-2003初中数学竞赛
2003年“TRULY ®信利杯”全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分）1．若4x －3y －6z =0，x +2y －7z =0(xyz ≠0)，则222222103225z y x z y x ---+的值等于 ( ).(A) 21-(B) 219- (C) 15- (D) 13- 2．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g 时付邮费0.80元，超过20g 而不超过40g 时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g 需增加邮费0.80元（信的质量在100g 以内）。
如果所寄一封信的质量为72.5g ，那么应付邮费 ( ).(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元 3．如下图所示，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =（ ）.(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°4．四条线段的长分别为9，5，x ，1（其中x 为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段（如上图），则x 可取值的个数为（ ）.(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ).(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知31+=x ，那么=---++2141212x x x .OCDABABCDEFG（第3题图）（第4题图）7．若实数x ，y ，z 满足41=+yx ，11=+z y ，371=+x z ，则xyz 的值为 .8．观察下列图形：① ② ③ ④根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为 .9．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成45º，∠A =60º CD =4m ，BC =()2264-m ，则电线杆AB 的长为_______m.10．已知二次函数c bx ax y ++=2（其中a 是正整数）的图象经 过点A （－1，4）与点B （2，1），并且与x 轴有两个不同的交点，则b +c 的最大值为 . 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P . 问EP 与PD 是否相等？证明你的结论.解：(第11题图)（第9题图）城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？解：(第12题图)13B ．如图所示，在△ABC 中，∠ACB =90°.（1）当点D 在斜边AB 内部时，求证：ABBDAD BC BD CD -=-222. （2）当点D 与点A 重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由. （3）当点D 在BA 的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.14B ．已知实数a ，b ，c 满足：a +b +c =2，abc =4. （1）求a ，b ，c 中的最大者的最小值； （2）求c b a ++的最小值.BACD注：13B 和14B 相对于下面的13A 和14A 是较容易的题. 13B 和14B 与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A 和14A 两题可留作考试后的研究题。
13A ．如图所示，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x （k 是整数）的最大整数根. P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线P A 和割线PBC ，其中A 为切点，点B ，C 是直线PBC 与⊙O 的交点.若P A ，PB ，PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求222PC PB PA ++的值.解：P(第13A 题图)14A ．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a ，b ，c ，d 满足不等式))((c b d a -->0，那么就可以交换b ，c 的位置，这称为一次操作.（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d ，都有))((c b d a --≤0？请说明理由.（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d ，都有))((c b d a --≤0？请说明理由. 解：（1）（2）6534212003年“TRULY ®信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，满分30分）1．D由⎩⎨⎧=-+=--,072,0634z y x z y x 解得⎩⎨⎧==.2,3z y z x 代入即得.2．D因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）. 3．C如图所示，∠B +∠BMN +∠E +∠G =360°，∠FNM +∠F +∠A +∠C =360°， 而∠BMN +∠FNM =∠D ＋180°，所以∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =540°.4．D显然AB 是四条线段中最长的，故AB =9或AB =x 。
（1）若AB =9，当CD =x 时，222)51(9++=x ，53=x ；当CD =5时，222)1(59++=x ，1142-=x ； 当CD =1时，222)5(19++=x ，554-=x .（2）若AB =x ，当CD =9时，222)51(9++=x ，133=x ；当CD =5时，222)91(5++=x ，55=x ；当CD =1时，222)95(1++=x ，197=x .故x 可取值的个数为6个.5．B设最后一排有k 个人，共有n 排，那么从后往前各排的人数分别为k ，k +1，k +2，…，k +（n －1），由题意可知1002)1(=-+n n kn ，即()[]20012=-+n k n . 因为k ，n 都是正整数，且n ≥3，所以n <2k +（n －1），且n 与2k +（n －1）的奇偶性不同. 将200分解质因数，可知n =5或n =8. 当n =5时，k =18；当n =8时，k =9. 共有两种不同方案.N MAB CEFGO C DAB6．23-. 4341442141212222--=-+--=---++x x x x x x ＝234)31(32-=-+-。
7．1.因为34371313711114--+=---+=-+=-+=+=x x x x x x z z x z x y x ， 所以 37)34()34(4-+-=-x x x x ，解得 23=x . 从而 353237137=-=-=x z ，5253111=-=-=z y .于是 1355223=⨯⨯=xyz .8．161.根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为1+4+3×4+432⨯+433⨯=1+4+12+36+108=161（个）. 9．26.如图，延长AD 交地面于E ，过D 作DF ⊥CE 于F .因为∠DCF =45°，∠A =60°，CD =4m ，所以CF =DF =22m ， EF =DF tan60°=62（m ）. 因为3330tan == BE AB ，所以2633=⨯=BE AB （m ）. 10.－4.由于二次函数的图象过点A （－1，4），点B （2，1），所以⎩⎨⎧=++=+-,124,4c b a c b a解得 ⎩⎨⎧-=--=.23,1a c a b因为二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以042>-=∆ac b ，0)23(4)1(2>----a a a ，即0)1)(19(>--a a ，由于a 是正整数，故1>a ， 所以a ≥2. 又因为b +c =－3a +2≤－4，且当a =2，b =－3，c =－1时，满足题意，故b +c 的最大值为－4.三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P . 问EP 与PD 是否相等？证明你的结论.解：DP =PE . 证明如下：因为AB 是⊙O 的直径，BC 是切线， 所以AB ⊥BC .由Rt △AEP ∽Rt △ABC ，得 ABAEBC EP = . ① ……（6分） 又AD ∥OC ，所以∠DAE=∠COB ，于是Rt △AED ∽Rt △OBC . 故ABAE AB AE OB AE BC ED 221=== ② ……（12分） 由①，②得 ED =2EP .所以 DP =PE . ……（15分）12．某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？解：从A 城出发到达B 城的路线分成如下两类：（1）从A 城出发到达B 城，经过O 城. 因为从A 城到O 城所需最短时间为26小时，从O 城到B 城所需最短时间为22小时. 所以，此类路线所需 最短时间为26+22=48（小时）. ……（5分）（2）从A 城出发到达B 城，不经过O 城. 这时从A 城到达B 城，必定经过C ，D ，E 城或F ，G ，H 城，所需时间至少为49小时. ……（10分）综上，从A 城到达B 城所需的最短时间为48 小时，所走的路线为： A →F →O →E →B . ……（12分） 所需的费用最少为：80×48×1.2=4608（元）…（14分） 答：此人从A 城到B 城最短路线是A →F →O →E →B ，所需的费用最少为4608元13B ．如图所示，在△ABC 中，∠ACB =90°.（1）当点D 在斜边AB 内部时，求证：ABBDAD BC BD CD -=-222. （2）当点D 与点A 重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由. （3）当点D 在BA 的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.解：（1）作DE ⊥BC ，垂足为E . 由勾股定理得.)()()(22222222BC BE CE BE CE DE BE DE CE BD CD -=-=+-+=-所以 BC BEBC CE BC BE CE BC BD CD -=-=-222.因为DE ∥AC ，所以ABBD BC BE AB AD BC CE ==,. 故 AB BDAD AB BD AB AD BCBD CD -=-=-222. ……（10分） （2）当点D 与点A 重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。
2003年全国初中数学竞赛第二试概要
2003年全国初中数学竞赛第二试
A卷
一、（本题满分20分）
试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位
数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这
个四位数．
二、（本题满分25分）
在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．设线段PA，PB的中点分别为M，N．
求证：⑴△DEM≌△DFN；⑵∠PAE=∠PBF．
三、（本题满分25分）
已知实数a，b，c，d互不相等，且 a + 1/b = b
+ 1/c = c +1/d = d + 1/a = x，试求x 的值．
B卷
一、同A卷第一题
二、（本题满分25分）
在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．求证：∠PAE=∠PBF．
三、（本题满分25分）
已知四边形ABCD的面积为32，AB，CD，AC的长都是整数，且它们的和为16．
⑴这样的四边形有几个？
⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值．
C卷
一、同A卷第三题，分值为20分。
二、同B卷第二题。
三、同B卷第三题。
2003年全国初中数学竞赛辽宁省预赛试题
2003年全国初中数学竞赛辽宁省预赛试题一、选择题(每小题3分，共30分)1、在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 、B 的坐标分别为(3，0)，(0，4)，则△OAB 的内心坐标为A 、(32，23)B 、(72，2)C 、(1，1)D 、(72，1) 2、把(1a -( ) ABC 、D 、3、一辆汽车的油箱里装有30升汽油，汽车每行驶100千米耗油6升，在行驶过程中，油箱中剩油量y(升)与行驶路程x(千米)的函数关系可用图象表示为( )4、如图，以O 为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C，若AB=4，BC=1，则下列整数与圆环面积最接近的是()A 、10B 、13C 、16D 、195、如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB=AD ，DE 是⊙O 的切线，∠ADE=55°，则∠C 等于( )A 、110°B 、100°C 、115°D 、120°6、如图，半圆的直径EF=8，正方形ABCD 的顶点A 、D 在半圆上，一边BC 在EF 上，则这个正方形的面积等于( )A 、16B 、15.4C 、12.8D 、127、某商店出售一种商品，下列几种方案中，最后价格最低的方案是( )A 、先提价10%，再降价10%B 、先降价10%，再提价10%C 、先提价20%，再降价20%D 、先提价30%，再降价30%8、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是平行于AB 的弦，且AC 交BD 于点E ，∠AED=α，则DCE ABES S ∆∆等于( ) A 、cos α B 、sin α C 、cos 2α D 、sin 2α9、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则化简二次根式的结果是( )A 、a+bB 、-a-bC 、a-b+2cD 、-a+b-2c10、已知⊙O 的半径为r ，AB 、CD 为⊙O 的两条直径，且 AC =60°，P为 BC上的任意一点，PA 、PD 分别交CD 、AB 于点E 、F ，则AE ·AP+DF ·DP 等于A 、3r 2B 、2C 、4r 2D 、2二、填空题(每小题3分，共30分)11、关于x 的一元二次方程(k-1)x 2-2x+3=0有实数根，则k 的取值范围是____。
2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题解答
2003年“TRULY ®信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，满分30分）1．D由⎩⎨⎧=-+=--,072,0634z y x z y x 解得⎩⎨⎧==.2,3z y z x 代入即得.2．D因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）.3．C如图所示，∠B +∠BMN +∠E +∠G =360°，∠FNM +∠F +∠A +∠C =360°， 而∠BMN +∠FNM =∠D ＋180°，所以∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =540°.4．D显然AB 是四条线段中最长的，故AB =9或AB =x 。
（1）若AB =9，当CD =x 时，222)51(9++=x ，53=x ；当CD =5时，222)1(59++=x ，1142-=x ； 当CD =1时，222)5(19++=x ，554-=x .（2）若AB =x ，当CD =9时，222)51(9++=x ，133=x ；当CD =5时，222)91(5++=x ，55=x ；当CD =1时，222)95(1++=x ，197=x .故x 可取值的个数为6个.5．B设最后一排有k 个人，共有n 排，那么从后往前各排的人数分别为k ，k +1，k +2，…，k +（n －1），由题意可知1002)1(=-+n n kn ，即()[]20012=-+n k n .N MAB CEFG O C DAB因为k ，n 都是正整数，且n ≥3，所以n <2k +（n －1），且n 与2k +（n －1）的奇偶性不同. 将200分解质因数，可知n =5或n =8. 当n =5时，k =18；当n =8时，k =9. 共有两种不同方案.6．23-. 4341442141212222--=-+--=---++x x x x x x ＝234)31(32-=-+-。
03年全国初中数学竞赛
2003年全国初中数学竞赛
嘉兴市评奖结果公告
2003年全国初中数学竞赛于2003年4月6日举行。
嘉兴市由嘉兴市教育局教研室、嘉兴市教育学会中学数学分会、嘉兴市数学会联合组织，共有6270名学生参加了本次竞赛，经成绩评定，确定嘉兴市团体优胜奖15名，个人一等奖68名、二等奖124名、三等奖127名。
现将结果公布如下：
团体优胜：
海盐县武原中学平湖市东湖中学
嘉兴三中求是实验中学
邵逸夫中学秀洲现代实验学校
嘉善泗洲中学桐乡六中
嘉兴市洪波中学嘉善四中
嘉兴秀中分校嘉善一中
海宁一中海盐县元通中学
海盐县实验中学
个人获奖：
一等奖
二等奖
嘉兴市教育局教研室嘉兴市教育学会中学数学分会
嘉兴市数学会
2003年5月8日。
2003年第13届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷
2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）方程323223232xx+-+=-+的根是（ ）A ．3-B ．2C ．1-D ．02．（5分）设323(437)3770x x x +---=，则43277372x x x x +--+的值为（ ）A ．307B ．30C ．7D ．03．（5分）方程组224||||04||||0x x y y y x ⎧-+=⎨-+=⎩在实数范围内（ ） A ．有1组解B ．有2组解C ．有4组解D ．有多于4组的解4．（5分）设[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，x <>表示最接近x 的整数(0.5x n ≠+，n 为整数）．例如[3.4]3=，{3.4}4=， 3.43<>=．则不等式组{}23.24[]3{}235.624.343[]237.7x x x x x x x x ++<>+⎧⎨<>+++⎩的解为（ ） A ．2.2 3.6x ， 2.5x ≠，3.5B ．24x ， 2.5x ≠，3.5C ．2.2 3.6xD ．2x =，3 5．（5分）作自然数带余除法， 有算式27A B C ÷=． 如果100B <，且80215240A B C -++=，则A =（ ）A ． 2003B ． 3004C ． 4005D ． 43596．（5分）如图，由12个相同的菱形组成，其中的阴影部分（小菱形）的面积为1，那么图中所有能够数得出来的平行四边形的面积之和为（ ）A ．400B ．300C ．200D ．1507．（5分）在1，2，3，…，200中既与96互质，又与75互质，而且与80也互质的所有整数的总和为（ ）A ．5468B ．6028C ．5828D ．50588．（5分）如图，::1:2:1BP PQ QC =，:1:2CG AG =，则::BE EF FG =（ ）A ．12:17:7B ．11:16:6C ．10:15:6D ．9:14:59．（5分）设23482222135357579959799S =+++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，24712221335579597T =+++⋯+⨯⨯⨯⨯，则123S T -=（ ） A ．48219603- B ．4829603- C ．48213201- D ．4823201- 10．（5分）设99n =…9（100个9），则3n 的10进位制表示中，含有的数字9的个数是（ ）A ．201B ．200C ．100D ．199二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）11．（5分）在实数范围内分解因式：4234x x -+= ．12．（5分）已知32521322232826a b b c c a a b b c c a +-++-+===-++-+-，则232437a b c a b c ++-=-++ ． 13．（5分）不等式232||3353||5x x x x ++>++的解是 ． 14．（5分）要使分式222424x x x x x x +----+和22222x x x x --+--都有意义，则x 的取值范围是 ．15．（5分）设215322x y xy x+-=，x ，y 是整数，则方程的非零整数解有 组． 16．（5分）如图，护城河在CC '处直角转弯，宽度保持为4米．从A 处往B 处，经过2座桥：DD '，EE '．设护城河是东西一南北方向的，A 、B 在东西方向上相距64米，南北方向上相距84米．恰当地架桥可使A 到B 的路程最短．这个最短路程为 米．17．（5分）四边形ABCD 的四边长为34AB =，2(7)1BC m =-+，22(6)CD m n =+-，216DA n =+，一条对角线227(5)BD n =+-，其中m ，n 为常数，且07m <<，05n <<，那么四边形的面积为 ．18．（5分）设0x ≠，1x ≠，21P x =-，212x Q x-=，2(2)(1)x x R x -=-，且AP BQ CR s ++=对任意的x 都成立，其中A ，B ，c 为常数， 2422145(1)x x x s x x -+-=-．则AQ BR CP ++= (0,1)x ≠． 19．（5分）利用不等式33A B CABC ++，A ，B ，0C >，等号成立当且仅当A B C ==”解决以下问题：把长为8dm 宽为3dm 的长方形铁片的四角各剪去一个边长相同的正方形小铁片，折成一个无盖长方体盒子（折缝不计），要使所得到的盒子容积最大，剪去的4个正方形小铁片的边长应是x = dm ．20．（5分）以下算式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么这个算式的结果，非典不可怕” = ．可怕非典⨯抗⨯抗⨯抗⨯抗=非典不可怕．。
2003年全国初中数学联赛试题
2003年全国初中数学联合竞赛试题一、选择题（42分）1.计算：( )2.在十边形的所有内角中,锐角的个数最多是( ) (A)0 (B)1 (C)3 (D)53.若函数y=kx(k>0)与函数y=1x的图象相交于A 、C 两点，AB 垂直于x 轴于B,则ΔABC 的面积为( )(A)1 (B)2 (C)k (D)k 24.满足等式的正整数对(x,y)的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5.设ΔABC 的面积为1,D 是边AB 上一点,且13AD AB =.若在边AC 上取一点E,使四边形DECB 的面积为34,则CE EA的值为( ) (A)12 (B)13 (C)14 (D)156.如图,在ABCD 中,过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。
若AB=4，BE=5，则DE 的长为（ ） (A)3 (B)4 (C)154 (D)165二、填空题（28分）1. 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点.若ΔABC 是直角三角形,则ac=_______. 2.设m 是整数,且方程3x 2+mx-2=0的两根都大于-95而小于37,则m=______. 3.如图,AA /、BB /分别是∠EAB ，∠DBC 的平分线. 若AA /=BB /=AB ，则∠BAC 的度数为________.4.已知正整数a 、b 之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a 、b 中较大的数是__ __.EDCBA EDC BAB 'A 'EDCBANMPFEDCBADCBA三、（20分）在ΔABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE=DF ；过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于P.设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N. 求证：（1）ΔDEM ≌ΔDFN.（2）∠PAE=∠PBF.四、（25分）已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且a +1b = b +1c = c + 1d= d +1a = x,试求x 的值.五、（25分）已知四边形ABCD 的面积为32，AB 、CD 、AC 的长都是整数，且它们的和为16。
2003年全国初中数学联合竞赛试题及解答
为使方程有正整数根要求 4 y 50 4 y 2 y 4 2500 99 y 是完全平方数．
2
经试验得到 y 25 时 是完全平方数，解出 x 20 或 30，即 2025 或者 3025 满足题意. 方法二： 设这两个两位数分别为 x ， y ，则 x y 100 x y
2
由于 △ABC 是直角三角形，所以抛物线与 x 轴的交点必然在 y 轴两边，所以
c 再由射影定理得到 c 2 ，所以 ac 1 . a
c 0. a
9 3 2．设 m 是整数，且方程 3x2＋mx－2＝0 的两根都大于 而小于 ，则 m＝_________. 5 7
【答】 4. 考虑二次函数 f ( x) 3x2 mx 2 与二次函数的两个交点， 由于 3 大于 0， 图像开口向上．
所以 故：
S△ ADE AD AE 1 AE 3 1 ， S△ ABC AB AC 3 AC 4
AE 3 CE 1 ，所以 AC 4 EA 3
B
C
6．如图，在平行□ABCD 中，过 A，B，C 三点的圆交 AD 于 E，且与 CD 相切．若 AB＝4， BE＝5，则 DE 的长为（ A．3. 【答】D. 连接 CE，由于 ABCE 四点共圆，所以：∠DEC＝∠CBA， 在平行四边形 ABCD 中，∠D＝∠ABC， 所以有∠DEC＝∠D＝∠ABC， 同时，CD 平行于 AB，且 DC 与圆相切， 可知：C 为弧 AB 中点，所以∠CEB＝∠CBA，且∠DCE＝∠CBE， 故由∠DEC＝∠D 可知△DEC 为等腰三角形，CD＝CE＝AB＝4， 由∠DEC＝∠CBE 和∠D＝∠ABC＝∠CEB 可知△CDE∽△BCE， 所以：
历年初中数学竞赛真题库含答案
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18．答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ， yx 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论:Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22- (B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于 (A)c b a 1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________. 第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
【数学竞赛】2003年全国初中数学联赛试卷及答案
【数学竞赛】2003年全国初中数学联赛试卷第一试（4月13日上午8:30—9:30）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.A .5-B .1C .5D .1[答]（ ）2.在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是A .0B .1C .3D .5[答]（ ）3.若函数()0y kx k =>与函数1y x=的图象相交于A ，C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则△ABC 的面积为 A .1 B .2 C .k D .2k[答]（ ）4.满足等式2003的正整数对()x y ，的个数是A .1B .2C .3D .4[答]（ ）5.设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且13AD AB =．若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为34，则CE EA的值为 A .12 B .13 C .14 D .15[答]（ ）6.如图，在□ABCD 中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若AB =4，BE =5，则DE 的长为A .3B .4C .154D .165[答]（ ） D CA B E二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若△ABC 是直角三角形，则ac =__________．2.设m 是整数，且方程2320x mx +-=的两根都大于95-而小于37，则m =____________． 3.如图，'AA ，'BB 分别是∠EAB ，∠DBC 的平分线．若''AA BB AB ==，则∠BAC 的度数为_____________．4.已知正整数a ，b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a ，b 中较大的数是_________．2003年全国初中数学联合竞赛试卷第二试（A ）（4月13日上午10:00—11:30）考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．一、（本题满分20分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．二、（本题满分25分）。
2003年全国初中数学竞赛天津赛区解析
第一中学
吴晋
外院附校
张晗
新华中学
郭晓煦
新华中学
包辰兰
外院附校
刘思洋
耀华中学
娄天关
新华中学
王蕾
南开中学
杜洁
新华中学
王祎
新华中学
肖潇
天津五中
高腾
耀华中学
孙鹏
双建中学(河北)
丁淼
协同中学(红桥)
单增礼
静海二中
李迪
南开中学
田玉璐
华辰中学(北辰)
崔琛
新华中学
孙丁捷
新华中学
崔晓龙
二十中学
王龙
五十五中
穆旭冉
南开中学
高玉翔
耀华中学
李玮瑜
实验中学
陈雪
育英中学(宝坻)
吴云昊
实验中学
董见地
石化一中
马剑峰
新华中学
胡珀
耀华中学
杨光
新华中学
赵学义
上骀中学(武清)
杨晓浩
实验中学
李鑫
新华中学
刘龙隆
新华中学
田力
耀华中学
周鑫南
南开中学
胡阳
南开中学
张宏
第七中学
肖月
第一中学
杨帅
外院附校
于淼
实验中学
余盛强
实验中学
陈伯雄
新华中学
王潇
一0二中(河东)
扈晓莉
南开中学
崔云溪
南开中学
张勇
耀华中学
郑小平
育华中学(塘沽)
门金龙
方舟中学(红桥)
李辰
天慈中学(河北)
刘砚辉
第七中学
李彬
油田十中