数理方法习题

习 题

一、长为l 的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由。电梯下降，当速度为v 0

时突然停止，求解杆的振动。 解答：定解问题为 泛定方程：02=-xx tt u a u

边界条件：000==),(,),(t l u t u x

初始条件：)(),(,),(l x v x u x u t <<==00000

分离变量求解u (x,t ): 令： )()(),(t T x X t x u = 有： 02=+''T a T λ

0=+''X X λ

0)(,

0)0(='=l X X

得到： ),2,1,0(21222

=⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

+=n l n π

λ

x l

n A x X n n π21

+

=sin

)(

同时，有：l

at

n D l at n C x T n n n ππ)/(sin )/(cos )(2121+++= ),(t x u 的通解：∑∞

=++++=

2

12121n n n x l n l at n D l at n C

t x u πππ/sin ))/(sin )/(cos

(),(

用初始条件求叠加系数：

()⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=++==+=∑∑∞

=∞

=0

00

212100210v x l n D l a n x u x l n C x u n n t n n πππ/sin /),(/sin ),(

()()⎪⎩

⎪

⎨

⎧+=++==⎰

a

n lv d l n v a n D C l

n n 2200

02122

12120πξπξπ//sin

/

2

最后：()∑∞

=+++=

2

2

2

121212n x l

n at l n a

n lv t x u πππ

/sin /sin

/),(

二、半径为a 的无限长空心圆柱体，分成两半互相绝缘，一半电势为V 0，另一半为－V 0，

求柱体中的电势分布（20分） 解答：定解问题为

泛定方程：0112

22=∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ϕ

u

r r u r r r

边界条件：⎪

⎩⎪⎨⎧⎩⎨

⎧<≤-<≤=有

界),(),(ϕπϕππ

ϕϕ0200

0u V V a u

分离变量求解u (x,t ): 令： )()(),(ϕρϕρΦR u =

有： ⎩⎨

⎧=+=+'')

()(ϕπϕλΦΦΦΦk 20

02=-'+''R R R λρρ

得到： ϕ

ϕϕλm B m A m m m m sin cos )()

,,,(+===Φ 2102

⎩⎨⎧≠+=+=-0

000m D C m D C R m

m m m m ρ

ρρ

ρln )(

()()()()

∑∑∞

=-∞

=-+++++=⎩⎨⎧+++=+=1

100000m m m m m m m m

m m m

m m m m m D m C m B m A D C u m D m C m B m A u D C u ϕϕρϕϕρ

ρϕρϕϕρϕϕρϕρρϕρsin cos sin cos ln ),(sin cos sin cos ),(ln ),(

000===⇒∞→=-D D C m m m ρρ处，

通解为：()

∑∞

=++=1

0m m m m m B m A C u ϕϕρϕρsin cos ),(

代入边界条件求叠加系数：

()⎩⎨

⎧<≤-<≤=++=∑∞

=π

ϕππ

ϕϕϕϕ200

10V V m B m A a C a u m m m m

sin cos ),(

020200=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=

⎰⎰πππϕϕπd d V C

020=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡-=⎰⎰πππϕϕϕϕπd m d m a V

C m m cos cos

()[]

()⎪⎩⎪⎨⎧+=+==--=

⎪

⎭⎫ ⎝

⎛-=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡-=+⎰⎰1

2124201

12120

0020020n m n a V n m m a V m m m a V d m d m a V D n m

m m

m m ππϕϕπϕϕϕϕπππππππcos cos sin sin

最后：∑∞

=++⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=01

20

121214n n n a r n V u ϕπϕρ)sin(),(

三、用级数解法求解常微分方程02=+'+''w w z w ，在z =0的邻域内的级数解。

解：0=z 是方程的常点。把w 展开成为级数：∑∞

==0n n n z c w ，有

∑∞

=-='11n n n nz c w

∑∞

=--=''2

21n n n z n n c w )(

代入方程：0210

1

1

2

2

=++-∑∑∑∞

=∞

=-∞

=-n n n n n n n n n z c nz

c z z

n n c )(

比较同幂次项： 0z ：120120

202⋅-

=⇒=+⋅⋅c c c c 1z ：2

3303231

313⋅⋅-=⇒=⋅+⋅⋅c c c c

n z ：()()()()()()

12120121222+++-

=⇒=++++++n n c n c c n c n n n n n n

因此：