概率论与数理统计§1.2 频率与概率
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概率论与数理统计课件(1-2)
频率与概率到底有怎样的关系呢？ 频率与概率到底有怎样的关系呢？
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质 硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
这两个公式的思想贯穿着整个概率问题的求解
可重复排列：从含有n 个元素的集合中随机 抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回， 将记录结果排成一列
n n n
n
共有nk 种不同排列方式
无重复排列： 无重复排列：从含有n 个元素的集合中随机抽 每次取一个，取后不放回， 取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元 素排成一列
1.2 概率
从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A 从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A 发生的可能性大小的量 P（A）应具有何种性质？ （ 应具有何种性质？ 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ * 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ * 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？ * 向目标射击，命中目标的概率有多大？
•频率的性质
(1) 0≤ fn(A) ≤1； ≤ ≤ ； (2) fn( )＝1； fn(Φ)=0 ＝ ； Φ (3) 可加性：若AB＝ Φ ，则 可加性： ＝ fn(A∪B)＝ fn(A) ＋fn(B). ＝
二、 概率的公理化定义与性质 注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的公理化定义
概率论与数理统计
28
概率的性质
1 P( ) 0
2
A, B互斥（即AB ）
P( A U B) P( A) P( B)
一般地，
Ai Aj (i, j 1, 2,L n, i j )
P UAi P( Ai ). i 1 i 1
29
问题：如何对随机现象进行研究？
5
§1.1.1 随机试验
对随机现象进行的观察或试验称为随机试验，简称为 试验。 随机试验的三个特点:
1.可以在相同条件下重复进行； 2.试验结果不止一个，且可以预知一切 可能的结果的取值范围； 3.试验前不能确定会出现哪一个结果。
6
§1.1.2
样本空间与随机事件
在下图中，用Ω表示一个试验的所有可能的
15
Ω A
A
6. 对立（互逆）的事件：如果 AB＝ , ， 且AB＝,则称A与B为互逆事件，记作 B= A
如果A，B是任意两事件，则有
AA ,
A A ,
A B AB,
A A.
3) A B A ( B A)
注意对立事件与互斥的区别.
16
7.完备事件组 若事件A1,A2,„An为两两互不相容的事件， 并且
P(C) [P( AC) P(BC) P( ABC)]
0.3 (0.08 0.05 0.03) 0.2
35
1 例 设 A、B 为两个随机事件 ,且已知 P A , 4 1 P B , 就下列三种情况求概率 P BA . 2
1 A 与 B 互斥 ;
用不同的记号，可写为 (A+B)C=AC+BC (AB)+C=(A+C)(B+C)
概率论与数理统计教程(茆诗松)第1章
A = “针与平行线相交” 的充要条件是: x ≤ l/2 sin ϕ . 针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法 求解得
SA ∫0 P( A) = = SΩ
27 July 2011
π
l sinϕdϕ 2l 2 = d(π / 2) dπ
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第一章 随机事件与概率
第9页
§1.3 概率的性质
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
27 July 2011
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第一章 随机事件与概率
第24页 24页
1.4.4
贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
27 July 2011
第一章 随机事件与概率
第19页 19页
条件概率的三大公式
乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.
27 July 2011
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第20页 20页
1.4.2
性质1.4.2
乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1)
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
SA ∫0 P( A) = = SΩ
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π
l sinϕdϕ 2l 2 = d(π / 2) dπ
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§1.3 概率的性质
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
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1.4.4
贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
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条件概率的三大公式
乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.
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第一章 随机事件与概率
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1.4.2
性质1.4.2
乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1)
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
概率论与数理统计复习资料
自考04183概率论与数理统计(经管类)笔记-自考概率论与数理统§1.1 随机事件1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。
结论：随机现象是不确定现象之一。
2.随机试验和样本空间随机试验举例：E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。
E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。
E3：记录110报警台一天接到的报警次数。
E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。
E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。
E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。
随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。
样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。
所有样本点的集合称为样本空间，记作。
举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。
3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。
只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。
必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。
（1）事件的包含和相等包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。
性质：例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。
注：与集合包含的区别。
相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。
（2）和事件概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。
概论
又如：进行产品检验时，如果检验了n 件产品, 其中m 件为次品，则当 n 很大时，可用 m/n 作 为产品的次品率(概率)的估计值。
II. 频率性质 (1) 0≤ fn(A)≤1； (2) fn(Ω )=1, fn(Ø)=0； (3).若事件 A1,A2,„,Ak 两两互斥，则:
k f n Ai i 1
概率论与数理统计 第二讲
§1.2 随机事件的概率
1.2.1 事件的频率 I. 频率定义 设A是一个事件, 在相同条件下进行n次试 则称 m为事件A在 n次试验 验，A发生了m次。 中发生的频数或频次，称 m与 n之比 m/n 为事 件A在 n次试验中发生的频率，记为 fn(A)。
当试验次数 n充分大时，事件的频率总在 一个定值附近摆动，而且，试验次数越多， 一般说来摆动的幅度越小。这一性质称频率 的稳定性。
说明
n个事件并的多除少补公式
特别地，n = 3 时，有
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A3 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
小结
本节首先介绍频率的概念，指出在试验 次数充分大的情况下，频率接近于概率的结 论；然后给出了概率的公理化定义及概率的 主要性质。
(1). P(A)≥0； (2). P(Ω)=1 ; (3). 若事件A1, A2 ,… 两两互斥，则有
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) .
则称P(A)为事件A的概率。
注意：这里的函数P(A)与以前所学过的函 数不同。不同之处在于：P(A)的自变量是事件 ( 集合 )。 不难看出：这里事件概率的定义是在频率 性质的基础之上提出的。在§5.1中, 我们将看 到：频率fn(A)在某种意义下收敛到概率P(A)的 结论。基于这一点，我们有理由用上述定义的 概率 P(A)来度量事件A在一次试验中发生的可 能性大小。
概率论与数理统计
A
3）在应用上，那些不便直接求某一事件的概 B2
率时，先找到一个合适的划分，再用全概率公式计算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7/21
§1.5 条件概率
2．贝叶斯(Bayes)公式 (计算后验概率问题)
事件A的发生，iff构成S划分的事件B1，B2，…，Bn中的一个发生时才发 生，一般在实验之前仅知道Bi的先验概率，那么如果试验后事件A已经发 生了，Bi发生的概率又是多少呢？这种问题我们称他为后验概率问题，有 利于我们查找事件发生的原因。解决此类问题可采用贝叶斯(Bayes)公式
在实际应用 中，对于事 件的独立性 常常根据事 件的实际意 义来判断，
注意：仅满足前三个等式的三个事件称为两两相互独立 见习题33 如果两个事
当然，如果事件A，B，C相互独立
件关联很弱 也可以看作
则 A, B,C; A, B,C; ... ; A, B,C 也相互独立
是独立的。
推广到多个事件
由定义可以得到以下两点推论： 1.若事件A1, A2, … , An相互独立，n2，则其中任意k(2kn)个事件也是相互独立 的。 2.若n个事件A1, A2, … , An(n2)相互独立，则将A1, A2, … , An中任意多个事件换13/成21 他们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立
§1.6 独立性
对样本空间适当分解的思想，有利于解决稍微复杂一点的概率问题
首先看一下关于划分的概念
定义：设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为E的一组事件。若
(i) BiBj=Φ，i≠j，i，j＝1，2，…，n； (ii) B1∪B2∪…∪Bn=S 则称B1，B2，…，Bn为S的一个划分。
※每次试验，事件B1，B2，…，Bn中有且仅有一个发生
概率论与数理统计浙大第四版
必然事件——全体样本点组成的事件,记 为S, 每次试验必定发生的事件.
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
事件的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )
A
随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必 导致事件 B 发生
非负性： A , P( A) 0
归一性： P( ) 1
可列可加性：P
i 1
Ai
P ( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1,A2,An 两两互斥
P
n i1
Ai
n i1
P(Ai )
P(A)1P(A) P(A)1
解 P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(AB)
P(A)P(B)10.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( A B) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(AB) P(B) 时取得
§1.4 古典概型
概率的 设 随机试验E 具有下列特点： 古典定义 基本事件的个数有限
（2） nB C31C122C150C55
P( A) 25 91
P(B) 6 91
例2 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求有至少有一个盒子的号码与放入的球 的号码一致的概率。
解 n A44 4!
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4
§1.1 随机事件
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
事件的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )
A
随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必 导致事件 B 发生
非负性： A , P( A) 0
归一性： P( ) 1
可列可加性：P
i 1
Ai
P ( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1,A2,An 两两互斥
P
n i1
Ai
n i1
P(Ai )
P(A)1P(A) P(A)1
解 P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(AB)
P(A)P(B)10.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( A B) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(AB) P(B) 时取得
§1.4 古典概型
概率的 设 随机试验E 具有下列特点： 古典定义 基本事件的个数有限
（2） nB C31C122C150C55
P( A) 25 91
P(B) 6 91
例2 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求有至少有一个盒子的号码与放入的球 的号码一致的概率。
解 n A44 4!
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4
§1.1 随机事件
概率论与数理统计课件：1-2 概率论的基本概念 频率和概率
A∪B = S 时P (AB ) 最小，最小值就是 P (AB ) = 0.3 □
11
随机试验 样本空间，随机事件 随机事件的运算
事件的运算 集合运算 频率的定义和性质 概率的公理化定义
12
§4 等可能概型 (古典概型)
一. 等可能概型 (古典概型) 的定义
如果一个随机试验 E 满足： (1) 试验的样本空间 S 只包含有限个样本点， (2) 每一个样本点发生的可能性相同。
fn (A1 A2 Ak ) fn (A1) fn (A2 ) fn (Ak ).
2
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时， 出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon
K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
1
（一）频率
定义: 在相同条件下，进行了n次试验，在这n
次值试nA验/n中称为事事件件A出A现在的n次次重数复n试A称验为中的出A现频的数频，率比，
记为
f.n (即A) fn (A) nA / n.
频率的性质：
（1）0 fn (A) 1; (2) fn (S) 1; (3)若 A1,A2 , , Ak 是 两两互不相容的事件，则
（3） 加法公式，P (A∪B ) = P (A ) + P (B ) – P (AB ) 。 推论： P (A∪B ) ≤ P (A ) + P (B )
8
阅读材料
一般的加法公式
对于任意的
n
个随机事件
n
A1，A2，···，An
பைடு நூலகம்
11
随机试验 样本空间，随机事件 随机事件的运算
事件的运算 集合运算 频率的定义和性质 概率的公理化定义
12
§4 等可能概型 (古典概型)
一. 等可能概型 (古典概型) 的定义
如果一个随机试验 E 满足： (1) 试验的样本空间 S 只包含有限个样本点， (2) 每一个样本点发生的可能性相同。
fn (A1 A2 Ak ) fn (A1) fn (A2 ) fn (Ak ).
2
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时， 出现正反面的机会均等。
实验者
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K. Pearson K. Pearson
n
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1
（一）频率
定义: 在相同条件下，进行了n次试验，在这n
次值试nA验/n中称为事事件件A出A现在的n次次重数复n试A称验为中的出A现频的数频，率比，
记为
f.n (即A) fn (A) nA / n.
频率的性质：
（1）0 fn (A) 1; (2) fn (S) 1; (3)若 A1,A2 , , Ak 是 两两互不相容的事件，则
（3） 加法公式，P (A∪B ) = P (A ) + P (B ) – P (AB ) 。 推论： P (A∪B ) ≤ P (A ) + P (B )
8
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一般的加法公式
对于任意的
n
个随机事件
n
A1，A2，···，An
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1 (1) AB P ( B A) P ( B) P ( AB) P ( B ) . 2 1 1 1 (2) P ( B A) P ( B) P ( AB) P ( B) P ( A) .
2 3 6
1 1 3 (3) P ( B A) P ( B ) P ( AB ) . 2 8 8
(1) 非负性 : 对于每一个事件 A, 有 P ( A) 0; (2) 规范性 : 对于必然事件 S , 有 P ( S ) 1;
(3) 可列可加性 : 设 A1 , A2 ,是两两互不相容的 事件,即对于 i j , Ai A j , i , j 1, 2,, 则有
P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 )
1. 频率 (波动) n 概率(稳定). 2. 概率的主要性质
(1) 0 P ( A) 1, P ( S ) 1, P ( ) 0;
( 2) P ( A) 1 P ( A);
(3) P ( B A) P ( B AB) P ( B) P ( AB)
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. n5 n 50 试验 序号 nH nH f f
1 2 3 4 5 6 7 2 3 0.4 0.6
n 500 nH f
0.44 251 22 0.502 1 在 处波动较大 249 25 0.50 0.498 2 呈现出稳定性 随n的增大, 频率 f 0.2 1 21 0.42 256 0.512 5 1.0 1 25 0.50 247 0.494 在 处波动较小 1 24 0.48 0.2 2 251 0.502 波动最小 2 18 0.36 262 0.524 0.4 4 0.8 0.54 258 0.516 27
Ai A j , i j , i , j 1,2,.
由概率的可列可加性得
k 1
P ( A1 A2 An ) P ( Ak ) P ( Ak ) P ( Ak ) 0
k 1 k 1
n
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
n 个事件和的情况
P ( A1 A2 An ) P ( Ai )
i 1 n 1 i j n
P ( Ai Aj )
1 i j k n
P ( Ai Aj Ak ) ( 1)n1 P ( A1 A2 An ).
1 1 例1 设事件 A, B 的概率分别为 和 , 求在下列 3 2 三种情况下 P ( B A) 的值. 1 (1) A与B互斥; ( 2) A B; ( 3) P ( AB ) . 8 解 由性质知 P ( B A) P ( B A) P ( B) P ( AB),
( 3) 设 A, B 为两个事件, 且 A B, 则 P ( A) P ( B ), P ( B A) P ( B ) P ( A).
证明
因为 A B, 所以 B A ( B A).
B
A
又 ( B A) A ,
得 P ( B ) P ( A) P ( B A) . 于是 P ( B A) P ( B ) P ( A).
P ( )
n 1
P ( ) 0. P ( ) 0
( 2) 若A1 , A2 ,, An是两两互不相容的事件 则有 ,
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
概率的有限可加性
证明 令 An1 An 2 ,
—— 概率的统计定义
1.2.2 概率的定义与性质
1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概
率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义 ，使
概率论有了迅速的发展.
1. 概率的定义 设 E 是随机试验, S 是它的样本空间.对于 E
的每一事件 A 赋予一个实数, 记为 P ( A) , 称为事 件 A 的概率, 如果集合函数 P ( ) 满足下列条件 :
(5) 设 A 是 A 的对立事件, 则 P ( A) 1 P ( A).
证明 因为 A A S , A A , P ( S ) 1,
所以 1 P ( S ) P ( A A) P ( A) P ( A) . P ( A) 1 P ( A).
概率的可列可加性
2. 性质
(1,2,),
则 An , 且 Ai A j , i j .
n 1
由概率的可列可加性得 P ( ) P An P ( An ) n 1 n 1
2. 性质
设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则
(1) 0 f n ( A) 1;
( 2) f ( S ) 1, f ( ) 0;
( 3) 若 A1 , A2 , , Ak 是两两互不相容的事件, 则 f ( A1 A2 Ak ) f n ( A1 ) f n ( A2 ) f n ( Ak ).
—— 逆事件的概率
(6) ( 加法公式 ) 对于任意两事件 A, B 有 P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ).
证明 由图可得
A B A ( B AB),
且 A ( B AB ) ,
A AB
B
故 P ( A B ) P ( A) P ( B AB ).
(4) P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB)
某城市中发行两种报纸A, B. 经调查，在这 两种报纸的订户中，订阅A报的有45%，订阅B 报的有35%，同时订阅A, B两种报纸的有10%. 求： （1）只订A报的概率； （2）只订1种报纸的概率.
解 (1) P ( AB ) P ( A) P ( AB ) 0.35 (2) P ( AB ) P ( AB ) 0.35 0.25 0.6
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
f 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
f (H ) n的增大
1 . 2
重要结论
频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的 概率．
又由性质 3 得 P ( B AB ) P ( B ) P ( AB ),
因此得
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ).
推广 三个事件和的情况
P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A3 ) P ( A1 A2 A3 ).
从上述数据可得
(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的
f 不一定相同;
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅
度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5.
实验者 德 摩根 蒲丰 K 皮尔逊 K 皮尔逊
又因 P ( B A) 0, 故 P ( A) P ( B ).
一般地,总有 P ( B A) P ( B AB) P ( B) P ( AB).
(4) 对于任一事件 A, 有P ( A) 1.
证明
A S P ( A) P ( S ) 1,
故 P ( A) 1.
§1.2 频率与概率
频率的定义与性质
概率的定义与性质
小结
练习
1.2.1 频率的定义与性质
1. 定义
在相同的条件下 , 进行了 n 次试验 , 在这 n 次试验中, 事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发 nA 生的频数.比值 称为事件 A 发生的频率, 并记 n 成 f n ( A).