lecture(9)

m4
N
杆件轴线
/ m 2 ( Pa )
R2
纵向对称面 R1
例：求C截面k点正应力
P C
k y
a b
h/2 z h/2
已知： P 1.5kN , a 2m ,
h 0.18m , b 0.12m , y 0.06m
解：（1）截面弯矩：
Mc Pa 1.5103 2 3103( N m )
h
h
S y
zdA
A
h b ( h z )zdz bh2
0h
6
②形心
zc
Sy A
bh2 6
bh h 23
例：求图示物体的形心坐标。
120 z1
单位:mm
z
解： 矩形I：
10
A1 120 10 1200( mm 2 )
y1 （yc，zc）
I II y2
80
z2 10 y
y1 5 ( mm ) z1 60 (mm )
④ (6)代入(2)式
M y ---- (7) I z 如何判别应力符号？
(中性轴) z x
y σdA z
y (对称轴)
说明：
①纤维受拉为正，受压为负；
②公式适用范围： a.弯矩、剪力共同存在的截面(剪力弯曲);
(剪力对正应力影响很小)
b.只要有纵向对称面且荷载作用于该面内。
③单位：
PN
m
P
m
zc
A1z1 A1
A2 z 2 A2
1200 60 700 5 1200 700
39.7( mm
)
4. 惯性矩
y
dA
A
y
oz
对z、y轴惯性矩:
Iz
y 2dA,
A
Iy
z 2dA
A
对原点o的极惯性矩:
z I 2dA
I I z I y ( 2 y2 z2 ) 量纲：[长度]4；符号：正 (不能为零)。
•任意截面：
A ydA A yc
y
c
y yc
A
o zc z
dA
zdA A
A
zc
ydA
z
yc
A
A
zdA
zc
A
A
— 在yoz坐标下形心的位置
推论：对形心轴的静矩为零 。
(当 yc zc 0 时
ydA zdA 0 )
A
A
•组合截面：（由几个形心已知的简单图形组成）
n
Sz Ai yi
1.截面几何性质：
截面面积 A
极惯性矩I 2 dA
惯性矩 Iz P
( N )
A
T
(
)
I
（弯曲应力) P
变形大
变形小
2. 静矩 （复习）
静矩 — 面积×距离
y
y
A
o z
dA
Sz
ydA
A
对z轴
z
S y
zdA
A
对y轴Biblioteka 静矩: 可为正、负、零。 量纲：[长度]3
3.形心（ yc, zc 复习）
M
M
纯弯曲：
M图
内力只有弯矩，无剪力。
?
由 三
① 几何规律；
个 ② 物理规律；
规 律
③ 平衡规律。
1. 几何关系:
mn
a o
a o
x
b
b
m
n 中性轴
变形前
y
M m’ n’ M
a’ a’
b’ o’
o’ b’
m’
n’
中性层
变形后(小变形)
现象： ①mm,nn变形后仍为
直线。 z ②bb伸长，aa缩短；
i 1
n
S y Ai zi
i 1
yc
Sz
n
Ai
i 1
zc
Sy
n
Ai
i 1
( yi、zi —各截面形心到轴的距离 )
z
例：计算图示三角形对y轴的静
矩，及形心距y轴的距离。
h
dz
解：①静矩
b(z)
z
取微面积： dA b( z )dz
y b
b( z ) b ( h z ) dA b ( h z )dz
矩形II：
A2 70 10 700( mm 2 )
y2
10
70 2
45
(
mm
)
z2 5 (mm )
z
10
形心：
120 z1
单位:mm
y1 （yc，zc）
I II y2
80
z2 10 y
yc
A1 y1 A2 y2 A1 A2
1200 5 700 45 1200 700
19.7( mm )
z
y (对称轴)
---- (3)
M y
z dA 0
A
---- (4)
M z
y dA M ---- (5)
A
讨论：
① 将式(2)代入(3)
E y -(2)
N dA 0 -(3)
A
M y
z dA 0 -(4)
A
A
E
y
dA
0
A ydA 0 M
中性轴通过截面形心
② 将式(2)代入(4)
P c
a
（2）惯性矩：
k y
b
h/2 z h/2
Iz
bh3 12
0.12 0.183 12
0.583 104(m4)
（Iz 的计算将在下节讨论）
（3）k点应力：
k
Mc Iz
y
3 10 3 0.583 104
0.06
3.09 106 ( N / m 2 ) 3.09MPa (拉)
§5-2 截面几何性质
推断： z ①同层纤维变形相
等(平面假设)； ②中性层没有变形。
中性层曲率半径
d
M
M
m’ n’
y
a’
a’
•纤维bb变形后的长度： b'b' ( y )d
o’ b’
o’ b’
•纤维bb变形前的长度：
m’
n’
o'o' d
•纤维bb的应变：
( y )d d y - - - - (1)
第五章
梁的应力及强度计算
内力
应力
F
A
T
IP
梁
M
的
应
FAy
FS
力
?
M
?
?
FAy
V
正应力 —— 与弯矩对应; 剪应力 —— 与剪力对应;
轴向拉压： F
园轴扭转： T
A 结论： ① 应力与内力成正比；
IP
② 应力与截面几何性质有关（成反比）；
③ 应力应该与在截面上的位置有关。
§5-1 梁纯弯曲时的正应力
A zE ydA 0
Iyz
=
zydA
A
0
z, y轴是惯性主轴（下节讨论）
(中性轴) z x
y σdA z
y (对称轴)
E y
-(2)
Mz
y dA M -(5)
A
③ (2)代入(5)式：
A
yE
y
dA
M
A y2dA I z
1 M ---- (6)
M
EI z
EIz——抗弯刚度
d
( 与 y 成正比)
假设: 各层纤维之间无挤压作用;
2.物理关系：
各条纤维为单向拉压受力。
根据虎克定律：
E y
- - - - (2) (中轴性尚未确定, y、未知)
M 由(2)可知应力分布:
中性轴 z
x
y
3. 静力平衡
M
(中性轴) M
z x
y σdA
微内力的合力及平衡:
N A dA 0
5.惯性积:
y
dA
A
y
oz
I yz
yzdA
A
量纲: [长度]4；
z
符号：可正、可负(可为零)。
y
例: 计算矩形截面对其
形心轴的惯性矩和 h/2
z
惯性积。
h/2
b/2 b/2
解：
（1）惯性矩:
h/2
对z轴 dA=bdy
h/2
Iz
y2dA
A
h / 2 by2dy bh3
h / 2
12
同理对y轴 dA hdz