江西省南昌市高三数学第二次模拟测试试题 理(南昌二模,扫描版)

江西省南昌市2013届高三数学第二次模拟测试试题理（南昌二模，扫描版）2012—2013学年度南昌市高三第二次模拟测试卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B A C B D A C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5，共20分）11. 3； 12. 29； 13. 4 14. 222sin2sin2sin22sin2sin2cos2A B C B C A=++三、选做题（本题共5分）15. ①②{|1x x≤-或2}x≥四、解答题（本大题共6小题，共75分）16.解：（1）由题意可知，第3组的人数为0.065100030⨯⨯=，第4组的人数为0.045100020⨯⨯=，第5组的人数为0.025*******⨯⨯=。

…………………3分所以利用分层抽样在600名志愿者中抽取12名志愿者，每组抽取的人数为：第3组123006600⨯=，第4组122004600⨯=，第5组121002600⨯=……………6分（2）ξ的所有可能取值为0,1,2,3，03663121(0)11C CPCξ===，12663129(1)22C CPCξ===，21663129(2)22C CPCξ===，363121(3)11CPCξ===，……………………………………………………………………10分所以，ξ的分布列为：ξ0 1 2317．解：（1）1(sin cos,)2m n x x+=+，所以21111()(sin cos)sin sin sin cos sin2cos22222f x x x x x x xx x=+-=+-=-，…3分即()f x)24xπ=-，………………………………………………………………4分当[0,]2xπ∈时，32[,]444xπππ-∈-，sin(2)[42xπ-∈-，所以当[0,]2xπ∈时，函数()y f x=的值域是1[,22-；……………………………6分（2）由()25B f =，得3sin()45B π-=，又(,)444B πππ-∈-， 所以4cos()45B π-=，………………………………………………………………………8分因此”cos cos[()]cos()cos sin()sin 44444410B B B B ππππππ=-+=---=, ……9分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2223298225510c c =+-⨯⨯， ……11分所以：8c a ==。

……………………………………………………………………12分18．解：（1）设第一行依次组成的等差数列的公差是d ，等比数列的公比是q (0)q >， 则2,31,3(12)(12)6a qa q d q d ==+⇒+=， ……………………………………………2分 2223,21,2(1)(1)8a q a q d q d ==+⇒+=， ……………………………………………4分 解得：1,2d q ==，所以：11,2,22222n n n a a -=⇒=⨯=；……………………………6分 （2）(1)2n n n n b n =+-， 23123()(123(1))2222n n n n S n =+++++-+-++-，……………………………8分 记231232222n n n T =++++，则2331112322222n n n T +=++++， 两式相减得:231111111212222222n n n n n n T +++=++++-=-,所以222n n n T +=-,……10分 所以n 为偶数时，2222n n n n S +=+-，n 为奇数时，12222n n n n S ++=-+-。

……12分 19．（1）证明：在菱形ABEF 中，因为60ABE ∠=︒，所以AEF △是等边三角形， 又H 是线段EF 的中点，所以AH EF AH AB ⊥⇒⊥，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，所以AH ⊥平面ABCD ，所以AH ⊥BC ；……2分在直角梯形ABCD 中，224A B A D C D ===，90BAD CDA ∠=∠=︒，得到：AC BC ==，从而222AC BC AB +=，所以AC CB ⊥，……………………4分 所以CB ⊥平面AHC ，又BC Ü平面BCE ，所以平面AHC ⊥平面BCE ；………6分 （2）由（1）AH ⊥平面ABCD ，如图，分别以,,AD AB AH 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,4,0),(2,2,0),(2,0,0)A B C D ，(0,(0,0,3),(1,3,0)E F H G -………7分设点M 的坐标是(0,m ，则,,GM AF AD 共面，所以存在实数,λμ使得：(1,(2,0,0)(0,2)GM AD AF m λμλμ=+⇒--=+-，得到:21,321m m λμ=--=-=⇒=.即点M 的坐标是:, ………8分由（1）知道：平面AHC 的法向量是(2,2,0)BC =-，设平面ACM 的法向量是(,,)n x y z =，则：(,,)(2,2,0)00(,,)(0,1,3)00x y z x y n AC x y zy n AM ⎧⋅==-⎧⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅==⎪⎪⋅=⎪⎩⎩⎩，………………………9分 令z =3,3yx =-=，即(3,3,n =-，所以cos ,7n BC <>==，………………………………………………11分 即平面ACH 与平面ACM 所成角的余弦值是7。

…………………………………12分 20．解：（1）由22223424c e a b a =⇒=⇒=， (2)分 又点P 在椭圆上，22243144b b b+=⇒=， ……………………………………4分所以椭圆方程是：221164x y +=；……………………………………………………………5分 （2）当l 垂直x 轴时，(2,M N ，则AN 46x +=， BM 42x -=-，交点G 的坐标是：(8,-，猜测:存在常数8t =, 即直线'l 的方程是:8x =使得'l 与AN 的交点G 总在直线BM 上, ……………………6分 证明：设l 的方程是(2)y k x =-，点1122(,),(,)M x y N x y ，(8,)G G y 将l 的方程代入椭圆C 的方程得到：2224(2)16x k x +-=，即：2222(14)1616160k x k x k +-+-=，………………………………………………7分从而：22121222161616,1414k k x x x x k k -+==++，……………………………………………8分 因为：(12,)G AG y =，22(4,)AN x y =+,,A N G 共线所以：2212(4)G y x y =+，22124G y y x =+，………………………………………………9分 又(4,)G BG y =，11(4,)BM x y =-要证明,,B M G 共线，即要证明2112124(4)4y y x x =-+，………………………………10分 即证明：1221(2)(4)3(2)(4)k x x k x x -+=--， 即：12211212248361224x x x x x x x x -+-=--+，即：12125()160x x x x -++=因为：221212221616805()161601414k k x x x x k k --++=-+=++成立，…………………12分所以点G 在直线BM 上。

综上:存在定直线'l :8x =,使得'l 与AN 的交点G 总在直线BM 上,t 的值是8。

……13分21．解：（1）222(1)'()2211a x a g x x x x -+=+-=++……………………………………1分 当10a -≤即1a ≥时，'()g x 0≥，函数()g x 在定义域(1,)-+∞上是增函数；……2分当011a <-<即01a <<时,由'()010g x x >⎧⎨+>⎩得到1x -<<x >4分 所以：当0a ≥时，函数()g x 的递增区间是(1,-和)+∞，递减区间是(；…………………………………………………………………………5分当11a ->即0a <时，由'()010g x x >⎧⎨+>⎩得到：x >所以:当0a ≥时,函数()g x的递增区间是)+∞,递减区间是(1-；……7分（2）若函数()g x 是“中值平衡函数”，则存在1122(,()),(,())A x f x B x f x （121x x -<<）使得12012()()'()f x f x g x x x -=-即121212121212ln 122212x a x a x x x x x x x x ++++-=++-+-+， 即11221212()ln 111x a x x a x x x +-=++++，（*）………………………………………………………4分 当0a =时，（*）对任意的121x x -<<都成立，所以函数()g x 是“中值平衡函数”，且函数()g x 的“中值平衡切线”有无数条； …………………………………………………8分当0a ≠时，设1211x t x +=+，则方程2(1)ln 1t t t -=+在区间(0,1)上有解，………………10分 记函数2(1)()ln 1t h t t t -=-+，则22214(1)'()0(1)(1)t h t t t t t -=-=≥++，…………………12分 所以当01t <<时，()(1)0h t h <=，即方程2(1)ln 1t t t -=+在区间(0,1)上无解， 即函数()g x 不是“中值平衡函数”.………………………………………………………14分。