2009年考研数学三试卷点评
考研数学三(多元函数微积分学)-试卷4
考研数学三（多元函数微积分学）-试卷4(总分：68.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：按可微定义， f(x，y)在(0，0)C项即A=B=0的情形，因此可得出f(x，y)在(0，0)可微．故选C．3.设函数f(x，y)连续，则二次积分等于（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分．由sinx≤y≤1，则0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π，故应选B．（分数：2.00）A.B.C.D. √D．5.累次积分可以写成（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：由累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可知，积分区域D为由r=cosθ为圆心在x轴上，直径为1的圆可作出D的图形如图4—3所示．该圆的直角坐标方程为故用直角坐标表示区域D可见A、B、C均不正确，故选D．6.设g(x)有连续的导数，g(0)=0，g’(0)=a≠0,f(a，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则=(（分数：2.00）A.B.C. √D.C．7.设f(x)为连续函数，F(t)=∫ 1t dy∫ y t f(x)dx，则F’(2)等于( )（分数：2.00）A.2f(2)．B.f(2)．√C.一f(2)．D.0．解析：解析：交换累次积分的积分次序，得F(t)=∫ 1t dy∫ y t f(x)=∫ 1t dx∫ 1x f(x)dy =∫ 1t(x-1)f(x)dx 于是F’(t)=(t一1)f(t)，从而F’(2)=f(2)．故选B．8.设有平面闭区域，D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}，D 1={(x，y)|0≤x≤a，x≤y≤a}，则=( )（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：将闭区间D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}按照直线y=一x将其分成两部分D 1和D 2，如图4—4所示，其中D 1关于y轴对称，D 2关于x轴对称，xy关于x和y均为奇函数，因此在D 1和D 2上，均有=0．而cosxsiny是关于x的偶函数，关于y的奇函数，在D 1积分不为零，在D 2积分值为零．因此故选项A正确．9.累次积分∫ 01dx∫ x1 f(x，y)dt+∫ 12dy∫ 02-y f(x，y)dx可写成( )（分数：2.00）A.∫ 02dx∫ x2-x f(x，y)dy．B.∫ 01dy∫ 02-y f(x，y)dx．C.∫ 01dx∫ x2-x f(x，y)dy．√D.∫ 01dy∫ 12-x f(x，y)dx．解析：解析：原积分域为直线y=x，x+y=2，与y轴围成的三角形区域，故选C．二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.设函数f(u)可微，且z=f(4x 2一y 2 )在点(1，2)处的全微分dz| (1,2) = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4dx一2dy）11.二元函数f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny的极小值为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由题干可知 f x "=2x(2+y 2 )，f y "=2x 2 y+lny+1．12.函数f(x，y)=x 2 y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一64）解析：解析：根据题意可知，得区域D内驻点(2，1)，则有 f xx "=8y一6xy一2y 2； f xy "=8x 一3x 2一4xy； f yy "=-2x 2．则A=一6，B=一4，C=一8，有AC—B 2 =32＞0，且A＜0．所以，点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，且f(2，1)=4．当y=0(0≤x≤6)时，z=0；当x=0(0≤y≤6)时，z=0；当x+y=6(0≤y≤6)时，z=2x 3一12x 2(0≤x≤6)，且令．解得x=4．则y=2,f(4，2)=一64，且f(2，1)=4,f(0，0)=0．则z=f(x，y)在D上的最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64．13.设D={(x，y)|x 2 +y 2≤1}，则（分数：2.00）填空项1:__________________14.设z=(x+e y ) x，则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2ln2+1）解析：解析：由z=(x+e y ) x，故z(x，0)=(x+1) x，代入x=1得，15.设某产品的需求函数为Q=Q(p)，其对应价格P的弹性E p =0．2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 1元．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：8000）解析：解析：本题考查弹性和微分的经济意义．根据已知收益函数为R=pQ(p)；对收益函数做微分为当Q=10000，dp=1时，产品的收益会增加dR=8000．16.设函数dz| (1,1) = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(1+2ln2)dx+(一1一2ln2)dy）17.设连续函数z=f(x，y)满足dz| (0,1) = 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2dx一dy）解析：解析：根据以及函数z的连续性可知f(0，1)=1，从而已知的极限可以转化为的定义可知，f(x，y)在点(0，1)处是可微的，且有f x’(0，1)=2,f y’(0，1)=一1，所以dz| (0,1)=2dx 一dy．18.设函数z=z(x，y)由方程(z+y) x =xy确定（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2—2ln2）解析：解析：把点(1，2)代入(z+y) x=xy，得z(1，2)=0．在(z+y) x=xy两边同时对x求偏导数，有将x=1，y=2，z(1，2)=0代入得19.设函数z=z(x，y)由方程z=e 2x-3z +2y确定，则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：在z=e 2x-3z +2y的两边分别对x，y求偏导，z为x，y的函数．20.设函数y=y(x)由方程y=1一xe y确定，则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一e）解析：解析：将x=0代入方程y=1一xe y，得y=1．方程两边对x求导，得y’=一e y一xe y y’．y’(1+xe y )=一e y，因此21.设f(u，v)（分数：2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：13，分数：26.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(03年)设可微函数f(χ0，y0)在点(χ，y)取得极小僵，则下列结论正确的是【】A．f(χ0，y)在y＝y0处导数等于零．B．f(χ0，y)在y＝y0处导数大于零．C．f(χ0，y)在y＝y0处导数小于零．D．f(χ0，y)在y＝y0处的导数不存在．正确答案：A解析：由于f(χ，y)在(χ0，y0)取得极小值，则f(χ0，y)在y＝y0取得极小值．又f(χ，y)在(χ0，y0)点处可微，则f′y(χ0，y0)存在，从而有f′y(χ0，y0)＝0，即f(χ0，y)在y＝y0处的导数为零，故应选A．知识模块：微积分2．(05年)设I1＝，I2＝cos(χ2＋y2)dσ，I3＝cos(χ2＋y2)2dσ，其中D ＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤1}，则【】A．I3＞I2＞I1B．I1＞I2＞I3C．I2＞I1＞I3D．I3＞I1＞I2正确答案：A解析：由于当0≤χ≤时，cosχ是减函数，而当0≤χ2＋y2≤1时，≥χ2＋y2≥(χ2＋y2)2，则cos≤cos(χ2＋y2)≤cos(χ2＋y2)2 故即I1≤I2≤I3 知识模块：微积分3．(06年)设f(χ，y)与φ(χ，y)均为可微函数，且φ′y愤怒(χ0，y0)≠0，已知(χ0，y0)是f(χ，y)在约束条件φ(χ，y)＝0下的一个极值点，下列选项正确的是【】A．若f′χ(χ0，y0)＝0，则f′y(χ0，y0)＝0．B．若f′χ(χ0，y0)＝0，则f′y(χ0，y0)≠0．C．若f′χ(χ0，y0)≠0，则f′y(χ0，y0)＝0．D．若f′χ(χ0，y0)≠0，则f′y(χ0，y0)≠0．正确答案：D解析：由拉格朗日乘数法知，若(χ，y)是f(χ，y)在条件φ(χ，y)＝0下的极值点，则必有若f′χ(χ0，y0)≠0，由①式知λ≠0，由原题设知φ′y(χ0，y0)≠0，由②式可知f′y(χ0，y0)≠0，故应选D．知识模块：微积分4．(07年)设函数f(χ，y)连续，则二次积分f(χ，y)dy等于【】A．B．C．D．正确答案：B解析：二次积分对应的二重积分的积分域D如图所示．交换二次积分次序得故应选B．知识模块：微积分5．(08年)已知f(χ，y)＝，则【】A．f′χ(0，0)，f′y(0，0)都存在．B．f′χ(0，0)不存在，f′y(0，0)存在．C．f′χ(0，0)存在，f′y(0，0)不存在．D．f′χ(0，0)，f′y(0，0)都不存在．正确答案：B解析：f(χ，0)＝e｜χ｜，在χ＝0处不可导，事实上而不存在，则f′χ(0，0)不存在又f(0，y)＝在y＝0处可导，则f′y(0)存在，故应选B．知识模块：微积分6．(08年)设函数f连续，若F(u，v)＝，其中区域Duv为图中阴影部分，则＝【】A．vf(u2)．B．f(u2)．C．vf(u)．D．f(u)．正确答案：A解析：故应选A．知识模块：微积分填空题7．(01年)设生产函数为Q＝ALαKβ，其中Q是产出量，L是劳动投入量，K是资本投入量，而A，α，β均为大于零的参数，则当Q＝1时K关于L的弹性为_______．正确答案：解析：当Q＝1时，1＝ALαKβ等式两边对L求导，得0＝αAL α－1Kβ＋βALαKβ－1 解得由弹性计算公式知，K关于L的弹性为知识模块：微积分8．(02年)交换积分次序＝_______．正确答案：解析：由原累次积分可知积分域如图2．16因此：知识模块：微积分9．(03年)设a＞0，f(χ)＝g(χ)＝，而D表示全面，则I＝f(χ)g(y－χ)d χdy＝_______．正确答案：a2解析：由题意知f(χ)g(y－χ)＝令Ω＝{(χ，y)｜0≤χ≤1且0≤y －χ≤1}．则I＝＝a2 其中区域Ω的面积为1．知识模块：微积分10．(04年)函数，(u，v)由关系式f[χg(y)，y]＝χ＋g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则＝_______．正确答案：解析：令χg(y)＝u，y＝v，则χ＝，g(y)＝g(v)，则知识模块：微积分11．(05年)设二元函数z＝χeχ＋y＋(χ＋1)ln(1＋y)，则dz｜(1，0)＝_______．正确答案：2edχ＋(e＋2)dy．解析：知识模块：微积分12．(06年)设函数f(u)可微，且f′(0)＝，则z＝f(4χ2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜(1,2)＝_______正确答案：4dχ－2dy．解析：则dz｜(1，2)4dχ－2dy 知识模块：微积分13．(07年)设f(u，v)是二元可微函数，z＝，则＝_______．正确答案：解析：知识模块：微积分14．(08年)设D＝{(χ2，y2)｜χ＋y≤1}，则(χ2－y)dχdy＝_______．正确答案：解析：知识模块：微积分15．(09年)设z＝(z＋ey)χ，则＝_______．正确答案：2ln2＋1解析：由z＝(χ＋eyy)χ知，z(χ，0)＝(χ＋1)χ．代入χ＝1得，＝2ln2＋1．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
青岛大学数学分析2009-2017年考研初试真题
五、（每题 5 分， 共 15 分）计算下列各积分：
(1)
e3x+ex e4x−e2x+1
dx
;
(2) 1 x+2dx ;
x x−2
(3)
1 0
xexdx
六、（20 分）求下列函数
fx =
π
− 4 , − π ≤ x 0h
0,
x = 0h
π
4, 0
的傅里叶展开式。
七、（20 分）证明函数项级数
∞ cos nx n=1 n
1
7. (本题满分 30 分) 证明:
(1) (1)n1 sin 1 收敛;
n3
n
(2)
(1)n1 sin
1 n
n3 (ln n)x
在[0, ) 一致收敛;
(3)
lim
x0
n3
(1)n1 sin (ln n)x
1 n
(1)n1 sin
1. (本题满分 30 分) 求下列极限：
(1) lim( n a n b )n , 其中 a 0,b 0, a 1,b 1 ；
n
2
(2) lim sin( n2 1) ； n
nn
(3)
lim
n
3n
n!
.
2.
(本题满分
20
分)证明数列
{xn}
收敛,其中
x1
3
,
xn1
在一点 [a,b], 使得
b f (x)g(x)dx f ( )
b
g(x)dx .
a
a
6. (本题满分15分) 证明:广义积分 cos x dx 收敛,而 | cos x | dx 发散.
2009新课标高考数学试卷分析
1
2B
4
无最大值.
2
x2y 2 3
C
7. 等比数列{an }的前n项和为Sn , 且4a1, 2a2 , a3成等差数列
若a1 1, 则S4 ( C )
A. 7
B. 8
C. 15
D.16
4a1, 2a2 , a3成等差数列, 4a1 a3 4a2 , 即4a1 a1q2 4a1q,q2 4q 4 0, q 2, S4 1 2 4 8 15
2
44
2
T5
将(2
,1)代入y
sin
4 5
x
,
得
sin
8 5
1,
8 2k , k Z ,
5
2
2k 11 , k Z
10
又 ,
所以 9
10
15. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区 公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共 有________1_4_0______种（用数字作答）。
又S2m1 (2m 1)am 38, 得2m 1 19, m 10
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 为了测量两山顶M, N间的距离,飞机沿水平方向在A, B 两点进行测量. A, B, M, N在同一个铅垂平面内(如示意 图).飞机能够测量的数据有俯角和A, B间的距离.请设计 一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并 在图中标出);②用文字和公式写出计算M, N间的距离的 步骤.
(1)求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为A类工人,乙 为B类工人;
(1)甲、乙被抽到的概率均为 1 , 10
且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立
考研数学三N维向量-试卷3_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三（N维向量）-试卷3(总分54, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.下列向量组α1，α2，…，α3中，线性无关的是SSS_SINGLE_SELA (1，2，3，4)，(4，3，2，1)，(0，0，0，0)．B (a，b，c)，(b，c，d)，(c，d，e)，(d，e，f)．C (a，l，b，0，0)，(c，0，d，2，3)，(e，4，f，5，6)．D (a，1，2，3)，(b，1，2，3)，(c，4，2，3)，(d，0，0，0)．分值: 2答案:C解析：有零向量的向量组肯定线性相关，任意n+1个n维向量必线性相关．因此(A)，(B)均线性相关．对于(D)，若d=0，肯定线性相关；若d≠0，则 (a，1，2，3)-(b，1，2，3)= (d，0，0，0)，即α1，α2，α4线性相关，而线性相关的向量组再增加向量肯定仍是线性相关，因此不论哪种情况，(D)是线性相关的．由排除法可知(C)入选．另一方面，若能观察出β1=(1，0，0)，β2 =(0，2，3)，β3=(4，5，6)所构成的行列式则可知β1，β2，β3线性无关，而α1，α2，α3是其延伸组，即不论如何扩充均线性无关，故选(C)．2.已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则命题正确的是SSS_SINGLE_SEL Aα1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无关．Bα1 -α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1线性无关．Cα1+α2，α2+α3，α3-α4，α4-α1线性无关．Dα1+α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1线性无关．分值: 2答案:D解析：由观察法可知(α1+α2)-(α2+α3)+(α3+α4)-(α4+α1 )=0，即(A)线性相关．对于(B)，(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0，即(B)线性相关．而(C)中，(α1+α2)-(α2+α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0，即(C)线性相关．由排除法可知(D)正确．作为复习并掌握基本方法，请读者直接证明(D)线性无关.3.设α1，α2，…，αs是n维向量，则下列命题中正确的是SSS_SINGLE_SELA如αs 不能用α1，α2，…，αs-1线性表出，则α1，α2，…，αs线性无关．B如α1，α2，…，αs线性相关，αs不能由α1，α2，…，αs-1线性表出，则α1，α2，…，αs-1线性相关．C如α1，α2，…，αs中，任意s-1个向量都线性无关，则α1，α2，…，αs线性无关．D零向量0不能用α1，α2，…，αs线性表出．分值: 2答案:B解析：(A)，(C)，(D)均错，仅(B)正确． (A)中当αs 不能用α1，α2，…，αs-1线性表出时，并不保证每一个向量αi(i=1，2，…，s-1)都不能用其余的向量线性表出．例如，α1 =(1，0)，α2=(2，0)，α3=(0，3)，虽α3不能用α1，α2线性表出，但2α1-α2+0α3=0，α1，α2，α3是线性相关的． (C)如α1，α2，…，αs线性无关，可知它的任何一个部分组均线性无关．但任一部分组线性无关并不能保证该向量组线性无关．例如 e1 =(1，0，0，…，0)，e2=(0，1，0，…，0)，…，en=(0，0，0，…，1)，α=(1，1，1，…，1)，其中任意n个都是线性无关的，但这n+1个向量是线性相关的． (D)在线性表出的定义中，对组合系数没有任何约束条件，因此，零向量可以用任何向量组线性表出，最多组合系数全取为0，即0=0α1+0α2，+ 0s．其实，零向量0用α1，α2，…，αs 表示时，如果组合系数可以不全为0，则表明α1，α2，…，αs是线性相关的，否则线性无关．关于(B)，由于α1，α2，…，αs线性相关，故存在不全为0的ki (i=1，2，…，s)，使 k1α1+k2α2+…+ksαs =0．显然，ka=0(否则αs可由α1，…，αs-1线性表出)，因此α1，α2，…，αs-1线性相关．4.设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表出，则下列命题正确的是SSS_SINGLE_SELA 若向量组Ⅰ线性无关，则ar≤s．B 若向量组Ⅰ线性相关，则r＞s．C 若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s．D 若向量组Ⅱ线性相关，则r＞s．分值: 2答案:A解析：因为Ⅰ可由Ⅱ线性表出，故r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)．当向量组Ⅰ线性无关时，有r(Ⅰ)=r(α1，α2，…，αr)=r．由向量组秩的概念自然有r(Ⅱ)=r(β1，β2，…，βs)≤s．从而(A)正确．若α1= ，可见(B)、(D)均不正确．若α1= ，可知(C)．不正确．2. 填空题1.已知向量组α1 =(1，2，-1，1) T，α2=(2，0，a，0) T，α3=(0，-4，5，1-a) T的秩为2，则a=______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：3解析：根据三秩相等定理及经初等变换秩不变定理，对(α1，α2，α3)作初等变换，有所以a=3．2.若α1 =(1，0，5，2) T，α2=(3，-2，3，-4) T，α3=(-1，1，t，3) T线性相关，则t=______.SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：1解析：α1，α2，α3线性相关的充要条件是齐次方程组x1α1+x2α2 +x3α3=0有非零解．对系数矩阵高斯消元，化为阶梯形，于是有因为齐次方程组有三个未知数，它若有非零解则阶梯形方程组中方程个数必不大于2，故知t=1．3.若α1 =(1，-1，2，4) T，α2=(0，3，1，2) T，α3=(3，0，7，a)T，α4=(1，-2，2，0) T线性无关，则a的取值范围为________．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：a≠14解析：n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关｜α1，α2，…，αn｜≠0．因为所以a≠14．4.若β=(1，2，t) T可由α1 =(2，1，1) T，α2=(-1，2，7) T，α3=(1，-1，-4) T线性表出，则t=_______.SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：5解析：β可以由向量组α1，α2，α3线性表出的充要条件是线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有解．对增广矩阵高斯消元，化为阶梯形，即5.设α1 =(1，2，1) T，α2=(2，3，a) T，α3=(1，a+2，-2) T，若β1=(1，3，4) T可以由α1，α2，α3线性表出，β2=(0，1，2) T不能由α1，α2，α3线性表出，则a=_____.SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：-1解析：依题意，方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1有解，而方程组x1α1 +x2α2+x3α3=β2无解.因为两个方程组的系数矩阵相同，故可合并一次加减消元，即可见a=-1时，方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1有解，而x1α1+x2α2+x3α3=β2无解，故a=-1.3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2009年考研数学一真题评注
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==.()C 11,6a b =-=-.()D 11,6a b =-=.（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为 四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14m ax k k I ≤≤=（ ）()A 1I .()B 2I .()C 3I .()DI （3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .x()C .()D .（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（ ）()A 当1n n b ∞=∑收敛时，1n n n a b ∞=∑收敛.()B 当1n n b ∞=∑发散时，1n n n a b ∞=∑发散.()C 当1n n b ∞=∑收敛时，221nnn a b ∞=∑收敛.()D 当1n n b ∞=∑发散时，221n n n a b ∞=∑发散.（5）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基122331,,αααααα+++的过渡矩阵为（ ） ()A 101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.()B 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.()C 111246111246111246⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.()D 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.（6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ） ()A **32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.()B **23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.()D **23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =（ ） ()A 0.()B 0.3.()C 0.7.()D 1.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为（ ）()A 0.()B 1. ()C 2.()D 3.二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.） （9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2z x y∂=∂∂ 。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(16年)设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)＝【】A．6．B．8．C．14．D．15．正确答案：C解析：由题意知：EX＝1，DX＝2，EY＝1，DY＝4，于是E(X2)＝DX＋(EX)2＝2＋12＝3，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝4＋12＝5，注意到X2与Y2是独立的，于是D(XY)＝E(XY)2－[E(XY)]2 ＝E(X2Y2)－[EX.EY]2 ＝E(X2).EY2－(EX)2(EY)2 ＝3×5－12×12＝14 故选C．知识模块：概率论与数理统计2．(94年)设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，是样本均值，记则服从自由度为n－1的t分布的随机变量是【】A．B．C．D．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计3．(02年)设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则【】A．X＋Y服从正态分布．B．X2＋Y2服从Z2分布．C．X2和Y2都服从χ2分布．D．X2／Y2服从F分布．正确答案：C解析：∵X～N(0，1)，Y～N(0，1)∴X2～χ2(1)，Y2～χ2(1)，故选C．知识模块：概率论与数理统计4．(11年)设总体X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，X1，X2，…，Xn(n ≥2)为来自该总体的简单随机样本．则对于统计量T1＝和T2＝，有【】A．ET1＞ET2，DT1＞DT2．B．ET1＞ET2，DT1＜DT2．C．ET1＜ET2，DT1＞DT2．D．ET1＜ET2，DT1＜DT2．正确答案：D解析：由题意知X1，X2，…，Xn独立同分布，EXi＝DXi＝λ，i＝1，2，…，n．故：可见ET1＜ET2，DT1＜DT2，故选D．知识模块：概率论与数理统计5．(12年)设X1，X2，X3，X4为来自总体N(1，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，则统计量的分布为【】A．N(0，1)B．t(1)C．χ2(1)D．F(1，1)正确答案：B解析：由题意得：E(X1－X2)＝EX1－EX2＝1－1＝0，D(X1－X2)＝DX1＋DX2＝σ2＋σ2＝2σ2，∴X1－X2～N(0，2σ2) 同理，E(X3＋E4)＝EX3＋EX4＝1＋1＝2，D(X3＋X4)＝DX3＋DX4＝2σ2，∴X3＋X4～N(2，2σ2) 又∵X1－X2与X3＋X4独立，故知识模块：概率论与数理统计6．(14年)设X1，X2，X3为来自正态总体N(0，σ2)的简单随机样本，则统计量S＝服从的分布为【】A．F(1，1)B．F(2，1)C．t(1)D．t(2)正确答案：C解析：由题意可知：X1－X2～N(0，2σ)，∴～N(0，1) 又：～N(0，1)，∴～χ2(1)且X3与X1－X2独立，故～t(1) 即S～t(1)，故选C．知识模块：概率论与数理统计7．(15年)设总体X～B(m，θ)，X1，X2，…，Xn为来自该总体的简单随机样本，一为样本均值，则【】A．(m－1)nθ(1－θ)．B．m(n－1)θ(1－θ)．C．(m－1)(n－1)θ(1－θ)．D．mmθ(1－θ)．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计8．(92年)设n个随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，DX1＝σ2，，则【】A．S是σ的无偏估计量．B．S是σ的最大似然估计量．C．S是σ的相合估计量(即一致估计量)．D．S与相互独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计9．(05年)设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值＝20(cm)，样本标准差s＝1(cm)，则μ的置信度为0．90的置信区间是【】A．(20－t0．05(16)，20＋t0．05(16))B．(20－t0．1(16)，20＋t0．1(16))C．(20－t0．05(15)，20＋t0．05(15))D．(20－t0．1(15)，20＋t0．1(15))正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题10．(10年)设X1，X2，…，Xn是来自总体N(μ，σ2)(σ＞0)的简单随机样本．记统计量T＝，则ET＝_______．正确答案：σ2＋μ2解析：由题意知EXi＝μ，DXi＝σ2，∴EXi2＝DXi十(EXi)2＝σ2＋μ2，i＝1，2，…，n．故ET＝＝σ2＋μ2．知识模块：概率论与数理统计11．(14年)设总体X的概率密度为其中θ是未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．若＝θ2，则c＝_______．正确答案：解析：由题意得：故c＝知识模块：概率论与数理统计12．(93年)设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5．则X的数学期望的置信度近似等于0．95的置信区间为_______．正确答案：(4．804，5．196) 涉及知识点：概率论与数理统计13．(96年)设由来自正态总体X～N(μ，0．92)容量为9的简单随机样本，得样本均值＝5．则未知参数μ的置信度为0．95的置信区间是_______．正确答案：(4．412，5．588)解析：由题意知X～N(μ，) ∴～N(0，1) 故0．95＝＝P{－0．3×u0．975＜μ＜＋0．3×u0．975 而u0．975＝1．96，＝5，故得μ的置信度为0．95的置信区间为(5－0．3×1．96，5＋0．3×1．96)＝(4．412，5．588) 知识模块：概率论与数理统计14．(02年)设总体X的概率密度为而X1，X2，…，Xn是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_______．正确答案：解析：知识模块：概率论与数理统计15．(06年)设总体X的概率密度为f(χ)＝(－∞＜χ＜＋∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2＝_______．正确答案：2 涉及知识点：概率论与数理统计16．(95年)设X1，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ，σ2未知．记则假设H0：μ＝0的t检验使用的统计量t＝_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计17．(89年)设X为随机变量且EX＝μ，DX＝σ2．则由切比雪夫不等式，有P{｜X－μ｜≥3σ}≤_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)-试卷6
考研数学三（微积分）-试卷6(总分：64.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.下列各式中正确的是（（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：由重要极限结论=e，可立即排除B、D。
对于A、C选项，只要验算其中之一即可。
对于C选项，因=e —1，故C不正确，选A。
3.设对任意的x，总有φ（x）≤f（x）≤g（x），且[g（x）—φ（x）]=0（分数：2.00）A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在√解析：解析：取φ（x）=f（x）=g（x）=x，显然有φ（x）≤f（x）≤g（x），且[g（x）—φ（x）]=0，但[g（x）一φ（x）]=0=1，可见C也不正确，敬选D。
4.设f（x）在[a，b]可导，f（a））（分数：2.00）A.f +"（0）=0B.f +"（a）≥0C.f +"（A）＜0D.f +"（a）≤0√解析：解析：由题设条件f +"（a）D。
5.设f（x）在（1—δ，1+δ）内存在导数，f"（x）严格单调减少，且f（1）=f"（1）=1，则（）（分数：2.00）A.在（1—δ，1）和（1，1+∞内均有f（x）＜x √B.在（1—δ，1）和（1，1+∞内均有f（x）＞xC.在（1—δ，1）有f（x）＜x，在（1，1+δ）内均有f（x）＞xD.在（1—δ，1）有f（x）＞x，在（1，1+δ）内均有f（x）＜x解析：解析：f"（x）在（1—δ，1+δ）上严格单调减少，则f（x）在（1—δ，1+δ）是凸的，因此在此区间上，y=f（x）在点（1，1）处的切线为y—l=f"（1）（x—1），即y=x在此曲线的上方（除切点外）。
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2009年考研数学三试卷点评
2009年全国硕士研究生统一入学考试初试已经结束，数学三和数学四合并后的新数学三首次与考生见面，部分考生和考研辅导教师认为比去年数学题难度有所下降。
一、考查内容
考研数学辅导专家说，新数学三试题突出了该科考试大纲较原数学四大纲新增加的内容。
如无穷级数部分考了一道基本题、数理统计部分考了一道填空题。
这两道客观题不是很难。
微分方程和解的结构定理，以及二阶微分方程及差分方程的相关内容，在2009年的试卷中没有反映。
二、难度分析
考研数学辅导教师认为，2009年数学试题整体难度有所降低，主要是线性代数和概率论与数理统计部分试题难度减小，高等数学部分与去年难度相当。
线性代数部分的试题难度降低原因主要有2个。
一是试题基本涉及线性代数考试大纲6个章节的重要知识点，每章都有考题，而且题目难度不高；二是试题计算量不大，如果考生将基本知识点掌握了，就可以用比较简洁的方法将题目解出来。
如：试卷第20题考核考生最常见的数字非齐次线性方程组求解，然后判断3个向量线性无关。
做此题时，考生用3个向量构成矩阵行列式不等于零就可以，这
些是线性代数中的基本要求。
第21题考核二次型，也是一个很规范的题目，只是第二小问略有难度，需要考生用到平时积累的结论。
第23题是有关点估计的题目，题型也常见。
2009年考研数学题的明显特点是考试内容涉及较广，且符合考试大纲要求，没出偏题、怪题，难度适中。
赵达夫说，今年数学试题更重视考查基本概念、公式、性质、定理和原理，提高了对考生综合知识的考核。
如数学三考了求幂级数的收敛半径，数学一考了求体积和微分方程等综合题。
今年数学试卷还延续了去年考试的特点，考查了考试大纲中所要求的重要定理的证明，数一、数二、数三都考了拉格朗日微分中值定理的证明，利用这个定理证明这道题的第二问。
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