=,解得1a =,12c =,2p =,于是22234b a c =-=.从而椭圆的方程为22413y x +=,抛物线的方程为24y x =.(2)由于准线l 的方程为1x =-,依题意设),1(t P -(0≠t ),则),1(t Q --.因为)0,1(A , 则2t k AP -=,得直线AP 的方程为()12ty x =-- ① 将①式代入方程34322=+y x 中化简得032)3(2222=-+-+t x t x t .设点),(00y x B ,由韦达定理得332200+-==t t x x x A ,则()0023123t t y x t =--=+,即22233,33t t B t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,则t t k BQ262+=,于是得直线BQ 方程为26(1)2t y t x t++=+. 令0=y ,解得6622+-=t t x ,即226,06t D t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.则612661||222+=+--=t t t AD ,于是211226APD S t t ==⋅⋅+△,化简得(2||0t =,即得6±=t .代入①式化简得直线AP 方程为330x -=,或330x -=.23.（2017山东理21）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>,焦距为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）如图所示,动直线l ：1y k x =-交椭圆E 于,A B 两点,C 是椭圆E 上一点,直线OC 的斜率为2k ,且12k k =M 是线段OC 延长线上一点,且:2:3MC AB =,M 的半径为MC ,OS ,OT 是M 的两条切线,切点分别为S ,T .求SOT ∠的最大值,并求取得最大值时,直线l 的斜率.23.解析（1）由题意知 c e a ==,22c =,所以 a =1b =,因此椭圆E 的方程为2212x y +=. （2）设点()()1122,,,A x y Bx y ,联立方程22112x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y 整理得()22114210kx x +--=,由题意知0∆>,且121x x +=()12211221x x k =-+,所以121AB x -=,由题意可知圆M的半径123r AB==由题设知12k k =所以21k=,因此直线OC 的方程为1y=. 联立方程22112x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得2221221181,1414k x y k k ==++,因此OC =由题意可知1sin21SOT rOC r OCr∠==++,而1OC r令2112t k =+,则()11,0,1t t >∈,因此1OC r ===, 当且仅当112t =,即2t =时等号成立,此时1k =,所以 1sin 22SOT ∠…, 因此26SOT ∠π…,所以SOT ∠的最大值为3π. 综上所述,SOT ∠的最大值为3π,取得最大值时直线l的斜率为1k =.题型126 中点弦问题题型127 平面向量在解析几何中的应用24．（2107全国3卷理科20）已知抛物线22C y x =：,过点()20，的直线l 交C 与A ,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆． （1）求证：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()42P -，,求直线l 与圆M 的方程． 24．解析 （1）显然当直线斜率为0时,直线与抛物线交于一点,不符合题意． 设:2l x my =+,11(,)A x y ,22(,)B x y ,联立222y xx my ⎧=⎨=+⎩,得2240y my --=, 2416m ∆=+恒大于0,122y y m +=,124y y =-． 1212OA OB x x y y ⋅=+u u r u u u r1212(2)(2)my my y y =+++21212(1)2()4m y y m y y =++++=24(1)2240m m m -++⋅+=,所以OA OB ⊥uu r uu u r,即点O 在圆M 上．（2）若圆M 过点P ,则0AP BP ⋅=uu u r uu r,即1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=,即1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=,即21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=,化简得2210m m --=,解得12m =-或1.①当12m =-时,:240l x y +-=,设圆心为00(,)Q x y ,则120122y y y +==-,0019224x y =-+=,半径||r OQ ==则圆229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.②当1m =时,:20l x y --=,设圆心为00(,)Q x y ,12012y y y +==,0023x y =+=,半径r OQ =则圆22:(3)(1)10M x y -+-=.题型128 定点问题——暂无25. （2017全国2卷理科20）设O 为坐标原点,动点M 在椭圆22:12x C y +=上,过M 作x轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ⋅=.求证：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .25．解析 （1）设点()P x y ，,易知(0)N x ，,(0)NP y =，,又0NM NP ⎛== ⎝, 所以点M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又M 在椭圆C 上,所以221x +=,即222x y +=． （2）由题知()1,0F -,设()3,Q t -,(),P m n ,则()3,OQ t =-,()1,PF m n =---,33OQ PF m tn⋅=+-,(),OP m n =,()3,PQ m t n =---,由1OP PQ ⋅=,得2231m m tn n --+-=.又由（1）知222m n +=,所以330m tn +-=,从而0OQ PF ⋅=,即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线的垂直于OQ ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过曲线C 的左焦点()1,0F -.26.（2107全国1卷理科20）已知椭圆()2222:=10x y C a b a b+>>,四点()111P ，,()201P ，,3–1P ⎛ ⎝⎭,41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过点2P 且与C 相交于A ,B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为–1,求证：l 过定点.26. 解析 （1）根据椭圆对称性,必过3P ,4P ,又4P 横坐标为1,椭圆必不过1P ,所以过 234P P P ，，三点.将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得24a =, 21b =,所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）①当斜率不存在时,设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，, 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-,得2m =,此时l 过椭圆右顶点,不存在两个交点, 故不满足．②当斜率存在时,设()1l y kx b b =+≠∶,()()1122A x y B x y ，，，,联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩, 消去y 整理得()222148440k x kbx b +++-=,122814kb x x k -+=+,21224414b x x k -⋅=+, 则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++==-+ ()()()811411k b b b -=-+-,又1b ≠21b k ⇒=--,此时64k ∆=-,存在k 使得0∆>成立．所以直线l 的方程为21y kx k =--. 当2x =时,1y =-,所以l 过定点()21-，． 题型129 定值问题题型130 最值问题——暂无27. （2107浙江21）如图所示,已知抛物线2x y =.点1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,3924B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,抛物线上的点(),P x y 1322x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线,垂足为Q .（1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求PA PQ ⋅的最大值.27.解析 （1）设直线AP 的斜率为k ,已知1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,(),P x y ,则21114411222y x k x x x --===-++. 因为1322x -<<,所以111x -<-<,所以直线AP 斜率的取值范围是()1,1-.（2）因为直线AP ⊥BQ ,且3924B ⎛⎫⎪⎝⎭，,所以直线BQ 的方程为91342y x k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,联立直线AP 与BQ 的方程1102493042kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩,解得点Q 的横坐标是()224321Q k k x k -++=+.因为)11,112PA k k =+=+-<<,2Q PQ x -+=-=,11k -<<,所以()()311,11PA PQ k k k ⋅=--+-<<, 令()()()311,11f k k k k =--+-<<, 因为()()()2421f k k k '=--+,当112x -<<时,()0f k '>,当112x <<时,()0f k '<,所以()f k 在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,因此当12k =时,PA PQ ⋅取得最大值2716.。
2017年高考数学—圆锥曲线(解答+答案)
2017年高考数学—圆锥曲线（解答+答案）1.（17全国1理20.（12分））已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，P 4（1，C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。
若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.2.（17全国1文20．（12分））设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.3.（17全国2理20. （12分））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .4.（17全国3理20．（12分））已知抛物线2:2C y x =，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2-），求直线l 与圆M 的方程．5.（17全国3文20．（12分））在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.6.（17北京理（18）（本小题14分））已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ,过点1(0,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点,M N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.7.（17北京文（19）（本小题14分））已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点,M N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．8.17山东理（21）（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为22，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：13y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M e 的半径为MC ，,OS OT 是M e 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.9.（17天津理（19）（本小题满分14分））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程.10.（17天津文（20）（本小题满分14分））已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b .（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .（ⅰ）求直线FP 的斜率； （ⅱ）求椭圆的方程.11.（17浙江21．（本题满分15分））如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点13()()22P x y x -<<，.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求AP PQ ⋅的最大值.12.（17江苏17.（本小题满分14分））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.参考答案：1.解：（1）由于34,P P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过34,P P 两点又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上 因此22211,1314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y += （2）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为12,k k如果l 与x 轴垂直，设:l x t =，由题设知0t ≠，且||2t <，可得,A B的坐标分别为(,t t则1222122k k t t+=-=-，得2t =，不符合题设从而可设:(1)l y kx m m =+≠，将y kx m =+代入2214x y +=得 222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知2216(41)0k m ∆=-+>设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++而 12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=即222448(21)(1)04141m kmk m k k --++-=++ 解得12m k +=-当且仅当1m >-时，0∆>，于是1:2m l y x m +=-+， 所以l 过定点(2,1)-3.解：（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则000(,0),(,),(0,)N x NP x x y NM y =-=u u u r u u u u r由NP =u u u r u u u r得00,x x y y ==因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y += 因此点P 的轨迹方程为222x y += （2）由题意知(1,0)F -设(3,),(,)Q t P m n -，则(3,),(1,),33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---=+-u u u r u u u r u u u r u u u rg ， (,),(3,)OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r由1OQ PQ =u u u r u u u r g 得2231m m tn n --+-=又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=所以0OQ PF =u u u r u u u r g ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r .又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .4．解：（1）设1122(,),(,),:2A x y B x y l x my =+由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩可得2240y my --=，则124y y =- 又221212,22y y x x ==，故21212()44y y x x ==因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -==-g ，所以OA OB ⊥ 故坐标原点O 在圆M 上（2）由（1）可得21212122,()424y y m x x m y y m +=+=++=+故圆心M 的坐标为2(+2,)m m ，圆M的半径r =由于圆M 过点(4,2)P -，因此0AP BP ⋅=u u u r u u u r， 故1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=， 即121212224()2()200x x x x y y y y -+++++= 由（1）可得12124,4y y x x =-= 所以2210m m --=，解得1m =或12m =-当1m =时，直线l 的方程为10x y --=，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M的半径为M 的方程为22(3)(1)10x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=5．解：（1）不能出现AC BC ⊥的情况，理由如下：设12(,0),(,0)A x B x ，则12,x x 满足220x mx +-=，所以122x x =- 又C 的坐标为（0,1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-，所以不能出现AC BC ⊥的情况 （2）BC 的中点坐标为21(,)22x ，可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=- 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-联立22,21()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩又22220x mx +-=，可得,212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以过A,B,C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --，半径r =故圆在y轴上截得的弦长为3=，即过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值。