数理方法习题

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数理逻辑练习题及答案-5

一阶逻辑等值式与置换规则1．设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词：(1) x y(F(x)∧G(y))(2) x y(F(x)∨G(y))(3) xF(x)→yG(y)(4) x(F(x,y)→yG(y))2．设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。

(1) x(F(x)→G(x))(2) x(F(x)∧G(x))3．给定解释I如下：(a) 个体域D={3,4}。

(b) (x)为(3)=4，(4)=3。

试求下列公式在I下的真值：(1) x yF(x,y)(2) x yF(x,y)(3) x y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))4．构造下面推理的证明：(1) 前提：x(F(x)→(G(a)∧R(x)))，xF(x)结论：x(F(x)∧R(x))(2) 前提：x(F(x)∨G(x))，┐xG(x)结论：xF(x)(3) 前提：x(F(x)∨G(x))，x(┐G(x)∨┐R(x))，xR(x)结论：xF(x)5．证明下面推理：(1) 每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。

(2) 有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有理数、也不是无理数。

(3) 不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不是无理数。

答案1.(1) x y(F(x)∧G(y))xF(x)∧yG(y)(F(a)∧F(b))∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨G(c))(2) x y(F(x)∨G(y))xF(x)∨yG(y)(F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∧G(b)∧G(c))(3) xF(x)→yG(y)(F(a)∧F(b)∧F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(c)) (4) x(F(x,y)→yG(y))xF(x,y)→yG(y)(F(a,y)∨F(b,y)∨F(c,y))→(G(a)∨G(b)∨G(c))2.(1)I1: F(x):x≤2,G(x):x≤3F(1),F(2),G(1),G(2)均为真，所以x(F(x)→G(x))(F(1)→G(1)∧(F(2)→G(2))为真。

概率论与数理统计习题

第一章概率论的基本概念一、填空题:1.设,()0.1,()0.5,A B P A P B ⊂==则()P AB = ,()P A B = ,()P AB = 。

2.设在全部产品中有2%是废品,而合格品中有85%是一级品,则任抽出一个产品是一级品的概率为。

3.设A ，B ，C 为三事件且P(A)=P(B)=P(C)=41,81)(,0)()(===AC P BC P AB P ,则A,B,C中至少有一个发生的概率为 .4.一批产品共有10个正品和2个次品,不放回的抽取两次,则第二次取到次品的概率为 .5. 设A ，B 为两事件, ()0.4,()0.7,P A P A B ==当A ，B 不相容时, ()P B =当A ，B 相互独立时, ()P B = 。

二.、选择题1. 1．设A ，B 为两随机事件，且,B A ⊂则下列式子正确的是（）。

（A ）()()P AB P A = （B ）()()P AB P A =（C ）()()P B A P B = （D ）()()()P B A P B P A -=-2.每次试验成功的概率为p (0< p <1),进行重复试验,直到第10次试验才取得4次成功的概率为( )。

（A ）44610(1)C p p - （B ）3469(1)C p p - （C ）3459(1)C p p - （D ）3369(1)C p p -3.设A,B 为两事件,则P (A-B)等于( )。

(A) ()()P A P B - (B) ()()()P A P B P AB -+ （C ）()()P A P AB - (D) ()()()P A P B P AB +- 4.关于独立性,下列说法错误的是( )。

(A)若12,,,n A A A 相互独立,则其中任意多个事件12,,,)k i i i A A A k n ≤(仍然相互独立;（B ）若12,,,n A A A 相互独立,则它们之中的任意多个事件换成其对立事件后仍然相互独立（C ）若A 与B 相互独立, B 与C 相互独立, A 与C 相互独立, 则A,B,C 相互独立; （D ）若A,B,C 相互独立,则A B 与C 相互独立5. n 张奖券中含有m 张有奖的, k 个人购买,每人一张,其中至少有一人中奖的概率是( )。

概率论及数理统计练习题及答案

1.5221031314567892.110013.2(5)AB；(6)AB AB4.3 1 1 1 2 2(1)A B C,(2)AB C A B C A B C,(3)AB C ABC A B C A B C,(4)ABC ABC ABC ABC AB BC AC,(5)ABC A B C,(6)A B C++⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+++++++⋅⋅或或1.10出生年份1990 1991 1992 1993 1094 1995 1996 1997 1998 1999 总计男 3 011 2 531 3 031 2 989 2 848 2 939 3 066 2 955 2 967 2 974 29311女 2 989 2 352 2 944 2 837 2 784 2 854 2 909 2 832 2 878 2 888 28267 总计 6 000 4 883 5 975 5 826 5 632 5 793 5 975 5 787 5 845 5 862 57578 据此估计此地区生男孩、女孩的概率.（，）2.掷两枚均匀的骰子，求下列事件的概率(1)点数和为1； (2)点数和为5；(3)点数和为12； (4)点数和大干10；(5)点数和不超过11.解：11135(1)0,(2),(3),(4),(5)93612363.抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率.344.在100件同类产品中，有95件正品，5件次品，从中任取5件.求(1)取出的5件产品中无次品的概率；（）(2)取出的5件产品中恰有2件次品的概率；（）5.从0，1，2，…，9这10个数字中每次任取1个，然后放回，共取5次.求下列事件的概率(1)A={5个数字各不相同}；(2)B={5个数字不含0和1}；(3)C={5个数字中，1恰好出现2次}.6.袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率11.P(A B)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.50.60.50.60.8+=+-=+-=+-⨯=2.40321237240C 10.146C -= 3.5046432346350C 10.2255C -=23211246464464333505050C C C C C 0.9998C C C ++=4.1009592871P(AB)=P(A|B)=P(AB)/P(B)=÷= P(B|A)=P(AB)/P(A)=÷=5.111232111P(AB)P(A)P(B |A)2241117P(A B)P(A)P(B)P(AB)23412P(AB)1/43P(A |B)P(B)1/34==⨯=+=+-=+-==== 6.3211113390.365525⨯== 3260.35420⨯== 7.12112312()()()()P(A)0.02,P B |A 0.03P A B P A P B |A 0.980.970.9506==⋅==⨯=8.13221221A ：{任取一件是合格品}，A i ：{任取一件是i 车床零件} P(A 1)=2/3，P(A 2)=1/3，P(A|A 1)=，P(A|A 2)= P(A)=P(A 1)P(A|A 1)＋P(A 2)P(A|A 2)=2/3×+1/3×=9.甲：{任取一件是甲厂产品}，A 甲：{任取一件是甲厂合格品} 乙：{任取一件是乙厂产品}，A 乙：{任取一件是乙厂合格品} 丙：{任取一件是丙厂产品}，A 丙：{任取一件是丙厂合格品} P(甲)=，P(乙)=，P(丙)=,P(A 甲)=，P(A 乙)=，P(A 丙)= P(A)=P(甲)P(A 甲) P(乙)P(A 乙)＋P(丙)P(A 丙) =×+×+×=1.11 1 (1)P(AB)= P(A)P(B)=×=(2)P(A ＋B)= P(A)＋P(B)－P(AB)= P(A)＋P(B)－P(A)P(B) =＋－×=(3)()()()()()()P AB P AB P A P B P A P B 0.20.70.80.30.38+=+=⨯+⨯= 2.33= 1－=1－= 3. 4 444544455C p (1p)C 0.80.20.4096--==44545555445505555C p (1p)C p (1p)C 0.80.2C 0.80.20.7373---+-=+=4.2055333335333255P(k 3)C p (1p)C 0.20.80.0512-==-== 34455551P(k 4)P(k 5)1C 0.20.8C 0.20.0579-=-==--= 5.1222212222101212P(k 2)C p (1p)C 0.30.70.1678-==-== 6.32323P(A B C)P(A)P(B)P(C)P(AC)P(BC)P(AB)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(C)P(B)P(C)P(A)P(B)P(A)P(B)P(C)0.20.30.50.20.50.30.50.20.30.20.30.50.0969++=++---+=++---+=++-⨯-⨯-⨯+-⨯⨯=1.31U={(AB,0,0),(A,B,0),(A,0,B),(B,A,0),(0,AB,0),(0,A,B), (B,0,A),(0,B,A),(0,0,AB),}；4/9，2/3。

第7章数理统计基础习题答案

第7章数理统计基础习题解答一．选择题1. 设(,12,,)n X X X 为总体X 的样本，则不成立的是( B ).A. 每个),,2,1(n i X i=与X 有相同的分布．B. 每个),,2,1(n i X i=是确定的数．C. 12(,,,)n X X X 是维随机变量．n D. 12(,,,)n X X X 各分量相互独立且同分布．2. 设12(,,,)n x x x "是来自总体X 的一个样本观测值，则( A ).A. ,1,2,,i x i n ="为X 的个取值．n B. ,1,2,,i x i ="n 的取值是不确定的．C. ,1,2,,i x i n ="与X 有相同的分布．D. ,1,2,,i x i n ="与X 有相同的数学特征．3. 已知总体X 服从[0,]λ上的均匀分布(λ未知)12,,n X X X 为X 的样本，则( C ) .A . 112n i i X n λ=−∑是一个统计量． B . ∑=−n i i X E X n 1)(1是一个统计量．C . 12X X +是一个统计量．D . ∑=−ni i X D X n 1)(1是一个统计量．4. 设(,12,,)n X X X 是来自总体X 的样本，X 为样本平均值，则下述结论不成立的是( C ).A. X 与21(nii )XX =−∑独立． B. 当i j ≠时，i X 与j X 独立．C.1nii X=∑与21ni i X=∑独立． D. 当i j ≠时，i X 与独立．2j X 5. 样本12(,,,)n X X X 取自概率密度为()p x 的总体,则有( A ).A. ~(),1,2,,i X p x i n ="．B. 1min{,}~()n X X p x "．C. ~()X p x ．D.1nii X=∑与21nii X=∑独立．6. 设12(,,,)n X X X 是来自随机变量X 的样本, X 为样本均值，则以下结论错误的是( C ).A. ()()E X E X =．B. ()()/D X D X n =．C. ()()D X D X =．D.X 是随机变量，是常数．)(X E 7. 设，则( D )．~()T t n 2~T A ．． B ．． C ．．D ．．(2)t n 2()n χ(,1)F n (1, )F n 8．设总体12~(0,1), , , , n X N X X X 为样本，则下列结论中错误的是( D )． A ．12122234~(2)()X X t X X −+． B~(1)t n −．C ．32124(1)3~(3, 3)i i nii nX F n X==−−∑∑． D~(2)t ．9. 设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)X N µσ∼的样本，样本均值和样本方差分别为：X =∑=n i i X n 11，211(1n i i S X n ==−∑2)X −，则以下结论中错误的是( B ). A. X 与独立． B.2S ()/~(0,1)X N µσ−)−．C.222(1)/~(1n S n σχ−)/~(X S t n µ1)−−．10. 设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2~(,)X N µσ的简单随机样本，X 为样本均值，记22111()1n i i S X X n ==−−∑，22211()n i i S X n ==−∑X ，22311()1n i i S X n µ==−−∑，2411(ni i S X n 2)µ==−∑，则服从自由度为1n −的t 分布的随机变量是( A ).X． B. nS /2X µ−X X 11. 设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)X N µσ∼的样本, 2S 为样本方差，则2(1)/n S 2σ−服从( C ).A. 正态分布．B. t 分布．C. 2χ分布．D. F 分布．12. 样本12(,,,)n X X X 取自标准正态分布，(0,1)N X 为样本均值，及为样本方差,则以下结果不成立的是( B ).2S A. ~(0,1),1,2,,i X N i ="n ． B. ~(0,1)X N ．/~(1)nX S t n − ． D.221~(nii )Xn χ=∑．13. 设随机变量与相互独立，则)1,0(~N X )(~2n Y χn Y X T //=服从( B ) .A . 正态分布．B . 自由度为的分布．C . n t 2χ分布． D . 分布．F 14. 设1(,,)n X X 及分别取自两个相互独立的正态总体1(,,)m Y Y 21(, )N µσ及22(,)N µσ的两个样本，其样本方差分别为及，则统计量21S 22S 2122S F S =服从F 分布的自由度为( A ) .A . ．B . ．C . (1, 1n m −−))(, )n m (1, 1n m ++．D . ．( 1, 1)m n −−二．填空题15 . 设总体~(1,)X B p 分布，其中为未知参数(p 01p <<),1,2X X 是从中抽取的样本，则样本空间为{}(0,0), (0,1), (1,0), (1,1) .如果(12,X X )的一个观察值是(0,)，则样本均值的观测值1x =12；样本方差的观测值2s =12.16. 从一批加工的零件中随机取8件,测得其与标准件误差(单位)为：3.1, 2.6, 2.8, 3.3, 2.9, 3.2, 2.4, 2.5, 则总体Z为__mm _该批零件的大小与标准件的误差_；样本为128(,,, )X X X ⋅⋅⋅；样本观测值为___(3.1, 2.6, 2.8, 3.3, 2.9, 3.2, 2.4, 2.5)___；样本容量n =____8___；样本均值的观测值x =()81113.1 2.6 2.5 2.850088i i x ==+++=∑ ；样本方差的观测值2s =()82110.11147i i x x =−=∑；样本二阶原点矩的观测值为8221165.760088.22008i i b x ====∑.17. 设总体~(1,)X B p ，其中未知参数01p <<,12(,,,)n X X X "是X 的样本，则1122(,,,)=()111nniii i x n x p p ==−∑∑−n n P X x X x X x === .18．设12(,,,)n X X X 为总体X 的一个样本，则样本的r阶原点矩为11n ri i X n =∑；样本的r 阶中心矩为11()nr i i X X n =−∑.19．设12(,,,)n X X X 为总体2~(,)X N µσ的一个样本，则()i E X =µ；()i D X =2σ；2()i E X =22σµ+.20. 设总体服从参数为λ的泊松分布)(~λP X ，求样本12(,,,n )X X X 均值的期望()E X =()E X λ=和方差()D X =()//D X n nλ=.21．设总体，(1,4)X N ∼123(,,)X X X 是来自X 的样本，其中为样本方差，则2S 222123()E X X X =222123()()()125E X E X E X =；123()D X X X =22123123()()124E X X X E X X X −=；2()E S =()4D X =；2()D S = 16 ．22. 设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)X N µσ∼的样本，则11()n X X n++"服从2,N n σµ⎛⎞⎜⎟⎝⎠分布.23. 设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)X N µσ∼的样本，则Z =从(0,1)N 分布.24．设总体，2~(2,3)X N 12,,,n X X X ⋅⋅⋅为X 的一个简单样本，则()22123ni i X =−∑服从的分布是2()n χ.25. 设样本来自总体1,,,21n X X X …211(,)X N µσ∼，样本均值和样本方差分别为：1111n i i X X n ==∑，11221111(1n i i S X n −==−∑)X −，又设样本来自总体2,,,21n Y Y Y 222(,)Y N µσ∼，样本均值和样本方差分别为：∑==2121n i i Y n Y ，222121(1n i i S Y n ==−∑2)Y −，且两个样本相互独立，则22122221S S σσ⋅服从12(1,1)F n n −−分布.26. 设z α为标准正态分布的上侧分位数，查表得0.0495z = 1.65；若，查表得 2.31z α=α=0.0104.27. 设为分布的上侧分位数，则查表得()t n αt 0.025(5)t =2.5706；若，查表得(6) 3.7074t α=α=0.005.28. 设为分布的上侧分位数，则查表得(,)F m n αF 0.05(5,4)F = 6.26；查表得0.95(5,4)F =0.05110.193(4,5) 5.19F ==；若(6,3)14.73F α=，查表得α=0.025.三．应用计算题29. 设总体~[,]X U a b ，求样本均值的期望和方差. 解：设12(,,,)n X X X 是来自总体的样本，则 ],[~b a U X 由知，2/)()(b a X E +=2/)()()(b a X E X E +==由知，12/)()(2a b X D −=n a b n X D X D 12/)(/)()(2−==30. 设1,,n X X ⋅⋅⋅为总体~(1,)X B p 的一个样本，求()E X 和()D X ，并求样本方差2211(1ni i S X n ==−∑)X −的数学期望. 解：由性质可知，()()E X E X p ==()()/(1)/D X D X n p p n ==−2()()(1)E S D X p p ==−.31．在天平上重复称一重量为a 的物品，假设各次称量结果相互独立且都服从正态分布．若以)2.0,(2a N n X 表示次称量结果的算术平均值，要使n 95.0}1.0|{|≥<−a X P n ，求的最小值．n解：由({||0.1}21210.95n P X a −<=Φ−=Φ−≥可得，(0.975Φ≥， 1.96≥，，所以n 的最小值为16．15.3664n ≥32. 从总体2(50,)N σ中随机抽取一容量为16的样本，在下列两种情况下分别求概率{47.9952.01}P X ≤≤．（1）已知；225.5=σ（2）未知，而样本方差． 2σ362=s 解：（1）由2~(,/)X N n µσ得52.015047.9950{47.9952.01} 5.5/4 5.5/4P X −−⎛⎞⎛≤≤=Φ−Φ⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎠()()()1.608 1.6082 1.608120.946310.8926=Φ−Φ−=Φ−≈×−=~(1)X t n −，0.10(15) 1.3406t =得47.99505052.0150{47.9952.01}6/46/46/4X P X P ⎧⎫−−−≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭501.34 1.34120.100.806/4X P ⎧⎫−=−≤≤≈−×=⎨⎬⎩⎭，33．从总体X ∼),(2σµN 中抽取12,921==n n 的两个独立样本，试求两个样本均值X 与Y 之差的绝对值小于1.5的概率，若（1）已知=；2σ4（2）未知，但两个样本方差分别为,.2σ21 4.1S =22 3.7S =解：(0,1)X Y N −∼得|{|| 1.5} 1.93X Y P P ⎧−−<=<<⎫⎬⎭()2 1.93120.973210.9464=Φ−≈×−=（2）由12(2X Y t n n −)+−∼，，0.05(20) 1.7247t =222112212(1)(1)8 4.111 3.7 3.675220Wn S n S S n n −+−×+×==+−=得|{|| 1.5}X Y P P ⎧−−<=<1.7745X Y P ⎫−=<⎬⎭120.050.90≈−×=*34. 随机地抽取某校100个初一学生，测得他们的身高（单位：厘米）数据如下：身高160～162163～165 166～168 169～171 172～174 频数71638318试做出频率直方图．解：身高频率表身高频数频率 160～162 7 0.07 163～165 16 0.16 166～168 38 0.38 169～171 31 0.31 172～17480.08身高频率直方图0.050.10.150.20.250.30.350.4160～162163～165166～168169～171172～174身高频率*35. 根据调查，某集团公司的中层管理人员的月薪数据如下（单位：千元）：40.6， 39.6， 37.8， 36.2， 38.8， 38.6， 39.6， 40.0， 34.7， 41.7， 38.9， 37.9， 37.0， 35.1， 36.7， 37.1， 37.7， 39.2， 36.9， 38.3．试画出茎叶图．解：某集团公司的中层管理人员的月薪茎叶图如下。

数理习题解答

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明：令Re z u iv =+。

Re z x =，,0u x v ∴==。

1u x ∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y∂∂≠∂∂。

于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2f z z=仅在原点有导数。

证明：令()f z u iv =+。

()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。

2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。

v v x y∂∂ ==0 ∂∂。

所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。

而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。

()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。

或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。

22***0*000lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。

【当0,i z z re θ≠∆=，*2i ze zθ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z z z z ∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。

证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()332222220,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩，332222220(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。

数理统计教程课后重要答案习题

第一章:统计量及其分布19.设母体ξ服从正态分布N(),,2σμξ和2n S 分别为子样均值和子样方差,又设()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量111+--+n n S nn ξξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从⎪⎭⎫⎝⎛+21,0σn n N 分布. 所以()1,0~121N nn n σξξ+-+ 而()1~222-n nS nχσ且2n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以()1~1111--÷+--+n t S n n n n S nnn σξξ分布. 即111+--+n n S nn εε服从()1-n t 分布. 20.(),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布N()ρσσμμ222121,,,的子样,设()∑∑∑===-===n i i i ni n i i n S n n 12111,1,1ξξηηξξξ2,()2121∑=-=n i i n S ηηη和 ()()()()∑∑∑===----=ni i ni ii ni ir 12211ηηξξηηξξ试求统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ的分布.解: 由于().21μμηξ-=-E ()()=-+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D nn nn2122212σσρσσ-+.所以()()n 212221212σρσσσμμηξ-+---服从()1,0N 分布 .()()()()()()()[]211212121222122ηξηξηηξξηηξξ---=----+-=-+∑∑∑∑====i ini i i ni i ni i ni S rS S S ni i ηξ-是正态变量,类似于一维正态变量的情况,可证ηξηξS rS S S 222-+与ηξ-相互独立.()()1~22221222122--+-+n S rS S S n χσρσσσηξηξ, 所以统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ()()()()1)2(222122212221222121--+-+-+---=n S rS S S n nσρσσσσρσσσμμηξηξηξ服从()1-n t 分布.第二章：估计量1. 设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴pˆ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计量. 解: ()322adx x a ax E a=-=⎰ξ 令ξ=3a 得ξ3ˆ=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()()∏∏==+=+=ni i ni nni x x L 111ααααα ()i i x ∀<<1∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i ni x nL ααα，得 ∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα。

数理统计习题(汇总)

150 162 175 165
（1）求 Y 对 X 的线性回归方程；（2）检验回归方程的显著性；（3）求回归系数 b 的 95%的置信区间；（4）取 x 0 =90，求 y 0 的预测值及 95%的预测区间。 8. 为了考察影响某种化工产品转化率的因素 , 选择了三个有关因素: 反应温度 (A)、反应时间（ B)、用碱量(C)，而每个因素取三种水平，列表如下：水平因子温度(A) 时间（B) 用碱量(C) 1 80℃（ A1 ） 90 分（ B1 ） 5%（ C1 ） 2 90℃（ A2 ） 120 分（ B2 ） 6%（ C2 ） 3 90℃（ A3 ） 150 分（ B3 ） 7%（ C3 ）
X ________， E ( X ) ______, D( X ) ______ .
3. 设 X 1 , X 2 , , X n 相互独立，且 X i N (0,1).(i 1, 2, , n) 则的________分布。
2 4. 设 X N (0,1).Y ( n). X 与 Y 独立，则随机变量 T
2
9．某厂生产一种乐器用的合金弦线，按以往的资料知其抗拉强度（单位： kg cm 2 ）服从正态分布 N (10560,802 ) ，今用新配方生产了一批弦线，欲考察这批弦线的抗拉强度是否有提高，为此随机抽取 10 根弦线做抗拉试验，测得其抗拉强度均值为 x 10631.4 ，均方差 s 81.00 。（检验水平 0.05 ）。 10．某厂生产一种保险丝，规定保险丝熔化时间的方差不能超过 400。今从一批产品中
2 2 2 sB 1024( h2 ) ，取置信水平为 0.99 ，试求：
（1）
2 1 的区间估计。 2 2

数理方法习题解答(方程部分)0809

作业参考答案3、在（,ππ-）这个周期上，2()f x x x =+，试将它展开为傅立叶级数，又在本题所得展开式中置x π=，由此验证222211112346π++++=解：因为2()f x x x =+在（,ππ-）上满足狄氏定理，可以展开为傅立叶级数又 l π=所以()0101()cos sincos sin k k k k k k k k f x a a x b x l l a a kx b kx ππ∞=∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=++∑∑23201111()d 2233a x x x x πππππππ--=+==⎰ 21()cos d k a x x kx xπππ-=+⎰()()22312sin cos sin 2cos sin xkx kx kx kx kx kx kx k k k πππππππππ---=+++-()241k k =- 21()sin d k b x x kx xπππ-=+⎰()()22312sin cos 2sin cos cos xkx kx kx kx kx kx kx k k k πππππππππ---=-+--()121k k +=- 所以 ()()1221142()1cos 1sin 3k k k f x kx kx kk π∞+=⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭∑222,,,x x x x x ππππππ⎧+-<<⎪==-⎨⎪=⎩令x π=代入上式得:()()()()122222211142141cos 1sin 1133k k k k k k kx kx k k kπππ∞∞+==⎛⎫⎛⎫+-+-=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 所以有222211112346π++++=得证5．（1）()cos ,(0,),(0)0,()0f x x x f f αππ=∈==作奇延拓，展为奇函数（sin 函数）1()sin k k f x b kx ∞==∑2cos sin d k b x kx x παπ=⎰2sin()sin()d 2k x k xx πααπ-++=⎰0111cos()cos()k x k x k k ππααπαα--⎡⎤=-++⎢⎥-+⎣⎦()()111cos cos 1cos cos 1k k k k παππαππαα--⎡⎤=-+-⎢⎥-+⎣⎦12221(1)cos ()k k k αππα+⎡⎤=+-⎣⎦- 12212()1(1)cos sin ,0()k k kf x kx x k απππα∞+=⎡⎤∴=+-<<⎣⎦-∑6．（1）2cos(/),(0,/2)(),(0)0,()00,(,)lx l x l f x f f l x l π∈⎧''===⎨ ∈⎩ 作偶延拓，展为偶函数（cos 函数）01()cos k k k x f x a a l π∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑/2/200002111cos d cos d sin 2l l l x x x a x x l l l l l πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ /202cos cos d l k x k x a x l l l ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰所以要讨论k ＝1的情况/221021cos d 2l x a x l l π⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ /202cos cos d l k x k x a x l l l ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰/202111cos cos d 2l k k x x x l l l ππ⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰ /211111sin sin 11l k k x x k l k l πππ⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥+-⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111sin sin 1212k k k k πππ⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥+-⎝⎭⎝⎭⎣⎦120,212(1),2(41)m k m k m m π+ =+⎧⎪=-⎨ =⎪-⎩121112(1)2()cos cos ,02(41)m m x mf x x x l l m l ππππ+∞=-∴=++<<-∑ （2）()(1/),(0,),(0)0,()0f x a x l x l f f l ''=-∈==作偶延拓，展为偶函数（cos 函数）01()cos k k k x f x a a l π∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑002(1/)d 22l aa a x l x l =-=⎰ 02(1)cos d l k x k x a a x l l l π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 202221sin cos l a l k k k x x x l l k l l l ππππ-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()222202211421(21)k k n a a k n k n ππ=⎧⎪⎡⎤=--=⎨⎣⎦=+⎪+⎩220421()cos ,02(21)n a a n f x x x l n lππ∞=+∴=+<<+∑8．矩形波()f x 在(/2,/2)T T -这个周期上可以表示为0,/2/2(),/2/20,/2/2T x f x H x x T ττττ-<<-⎧⎪=<<-⎨⎪<<⎩试将它展为复数形式的傅立叶级数解：因为()f x 在(/2,/2)T T -上满足狄氏定理，可以展开为复数形式的傅立叶级数又 2l T =2()k k ix ix lTkkk k f x c ec eππ∞∞=-∞=-∞==∑∑22/2/2/2/211()d d k k T i x i x T Tk T c f x e x He x T T ππττ--==⎰⎰ 2/2/22k ixTH T e T i k πττπ-⎛⎫=⎪-⎝⎭sin 2k k i i TT H e e H k k i k T πτπτπτππ-⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭当k ＝0时，/2/2/2/211()d d T k T H c f x x H x T T Tτττ--===⎰⎰ 2211()sin sin k k i x i x T Tk k H H k H k f x e e T k T k T ππτπτπτππ-∞=-∞=∴=++∑∑*****************************************************************3．把下列脉冲()f t 展开为傅立叶积分0,(),0,00,t T f t h T t h t T t T⎧⎪<-⎪⎪=--<<⎨⎪<<⎪>⎪⎩解：在(,)t ∈-∞∞，()f t 满足狄氏条件，且绝对可积，所以()f t 可以展开为付氏积分。

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习题
一、长为l 的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由。

电梯下降，当速度为v 0
时突然停止，求解杆的振动。

解答：定解问题为泛定方程：02=-xx tt u a u
边界条件：000==),(,),(t l u t u x
初始条件：)(),(,),(l x v x u x u t <<==00000
分离变量求解u (x,t ): 令： )()(),(t T x X t x u = 有： 02=+''T a T λ
0=+''X X λ
0)(,
0)0(='=l X X
得到： ),2,1,0(21222
=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+=n l n π
λ
x l
n A x X n n π21
+
=sin
)(
同时，有：l
at
n D l at n C x T n n n ππ)/(sin )/(cos )(2121+++= ),(t x u 的通解：∑∞
=++++=
2
12121n n n x l n l at n D l at n C
t x u πππ/sin ))/(sin )/(cos
(),(
用初始条件求叠加系数：
()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++==+=∑∑∞
=∞
=0
00
212100210v x l n D l a n x u x l n C x u n n t n n πππ/sin /),(/sin ),(
()()⎪⎩
⎪
⎨
⎧+=++==⎰
a
n lv d l n v a n D C l
n n 2200
02122
12120πξπξπ//sin
/
2
最后：()∑∞
=+++=
2
2
2
121212n x l
n at l n a
n lv t x u πππ
/sin /sin
/),(
二、半径为a 的无限长空心圆柱体，分成两半互相绝缘，一半电势为V 0，另一半为－V 0，
求柱体中的电势分布（20分）解答：定解问题为
泛定方程：0112
22=∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ϕ
u
r r u r r r
边界条件：⎪
⎩⎪⎨⎧⎩⎨
⎧<≤-<≤=有
界),(),(ϕπϕππ
ϕϕ0200
0u V V a u
分离变量求解u (x,t ): 令： )()(),(ϕρϕρΦR u =
有： ⎩⎨
⎧=+=+'')
()(ϕπϕλΦΦΦΦk 20
02=-'+''R R R λρρ
得到： ϕ
ϕϕλm B m A m m m m sin cos )()
,,,(+===Φ 2102
⎩⎨⎧≠+=+=-0
000m D C m D C R m
m m m m ρ
ρρ
ρln )(
()()()()
∑∑∞
=-∞
=-+++++=⎩⎨⎧+++=+=1
100000m m m m m m m m
m m m
m m m m m D m C m B m A D C u m D m C m B m A u D C u ϕϕρϕϕρ
ρϕρϕϕρϕϕρϕρρϕρsin cos sin cos ln ),(sin cos sin cos ),(ln ),(
000===⇒∞→=-D D C m m m ρρ处，
通解为：()
∑∞
=++=1
0m m m m m B m A C u ϕϕρϕρsin cos ),(
代入边界条件求叠加系数：
()⎩⎨
⎧<≤-<≤=++=∑∞
=π
ϕππ
ϕϕϕϕ200
10V V m B m A a C a u m m m m
sin cos ),(
020200=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=
⎰⎰πππϕϕπd d V C
020=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎰⎰πππϕϕϕϕπd m d m a V
C m m cos cos
()[]
()⎪⎩⎪⎨⎧+=+==--=
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=+⎰⎰1
2124201
12120
0020020n m n a V n m m a V m m m a V d m d m a V D n m
m m
m m ππϕϕπϕϕϕϕπππππππcos cos sin sin
最后：∑∞
=++⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=01
20
121214n n n a r n V u ϕπϕρ)sin(),(
三、用级数解法求解常微分方程02=+'+''w w z w ，在z =0的邻域内的级数解。

解：0=z 是方程的常点。

把w 展开成为级数：∑∞
==0n n n z c w ，有
∑∞
=-='11n n n nz c w
∑∞
=--=''2
21n n n z n n c w )(
代入方程：0210
1
1
2
2
=++-∑∑∑∞
=∞
=-∞
=-n n n n n n n n n z c nz
c z z
n n c )(
比较同幂次项： 0z ：120120
202⋅-
=⇒=+⋅⋅c c c c 1z ：2
3303231
313⋅⋅-=⇒=⋅+⋅⋅c c c c
n z ：()()()()()()
12120121222+++-
=⇒=++++++n n c n c c n c n n n n n n
因此：
4
()()
()()()()()()
()()()()()()()()()()()()
()()()()()()000
4
222
2224141214112414114114112132227412234132227412234112234c n c n c n n n c n n n n n n c n n n n n n c
n n n c n n
n n n n
n
n n n n n !//!/!
///-=-=+-+--=⋅------=------=---
=--或
()()()
()()()()()()
()()()()()()()()()()()
()()()()()()1
11
1322
1
2121243412343112434324314123322125421214122125421214121214c n c n c n n n c n n n n n n c n n n n n n c
n n n c n
n
n n n n
n
n n
n n n !
//!/!
///+-=-=++-+--=⋅---+--=---+--=+--
=--+或
得解：()()()()()()1
20
120012434124141+∞=∞
=∑∑+-+-=n n n n n n n n n n z
n c z n c z w !/!/)(。