2018届安徽省马鞍山市高考第二次教学质量监测文科数学试题-含答案

2018届安徽省马鞍山市高考第二次教学质量监测文科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合(){}ln 1A x y x ==+，集合{}2B x x =≤，则A B ⋂=（ ） A ．∅ B ．R C.(]1,2- D ．(]0,+∞2.已知复数z 满足34zi i =+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限3.若一组数据12,,,n x x x 的方差为1，则1224,24,,24n x x x +++的方差为（ ）A ．1B ．2 C. 4 D ．84．设,x y 满足约束条件001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．2B ．3 C. 4 D ．55．已知等比数列{}n a 满足()13541,41a a a a =⋅=-，则7a 的值为（ ） A ．2 B ．4 C.92D ．6 6．如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，,EF 分别为,BC CD 的中点，则AE EF ⋅=（ ）A ．12 B ．32- C.32 D ．12- 7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．23π B ．43π C.83π- D ．283π- 8.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？ ”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问一边在勾上的内接正方形边长为多少步？ ”现向此三角形内投一粒豆子，则豆子落在这个内接正方形内的概率是（ ） A ．90289 B ．120289 C. 180289 D ．2402899.执行如图所示的程序框图，则输出d 的最大值为（ ）A 1B 110.设0ω>，函数2cos 5y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移5π个单位长度后与函数2sin 5y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象重合，则ω的最小值是（ ） A ．12 B ．32 C. 52 D ．7211.过抛物线()220y px p =>的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，8AF BF ⋅=，则p的值为（ ） A ．4 B ．12C. 1 D ．2 12.已知函数()f x 在R 上满足()()2f x f x x +-=，当()0,x ∈+∞时，()f x x '>.若()()112f a f a a +--≥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)0,+∞B ．[)1,+∞ C.(],0-∞ D ．(],1-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()2log 1,137,1x x x f x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()1f x =-，则x = ．14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段，两条垂线段的和为a ，则双曲线的离心率为 ．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos 23cos 1,5A A b +==，ABC ∆的面积S =则ABC ∆的周长为 ．16.在三棱锥A BCD -中，1,AB BC AC ====当三梭锥A BCD -的体积最大时，其外接球的表面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，2437,152a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2n n a -的前n 项和n T .18.如图，在三棱台111ABC A B C -中，111114,2AB BC BB A B B C =====，且1B B ⊥面ABC ，90ABC ∠=︒，,D G 分别为,AC BC 的中点，,E F 为11AC 上两动点，且2EF =.（1）求证：BD GE ⊥； （2）求四面体B GEF -的体积.19.某校为了解该校多媒体教学普及情况，根据年龄按分层抽样的方式调查了该校50名教师，他们的年龄频数及使用多媒体教学情况的人数分布如下表：（1）由以上统计数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.（2）若采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用多媒体的教师中选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人年龄在30-39岁的概率.20.在直角坐标系中，己知点()()2,0,2,0A B -，两动点()()0,,0,C m D n ，且3mn =，直线AC 与直线BD 的交点为P .（1）求动点P 的轨迹方程；（2）过点()1,0F 作直线l 交动点P 的轨迹于,M N 两点，试求FM FN ⋅的取值范围.21.已知函数(),x e af x a R x-=∈.（1）若()f x 在定义域内无极值点，求实数a 的取值范围； （2）求证：当1,0a x <<>0时，()1f x >恒成立. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，求AB 的大小. 23.选修4-5：不等式选讲已知()1f x x x m =+++，()232g x x x =++. （1）若0m >且()f x 的最小值为1，求m 的值；（2）不等式()3f x ≤的解集为A ，不等式()0g x ≤的解集为B ，B A ⊆，求m 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: CDCAB 6-10: DBBDC 11、12：DA二、填空题13. 12x =或3log 615. 96π三、解答题17. 解：（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则：113746152a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1352a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式：()*233n a n n N =+∈ （2）由（1）知，22332n nn a n -=+-()()()23320522336n n n n n n ⎧+-<≤⎪=⎨-+≥⎪⎩， ①当05n <≤时，23322332n n n n +-=+-，有：()()21212352333422212n n n n nT n n +-++=-=+-+-，②当6n ≥时，5133T =，()23322233n n n n +-=-+()()()51256412452335234131122n n n n n T T n n -+-++--=-=--+-，12234264n n T n n +=--+，综上所述：()()21*12*342205,2342646,n n n n n n n N T n n n n N ++⎧+-+<≤∈⎪=⎨--+≥∈⎪⎩18.证明：（1）取AB 的中点O ,连接11,,OG OA C G ,∵AB BC =,D 为AC 的中点, ∴BD AC ⊥,又11//AC AC ,∴11BD AC ⊥,∵11//BG B C ,且11BG B C =,∴四边形11BGC B 为平行四边形,∴11//GC BB , 同理，四边形11OBB A 为平行四边形，∴11//GC OA .∴四边11OGC A 为平行四边形,∵1B B ⊥面ABC ,∴1C G ⊥面ABC ,∴1C G BD ⊥,又1111AC C G C ⋂=,∴BD ⊥面11A C GO , ∵GE ⊂面11A C GO ,∴BD GE ⊥.（2）∵1C G ⊥面ABC ,1C G ⊂面11A C GO ,∴面11AC GO ⊥面ABC , ∵面11AC GO ⋂面ABC OG =,∵//,OG AC BD AC ⊥,∴BM OG ⊥,∴BM ⊥面11A C GO ,∴BM 为点到面11A C GO 的距离，即BM =又11142422GEF S GC EF ∆=⨯⨯=⨯⨯=,∴11433B GEF GEF V BM S -∆=⨯⨯==19.解：（1）根据所给数据可得如下22⨯列联表由表中数据可得：()225018141262254.327 3.8412426302052K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯. ∴有95%的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异 .（2）由题意，抽取6人，2030-岁有2人，分别记为12,A A ；30-40岁有4人，分别记为1234,,,B B B B ；则抽取的结果共有15种：()()()()()()()()()121112131421222324,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,B B B B B B B B B B B B ,设“至少有1人年龄在30-39岁”记为事件A ，则事件A 包含的基本事件有14种 ∴()1415P A =即至少有1人年龄在3040-岁的概率1415. 20.解：（1）直线AC 的方程：()22my x =+ ()1 直线BD 的方程：()22ny x =-- ()2 上述两式相乘得：()2244mn y x =--，又3mn =，于是：22143x y += 由3mn =得0,0m n ≠≠，∴2x ≠±所以动点P 的轨迹方程：()221243x y x +=≠±.（2）当直线MN 的斜率不存在时，331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有：330,,0,22FM FN ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得94FM FN ⋅=-；当直线MN 的斜率存在时，设方程：()()()11221,,,,y k x M x y N x y =- 联立：()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得：()22224384120k x k x k +-+-= 有221212228412,4343k k x x x x k k -+==++， 由()()()21212121212111FM FN x x x x y y k x x x x ⋅=-+++=+-++⎡⎤⎣⎦()()()2222222291412899114343434443k k k k k k k k +⎡⎤-+-+=-=--⎢⎥++++⎣⎦； 由20k >，可得：()2999344443k -<--<-+，综上所得：FM FN ⋅的取值范围：93,4⎛⎤-- ⎥⎝⎦21.解：（1）由题意知()()21x e x af x x -+'=，令()()()1,0x g x e x a x =-+≠，则()x g x e x '=⋅， 当0x <时，()0,()x g g x '<在(),0-∞上单调递减， 当0x >时，()0,()x g g x '>在()0,+∞上单调递增， 又()01g a =-，∵()f x 在定义域内无极值点， ∴1a >又当1a =时，()f x 在(),0-∞和()0,+∞上都单调递增也满足题意， 所以1a ≥ （2）()()21x e x af x x-+'=，令()()1x g x e x a =-+，由（1）可知()g x 在()0,+∞上单调递増，又()()01010g a g a ⎧=-<⎪⎨=>⎪⎩，所以()f x '存在唯一的零点()00,1x ∈，故()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递増， ∴()()0f x f x ≥由()0010x e x a -+=知()001x f x e => 即当01,0a x <<>时，()1f x >恒成立.22.解：（1）由ρθ=，得圆C 的直角坐标方程为：(2224x y -+=.（2）(法一)由直线l 的参数方程可得直线l 的普通方程为：0x y +=，代入圆C 方程消去y 可得230x -+=∴12123x x x x +=⋅=∴AB ==(也可以用几何方法求解）(法二）将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得：()()2224-+=整理得：22270t ++=∴1212272t t t t +=-⋅=根据参数方程的几何意义，由题可得：AB =-=23.解：（1）()()()111f x x x m x x m m =+++≥+-+=-(当1x =-时，等号成立）∵()f x 的最小值为 1，∴11m -=，∴2m = 或0m =，又0m >，∴2m =. （2）由()0g x ≤得，[]2,1B =--，∵B A ⊆，∴(),3x B f x ∀∈≤，即()13x x m -+++≤444x m x x x m x ⇔+≤+⇔--≤+≤+ 42m x +⇔≥-且4m ≤422m +⇔-≤-且404m m ≤⇔≤≤.。