双变量回归模型分析案例及模型形式的探讨(精)
计量经济学第三章 双变量线性回归模型
双变量线性回归模型的统计假设
(1). E(ut) = 0, t= 1, 2, ...,n 即各期扰动项的均值(期望值)为0.
(5) (6)
其中：Y Yt , X X t
n
n
xt X t X ,
yt Yt Y
样本均值 离差
（5）式和（6）式给出了OLS法计算ˆ 和 ˆ 的 公式，ˆ 和 ˆ称为线性回归模型 Yt = + Xt + ut
的参数 和 的普通最小二乘估计量 (OLS estimators）。
一. 双变量线性回归模型的概念
设 Y = 消费, X = 收入, 我们根据数据画出散点图
Y
*
*
*
*
*
图1
这意味着
Y = + X
(1)
写出计量经济模型
Y = + X + u
(2)
其中 u = 扰动项或 误差项
Y为因变量或被解释变量
X
X为自变量或解释变量
和 为未知参数
设我们有Y和X的n对观测值数据，则根据(2)式， 变量Y的每个观测值应由下式决定：
=β
——假设（4） ——假设（1）
这表明，ˆ 是β的无偏估计量。
在证明 ˆ 无偏性的过程中, 我们仅用到(1)和(4)两
条假设条件。
由 ˆ Y ˆ X ，我们有：
E(ˆ ) E(Y ˆ X ) E( X u ˆ X ) X E(u) X E(ˆ)
第二章2双变量回归分析
线性
解释变量是线性：被解释变量是解释变量的 线性函数 参数线性的：被解释变量的条件均值是估计 参数的线性函数
PRF的随机设定(统计误差)
每个观测值可能高于或低于条件均值（回归 值） 设：ui = Yi - E(Y|Xi) Yi = E(Y|Xi) + ui ui 随机误差项 随机总体回归方程：Yi =B1 + B2 Xi +ui
经典线性回归模型的基本假定
1、线性模型:参数线性 2、解释变量是固定的 3、干扰项的均值为0，即： E(ui) = 0 4、同方差：var(ui) = 2 5、干扰项之间无自相关Cov (ui, uj) = 0 ， i not equal to j 6、Xi和ui的协方差为0，即：Cov(Xi*ui) = 0 7、观测次数大于待估参数 8、X值有变异 9、模型设定正确 10、解释变量之间无完全多重共线性（无完全的线性关系）
在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型
Yi 0 1 X i i
：
随机抽取n组样本观测值（Xi, Yi） （i=1,2,…n）。 假如模型的参数估计量已经求得，为
那么Yi服从如下的正态分布： 于是，Y的概率分布函数为
2 ˆ Y i ~ N ( 0 ˆ 1 X i , )
第二章2 双变量回 归分析
一些基本概念
一个实例
计量经济学中回归研究内容:具有因果关系的 经济变量之间的统计依赖关系 假想社会中:消费与收入之间的关系 假想社区中:某产品销量与价格的关系
回归的含义
回归分析：研究一个经济变量与另一个或多个经济变 量之间具体统计依赖关系的计算方法的理论 被解释变量：随机变量；解释变量：确定值 回归结果：给定解释变量的条件下，被解释变量所 有可能对应值的平均值。 例:商品价格对其需求量在统计上有什么影响关系? 进一步：商品价格对需求量有多大程度的影响? 回归分析： 给定价格水平，需求量的总体平均值！！
双变量线性回归分析结果的报告以及案例
数据清洗
处理缺失值、异常值和重复数据，确保数据质 量。
数据探索
初步分析数据，了解变量之间的关系和分布情况。
模型建立
确定变量
选择与响应变量相关的预测变量，并考虑变量的 多重共线性。
建立模型
使用最小二乘法或其他优化算法拟合线性回归模 型。
模型诊断
检查模型的残差图、散点图等，确保模型满足线 性回归的前提假设。
卧室数量与房价之间存 在正相关关系，但影响 较小。
地理位置对房价有显著 影响，靠近市中心的房 屋价格更高。
周边设施对房价有积极 影响，特别是学校和公 园等设施。
05 双变量线性回归分析的未 来研究方向
深度学习与线性回归的结合
01
深度学习技术可以用于特征提 取，将原始数据转化为更高级 别的特征表示，然后利用线性 回归模型进行预测。
双变量线性回归分析结果的报告以 及案例
目录
• 双变量线性回归分析概述 • 线性回归分析的步骤 • 双变量线性回归分析的案例 • 线性回归分析的局限性 • 双变量线性回归分析的未来研究方向
01 双变量线性回归分析概述
定义与原理
双变量线性回归分析是一种统计学方法，用于研究两个变量之间的线性关系。通 过最小二乘法等数学手段，找到一条最佳拟合直线，使得因变量能够根据自变量 进行预测。
线性回归分析假设因变量和自变 量之间存在线性关系，但在实际 应用中，非线性关系可能更为常 见。
独立性假设
自变量之间应相互独立，但在实 际数据中，自变量之间可能存在 多重共线性，影响回归结果的准 确性。
无异常值和缺失值
假设
数据集中不应含有异常值和缺失 值，否则会影响回归模型的稳定 性和准确性。
模型泛化能力
双变量回归模型分析案例及模型形式的探讨
双变量回归模型分析案例及模型形式的探讨首先，我们来讨论一个实际案例，即研究收入和教育水平之间的关系。
假设我们收集了一组数据，包括每位受访者的收入和教育水平。
我们想要探究这两个变量之间的关系，即教育水平对收入的影响。
这时候，我们可以使用双变量回归模型进行分析。
在进行回归分析之前，我们首先需要确定要使用的模型形式。
常见的双变量回归模型包括线性回归模型、非线性回归模型和多项式回归模型等。
在这个案例中，我们可以使用线性回归模型来建立收入和教育水平之间的关系。
假设教育水平为自变量X，收入为因变量Y，那么线性回归模型可以写为：Y=β0+β1*X+ε其中，Y表示因变量（收入），X表示自变量（教育水平），β0表示截距项，β1表示自变量的系数，ε表示误差项。
在进行实际分析时，我们需要采集一定数量的数据，并使用统计软件进行回归分析。
通过拟合数据，我们可以得到回归方程的系数估计值，并根据显著性检验来判断自变量的影响是否具有统计学意义。
在本案例中，我们可以通过拟合数据得到回归方程的系数估计值，比如β0=3000，β1=1000。
这个结果可以被解释为，每增加一个教育水平单位，平均收入会增加1000元。
同时，我们还可以通过t检验或F检验来评估系数的显著性。
除了线性回归模型外，我们还可以使用非线性回归模型或多项式回归模型来分析双变量关系。
非线性回归模型可以用于探究非线性关系，例如指数关系或对数关系。
多项式回归模型可以用于探究曲线关系，例如二次曲线关系或三次曲线关系。
总之，双变量回归模型是一种常见的统计分析方法，在实际研究中具有广泛应用。
通过建立适当的模型形式，我们可以研究两个变量之间的关系，并通过回归分析得到相关参数的估计值。
这些参数可以帮助我们了解变量之间的关系，并为实际问题的解决提供参考依据。
双变量回归模型(一元线性回归模型)
* * * * * * * * * *
* * * * * * * * * *
* * ** * * *
* * * * * * * * * *
总体回归曲线
E (Y X i ) f ( X i )
E (Y X i ) 1 2 X i
150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 每周个人可支配收入（ X）
每周个人可支配收入（ X）
总体回归模型的随机形式
Yi 1 2 X i ui
随机总体回归函数
Yi可表示成两部分之和 系统成分（确定性成分）：1 2 X i 非系统成分（随机成分）：ui
引入随机干扰项的意义
1、理论的不完全性
与因变量相关的因素很多，随机干扰项替代了 未纳入模型的全部变量。
X
Xi
总体回归函数
E (Y X i ) 1 2 X i
1、 2为“未知但固定”的参数, 称为“回归系数” 。 1称为截距( Intercept ), 2 称为斜率( Slope)
斜率度量了解释变量X每变动一个单位， 因变量Y的条件均值变化多少个单位。 截距项度量了解释变量为零时因变量 的条件均值。一般来说，不解释其经 济意义。 该形式的总体回归函数称为
双变量回归模型
（一元线性回归模型）
双变量回归模型
（最简单的回归模型）
模型特点 因变量（Y）仅依赖于唯一的一个解释变量(X)。 回归分析的内容与目的 1、通过样本数据去估计出因变量与解释变量的统 计依赖关系式（总体回归函数）； 2、给定解释变量的取值，去估计因变量的均值； 3、假设检验； 4、根据样本外解释变量的取值，预测因变量的均 值。
bivariate logistic models双变量逻辑模型
bivariate logistic models双变量逻辑模型一、什么是双变量逻辑模型（bivariate logistic models）双变量逻辑模型是一种统计学方法，用于分析两个分类变量之间的关系。
这种模型通常用于预测一个事件发生的概率，特别是在医疗、社会科学、市场营销等领域。
通过建立两个分类变量之间的概率依赖关系，我们可以更好地理解这些变量之间的相互作用。
二、为什么要使用双变量逻辑模型1.分析两个分类变量之间的关联性：双变量逻辑模型可以帮助我们确定两个分类变量之间是否存在显著关联，以及关联的程度。
2.预测概率：借助双变量逻辑模型，我们可以预测一个事件发生的概率，从而为决策提供依据。
3.发现关联规律：通过分析变量间的概率关系，我们可以发现潜在的关联规律，为后续研究提供方向。
三、如何构建双变量逻辑模型1.数据准备：收集与两个分类变量相关的数据，确保数据具有完整性、准确性和一致性。
2.模型设定：确定自变量和因变量，建立双变量逻辑回归模型。
3.模型训练：使用统计软件（如SPSS、R、Python等）对模型进行训练，确定模型参数。
4.模型评估：通过模型预测准确率、校准曲线、信息矩阵等指标评估模型性能。
5.结果解释：根据模型参数，解释自变量对因变量概率的影响程度。
四、双变量逻辑模型的应用领域1.医学：预测疾病风险、评估治疗效果等。
2.社会科学：分析教育、收入、性别等因素对某个结果的影响。
3.市场营销：分析消费者行为、评估广告效果等。
五、优缺点分析优点：1.易于理解和解释模型结果。
2.可以分析两个分类变量之间的关联性。
3.预测精度较高。
缺点：1.依赖大样本数据。
2.模型稳定性受样本量和变量选择影响。
3.无法处理多个变量之间的关系。
六、实际案例分享某医疗机构希望通过分析患者病史、生活习惯等因素，预测患某种疾病的概率。
在这种情况下，可以使用双变量逻辑模型来分析各个因素与疾病之间的关系，并为患者提供个性化的预防建议。
双变量回归模型估计问题课件
在应用双变量回归模型进行预测之前，需要对模型进行假设检验，以确保模型的有效性和可靠性。
03
CHAPTER
双变量回归模型大样本可以提供更稳定和准确的估计。
异常值可能对估计稳定性产生负面影响。在回归分析中，需要谨慎处理异常值，以避免对估计稳定性的不良影响。
总结词
在气候变化对农业产量影响的案例中，可以选择一些与农业产量密切相关的气候因素作为自变量，如温度、降雨量、光照等。通过双变量回归模型，可以建立这些气候因素与农业产量之间的线性关系，并利用历史数据来估计模型的参数。通过预测未来气候因素的变动，可以进一步预测未来农业产量的变化趋势，为农业生产和资源管理提供决策依据。
详细描述
06
CHAPTER
结论与展望
01
总结了双变量回归模型估计问题的基本概念、方法和应用场景。
02
分析了双变量回归模型估计问题中存在的挑战和问题，如多重共线性、异方差性等。
03
介绍了解决这些问题的常用方法和技巧，如主成分分析、岭回归等。
04
强调了双变量回归模型估计问题在实践中的重要性和应用价值。
最小二乘法具有很多优点，例如它对数据的要求较低、计算相对简单等，因此在回归分析中得到了广泛应用。
模型的假设主要包括线性假设、误差项独立同分布假设、误差项无偏性假设等。
对假设的检验可以通过一些统计方法进行，例如残差分析、Jarque-Bera检验等。如果模型的假设不满足，则需要对模型进行调整或重新设定。
双变量回归模型估计问题课件
目录
引言双变量回归模型基础双变量回归模型的估计问题解决双变量回归模型估计问题的方法实际案例分析结论与展望
01
CHAPTER
引言
03
估计问题是指在使用回归模型时，如何准确地估计未知的参数值。
双变量回归模型分析案例及模型形式的探讨
双变量回归模型分析案例及模型形式的探讨双变量回归模型是一种用于分析两个变量之间关系的统计模型。
它可以用来预测一个变量（因变量）受另一个变量（自变量）的影响程度，或者研究两个变量之间的相关性。
本文将探讨一个双变量回归模型的分析案例，并探讨该模型的形式。
假设我们想要分析一个人的身高和体重之间的关系。
我们收集了一组数据，包括100个人的身高和体重数据。
我们想要建立一个双变量回归模型，来预测一个人的体重受其身高的影响程度。
首先，我们需要将收集到的数据进行整理和描述性统计分析。
我们可以计算身高和体重的平均值、方差和相关系数等指标。
这些指标可以提供有关数据的整体特征和两个变量之间的关系强度的信息。
接下来，我们可以使用散点图来可视化身高和体重之间的关系。
散点图可以显示每个人的身高和体重，并观察它们之间的模式和趋势。
基于散点图的观察，我们可以大致判断两个变量之间是否存在线性关系。
然后，我们可以使用最小二乘法来估计回归方程的系数。
回归方程的形式可以表示为：Y=β0+β1X，其中Y代表体重，X代表身高，β0和β1分别是回归方程的截距和斜率。
最小二乘法的目标是最小化实际观测值和回归方程预测值之间的误差平方和。
在估计回归系数之后，我们可以对回归方程进行模型拟合和评估。
拟合优度指标，如R平方和调整后的R平方，可以用来评估模型的拟合程度。
R平方的取值范围在0到1之间，越接近1说明模型对数据的解释能力越强。
最后，我们可以使用回归模型进行预测和推断。
通过将新的身高值代入回归方程，我们可以预测对应的体重。
此外，我们还可以进行假设检验和置信区间估计，以评估回归系数的显著性和区间估计。
总之，双变量回归模型可以用于分析两个变量之间的关系，并进行预测和推断。
在实际应用中，我们需要注意模型的前提假设、数据的合理性和模型的解释力。
另外，还可以通过添加交互项、多项式项或考虑其他模型形式来扩展双变量回归模型。
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半对数模型
对数-线性模型 线性-对数模型
对数-线性模型：
ln Yi 0 1 X i ui
（5-2）
可用于测度增长率 X 每增加一个单位， 解释： Y 以1001 %的 速度增长
复利公式
Yt Yt 1 t
菲利普曲线
货 币 工 资 变 化 率
自然失业率
0
1
UN
失业率
对数倒数模型 （5-5） Y 首先以递增的速度增加，然后以递减的 速度增加。 注重对变化趋势的描述
1 ln Yi 0 1 ui Xi
生产函数
如果劳动和资本是一个生产函数的投 入，保持资本投入不变但增加劳动投入，那 么产出与劳动之间的短期关系类似下图。
R-squared 0.996950 Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic 2614.830 Prob(F-statistic)
0.996569 67.63763 36598.79 -55.21531
Yi 159.8788 0.7616 X i
se : (52.9184) t : (3.0212)
(0.0149) (51.1354)
p值： (0.0165)
(0.0000)
R 2 0.9970
解释：家庭月可支配收入增加1000元，家庭月 消费支出约提高761.6元。
5、假设检验
Yi 0 1 X i ui
根据经济理论，预期 1 0
4、收集并整理数据
X
Y
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500
900 1320 1620 2140 2480 2740 3300 3520 4020 4310
5、参数估计
Y
X
双对数模型
怎样测度弹性
ln Yi 0 1 ln X i ui
（5-1） 双对数模型的一个诱人并且是使它获得普遍 应用的特点，是斜率系数1 测度了Y 对 X 的弹性。 Y 则提高约 1 % 。 解释：若X 提高 1% ，
耐用消费品支出与个人总消费支出的关系
ln 耐用品支出t 9.6971 1.905ln 总支出t
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat
0.000000
Y = 159.878787879 + 0.761575757576*X
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 09/20/10 Time: 21:02 Sample: 1 10 Included observations: 10 Variable C X Coefficient 159.8788 0.761576 Std. Error 52.91844 0.014893 t-Statistic 3.021230 51.13541 Prob. 0.0165 0.0000 2635.000 1154.655 11.44306 11.50358 11.37668 3.391406
回归系数大于0，符合经济理论预期；通过 t 检验知回归系数高度显著,表明可支配收入 确实能够影响消费支出。 正态性检验：残差直方图
雅克-贝拉检验（JB检验）
6、预测 区间预测 点预测
Y11 4729.333
Y12 5110.121
5.2 计量模型的形式探讨
双对数模型 半对数模型 倒数模型 对数倒数模型
r
ln Yt ln Y0 t ln 1 r
ln Yt 0 1t
其中 0 ln Y0
1 ln 1 r
例：劳务支出的增长模型
ln 劳务支出t 7.7890 0.00743t
在2000年第一季度到第四季度期间，劳务支出以每季度 0.743% 的速度增长。
线性-对数模型
（5-3） X 每提高一个百分点（ 解释： 1% ）， Y 平均 1 增加约 100 单位。
Yi 0 1 ln X i ui
恩格尔支出
用于食物的总支出以算术级数增加，而总支 出以几何级数增加。
食物支出i 1283.912 257.2700ln 总支出i
当总支出每提高1%，导致样本中家庭的食物 支出平均增加约 2.57 美元。
倒数模型
（5-4） 1 1 X 项趋于零， 特点：随着 X 无限的增大， 1 而 趋于极限或渐近值 。 Y Y 1 ui Xi
第五讲
双变量回归模型分析案例及模 型形式探讨
主要内容：
双变量回归案例分析 计量模型的形式探讨
5.1 双变量回归案例分析
消费函数是宏观经济学中最重要的范畴 之一，这一概念是凯恩斯提出来的，它 反映的是消费支出水平与个人可支配收 入水平之间的关系。 其假设的前提是，消费和收入之间 存在着一种以经验为依据的稳定关系。
现在，我们想去验证这一假设的合理性， 是否消费水平与可支配收入之间存在着 这样的稳定关系？如果存在，二者在数 量上的变动关系如何？如何利用该数量 关系去进行预测？
计量经济模型建模步骤： 1、对经济理论的阐述或对经济行为的 理论分析 根据凯恩斯的理论，消费支出主要 受到可支配收入的影响；消费支出随着 可支配收入的增加而增加，二者具有正 向的变动趋势。
2、数理模型的建立 由上述对经济理论的阐述，我们确立的被解 释变量是“居民月消费支出”，解释变量是“居 民月 可支配收入”，这两个变量的数据容易收集，因 此，利用这两个变量，我们建立数理模型为：
y f x
y 居民年消费支出
x 居民年可支配收入
3、计量经济模型的建立 实际中，消费支出除了受到可支配收入的影 响，还受到其他随机因素的影响，但根据经济理 论的分析，我们主要关注可支配收入因素，将其 他随机因素均归入随机误差项 u i 中，并假定二者 具有如下关系：