基于雅可比旋量法的实际工况公差建模

第17卷第1期计算机集成制造系统Vol.17No.12011年1月Computer Integrated Manufacturing SystemsJan.2011文章编号:1006-5911(2011)01-0077-07收稿日期:2009 11 05;修订日期:2009 12 31。

Received 05Nov.2009;accepted 31Dec.2009.基金项目:国家自然科学基金资助项目(50675159);国家863计划资助项目(2007AA042002);德国蒂森克虏伯基金教席资助项目。

Founda tionitems :Project supported by th e Nation al Natural Science Foundation,China(No.50675159),th e National High T ech.R&D Pro gram,China(No.2007AA042002),and th e Th yssenKrupp Fund,Germany.基于雅可比旋量法的实际工况公差建模张为民1,2,陈 灿1,李鹏忠2,李国伟1,胡江敏1(1.同济大学机械工程学院,上海 200092;2.同济大学中德学院,上海 200092)摘 要:计算了加载时工作零件的变形量,并将其转变为雅可比旋量修正量,通过对雅可比旋量公差模型在实际工况下的扩充与修正,建立了基于雅可比旋量和实际工况的装配体公差数学模型,以此定量计算实际工况对产品工作性能及公差设计的影响。

通过将此方法在某齿轮泵装配体的公差设计中的应用说明了该方法的有效性。

关键词:雅可比旋量;公差建模;实际工况;装配间隙;产品设计中图分类号:T H 124 文献标志码:ATolerance modeling in actual working condition based on Jacobian Torsor theoryZH A N G Wei min1,2,CH EN Can 1,LI Peng z hong 2,LI Guo wei 1,H U J iang min1(1.Co lleg e of M echanical Engineer ing ,T ongji U niv ersity ,Shang hai 200092,China;2.Chinese G er man Schoo l fo r Po stgr aduate,T ongji U niv ersity ,Shang hai 200092,China)Abstract:T he defo rmation of wo rking parts under lo ad w as calculated and t ranslated into co rr ection o f Jacobian T o r so r.T hr ough ex tending and modify ing the Jacobian T or sor to lerance mo del in actual w or king conditio n,an assembly tolerances mathematical mo del based o n Jaco bian T orso r and actual w or king co ndition w as set up.T herefo re,the impact o f act ual wo rking conditio n on w orking per formance and t oler ance design wer e quantitat ively ex pr essed.T he applicat ion to t oler ance design of a g ear pum p assembly illustr ated the effect iveness o f this met ho d.Key words:Jacobian T o rsor ;to ler ance modeling ;actual w or king condition;assembly clearance;pro duct desig n0 引言随着数字样机技术的发展,产品开发的质量和效率显著提高,而数字样机技术在工程阶段的应用还存在不足。

例如公差设计与分配的功能大多限于标注,或对已标注的公差尺寸链进行统计计算,缺少公差设计在实际工作条件下是否合适的验证。

由于公差设计大多还停留在依据经验或物理样机进行修正的程度上,导致数字样机技术在产品开发全生命周期中的中断。

因此,在数字样机技术中引入实际工况下公差分析模型的构造理论和方法,在产品设计的工程化阶段具有重要的意义。

近年来,国内外学者在公差分析领域进行了大量研究并取得了一些研究成果。

Gao 等[1]提出用直接线性方法(Direct Linearizatio n Method,DLM )对三维机械装配体进行公差分析;王恒等[2]从虚拟环境下产品模型的特点和特殊要求出发,提出了一种面向虚拟环境的多层次结构的产品双耦合公差模型;徐旭松等[3]考虑了工艺系统本身几何变动的累积,以齐次坐标变换来描述装配体中的几何变动传递。

但在对产品数字模型进行公差分析时,忽略了产品实际工作环境(如产品实际使用时承受各种负载及温度变化等)的影响,使数字模型与实际情况有较大的差别。

通常由于产品零部件所用的材料不计算机集成制造系统第17卷同,以及使用时承受各种载荷的作用不同,仅利用数字样机的机构仿真与实际有较大的差别。

而通过实际工况仿真,可以了解产品的实际工作性能,从而为设计及装配公差的调整提供依据。

本文提出实际工况下产品公差的分析方法,并采用雅可比旋量法建立装配体公差模型,将实际工况对产品工作性能的影响纳入公差设计过程,对设计公差进行量化验算,并通过一个典型实例介绍了该方法的应用。

1 实际工况下的公差分析1 1 实际工况引起的几何偏差的数学表达在利用虚拟样机进行公差分析时,必须考虑实际工作状况的影响,得到接近实际情况的配合性质分析结果,进而合理地设计并分配公差。

在实际工况下,产品会受到负载、温度等环境因素的影响,从而使其零部件产生一定的几何偏差,如何对这些由环境因素所引起的零部件几何变动量作数学表述,是实际工况下公差分析的关键。

在装配体中,相关零件的微小误差经尺寸链传递一步步放大,最终影响装配要求。

零件上每一个功能要素的尺寸、形状或位置的变动,可以看作理想零件在空间六个自由度上的变动,用向量矩阵 表示为=u v ! w∀。

(1)式中: u, v 和 w 分别表示理想零件坐标系原点在x ,y 和z 方向上的平移量; , !和 ∀分别表示理想零件坐标系绕x ,y 和z 轴的旋转量。

式(1)中各变量均可通过力学计算方法或有限元方法求得。

一般来说,实际工况引起的尺寸变动主要是机械负载和温度变化两个方面。

由机械负载导致的几何偏差与尺寸变动类似,只是变动方向和大小由负载决定。

因此,由机械负载引起的偏差可表示为相应的旋量。

由温度引起的偏差没有方向性,往往被视为一种比例因子,特征尺寸所有方向上均成比例地增加或减少。

因此,该偏差也可以表示为六自由度区间值彼此非独立的旋量。

1 2 实际工况下的公差分析如图1所示,对于产品设计中确定的公差,首先基于雅可比旋量法来建立理想状况下的装配体公差模型;然后考虑实际工况下环境因素的影响,计算这些影响所引起的零部件尺寸、形状和位置的变化,并将这些变化用旋量矩阵表示,作为补偿与理想状况下的公差模型相结合,得出实际工况下的装配体公差模型。

2 基于雅可比旋量法的公差建模2 1 雅可比旋量理论概述加拿大Desrochers 和Laperriere 等利用刚体运动学方法进行公差分析,提出了雅克比方法和旋量方法,用矩阵方程表达名义几何实体的微小变动。

其中雅克比方法采用机器人学刚体开环运动链的矩阵变化理论,以点集的形式表示微小位移;旋量方法以约束的旋量表示特征的微小变动量,以此描述三维公差域[4 6]。

之后,他们又将两种方法进行综合,提出了雅可比旋量法对公差进行数学建模,并采用区间算术进行公差分析。

式(2)为雅可比旋量公差模型的基本表达式,该方程在装配层上的功能要求(FR )与零件层的功能要素(FE )之间建立数学关系,通过采用雅可比(J )矩阵积表达FE 相对于FR 的几何关系。

[FR ]=[J ][FE ]。

(2)式中:[FR ]为与功能要求相关的小位移旋量(如配合间隙),[FR ]=[[u,u],[v ,v],[w ,w ],[ , ],[!,!],[ , ]]T FR (u,v ,w , ,!, )和(u,v,w , ,!, ),分别表示u,v,w , ,!, 的下限和上限。

[J ]为[FR ]向量与相应的[FE ]向量之间几何关系的雅可比矩阵,[J ]=[[J ]FE 1[J ]FE 2 [J ]FE n -1[J ]FE n ],其中n 表示公差传递链中功能要素的个数;[FE ]与功能要素的微小变动(公差或运动副误差等)相关的小位移旋量。

[FE ]FE i =[[u,u],[v,v ],[w ,w ],[ , ],[!,!] ]T i。

此外,功能要素既可以表示单个零件78第1期张为民等:基于雅可比旋量法的实际工况公差建模的相关表面,称为内部副;也可以表示两个不同零件之间的接触、配合或间隙,称作运动对。

上述两种情况表示为旋量的区间向量。

2 2 雅可比矩阵和区间旋量的计算从式(1)可以看出,雅可比矩阵表示的是[FE ]与[FR ]之间的转换关系,其表达式如下[7]:[J ]FE i =[J ]i0= [R i0]3 3[W n i ]3 3!([R i0]3 3![R PT i ]3 3)##[0]3 3[R i 0]3 3![R PT i ]3 36 6。

(3)式中:[R i 0]为i 坐标系相对于0坐标系的方向变化,[R i 0]=[C 1i C 2i C 3i ],C 1i ,C 2i 和C 3i 分别是轴x i ,y i 和z i 在0坐标系中的方向向量;W n i为n 坐标系相对i 坐标系位置上的变化,由矢量[d n -d i ]组成矩阵[W n i]3 3=-dz nidy ni dz ni 0-dx n i-dyn idxn i,其中:d i 指i 坐标系的原点在0坐标系的位置矢量,dx n i =dx n -dx i ,dy n i =dy n -dy i 和dz ni =dz n -dz i ;[R PT i ]反映的是公差方向与i 坐标系三个坐标轴方向的不一致性,[R PT i ]=[C 1C 2C 3]PT i ,C 1,C 2和C 3分别是公差分析的三个方向在i 坐标系中的方向矢量,且[FE i ]与[R PT i ]有关。