2.2 函数的基本性质(试题部分)
高一数学函数的基本性质试题答案及解析
高一数学函数的基本性质试题答案及解析1.若函数是偶函数,则的增区间是．【答案】或【解析】由条件，得，即，所以原函数为，所以函数的增区间为．【考点】函数的奇偶性与单调性．2.（12分）已知是定义在R上的奇函数，当时，，其中且. （1）求的值；（2）求的解析式；【答案】（1）0（2）【解析】（1）因是奇函数，所以有，所以=0.……4分（2）当时，，，由是奇函数有，，……12分【考点】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数值和函数解析式的求取，考查学生对函数性质的应用能力.点评：对于分段函数，当已知一段函数的表达式要求另一段时，要利用函数的性质，并且要注意“求谁设谁”的原则.3.已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是A．B．C．D．【答案】A【解析】令，可得，令，得所以，令，得，同理令可得，所以【考点】本小题主要考查函数的奇偶性和抽象函数的求值问题，考查学生的运算求解能力.点评：解决抽象函数问题，常用的方法是“赋值法”.4.已知函数的定义域为，为奇函数，当时，，则当时，的递减区间是．【答案】【解析】因为为奇函数，所以的图象关于对称，当时，，所以当时，函数的单调递减区间为，因为图象关于对称，所以当时，的递减区间是.【考点】本小题主要考查函数图象和性质的应用，考查学生数形结合思想的应用和推理能力.点评：解决本小题的关键是分析出函数的图象关于对称，在关于对称的两个区间上单调性相同.5.（本小题12分）已知函数，（1）判断函数在区间上的单调性；（2）求函数在区间是区间［2,6］上的最大值和最小值.【答案】（1）函数是区间上的减函数；（2），【解析】（1）设是区间上的任意两个实数,且,则-==.由得,,于是,即.所以函数是区间上的减函数. ……6分（2）由（1）知函数函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值,即当时,;当时,. ……12分【考点】本小题主要考查利用定义判断函数的单调性和利用函数的单调性求函数的最值，考查学生对定义的掌握和利用能力以及数形结合思想的应用.点评：利用单调性的定义判断或证明函数的单调性时，要把结果划到最简，尽量不要用已知函数的单调性判断未知函数的单调性.6.设偶函数的定义域为，当时是增函数，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是偶函数，所以，而当时是增函数，所以.【考点】本小题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用，考查学生的逻辑推理能力.点评：函数的奇偶性和单调性经常结合考查，要熟练准确应用.7.已知是偶函数，且当时，，则当时，【答案】【解析】由题意知，当时，，所以，又因为是偶函数，所以，所以当时，.【考点】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查学生的运算求解能力.点评：此类问题要注意求谁设谁.8.（本小题满分13分）已知定义域为的函数是奇函数。
2.2函数的基本性质(课件)《中职数学》同步教学(劳保版第七版)
作函数
解：应缴水费y与用水量x之间的函数解析式
图像
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函数的表示方法（二）
例2 某市居民用水“阶梯水价”的收费标准如下： 每户每年用水不超过 180m³时，水价为 5 元/ m³； 超过 180m³不超过 260m³时，超过的部分按 7 元/m³收费； 超过 260m³时，超过的部分按 9 元/m³收费．
定 义
像这样利用图像表示函数的方法称为图像法．
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函数的表示方法（二）
实例1：下图为某地某天的气温变化图.
图像法
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函数的表示方法（二）
图像法
心电图
股市波动图
优点 直观形象的表示出自变量和相应的函数值变化的趋势
缺点
不能准确的看出每个自变量所对应的函数值
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函数的表示方法（二）
例1 文具店内出售某种签字笔，每支售价2元，用图像法表示购买 4支以内的签字笔时，应付款与签字笔支数之间的函数． 解：设x表示购买签字笔支数，y表示应付款数， x∈{1，2，3，4}
学习后及时复习，不复习等于自然遗忘.
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函数的概念（一）
情境：某地区元旦这一天的温度曲线图.
y/℃
D x 0 x 24
当x∈D，x
按图像
y
(每一个） 对应 (唯一确定）
x
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函数的单调性（一）
情境一：在汽车的研发过程中 ，需要对汽车进行一系列的性 能测试，右图中是一种新型家 用小汽车在高速公路上行驶时 ，油箱剩余油量V(L)随时间 t(h)变化的图像．
函数的的单调性（一）
例1 根据函数在R上的图像，如图所示，写出其单调区间：
（4）f (x) 1 ； x
上增下减
天津版高考理科数学 2.2 函数的基本性质
2.2 函数的基本性质挖命题【考情探究】分析解读 1.能够证明函数在给定区间上的单调性,求函数的单调区间;利用单调性求函数的最值(值域)、比较大小及求参数的取值范围.2.函数奇偶性的判断及应用是高考常考知识点,常与函数单调性、周期性、对称性、最值综合考查.3.要强化函数性质的应用意识,熟练掌握应用性质求最值等相关问题.4.本节在高考中多以选择题、填空题的形式考查函数的奇偶性与周期性,分值为5分左右,属中低档题.也与不等式、方程等结合,以解答题的形式考查函数的单调性,属于中档题,要注意借助数形结合的思想解题.破考点【考点集训】考点一函数的单调性及最值1.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为( )A.y=B.y=-x3C.y=lo xD.y=x+答案B2.已知函数f(x)=log2x,g(x)=2x+a,若存在x1,x2∈,使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是( )A.[-5,0]B.(-∞,-5]∪[0,+∞)C.(-5,0)D.(-∞,-5)∪(0,+∞)答案A考点二函数的奇偶性与周期性3.下列函数中为偶函数且在(0,+∞)上递减的是( )A.y=(x-2)2B.y=ln|x|C.y=xcos xD.y=e-|x|答案D4.若函数f(x)定义域为(-∞,+∞),则“曲线y=f(x)过原点”是“f(x)为奇函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B5.下列函数中为偶函数的是( )A. f(x)=2x-B. f(x)=xsin xC. f(x)=e x cos xD. f(x)=x2+sin x答案B6.(2014大纲全国,12,5分)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( )A.-2B.-1C.0D.1答案D炼技法【方法集训】方法1 判断函数单调性的方法1.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且a+b>0,b+c>0,a+c>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值( )A.恒为正B.恒为负C.恒为0D.无法确定答案B2.已知函数f(x)=ax2-x,若对任意x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,不等式-->0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.∞B.∞C.∞D.∞答案D方法2 判断函数奇偶性的方法3.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1)=-2,那么f(-1)+f(0)=( )A.-2B.0C.1D.2答案D4.对于函数f(x)=asin x+bx+c(a,b∈R,c∈Z),计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( )A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2答案D方法3 函数周期的求法及应用5.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=ln(-x)+x;当-e≤x≤e时, f(-x)=-f(x);当x>1时, f(x+2)=f(x),则f(8)= .答案2-ln 2方法4 函数性质的综合应用6.下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是( )A. f(x)=sin xB. f(x)=|x+1|C. f(x)=-xD. f(x)=cos x答案C7.设函数f(x)=-(a>0,且a≠1).(1)若a=,则函数f(x)的值域为;(2)若f(x)在R上是增函数,则a的取值范围是.答案(1)-∞(2)[2,+∞)方法5 函数值域的求法8.下列函数中,值域为[0,1]的是( )A.y=x2B.y=sin xC.y=D.y=-答案D过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组考点一函数的单调性及最值(2017天津,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c 的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a答案C考点二函数的奇偶性与周期性1.(2015天津,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a答案C2.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是.答案B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的单调性及最值1.(2017课标Ⅰ,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案D2.(2014课标Ⅱ,15,5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是. 答案(-1,3)考点二函数的奇偶性与周期性1.(2018课标Ⅱ,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( )A.-50B.0C.2D.50答案C2.(2018课标Ⅲ,16,5分)已知函数f(x)=ln(-x)+1, f(a)=4,则f(-a)= .答案-23.(2015课标Ⅰ,13,5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a= .答案 1C组教师专用题组考点一函数的单调性及最值1.(2017课标Ⅱ,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( )A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)答案D2.(2015课标Ⅱ,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是( )A. B.-∞∪(1,+∞) C.- D.-∞-∪∞答案A考点二函数的奇偶性与周期性1.(2014课标Ⅰ,5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C2.(2014课标Ⅱ,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)= .答案 3【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2017天津十二区县一模,7)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,若对于任意x∈R, f(log2a)≤f(x2-2x+2)恒成立,则a的取值范围是( )A.(0,1]B.C.(0,2]D.[2,+∞)答案B2.(2019届天津一中月考,6)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若实数x满足f(lo|x+1|)<f(-1),则x的取值范围是( )A.--∪-B.(-3,1)C.--∪(-1,1)D.--答案A3.(2018天津河北一模,7)已知奇函数f(x)在R上是增函数,设a=30.3·f(30.3),b=(logπ3)·f(logπ3),c=·f,则a,b,c之间的大小关系为( )A.b<a<cB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a答案A4.(2017天津五校联考(2),6)已知函数f(x)=log a(4-ax)在[0,2]上是单调递减函数,则实数a的取值范围为( )A.(0,1)B.(1,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)答案C>-1,且f(1)=1,则不等式5.(2017天津塘沽三模,7)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x1<x2,有--f(log2|3x-1|)<2-log2|3x-1|的解集为( )A.(-∞,0)B.(-∞,1)C.(-1,0)∪(0,3)D.(-∞,0)∪(0,1)答案D二、填空题(每小题5分,共25分)6.(2018天津河东一模,12)设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= .答案07.(2017天津河西一模,13)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,若实数a满足f<f-,则a的取值范围是.答案∪(,+∞)8.(2017天津和平一模,13)已知f(x)=x3+3x2+6x, f(a)=1, f(b)=-9,则a+b的值为.答案-29.(2017天津河北二模,14)设函数y=f(x)是定义在R上以1为周期的函数,若g(x)=f(x)-2x在区间[2,3]上的值域为[-2,6],则函数g(x)在[-2 017,2 017]上的值域为.答案[-4 030,4 044]10.(2017天津十二区县二模,13)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),且对于任意x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,均有->0.若f-=,2f(lo x)<1,则x的取值范围为.-答案∪(2,+∞)。
2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题2.2 函数定义域、值域(讲)
专题2.2 函数定义域、值域【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是________．A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x【答案】D 【解析】y ＝10lg x＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D 满足题意．2．已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2，3]，则y ＝f (2x －1)的定义域为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 【解析】 由x ∈[－2，3]，得x ＋1∈[－1，4]，由2x －1∈[－1，4]，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 3．[教材改编] 函数f (x )＝8－xx ＋3的定义域是________． 【答案】(－∞，－3)∪(－3，8]【解析】要使函数有意义，则需8－x ≥0且x ＋3≠0，即x ≤8且x ≠－3，所以其定义域是(－∞，－3)∪(－3，8]． 题组二 常错题4．函数y ＝f (cos x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )的定义域为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1【解析】 由于函数y ＝f (cos x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，所以u ＝cos x 的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以函数y ＝f (x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ∈[0，1]，92－32x ，x ∈（1，3]，当t ∈[0，1]时，f [f (t )]∈[0，1]，则实数t 的取值范围是______________． 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 373，1【解析】 因为t ∈[0，1]，所以f (t )＝3t ∈[1，3]，所以f [f (t )]＝f (3t)＝92－32·3t ∈[0，1]，即73≤3t≤3，所以log 373≤t ≤1.6．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34. 【解析】函数的定义域为R ，即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立．①当m ＝0时，符合题意；②当m ≠0时，Δ＝(4m )2－4×m ×3<0，即m (4m －3)<0，解得0<m <34.综上所述，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.题组三 常考题7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个． 【答案】98． 函数f (x )＝lg(x 2＋x －6)的定义域是________． 【答案】{x |x <－3或x >2}【解析】 要使函数有意义，则需x 2＋x －6>0，解得x <－3或x >2.9．设函数f (x )在区间[0，1]上有意义，若存在x ∈R 使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有意义，则a 的取值范围为________. 【答案】 [－2，－1].【知识清单】1 函数的定义域1．已知函数解析式,求定义域,其主要依据是使函数的解析式有意义,主要形式有:(1)分式函数,分母不为0；(2)偶次根式函数,被开方数非负数； (3)一次函数、二次函数的这定义域为R ； （4）0x 中的底数不等于0； （5）指数函数x y a =的定义域为R ；（6）对数函数log a y x =的定义域为{}|0x x >； （7）sin ,cos y x y x ==的定义域均为R ；（8）tan y x =的定义域均为|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭； 2.求抽象函数的定义域:（1）由()y f x =的定义域为D ，求[()]y f g x =的定义域，须解()f x D ∈; （2）由[()]y f g x =的定义域D ，求()y f x =的定义域，只须解()g x 在D 上的值域就是函数()y f x = 的定义域;（3）由[()]y f g x =的定义域D ，求[()]y f h x =的定义域.3.实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意义. 2 函数的值域 函数值域的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是 [a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围. (3)利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.(4)利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d ++ 或2ax bx ey cx d++=+ (a,c 至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.(5)利用换元法:形如y ax b =+,可用此法求其值域. (6)利用基本不等式:(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域【考点深度剖析】定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，难度中等．【重点难点突破】考点1 函数的定义域 【1-1】函数y（＋）的定义域为_________．【答案】(－∞，－1)∪(－1，0)．【1-2】函数22-25+1+)cos (=x x log y 的定义域为_________．【答案】33x x ππ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】由已知条件，自变量x 需满足22log cos 10250x x +≥⎧⎨-≥⎩得1cos 22,23355x k x k k Z x ππππ⎧≥⇒-+≤≤+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩ 所以33x ππ-≤≤故而所求函数定义域为33x x ππ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.【1-3】设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为________．【答案】()()2,11,2 --【解析】由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<.故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得()()4,11,4x ∈--.故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()2,11,2 -- 【1-4】若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 【答案】[－1,0]【思想方法】(1)已知具体函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【温馨提醒】对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义；而分段函数的定义域是各段区间的并集、各个段上的定义域交集为空集，即各个段的端点处不能重复． 考点2 函数的值域【2-1】求函数y ＝x ＋4x(x <0)的值域．【答案】(－∞，－4]．【解析】∵x <0，∴x ＋4x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －4x ≤－4，当且仅当x ＝－2时等号成立． ∴y ∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]．【2-2】 求函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域． 【答案】[0,15]．【解析】(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数， ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． 【2-3】 求函数y ＝1－x21＋x 2的值域．【答案】(－1,1]．【2-4】 求函数f (x )＝x －1－2x .的值域．【答案】1(,]2-∞.【解析】法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是1(,]2-∞.法二：(单调性法)容易判断f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以11()22y f ≤=即函数的值域是1(,]2-∞.【2-5】 求函数y ＝x 2－xx 2－x ＋1的值域．【答案】1[,1)3-【思想方法】求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数． (2)换元法． (3)基本不等式法． (4)单调性法． (5)分离常数法．【温馨提醒】求函数值域的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法【易错试题常警惕】分段函数的参数求值问题，一定要注意自变量的限制条件． 如：已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值为_______．【分析】当0a >时，11a -<，11a +>，由()()11f a f a -=+得2212a a a a -+=---，解得32a =-，不合题意；当0a <时，11a ->，11a +<，由()()11f a f a -=+得 1222a a a a -+-=++，解得34a =-．所以a 的值为34-．【易错点】没有对a 进行讨论，以为11a -<，11a +>直接代入求解而致误；求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误． 【练一练】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ，x >0，4x ，x ≤0，则f (f (－1))的值为________.【答案】－2【解析】∵f (－1)＝4－1＝14，∴f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 2 14＝－2.。
函数的基本性质练习题目(精华)
高一数学------函数的基本性质一、、知识点：本 章 知 识 结 构1、集合的概念集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。
理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。
对象――即集合中的元素。
集合是由它的元素唯一确定的。
整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。
确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。
不同的――集合元素的互异性。
2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。
我们理解起来并不困难。
我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。
理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ(空集）与{Φ}（集合中含有一个元素，即空集）”的关系。
几个常用数集N （自然数集）、N*（正整数集）、N ＋（正整数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集） 3、集合的表示方法（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：①元素不太多的有限集，如{0，1，8}②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3，…，100} ③呈现一定规律的无限集，如 {1，2，3，…，n ，…} ●注意a 与{a}的区别：a 表示一个元素，{a}表示一个集合 ●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。
（2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。
但关键点也是难点。
学习时多加练习就可以了。
另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。
如{x|y ＝x 2}， {y|y ＝x 2}， {（x ，y ）|y ＝x 2}是三个不同的集合。
4、集合之间的关系●注意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。
2020年高考数学(理)函数与导数 专题02 函数的基本性质(解析版)
函数与导数02函数函数的基本性质【考点讲解】一、具体目标：1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.会用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.2.理解函数的单调性及其几何意义.会用基本函数的图象分析函数的性质.3. 了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．二、知识概述：1．偶函数、奇函数的概念一般地，如果对函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于__y轴__对称，奇函数的图象关于__原点__对称．3．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4.判断函数的奇偶性的常用方法：(1)定义法一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)图象法：奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y 轴成轴对称．因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y 轴对称，只需证明此函数是偶函数即可．反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性． (3)组合函数奇偶性的判定方法①两个奇(偶)函数的和、差还是奇(偶)函数，一奇一偶之和为非奇非偶函数．②奇偶性相同的两函数之积(商)为偶函数，奇偶性不同的两函数之积(商)(分母不为0)为奇函数． ③复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”． (4)分段函数的奇偶性判定分段函数应分段讨论，注意奇偶函数的整体性质，要避免分段下结1．已知函数的奇偶性求函数的解析式． 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式．5．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()()0f x f x ±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．6．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 7．增函数与减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__增函数__.(2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__减函数__.8．单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)__单调性__，区间D 叫做y ＝f (x )的__单调区间__. 9．函数的最大值与最小值：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≤M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最 大值．(2)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≥M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值．10．函数单调性的常用结论11．对勾函数的单调性对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的递增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)；递减区间为[－a ，0)和(0，a ]，且对勾函数为奇函数． 12.函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个__非零常数__T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有__f (x ＋T )＝f (x )__，那么函数f (x )就叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的__最小__正周期． 13.函数周期性的常用结论： 对f (x )定义域内任一自变量x 的值： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．14.函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a,0)，B (b,0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期 T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b,0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |.注：对于(1)(2)(3)中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．15．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．1．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．【解析】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．【答案】3-2.【2019优选题】已知()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，若(3)f a f -<（4），则a 的取值范围为 ．【解析】：()f x Q 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，∴不等式(3)f a f -<（4）等价为 (|3|)f a f -<（4），即|3|4a -<，即434a -<-<，得17a -<<，即实数a 的取值范围是17a -<<， 【真题分析】故答案为：17a -<< 【答案】17a -<<．3.【2017课标II 】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+, 则(2)f = ________．【解析】本题考点奇函数的性质解决求函数值的问题. 法一：(2)(2)[2(8)4]12=--=-⨯-+=f f .法二：由题意可知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以有()()()232x x x f x f +-=-=-，而因为()0,∞-∈x ，()∞+∈-，0x ，()232x x x f --=-所以有()⎪⎩⎪⎨⎧>-<+=0,20,22323x x x x x x x f ，()12222223=-⨯=f【答案】124. 【2017山东】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈- 时,()6xf x -=,则f (919)= 【解析】由f (x +4)=f (x -2)可知,()()6=+f x f x 是周期函数,且6T =,所以(919)(66531)(1)f f f =⨯+=(1)6f =-=.【答案】65. 【2019年高考江苏】设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 . 【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数2()1(1)f x x =--1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根，要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则2()1(1),(0,2]f x x x =--∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为1211k =+，解得2(0)4k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =，∴1234k ≤<，综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为123⎡⎢⎣⎭，. 【答案】123⎡⎢⎣⎭6.【2017山东理15】若函数()e x f x （e 2.71828=L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+【解析】①()e =e e 22xx x xy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()e =e e 33xx x x y f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3=e e xxy f x x =⋅，令()3e xg x x =⋅，则()()322e e 3e3xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，所以当3x >-时，()0g x '>；当3x <-时，()0g x '<，所以()3=e e xxy f x x =⋅在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()2=e e 2x x y f x x =+.令()()2e 2x g x x =+， 则()()()22e 2e 2e 110xx x g x xx x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，所以()()2=e e 2x x y f x x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．综上所述，具有M 性质的函数的序号为①④.【答案】①④7.【2017天津理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）. A.a b c << B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<【解析】 因为奇函数()f x 在R 上增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，于是()()()0.822log 5.13g g g <<，即b a c <<.故选C.【答案】C8.【2018新课标II 卷11】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．50【解析】本题考点是函数的性质的具体应用，根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 由题意可知原函数的定义域为()∞+∞-，的奇函数，并且有()()x f x f +=-11，所以有()()()111--=-=+x f x f x f ，所以有()()()113-=+-=+x f x f x f ，即有()()4+=x f x f ，所以函数是以周期为4的周期函数.因此有()()()()()()()()[]()()2143211250321f f f f f f f f f f +++++=++++Λ.因为()()()()2413f f f f -=-=，，()()()()04321=+++f f f f ，由()()()113-=+-=+x f x f x f 可得()()()00112==+--=f f f从而()()()()()2150321==++++f f f f f Λ，选C .【答案】C9. .已知定义在错误!未找到引用源。
江苏版高考数学 2.2 函数的基本性质
2.2 函数的基本性质挖命题【考情探究】分析解读函数的基本性质是研究函数的基础,是高考的重点和热点.通常会考查函数的单调性及其应用,填空和解答题都会涉及.对于奇偶性,则会结合单调性和周期性一起进行考查.破考点【考点集训】考点一函数的奇偶性与周期性1.(2019届江苏宝应中学检测)已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=2x+m,则f(-2)= . 答案-32.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+3是偶函数,则实数m的值为.答案 13.(2018江苏盐城上学期期中,11)设函数f(x)是以4为周期的奇函数,当x∈[-1,0)时, f(x)=2x,则f(log220)= .答案-考点二函数的单调性与最值1.若函数f(x)=(2a-1)x+b是R上的减函数,则a的取值范围为.答案-2.(2018江苏南通中学高三数学练习)已知函数f(x)=-满足对任意x1≠x2,都有--<0成立,则a的取值范围是.答案0<a≤3.(2019届江苏扬州中学检测)函数f(x)=-的最大值为.答案 24.若函数f(x)=在区间[2,a]上的最大值与最小值的和为,则a= .答案 4炼技法【方法集训】方法一用单调性求解与抽象函数有关的不等式的策略1.(2018江苏南京高三年级学情调研)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在(- ,0]上为单调增函数.若f(-1)=-2,则满足f(2x-3)≤2的x的取值范围是.答案x≤22.已知函数f(x)为区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)<f的实数x的取值范围为.答案-方法二利用单调性求最值的策略1.(2019届江苏南京外国语学校检测)设函数f(x)=-在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M,m,则= .答案2.函数f(x)=-在[-2,0]上的最大值与最小值之差为.答案方法三已知函数奇偶性求参数(求值)1.已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=-,当2≤x≤3时, f(x)=x,则f(105.5)= .答案 2.52.(2019届江苏启东中学检测)已知函数f(x)=---若g(x)=f(x)+ax,x∈[-2,2]为偶函数,则实数a= .答案-过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的奇偶性与周期性1.(2018课标全国Ⅲ文,16,5分)已知函数f(x)=ln(-x)+1, f(a)=4,则f(-a)= .答案-22.(2018课标全国Ⅱ理改编,11,5分)已知f(x)是定义域为(- ,+ )的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= .答案 23.(2015课标Ⅰ,13,5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a= .答案 14.(2017课标全国Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(- ,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)= .答案125.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f-+f(1)= .答案-2考点二函数的单调性与最值1.(2018北京理,13,5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是.答案f(x)=sin x,x∈[0,2](答案不唯一)2.(2017课标全国Ⅰ理改编,5,5分)函数f(x)在(- ,+ )单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x 的取值范围是.答案[1,3]3.(2017课标全国Ⅱ文改编,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是.答案(4,+ )4.(2015课标Ⅱ改编,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是. 答案5.(2017天津文改编,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f,b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c 的大小关系为.(用“<”连接)答案c<b<aC组教师专用题组1.(2014湖北改编,10,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R, f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为.答案-2.(2015天津改编,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为.答案b>a>c3.(2011全国改编,9,5分)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时, f(x)=2x(1-x),则f-= .答案-【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共50分)1.(2019届江苏邗江中学检测)函数y=x2+x+1(x∈R)的递减区间是.答案--2.(2019届江苏扬中高级中学检测)偶函数y=f(x)的定义域为[t-4,t],则t= .答案 23.(2019届江苏教育学院附属中学检测)如果函数y=-是奇函数,则f(x)= .答案2x+34.(2019届江苏木渎中学检测)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= .答案-5.(2019届江苏宜兴高级中学检测)函数f(x)=-在区间[a,b]上的最大值是1,最小值是,则a+b= . 答案 66.(2018江苏姜堰中学高三期中)若函数f(x)=-(a∈R)为奇函数,则f(a)= .答案07.(2017江苏镇江高三检测)若函数f(x)=--(a>0且a≠1)在R上单调递减,则实数a的取值范围是.答案8.(2019届江苏武进高级中学检测)已知f(x)满足f(x+4)=f(x),当x∈(-2,0)时, f(x)=2x2,则f(2 019)= . 答案 29.(2019届江苏羊尖高级中学检测)定义在R上的奇函数y=f(x)在(0,+ )上递增,且f=0,则满足f(x)>0的x 的集合为.答案-或10.(2019届江苏苏大附中检测)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)= . 答案 2二、解答题(共30分)11.(2019届江苏沙溪高级中学检测)已知函数f(x)=-(a>0,x>0).(1)求证:f(x)在(0,+ )上是增函数;(2)若f(x)在上的值域是,求a的值.解析(1)设任意x2>x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0.因为f(x2)-f(x1)=---=-=->0,所以f(x2)>f(x1),所以f(x)在(0,+ )上是增函数.(2)因为f(x)在上的值域是,又由(1)得f(x)在上是单调增函数,所以f=, f(2)=2,易知a=.12.(2019届江苏启东检测)已知函数f(x)=-的定义域为R.(1)当a=2时,求函数f(x)的值域;(2)若函数f(x)是奇函数,①求a的值;②解不等式f(3-m)+f(3-m2)>0.解析(1)当a=2时, f(x)=-=1-,又3x+2>2,所以0<<,所以-1<1-<1,所以函数f(x)的值域为(-1,1).(2)①因为f(x)是奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即-+---=0,化简得a=±1.因为f(x)的定义域为R,所以a=1.②由①知, f(x)=-=1-,所以f '(x)=>0,所以f(x)在R上是增函数.又因为函数f(x)是奇函数, f(3-m)+f(3-m2)>0, 所以f(3-m)>f(m2-3),所以3-m>m2-3,即m2+m-6<0,解得-3<m<2.。
函数的概念和性质高考真题
函数的概念和性质高考真题1.函数的概念和性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
通常用符号f(x)表示函数，其中x是定义域中的元素，f(x)是值域中的元素。
1.2 函数的性质函数有很多性质，其中一些比较重要的包括：1）定义域和值域：函数的定义域是所有可能输入的集合，值域是所有可能输出的集合。
2）奇偶性：如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；如果有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。
3）单调性：如果对于函数f(x)，当x1f(x2)，则称f(x)在区间(x1,x2)上单调递减。
4）零点和极值：函数的零点是函数图像与x轴的交点，极值是函数在某一区间内的最大值或最小值。
2.例题解答2.1（2019江苏4）函数y=7+6x-x^2的定义域是所有实数。
函数f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=-eax。
若f(ln2)=8，则a=ln(1/4)。
2.2（2019全国Ⅱ理14）已知。
2.3（2019全国Ⅲ理11）设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，则正确的不等式是B。
2.4（2019北京理13）设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数)，若f(x)为奇函数，则a=0；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是(-∞,0)。
2.5（2019全国Ⅰ理11）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(π/2,π)单调递增；③f(x)在[-π,π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是B。
2.6（2019全国Ⅰ理5）函数f(x)=sinx+x/cosx+x^2在[-π,π]的图像大致为D。
2.7（2019全国Ⅲ理7）函数y=2x+2-x在[-6,6]的图像大致为A。
2.8（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y=11/x^2，y=loga(x+2)(a>0且a≠1)的图像可能是B。
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2.2函数的基本性质探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.函数的单调性及最值理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义2016北京文,10函数的单调性的判断与应用★★★2019北京文,3基本初等函数的单调性2016北京文,42.函数的奇偶性与周期性①结合具体函数,了解函数奇偶性的含义②了解函数周期性的含义2019北京,13函数的奇偶性的判断函数的单调性★★★2015北京文,3基本初等函数的性质分析解读 1.能够证明函数在给定区间上的单调性;求函数的单调区间;利用单调性求函数的最值(值域)、比较大小及求参数的取值范围.2.函数奇偶性的判断及应用是高考常考的知识点,常与函数的单调性、周期性、对称性、最值综合考查.3.要强化函数性质的应用意识,熟练掌握利用性质求最值等相关问题.4.在高考中多以选择题、填空题的形式考查函数的奇偶性与周期性,属于中低档题.与不等式、方程等结合,以解答题的形式考查函数的单调性,属于中档题,要注意借助数形结合的思想解题.破考点练考向【考点集训】考点一函数的单调性及最值1.(2020届北京理工大附中开学练习,2)下列函数中,在定义域内是减函数的是()A.f(x)=-1x B.f(x)=√x C.f(x)=12xD.f(x)=tan x答案C2.(2019北京西城一模文,3)下列函数中,值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.y=x2+2xB.y=2x+1C.y=x3+1D.y=(x-1)|x|答案C3.(2019北京丰台一模,5)下列函数中,同时满足:①图象关于y轴对称;②∀x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2),f(x2)-f(x1)x2-x1>0的是()A.f(x)=x-1B.f(x)=log2|x|C.f(x)=cos xD.f(x)=2x+1答案B考点二函数的奇偶性与周期性4.(2020届北京昌平二中月考,10)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.0B.2C.50D.-50答案B5.(2018北京西城二模,3)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是()A.y=1xB.y=x2C.y=2|x|D.y=cos x答案D炼技法提能力【方法集训】方法1判断函数单调性的方法1.(2018北京西城期末,3)下列函数中在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.y=-x+1B.y=(x-1)2C.y=sin xD.y=x 1 2答案D2.(2019北京门头沟一模文,13)若函数f(x)满足对定义域上任意x1,x2都有f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2成立,则称此函数为“P 函数”,请你写出一个“P 函数”的解析式 . 答案 f(x)=log 2x(答案不唯一)方法2 判断函数奇偶性的方法3.(2019北京石景山期末,4)下列函数中为偶函数的是( ) A.y=ln(1+x)-ln(1-x) B.y=ln(1+x)+ln(1-x) C.y=xcos x D.y=x+cos x 答案 B4.设函数f(x)=e x -e -x 2,则下列结论错误的是( )A.|f(x)|是偶函数B.-f(x)是奇函数C. f(x)·|f(x)|是奇函数D. f(|x|)·f(x)是偶函数 答案 D5.下列函数既是奇函数又在(-1,1)上是减函数的是( ) A.y=tan x B.y=x -1 C.y=lo g 123+x3-xD.y=13(3x -3-x ) 答案 C方法3 函数周期的求法及应用6.(2019北京东城高一期末,9)已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时, f(x)=2x+1+1,当-1≤x ≤1时, f(-x)=-f(x),当x>12时, f (x +12)=1f(x),则f(2 019)=( )A.-2B.-1C.1D.2 答案 A7.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=ln(-x)+x;当-e ≤x ≤e 时, f(-x)=-f(x);当x>1时,f(x+2)=f(x),则 f(8)= . 答案 2-ln 2方法4 函数性质的综合应用8.(2019北京房山一模文,7)关于函数f(x)=x-sin x,下列说法错误的是( ) A. f(x)是奇函数B. f(x)在(-∞,+∞)上单调递增C.x=0是f(x)的唯一零点D. f(x)是周期函数答案 D9.(2019 5·3原创冲刺卷四,10)定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),且对任意不相等的x 1,x 2∈[0,+∞),均有(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]>0.若关于x 的不等式f(asin x)+f(1)>0在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.0<a<1B.-1<a<0C.a<1D.-1<a<1 答案 D10.设函数f(x)={2x -a,x ≤1,log a x,x >1(a>0,且a ≠1).(1)若a=32,则函数f(x)的值域为 ;(2)若f(x)在R 上是增函数,则a 的取值范围是 . 答案 (1)(-32,+∞) (2)[2,+∞)方法5 函数值域的求法11.(2019北京朝阳一模,4)若函数f(x)={2x ,x <1,-log 2x,x ≥1,则函数f(x)的值域是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.[0,+∞)D.(-∞,0)∪(0,2) 答案 A12.(2019北师大附中高一月考,7)下列函数中,值域为[0,1]的是( ) A. y=x 2 B. y=x+1 C. y=1x 2+1 D. y=√1-x 2 答案 D13.(2019北大附中模拟六文,12)已知集合{a,b,c}={2,3,4},且下列三个条件:a ≠3,b=3,c ≠4,其中有且只有一个正确,则函数f(x)={2x ,x >b,(x -c)2+a,x ≤b 的值域是 .答案 [3,+∞)【五年高考】A 组 自主命题·北京卷题组考点一 函数的单调性及最值1.(2019北京文,3,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=x 12 B.y=2-x C.y=lo g12x D.y=1x答案A2.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是()A.y=11-xB.y=cos xC.y=ln(x+1)D.y=2-x答案D3.(2016北京文,10,5分)函数f(x)=xx-1(x≥2)的最大值为.答案2考点二函数的奇偶性与周期性1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sin xB.y=x2cos xC.y=|ln x|D.y=2-x答案B2.(2019北京,13,5分)设函数f(x)=e x+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=;若f(x)是R 上的增函数,则a的取值范围是.答案-1;(-∞,0]B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的单调性及最值(2017课标Ⅰ,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案D考点二函数的奇偶性与周期性1.(2019课标Ⅲ,11,5分)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则()A.f(log314)>f(2-32)>f(2-23)B.f(log314)>f(2-23)>f(2-32)C. f(2-32)>f(2-23)>f (log 314)D. f(2-23)>f(2-32)>f (log 314) 答案 C2.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x 3-1;当-1≤x ≤1时, f(-x)=-f(x);当x>12时, f (x +12)=f (x -12).则f(6)=( )A.-2B.-1C.0D.2 答案 DC 组 教师专用题组考点一 函数的单调性及最值1.(2014北京文,2,5分)下列函数中,定义域是R 且为增函数的是 ( ) A.y=e -x B.y=x 3 C.y=ln x D.y=|x| 答案 B2.(2014北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=√x +1 B.y=(x-1)2C.y=2-xD.y=log 0.5(x+1) 答案 A3.(2017课标Ⅱ,8,5分)函数f(x)=ln(x 2-2x-8)的单调递增区间是( ) A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 答案 D4.(2015课标Ⅱ,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x 2,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x 的取值范围是( )A.(13,1) B.(-∞,13)∪(1,+∞) C.(-13,13) D.(-∞,-13)∪(13,+∞) 答案 A5.(2014课标Ⅱ,15,5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x 的取值范围是 . 答案 (-1,3)考点二 函数的奇偶性与周期性1.(2016天津,6,5分)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f(2|a-1|)>f(-√2),则a 的取值范围是( ) A.(-∞,12) B.(-∞,12)∪(32,+∞)C.(12,32) D.(32,+∞) 答案 C2.(2015安徽,4,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( ) A.y=ln x B.y=x 2+1 C.y=sin x D.y=cos x 答案 D3.(2014大纲全国,12,5分)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( )A.-2B.-1C.0D.1 答案 D4.(2019课标Ⅱ,14,5分)已知f(x)是奇函数,且当x<0时, f(x)=-e ax .若f(ln 2)=8,则a= . 答案 -35.(2018课标Ⅲ,16,5分)已知函数f(x)=ln(√1+x 2-x)+1, f(a)=4,则f(-a)= . 答案 -26.(2017课标Ⅱ,14,5分)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ∈(-∞,0)时, f(x)=2x 3+x 2,则f(2)= . 答案 127.(2014课标Ⅱ,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)= . 答案 3【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2020届北京顺义一中8月月考,2)下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上是增函数的是()A.f(x)=2-xB.f(x)=x3C.f(x)=lg xD.f(x)=sin x答案B2.(2020届北京八一学校开学摸底,3)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为()A.y=x+1B.y=-x2C.y=1xD.y=x|x|答案D3.(2019北京通州期末,3)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-1,则f(-2)等于()A.-3B.-114C.-34D.3答案A4.(2020届北京人大附中统练一,6)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且x∈[0,1]时,f(x)=2x-m,则f(2019)=()A.1B.-1C.2D.-2答案B5.(多选题)(2020届山东夏季高考模拟,12)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则()A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+4)为偶函数答案ABC6.(2020届北京牛栏山一中开学摸底,4)偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,下列函数满足条件的是()A.f(x)=|x+1x| B.f(x)=e x C.f(x)=lg|x| D.f(x)=x2-2|x|答案C7.(2019北京丰台二模文,7)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且在区间(-∞,0]上单调递减, f(1)=-1.设g(x)=log 2(x+3),则满足f(x)≥g(x)的x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1] B.[-1,+∞) C.(-3,-1] D.(-3,1] 答案 C8.(2020届北京朝阳第二次调研,4)已知函数f(x)=8×4x -a 2x(a ∈R)是奇函数,g(x)=ln(e x +1)-bx(b ∈R)是偶函数,则log b a=( )A.-3B.-13 C.13 D.3 答案 A二、填空题(每小题5分,共25分)9.(2019北京清华大学中学生标准学术能力测试文,13)设函数f(x)为偶函数,当x ∈(0,+∞)时, f(x)=log 4x,则f(-2√2)= . 答案 3410.(2020届北京理工大附中开学练习,13)已知函数f(x)={3x +a,x ≥0,x 2-ax,x <0,若f(x)的最小值是a,则实数a= . 答案 -411.(2020届北京理工大附中开学练习,12)设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)x<0的解集为 .答案 (-1,0)∪(0,1)12.(2019北京海淀二模,10)已知函数f(x)=(x+t)(x-t 2)是偶函数,则t= . 答案 0或113.(2019北京人大附中期中,14)已知函数f(x)={x 2+x,-2≤x ≤c,1x ,c <x ≤3.若c=0,则f(x)的值域是 ;若f(x)的值域是[-14,2],则实数c 的取值范围是 . 答案 [-14,+∞);[12,1]三、解答题(共25分)14.(2019北京四中期中文,18)已知实数a ≠0,函数f(x)=ax(x-2)2(x ∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)有极大值32,求实数a 的值. 解析 (1)∵f(x)=ax 3-4ax 2+4ax, ∴f '(x)=3ax 2-8ax+4a=a(3x-2)(x-2). 令f '(x)=0,得x=23或x=2.当a>0时,函数f(x)的单调增区间是(-∞,23),(2,+∞);单调减区间是(23,2). 当a<0时,函数f(x)的单调增区间是(23,2);单调减区间是(-∞,23),(2,+∞).(2)∵f(x)=ax(x-2)2(x ∈R)有极大值32,由(1)知当x=2或x=23时, f(x)取得极值,而f(2)=0,∴当x=23时, f(x)取得极大值32,即23a (23-2)2=32,∴a=27.15.(2020届北京顺义一中10月月考,18)已知定义域为R 的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且当x ∈(0,1)时, f(x)=2x -12x +1.(1)求f(x)在区间[-1,1]上的解析式;(2)若存在x ∈(0,1),满足f(x)>m,求实数m 的取值范围.解析 本题考查函数的奇偶性、解析式的求法、值域的求法,不等式存在问题,考查学生分析、问题解决问题的能力,体现逻辑推理、数学运算的核心素养. (1)当x ∈(-1,0)时,-x ∈(0,1).由f(x)为R 上的奇函数, 得-f(x)=f(-x)=2-x -12-x +1=1-2x2x +1,即f(x)=2x -12x +1,x ∈(-1,0). 由f(x)为R 上的奇函数,得f(0)=0.∵f(x+1)=f(x-1),∴当x=0时, f(1)=f(-1). 又∵f(-1)=-f(1),∴f(-1)=0, f(1)=0,故f(x)在区间[-1,1]上的解析式为f(x)={2x -12x +1,x ∈(-1,1),0,x ∈{-1,1}.(2)∵f(x)=2x -12x +1=2x +1-22x +1=1-22x +1,x ∈(0,1),∴2x ∈(1,2),∴1-22x +1∈(0,13).若存在x ∈(0,1),满足f(x)>m,则m<13, 故实数m 的取值范围是(-∞,13).思路分析 (1)根据奇函数的定义及x ∈(0,1)时函数的解析式,运用代换法即可求得x ∈(-1,0)北京曲一线图书策划有限公司2021版《5年高考3年模拟》A版时函数的解析式,然后根据题意求出f(0)=f(-1)=f(1)=0,即可得到f(x)的解析式.(2)运用分离常数法及单调性法即可求出x∈(0,1)时f(x)的范围,然后根据存在性问题的解决方法可得m的范围.第11 页共11 页。