《高等代数与解析几何(上) 》期末考试试卷(A 卷)

《高等代数与解析几何（上）》期末考试试卷（A 卷）
一．填空题：（每小题 2 分，共 10 分）
1 111
1．设 A = −1 4 3 1 ，则 A 的第 4 行各元素的代数余子式之和为
．
1 234
1 157
2．已知
G a
=
G b
= 1,
GG a,b
=
π
,则
G a
G + 2b
=
.
4
3．直线 x − 3 = y + 4 = z 与平面 2x − y + 3z −12 = 0 的位置关系为
的,否则线性子空间W 的维数要超过 r 了.
则存在不全为零的数 k1, k2 ,", kr , kr+1 ，使得
k1α1 + k2α2 +" + krαr + kr+1β = 0
………3 分
若 kr+1 = 0 ,则 k1α1 + k2α2 +" + krαr = 0 ，从而 k1, k2 ,", kr 全为 0,与题设矛盾，
面上的高.
7．（8 分）设线性子空间W 的维数为 r ，证明W 中任意 r 个线性无关的向量都可
作成基.
命题共 2 页第 2 页
参考答案及评分细则
一．填空题：（每小题 2 分，共 10 分）
1． 0
2． 5 + 2 2
3． 相交 4． n − k 5． 相关
二．选择填空：（每小题 4 分，共 20 分）
关
的.
二．选择填空：（每小题 4 分，共 20 分）
12 3 1．方程 2 x −1 6 = 0 的根为（ ）.
3 6 x+2
(A) x1 = 1, x2 = 2 ; (B) x1 = 5, x2 = 7 ; (C) x1 = 3, x2 = 6 ; (D) x1 = −3, x2 = −6 . 2．直线 x −1 = y +1 = z + 2 与平面 4x + 5y − 3z − 7 = 0 的交点坐标为（ ）.
(C) m ;
(D) n .
4．向量组α1,α2 ,",αs (s > 1) 线性相关的充要条件是（ ）.
(A) α1,α2 ,",αs 中每个向量都可由其余向量线性表示；
(B) 对任意一组不全为零的数 k1, k2 ,", ks ，都有 k1α1 + k2α2 +" + ksαs = 0 ；
(C) α1,α2 ,",αs 中至少有一个向量是其余向量的线性组合；
.
−2 −7 3
4 ． 设 A 为 m × n 矩 阵 ， 齐 次 线 性 方 程 组 AX = 0 的 解 空 间 的 维 数 为 k , 则
rank( A) =
.
5．向量组α1 = (1, 2,1),α2 = (8, 7, −1),α3 = (8, −81, 21),α4 = (1,5,9) 是线性
1． B 2． A 3． A 4． C 5． C
三．解答题：（共 70 分）
1．（8 分） 解:
00
0" 0
−1 1− a1 a2 " 0
0 D= #
−1 1− a2 "
#
#
0 #
1 0
−1 1− a1 " 0 0 0 −1 " 0 0
0 #
= (−1)1+n+1 #
#
# # =1
00 00
0 " 1− an−1 an 0 " −1 1− an n+1
答案共 3 页第 2 页
x1
=
−
λ +1 λ + 2 ; x2
=
λ
1 + 2 ; x3
=
(λ +1)2 λ+2
.
6．（10 分）解:
VABCD
=1 6
JJJG JJJG JJJG ( AB, AC, AD)
=1 6
−4 −6
−1 −2
2 −6 = 41.
−9 −10 −12
………4 分 ………5 分
= (2x1 − x2 , x1 − x3 , x2 ) + (2 y1 − y2 , y1 − y3 , y2 )
= A(α ) + A(β )
答案共 3 页第 1 页
………3 分
A(kα ) = (2kx1 − kx2 , kx1 − kx3, kx2 ) = k(2x1 − x2 , x1 − x3, x2 ) = k A(α )
所以 A 是线性变换. （2）因为
A(ε1) = (2,1, 0) = 2ε1 + ε2 A(ε2 ) = (−1, 0,1) = −ε1 − ε2 + ε3 A(ε3 ) = (−1, −1,1) = −ε1 − 2ε2 + ε3
故 A 关于基 ε1,ε2 ,ε3 的矩阵为
⎛ 2 −1 −1⎞
A
=
0 0 " −1 0 0 0 " 0 −1
n
………4 分
………2 分
………2 分
2．（12 分）
解:（1）设α = (x1, x2 , x3 ), β = ( y1, y2 , y3 ) ∈V , k ∈ K ，由变换 A 的定义，有
A(α + β ) = (2(x1 + y1) − ( x2 + y2 ),( x1 + y1) − (x3 + y3 ), (x2 + y2 ))
3 −4 −2
(A) (−2,3, 0) ;
(B) (2,3, 0) ;
(C) (−2,3,1) ;
(D) (1,3, −2) .
3．设α = (a1, a2 ,", am ), β = (b1, b2 ,", bn ) 是两个非零向量，则矩阵 A = α T β 的
秩为( ) .
(A) 1;
(B) 2 ;
0 D= #
−1 1− a2 "
#
#
0 #
0 0 0 #.
00 00
0 " 1− an−1 an 0 " −1 1− an
2．（12 分）设V = R3 ，定义V 的变换如下：
A : ( x1, x2 , x3 ) 6 (2x1 − x2 , x1 − x3 , x2 ) , （1）证明 A 是线性变换；
h = JJ6JVG ABJCJDJG =
6× 41
= 82 .
BC × BD (3, 4, −1) × (6, 0, −3) 9
………5 分
7．（8 分）证明: 设α1,α2,",αr 是线性子空间 W 中任意 r 个线性无关的向量.
由线性子空间W 的维数为 r ,则对于任意 β ∈W ,向量组α1,α2,",αr , β 必线性相关
命题共 2 页第 1 页
(D) α1,α2 ,",αs 中存在有部分向量组线性相关.
5．设 A 为 3 阶方阵，
A
=
4
，则
⎛ ⎜⎝
1 2
A
⎞2 ⎟⎠
=（
）.
(A) 4 ;
(B) 1 ; 16
三．解答题：（共 70 分）
(C) 1 ; 4
(D) 16.
1．（8 分）计算下列行列式
1 a1
0" 0
−1 1− a1 a2 " 0
故 kr+1 ≠ 0 ,
………3 分
于是
β
=
−
k1 kr +1
α1
−
k2 kr +1
α
2
"
−
kr kr +1
αr
即 W 中每一个向量都可以由α1,α2,",αr 线性表示,且表示式唯一确定. …2 分
因此，α1,α2 ,",αr 是 W 的一个基。
答案共 3 页第 3 页
（2）求线性变换 A 关于基 ε1 = (1, 0, 0),ε2 = (0,1, 0),ε3 = (0,1,1) 的矩阵.
⎛0 1 2⎞
3．（10
分）设
A
=
⎜ ⎜
1
1
4
⎟ ⎟
，求
A−14．（8 分）求向量组α1 = (1, −1,1),α2 = (1, 0, 2),α3 = (1,1,3),α4 = (1,1, −4) 的秩和一个 极大无关组.
当 λ = 1 时, r( A) = r( A) = 1 < 3,方程组有无穷多解,
………5 分 ………2 分
一般解为: x1 = 1− x2 − x3 (x2 , x3为自由未知量) . ………3 分 当 λ ≠ 1且λ ≠ −2 时, A = (λ −1)2 (λ + 2) ≠ 0 .方程组有唯一解，
⎜ ⎜
1
−1
−2
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 1 1 ⎟⎠
………3 分 ………4 分
………2 分
3．（10 分）解: A = 2 ，…2 分；
⎛ 4 −2 2 ⎞
A∗
=
⎜ ⎜
8
−4
2
⎟ ⎟
，…5
分；
⎝⎜ −3 2 −1⎠⎟
⎛
⎞
⎜ 2 −1 1 ⎟
A−1
=
⎜ ⎜
4
−2
1
⎟ ⎟
.…3
分
⎜ ⎜
−
3
1