利用相似三角形测高
4.6利用相似三角形测高度(教案)
2.教学难点
-理解相似三角形在实际测量中的运用：学生可能难以将理论知识与实际情境联系起来，不知道在什么情况下可以使用相似三角形进行测量。
-实际测量中的数据获取与处理：在实际操作中，如何准确地获取标杆与影子长度、测量角度等数据，以及如何处理这些数据以得到正确的计算结果，是学生面临的难点。
五、教学反思
在完成本节课“利用相似三角形测高度”的教学后，我对整个教学过程进行了深刻的反思。首先，我发现学生在理解相似三角形性质方面存在一定难度，他们在将理论知识与实际应用结合起来时，往往感到困惑。这让我意识到，在以后的教学中，需要更加注重理论知识与实践操作的相结合，让学生在实际操作中感受几何知识的应用。
在学生小组讨论环节，我发现同学们对于相似三角形在实际生活中的应用有着丰富的想象力，他们能够提出很多有趣的观点和想法。但在分享成果时，部分同学的表达能力还有待提高。为了改善这一情况，我将在以后的教学中，多给学生提供表达和展示自己的机会，培养他们的语言组织和表达能力。
此外，我还注意到，部分学生在总结回顾环节提出的问题具有很高的价值，说明他们在课堂上认真思考，积极参与。为了鼓励这种学习态度，我将在今后的教学中，更加关注学生的疑问，及时解答，帮助他们巩固所学知识。
4.6利用相似三角形测高度（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第四章第6节“利用相似三角形测高度”。教学内容主要包括：1.理解相似三角形在实际测量中的应用；2.学会使用相似三角形的性质解决实际问题，特别是测量物体的高度；3.通过实例，掌握使用标杆、影子、角度等测量方法，运用相似三角形的比例关系进行计算；4.能够运用所学知识解决生活中的实际问题，如测量建筑物、树木等的高度。本节内容将结合实际案例，让学生在实际操作中掌握相似三角形在测量高度中的应用。
北师大9年级上册4.6 利用相似三角形测高度 教学设计
4.6利用相似三角形测高度教学设计1.问题：相似三角形的判定方法有哪些？2.胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？每个星期一早晨学校都会举行升旗仪式，同学活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度.活动方式：分组活动、全班交流研讨.活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具.方法1：利用阳光下的影子选一名同学直立在旗杆旁边，在同一时刻下测出该同学和旗杆的影子长，并测量出该同学的身高，根据上面的数据，你能求出旗杆的高度吗？解：∵太阳的光线是平行的，∴AE∥CB，∴∠AEB＝∠CBD，∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE＝∠CDB，∴△ABE∽△CDB，∴ABCD =BEDB,即CD=AB∙BDBE代入测量数据即可求出旗杆CD的高度．归纳总结：测高方法一：利用阳光下的影子测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.测量数据：身高AC、影长BC、旗杆影长EF.物1高：物2高 = 影1长：影2长方法2：利用标杆观测者适当调整自己的位置，使旗杆顶端、标杆顶端、自己的眼睛恰好在一条直线上。
根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G，交标杆EF于H.可得△DHF∽△DGC∴FHCG =DHDG∴CG=FH∙DHDH∴BC =GC+GB=GC+AD归纳总结：构造相似：△AME∽△ANC.找比例：AM：AN=EM：CN需要测量的数据：人与标杆的距离AM人与旗杆的距离AN标杆的高度EF方法3：利用镜子的反射如图，每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合。
测量所需的数据，根据所测的结果，你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由。
《第四章6利用相似三角形测高》作业设计方案-初中数学北师大版12九年级上册
《利用相似三角形测高》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课时作业设计的目标是使学生掌握相似三角形的概念和性质，并能够利用相似三角形进行物体高度的测量。
通过本课时的作业练习，培养学生观察、分析、解决问题的能力，提高学生的空间想象力和数学应用能力。
二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 理论学习：学生需复习相似三角形的定义、性质和判定方法，理解相似三角形在测高中的应用。
2. 实践操作：学生需通过实际操作，利用相似三角形的原理，选择合适的测量工具（如卷尺、角度计等）进行物体高度的测量。
具体任务包括：（1）在教室或校园内选择合适的地点，根据自然光线和已知高度物体（如树木、旗杆等）建立观测点。
（2）使用卷尺测量已知高度物体的实际长度和其在某一角度的视高，并记录数据。
（3）利用相似三角形的原理，计算未知高度物体的高度。
3. 作业记录：学生需将实践操作过程中的观察数据、计算过程和结果记录在作业本上，并注明测量时间和地点。
三、作业要求本课时的作业要求如下：1. 学生在理论学习时需认真听讲，掌握相似三角形的相关概念和性质。
2. 在实践操作中，学生需按照教师指导的步骤进行测量，并确保测量的准确性和安全性。
3. 学生在记录作业时需清晰、准确地记录数据和计算过程，字迹要工整，不得随意涂改。
4. 学生需在规定的时间内完成作业，并按时提交给教师。
四、作业评价本课时的作业评价将从以下几个方面进行：1. 理论学习掌握情况：评价学生对相似三角形相关概念和性质的掌握程度。
2. 实践操作能力：评价学生在实际测量中的操作能力、测量准确性和安全性等方面。
3. 作业记录情况：评价学生记录的清晰度、准确性和整洁度。
4. 提交情况和完成质量：评价学生是否按时提交作业，以及完成的质量和态度等方面。
五、作业反馈根据学生的作业完成情况，教师将进行针对性的作业反馈：1. 对掌握较好的学生进行表扬和鼓励，激励其继续努力。
2. 对存在问题的学生进行指导和帮助，指出其不足之处并给出改进建议。
利用相似三角形测高的三种方法
利用相似三角形测高的三种方法
1.形似定理法：这个方法是利用相似三角形的三边成比例的性质来求
出物体与仪器距离（x）及物体的高度（h）的。
假设有一个类似于图中的
场景，物体AB的高度为h，相机CD离地面的距离为x，相机镜头视角下
的物体高度为y。
通过三角形相似关系可得：AD/CD=AB/BC，即AD=(CD/BC)*AB=x/h*AB。
所以物体与相机的距离为x=AD*BC/AB=h*BC/AB。
而物体的高度为
h=y*(AD+CD)/CD=y*BC/CD。
2.变换法：这个方法是通过将相机移动至两个不同的位置，同时拍摄
同一物体的两个照片来求出物体的高度。
如图，相机从C位置拍摄照片时，物体的高度为h1，相机从C’位置拍摄同一物体时，物体的高度为h2。
根据相似三角形原理，可得：h1/(x1+d)=h2/(x2+d)，其中d为相机
的移动距离。
所以，物体的高度可以表示为h2=h1*(x2+d)/(x1+d)。
3. 斜向测量法：这个方法是利用相似三角形的夹角相等的原理来测
量物体高度。
如图，相机以斜向的角度（α）拍摄物体的照片，由相似三
角形的夹角相等可得：h/L=ta nα，即物体的高度为h=L*tanα。
其中，L
为相机离物体的距离。
这三种方法都是利用相似三角形的性质来测量物体高度的，其中形似
定理法和变换法需要测量相机距离、相机移动距离等参数，斜向测量法则
需要知道相机与物体的夹角。
所以在不同的场景下，选择不同的方法来测
量物体高度，能有效提高测量的精度。
利用相似三角形测高
当堂练习
1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得
教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高
度应为
( A)
A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米
2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 (A)
在同一时刻下地面上的影长即
可，则下面能用来求AB长的等
式是
(C)
A．AB EF DE BC
C．AB BC DE EF
B．AB DE EF BC
D．AB AC DE DF
2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚 阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆 顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是___8___米．
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK. ∴ EH AH ， EK CK
即 EH 8 1.6 6.4 . EH 5 12 1.6 10.4
解得 EH=8. 由此可知，如果观察者继续前进， 当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树 的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
A
E
C B
FD G
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则 DE EF . DC CA
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
《第四章6利用相似三角形测高》作业设计方案-初中数学北师大版12九年级上册
《利用相似三角形测高》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《利用相似三角形测高》的学习，使学生掌握相似三角形的性质及其在实际问题中的应用，特别是学会运用相似三角形测量物体高度的方法，增强学生的数学应用意识和实践能力。
二、作业内容作业内容主要分为以下几个部分：1. 理论知识复习：回顾相似三角形的定义、性质及其判定方法，为实际应用做好理论准备。
2. 实际问题分析：提供几个实际生活中可以利用相似三角形测高的场景，如测量树木、建筑物的高度等，让学生分析如何应用相似三角形的性质来解决这些问题。
3. 实践操作指导：指导学生如何选择合适的观测点，如何利用经纬仪或自制简易工具进行实地测量，并记录下观测数据。
4. 计算方法演练：提供具体的问题情境，要求学生根据所测得的数据，运用相似三角形的性质，计算出目标物体的高度。
5. 总结与反思：学生需对本次作业进行总结，思考在实际操作中遇到的问题及解决方法，以及在运用数学知识解决实际问题过程中的心得体会。
三、作业要求1. 学生需认真复习相似三角形的理论知识，确保在实践操作中有扎实的理论基础。
2. 在选择观测点和进行实地测量时，要保证观测点的选择合理，测量数据准确无误。
3. 在计算目标物体高度时，要严格按照相似三角形的性质进行计算，不得随意更改计算方法或数据。
4. 总结与反思部分需真实反映学生在实际操作过程中的体会和收获，以及遇到的问题和解决方法。
5. 作业需按时完成，并保持字迹清晰、格式规范。
四、作业评价1. 教师将对学生的学习态度、实践操作能力、计算准确性等方面进行评价。
2. 评价将结合学生的理论复习情况、实地测量的准确性和计算方法的正确性等方面进行综合评定。
3. 对于表现优秀的学生，教师将给予表扬和鼓励；对于存在问题的学生，教师将给予指导和帮助，促进其进步。
五、作业反馈1. 教师将对学生的作业进行详细批改，指出存在的问题及改进方向。
2. 学生需根据教师的反馈意见进行反思和改正，并调整自己的学习方法和策略。
4.6 利用相似三角形测高 教案
[初中数学]《利用相似三角形测高》一、教材分析(1.1)教材地位和作用：本节课的内容是《探索三角形相似的条件》之后的复习与应用，它将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题转化为数学问题，利用学生已有的相似三角形的知识采用不同的方法给予解决。
通过对此问题的解决方案的探究，巩固相似三角形的判定和定义性质，渗透数形结合和建模的思想，从而提高学生解决实际问题的能力，增强应用意识。
(1.2)教学目标根据数学课程标准的要求和教学内容的特点，及学生的认知水平，确定本节课的教学目标如下：（1）知识目标：通过测量旗杆的高度，综合运用三角形相似的判定定理和相似三角形的定义解决问题，加深对相似三角形的理解和认识。
（2）能力目标：通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何的方法，加强数形结合和建模的思想，提高解决实际问题的能力。
（3）情感目标：通过探索学习，体会数学来源于生活，又服务于生活，激发学习数学的兴趣。
(1.3)教学重点，难点根据以上的教材分析和教学目标剖析，我确定：（1）重点：理解用不同方法构造相似三角形测高的原理。
（2）难点：1、如何在操作步骤中发掘三角形相似的条件。
(如：利用太阳光是平行光线得到同位角相等；利用直立得到直角；利用镜面反射得到反射角=入射角；)2、没有相似三角形时如何构造相似三角形（例如：标杆测量法）二、学法分析(2.1)学情分析（1）学生的知识技能基础：学生在前面几节课中，学习了相似三角形的判定和性质，初步理解了相似三角形的特征，掌握了两个三角形相似的条件，具备解决实际问题的基本知识。
（2）学生活动经验基础：学生在相关知识的学习过程和实际生活中，已经经历了一些测量活动，解决过一些简单的实际问题，获得了一些数学活动经验。
(2.2)学法指导倡导“问题探究法、自主学习法、合作探究法”，使学生逐步养成善于观察，乐于思考，勇于表达，勤于动手，的学习习惯。
三、教法分析在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且要使学生“知其所以然”。
利用相似三角形测高的三种方法
利用相似三角形测高的三种方法方法一：影子测量法影子测量法是一种利用日光的投影效果来测量高度的方法。
这种方法需要在测量地点及其附近的已知高度点上安装标杆，然后利用地面上的标记点和标杆上的影子来确定两个相似三角形。
当太阳光照射到地面上时，标杆上的影子会呈现出一个固定的长度。
通过测量该影子的长度和标杆顶部到标记点的距离，可以得出两个相似三角形的对应边长比。
然后，通过比例关系计算出未知高度点的高度。
方法二：测角法测角法是一种利用三角形的内角关系来测量高度的方法。
这种方法需要使用测角仪或经纬仪等仪器来测量两个角度，分别是测量点和未知高度点的水平角度和仰角。
然后，利用三角形的内角和为180度的性质，可以计算出其余的角度。
根据相似三角形的性质，可以得出两个相似三角形的边长比。
最后，通过比例关系计算出未知高度点的高度。
方法三：测距法测距法是一种利用距离和角度来测量高度的方法。
这种方法需要使用测距仪或测距仪等仪器来测量测量点与未知高度点之间的水平距离。
然后，使用同一台仪器测量测量点和未知高度点之间的仰角。
根据三角形的正弦定理，可以计算出未知高度点和测量点之间的垂直距离。
最后，通过测量点的高度和垂直距离，可以计算出未知高度点的高度。
在实际应用中，这些方法都需要注意一些因素，如仪器的精度、光线的影响和地形的变化等。
此外，需要选择合适的方法来适应不同的场景和需求。
因此，使用这些方法时应根据实际情况选择最合适的方法，并进行正确的计算和测量，以保证测量结果的准确性。
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第四章图形的相似
一 、利用相似三角形测高
知识点1：利用阳光下的影子来测量旗杆的高度
操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的_________和此时旗杆的_______．(点拨：把太阳的光线看成是平行的．)
∵太阳的光线是_________的，∴________∥_________，∴∠AEB ＝∠CBD ，
∵人与旗杆是________于地面的，∴∠ABE ＝∠CDB=_____°， ∴△_______∽△_______ ∴BD BE CD AB = 即CD=BE BD AB ⋅ 因此，只要测量出人的影长BE ，旗杆的影长DB ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度了．
知识点2：利用标杆测量旗杆的高度
操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在____________时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．
如图，过点A 作AN ⊥DC 于N ，交EF 于M ．
点拨：∵人、标杆和旗杆都_______于地面，∴∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDH ＝_______°
∴人、标杆和旗杆是互相_______的．
∵EF ∥CN ，∴∠_____＝∠_____，∵∠3＝∠3，
∴△______∽△______，∴CN
EM AN AM =
∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM 都已测量出，
∴能求出CN ，∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°，∴四边形ABND 为________．
∴DN ＝_______，∴能求出旗杆CD 的长度．
知识点3：利用镜子的反射
操作方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆_______．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．
点拨：入射角＝反射角
∵入射角＝反射角 ∴∠________＝∠________
∵人、旗杆都_________于地面 ∴∠B ＝∠D ＝_______°
∴△________∽△________，∴DE
BE CD AB 因此，测量出人与镜子的距离BE ，旗杆与镜子的距离DE ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度．
二、例题精讲
例1：如图，有一路灯杆AB （底部B 不能直接到达），在灯光下，小华在点D 处测得自己的影长DF=3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己的影长FG=4m ，如果小华的身高为1.5m ，求路灯杆AB 的高度。
例2：如图，小华在晚上由路灯A 走向路灯B ，当他走到点P 时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A 的底部，当他向前再步行12m 到达点Q 时，发现他身前影子的顶部刚好
接触到路灯B 的底部，已知小华的身高是1.60m ，两个路灯的高度都是9.6m ，设AP =x(m)。
(1)求两路灯之间的距离；
(2)当小华走到路灯B 时，他在路灯下的影子是多少？
例3：如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m 的竹竿的影长是0.8m ，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m ，又测得地面的影长为2.6m ，请你帮她算一下，树高是多少m?
三、巩固练习：
1.在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一栋高楼的影长为90m ，这栋高楼的高度是多少？
2．如图，AB 表示一个窗户的高，AM 和BN 表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1m ，已知某一时刻BC 在地面的影长CN=1.5m ，AC 在地面的影长CM=4.5m ，求窗户的高度？
3.如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影长CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 为多少米？
4.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ， CD ⊥BD ， A
B C N
M
且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是多少？
5.晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高，于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点
9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长，已知
广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身
高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ，请
你根据以上信息，求出小军身高BE的长（结果精确到0.01米）
6.某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量.方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米.?
如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度.?
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