高二数学组合课件1
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3.1.3 组合和组合数( 组合和组合数的性质)(课件)高二数学(人教B版2019选择性必修第二册)
的选择方式？
对于（1），可分为两步：第一步，完成（2）中的事情，即选择两所学校；
第二步，讲选出的学校进行全排列（有22 种方法）.因为（1）的答案为23 ，
所以如果设问题（2）的答案是x，那么就能得到
23 =x22
从而得到 =
23
.
22
二 组合数
组合数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取
这个问题可以用我们本节所学的组合知识来解。
03 新知探索
一、组合
【尝试与发现】下面这两个问题的答案一样吗？
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间
02 新知导入
02 新知导入
【情境与问题】
高考不分文理科后，思想整理、历史、地理、物理、化学、生物这6科是选考的，
考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种
可能得情况呢？
如果用{思想政治、地理、历史}表示其中一种选考组合，你能用类似的方法表示
出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？
【答案】D
D．5或7
四 课堂练习
【练习3】某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名
，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法
共有
种．
【答案】16
四 课堂练习
【练习4】
【解析】
四 课堂练习
对于（1），可分为两步：第一步，完成（2）中的事情，即选择两所学校；
第二步，讲选出的学校进行全排列（有22 种方法）.因为（1）的答案为23 ，
所以如果设问题（2）的答案是x，那么就能得到
23 =x22
从而得到 =
23
.
22
二 组合数
组合数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取
这个问题可以用我们本节所学的组合知识来解。
03 新知探索
一、组合
【尝试与发现】下面这两个问题的答案一样吗？
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间
02 新知导入
02 新知导入
【情境与问题】
高考不分文理科后，思想整理、历史、地理、物理、化学、生物这6科是选考的，
考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种
可能得情况呢？
如果用{思想政治、地理、历史}表示其中一种选考组合，你能用类似的方法表示
出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？
【答案】D
D．5或7
四 课堂练习
【练习3】某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名
，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法
共有
种．
【答案】16
四 课堂练习
【练习4】
【解析】
四 课堂练习
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件4.3第1课时组合与组合数
(3)分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分
类表达,逐类求解.
变式训练3
某医院从10名医疗专家中抽调6名参加某项义诊活动,其中这10名医疗专
家中有4名是外科专家.问:
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?
同的选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有 C95 =126种不
同的选法.
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选 1 人,有C31 =3
种选法,再从另外的 9 人中选 4 人,有C94 种选法,共有C31 C94 =378 种不同的选法.
(5)(方法 1 直接法)可分为三类:
!
kC =k·
!·(-)!
=
n≥2).
·(-1)!
-1
=nC-1 .
(-1)!·(-)!
探究点三 组合问题的实际应用
【例3】在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人
去参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
2×1
=
2
C100
1
+ C200
=
100×99
+200=5
2×1
150.
-1
+1
(2)求证:C+1 + C +2C = C+2
(n,m∈N+).
分析 式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.
!
类表达,逐类求解.
变式训练3
某医院从10名医疗专家中抽调6名参加某项义诊活动,其中这10名医疗专
家中有4名是外科专家.问:
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?
同的选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有 C95 =126种不
同的选法.
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选 1 人,有C31 =3
种选法,再从另外的 9 人中选 4 人,有C94 种选法,共有C31 C94 =378 种不同的选法.
(5)(方法 1 直接法)可分为三类:
!
kC =k·
!·(-)!
=
n≥2).
·(-1)!
-1
=nC-1 .
(-1)!·(-)!
探究点三 组合问题的实际应用
【例3】在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人
去参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
2×1
=
2
C100
1
+ C200
=
100×99
+200=5
2×1
150.
-1
+1
(2)求证:C+1 + C +2C = C+2
(n,m∈N+).
分析 式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.
!
【高中数学】组合数课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
根据分步乘法计数原理，有 34 =
43
∙
33
34
3
，所以4，
= 3
3
同样地，求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数A mn ”，可以看作
由以下两个步骤得到：
第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 C m
种不同的取法；
n
m
A
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 m 种不同的排法.
abc bac cab acb
bca cba
abd
abd bad dab adb
bda dba
acd
acd cad dac adc
cda dca
bcd
bcd cbd dbc bdc
cdb dcb
系了吗？
探究新知
组合
排列
abc
abc bac cab acb bca cba
abd
abd bad dab adb bda dba
3 21 21
8 7 6
5 4
3
2
(4) 3C8 2C5 3
2
168 20 148 .
3 21
21
2
6
课本P25
m 1 m 1
2. 求证：C
C n 1 .
n1
m
n
m 1 m 1 m 1
( n 1)!
m 1
( n 1) n !
解：（1）C42 = 6；（2）C43 = 4；（3）C53 = 10；
（4）C54 = 5；（5）C64 = 15
追问：观察练习1的计算结果，你有什么发现和猜想？能否证明
和解释你的猜想？
C42 + C43 = C53
43
∙
33
34
3
，所以4，
= 3
3
同样地，求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数A mn ”，可以看作
由以下两个步骤得到：
第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 C m
种不同的取法；
n
m
A
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 m 种不同的排法.
abc bac cab acb
bca cba
abd
abd bad dab adb
bda dba
acd
acd cad dac adc
cda dca
bcd
bcd cbd dbc bdc
cdb dcb
系了吗？
探究新知
组合
排列
abc
abc bac cab acb bca cba
abd
abd bad dab adb bda dba
3 21 21
8 7 6
5 4
3
2
(4) 3C8 2C5 3
2
168 20 148 .
3 21
21
2
6
课本P25
m 1 m 1
2. 求证：C
C n 1 .
n1
m
n
m 1 m 1 m 1
( n 1)!
m 1
( n 1) n !
解：（1）C42 = 6；（2）C43 = 4；（3）C53 = 10；
（4）C54 = 5；（5）C64 = 15
追问：观察练习1的计算结果，你有什么发现和猜想？能否证明
和解释你的猜想？
C42 + C43 = C53
高二数学人选修课件时组合与组合数公式
02 03
案例二
假设有一个边长为1的正方形区域，任意投掷一个点，求 该点落在正方形内切圆内的概率。根据二维几何概型的计 算方法，内切圆的面积为π/4，正方形的面积为1，因此该 事件的概率为π/4。
案例三
假设有一个半径为1的球体，任意投掷一个点，求该点落 在球体内接正方体内的概率。根据三维几何概型的计算方 法，内接正方体的体积为2/√3，球体的体积为4π/3，因 此该事件的概率为(2/√3) / (4π/3) = √3/(2π)。
互斥事件的概率加法公式
若事件A与事件B互斥，则$P(A cup B)=P(A)+P(B)$。
对立事件的概率
若事件A与事件B对立，则$P(A)=1-P(B)$，$P(B)=1-P(A)$。
案例分析
案例一
掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的 点数。求事件A（出现偶数点）的概 率。
案例三
某射手进行射击训练，每次射击命中 目标的概率为0.8，现连续射击5次， 求事件C（至少命中4次）的概率。
A
计算机科学
在算法设计和分析中，组合数学提供了许多有 用的工具和方法，如动态规划、分治法等。
物理学
在量子力学和统计力学中，组合数学用于 描述微观粒子的状态和相互作用。
B
C
化学
在化学中，组合数学可用于计算分子的可能 构型和化学键的组合方式。
生物学
在遗传学和生物信息学中，组合数学用于分 析基因序列的组合和变异情况。
常见问题类型
01
求组合数
直接利用组合数公式进行计算。
02
验证组合数性质Leabharlann 如验证C(n,m) = C(n,n-m)，C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2^n等。
高二数学《排列组合》复习课件
4、（徐州二模）从6人中选4人组成4×100m接 力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多 少种选法？
分析：（一）直接法
（二）间接法
A A A 2 A A4
3 4 3 5 1 2
2 4
=48
5、（南通一模）一个三位数，其十位上的数字 既小于百位上的数字也小于个位上的数字（如 735，414等），那么这样的三位数有 285 个． 2 2 2 2
排列组合复习课
*
一、复习回顾： (一)、知识结构 排列 基 本 原 理 排列数公式 应 用 问 题
组合数公式
组合
组合数性质
(二)、重点难点 1. 两个基本原理
2. 排列、组合的意义
3. 排列数、组合数计算公式
4. 组合数的两个性质 5. 排列组合应用题
1. 两个基本原理
①分类记数原理（加法原理）：完成一件事，有 n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法， 在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类 办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1+ m2 +…..+ mn种不同的方法. ②分步记数原理（乘法原理）：完成一件事需要 n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2 步有m2种不同的方法， ……做第n步有mn种不 同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2 ×.…..× mn种不同的方法.
C C .
5. 排列组合应用题
（1） 正确判断是排列问题，还是组合 问题，还是排列与组合的综合问题。 （2） 解决比较复杂的排列组合问题时， 往往需要既分类又分步。正确分类，不 重不漏；正确分步，连续完整。 （3） 掌握基本方法，并能灵活选择使 用。
(三)、常用解题方法及适用题目类型
组合与组合数(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
解法二：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3
件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即：
3
100
−
3
98
98 × 97 × 96
= 161700 −
= 9604
3！
探究新知
题型探究
题型一
有限制条件的组合问题
[学透用活]
[典例 1]
课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女
解：分两类情况：
第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的 11 名学生中选取 5 人
有 C511＝462 种选法．
第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，
有 C411＋C411＝660 种选法．
所以至多有 1 名队长被选上的方法有 462＋660＝1 122 种.
探究新知
2. 有男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名．选派 5 人外出比赛，
典型例题
例2 五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分.古人
认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、
木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素
，则2类元素相生的选取方案共有多少种？
解：从5类元素中任选2类元素， 它们相生的选取有：火土，土金，金水，
思考：（1）分别观察例1中（1）与（2），（3）与（4）的计算结果，
有什么发现？
分析：例1中（1）与（2）的计算结果相同，（3）与（4）的计算结果相同.
（1）与（2）都是从10个元素中取部分元素的组合，其中，（1）取出3个元素，
（2）取出7个元素，二者取出元素之和为总元素个数10.（3）与（4）同理.
人教版数学高二《组合与组合数公式》 名师课件
高中数学
(2)原方程可化为Cx＋3x－2＝110Ax＋33， 即Cx＋35＝110Ax＋33，8分 ∴5！x＋x－32！！＝x1＋0·x3！！， ∴120x－1 2！＝10·xx－11·x－2！， ∴x2－x－12＝0，10分 解得x＝4或x＝－3， 经检验：x＝4是原方程的解.12分
高中数学
• [题后感悟] 含有组合数的方程或不等式的 解法：
＝2×6＋52× ×41＝32.
高中数学
(3)方法一：原式＝Cn＋1n·Cn1＝
n＋1！ n！
·n＝
n＋1·n！ n！
·n
＝(n＋1)n＝n2＋n.
方法二：原式＝(Cnn＋Cnn－1)·Cnn－1＝(1＋Cn1)·Cn1＝(1＋ n)n＝n2＋n.
高中数学
(1)已知C15m－C16m＝107C7m，求C8m. (2)解方程：Cx＋2x－2＋Cx＋2x－3＝110Ax＋33.
• (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后
把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有
多少个？
高中数学
• 解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3 个)是进行排列还是组合，即确定是与顺序 有关还是无关．
高中数学
• [解题过程] (1)当取出3个数字后，如果改变 三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问 题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺 序有关，是排列问题．
高中数学
练考题、验能力、轻巧夺冠
高中数学
• ②五个队进行单循环比赛的分组情况；
• ③由1,2,3组成两位数的不同方法数；
• ④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
• A．①③
B．②④
• C．①②
高中数学D．①②④
• 2．如果Cn2＝28，则n的值为( )
(2)原方程可化为Cx＋3x－2＝110Ax＋33， 即Cx＋35＝110Ax＋33，8分 ∴5！x＋x－32！！＝x1＋0·x3！！， ∴120x－1 2！＝10·xx－11·x－2！， ∴x2－x－12＝0，10分 解得x＝4或x＝－3， 经检验：x＝4是原方程的解.12分
高中数学
• [题后感悟] 含有组合数的方程或不等式的 解法：
＝2×6＋52× ×41＝32.
高中数学
(3)方法一：原式＝Cn＋1n·Cn1＝
n＋1！ n！
·n＝
n＋1·n！ n！
·n
＝(n＋1)n＝n2＋n.
方法二：原式＝(Cnn＋Cnn－1)·Cnn－1＝(1＋Cn1)·Cn1＝(1＋ n)n＝n2＋n.
高中数学
(1)已知C15m－C16m＝107C7m，求C8m. (2)解方程：Cx＋2x－2＋Cx＋2x－3＝110Ax＋33.
• (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后
把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有
多少个？
高中数学
• 解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3 个)是进行排列还是组合，即确定是与顺序 有关还是无关．
高中数学
• [解题过程] (1)当取出3个数字后，如果改变 三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问 题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺 序有关，是排列问题．
高中数学
练考题、验能力、轻巧夺冠
高中数学
• ②五个队进行单循环比赛的分组情况；
• ③由1,2,3组成两位数的不同方法数；
• ④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
• A．①③
B．②④
• C．①②
高中数学D．①②④
• 2．如果Cn2＝28，则n的值为( )
组合、组合数 课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
元素中取出个元素的组合数，用符号C 表示.
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为C23，从4个不同元素中取出3
个元素的组合数表示为C34.
探究：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数A
来求组合数C 呢？
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段
作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：
AB，AC，AD，BC，BD，CD.
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
思考：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起
例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？
用能力和分析问题、解决问题的能力.
核心素养：逻辑推理、数学运算、数学建模.
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
新知学习
探究：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
这一问题与6.2.1节的问题1有什么联系与区别？
从6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同
第六章
6.2
排列与组合
6.2.3 组合
6.2.4 组合数
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
学习目标
1.理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系.
2.能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用
组合数的性质化简、计算、证明.
3.能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为C23，从4个不同元素中取出3
个元素的组合数表示为C34.
探究：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数A
来求组合数C 呢？
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段
作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：
AB，AC，AD，BC，BD，CD.
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
思考：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起
例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？
用能力和分析问题、解决问题的能力.
核心素养：逻辑推理、数学运算、数学建模.
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
新知学习
探究：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
这一问题与6.2.1节的问题1有什么联系与区别？
从6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同
第六章
6.2
排列与组合
6.2.3 组合
6.2.4 组合数
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
学习目标
1.理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系.
2.能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用
组合数的性质化简、计算、证明.
3.能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应
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n! m !(nm)!.
C C
m n
nmm1.
m1 n
例题讲解
例4. 5个足球队进行单循环比赛，
（1）共需比赛多少场？ C52 10(场)
（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军 的可能情况共有多少种？A52 20(种)
例5. 壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张， 一共可以组成多少种币值？
C1 4C2 4C3 4C4 415
2,求n.
n
C A 解 ： 由3 n
2 ,得
n
n(n16)(2n)n(n1).
∵n≥2 . ∴ n26.
n8.
例题讲解
C C C 证 例 、3 明 :求 n mm :证 ! （ n m n n m n！ m m 1） ! . n m1
n m m 1Cn m 1n m m 1.( m1( ) n! n ! m1)!
§10.3 组合（第1课时）
情境创设
问题一：甲、乙、丙三人作为元旦晚会的候 选人，需要选2名作主持人，其中1名作正式 主持人，1名作候补主持人，有多少种不同
问的题选二法：？甲、乙、丙三人作A 3为2 元6旦晚
会的候选人，需要选2名共同主持节目，
有多少种不同的选法？ 3
甲、乙；甲、丙；乙、丙
概念讲解
根据分步计数原理，得到：Anm Cnm Amm
因此：Cn mA An m m mn(n1)(n2 m )L ! (nm1)
这里m、n∈N*,且m≤n ,这个公式叫做组合数公 式．
组合数公式:
C n mA A n m m mn(n1)(n2 m )L ! (nm1)
Cnm
n! m!(n m)!
（m、n∈N*,且m≤n）
有多少种不同的选法?
组合问题
(2)有4盆不同的花，从中选出3盆分别送给甲乙丙
3人，每人一盆，共有多少种不同的送法? 排列问题
(3)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需
准备多少种车票?
排列问题
(4)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上有多
少种不同的火车票价？
组合问题
下列问题是组合问题还是排列问题?
个不同元素中取出m个元素的组合
数，用符号 C
m n
表示.
思考:
组合数 C
m 如何求呢
n
？
1、甲、乙、丙三人作为元旦晚会的候选人，
需要选2名共同主持节目，有多少种不同的
选法？ 甲乙；甲丙；乙丙
C32 3
2、从a、b、c、d4个风景点中选出2个游览, 有多少种不同的方法?
a bc
b cd c d d
2、预习下节内容
谢谢大家！
（3）5名工人分别要3在53天2中4选3择1天休息，
不同方法的种数是
小结 1、组合的概念
2、排列与组合的区别与联系 3、组合数公式及应用
C n mA A n m m mn(n1)(n2 m )L ! (nm1)
Cnm
n! m!(n m)!
（m、n∈N*,且m≤n）
作业：1、课本111页 习题10.3第 1 题、第3题、第4题
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m （m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个组合．
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)有4盆不同的花，从中选出3盆放在教室里，共
我 们 规 定 ： Cn01.
例题讲解
例1、计算（1）C
3 7
与
C
4 10
C C （2）3
3 8
2
2 5
C C 解解 ：： ((2)1 3 3 7 3) 8 3 72 6 2 C 525 135
C
3
3
8
1 42 0 71164 03292258 1147210；
148.
例题讲解
C A 例2、已知3n
(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不
同的方法?
组合问题
(6)从4个风景点中选出2个游览,并确定这2个
风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?
• 想一想
排列问题
组合与排列有联系吗?
构造排列分两步完成，即先选后排；
而构造组合就是其中第一步——选取.
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）
个元素的所有组合的个数，叫做从n
答：一共可以组成15种币值.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂练 1．圆习上有10个点：
（1）过每2个点画一条弦，一共可画 45 条弦； （2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可 画120个圆内接三角形.
2.如果A3m 6C4m,则 （ m） B
A.6 B.7 C.8 D.9
3.证明:
Cm1 n1
mn11Cnm
课堂练 习
4.（参1观），有不3同张方参法观的券种，数要是在5C人35 中1确0 定3人去 （位2同）学要，从不5件同不的同方的法礼种物数中是选A出35 3件60分送3
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合．
排列与组合的概念 有什么共同点与不同 点？
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列.
C42 6
那么
C
m n
呢？
例:有4盆不同的花，从中选出3盆,分别送 给甲乙丙3人，每人一盆，共有多少种不 同的送法?
组合数公式
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素 的排列数，可以分为以下两步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元
素的组合C数nm .
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数．
C C
m n
nmm1.
m1 n
例题讲解
例4. 5个足球队进行单循环比赛，
（1）共需比赛多少场？ C52 10(场)
（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军 的可能情况共有多少种？A52 20(种)
例5. 壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张， 一共可以组成多少种币值？
C1 4C2 4C3 4C4 415
2,求n.
n
C A 解 ： 由3 n
2 ,得
n
n(n16)(2n)n(n1).
∵n≥2 . ∴ n26.
n8.
例题讲解
C C C 证 例 、3 明 :求 n mm :证 ! （ n m n n m n！ m m 1） ! . n m1
n m m 1Cn m 1n m m 1.( m1( ) n! n ! m1)!
§10.3 组合（第1课时）
情境创设
问题一：甲、乙、丙三人作为元旦晚会的候 选人，需要选2名作主持人，其中1名作正式 主持人，1名作候补主持人，有多少种不同
问的题选二法：？甲、乙、丙三人作A 3为2 元6旦晚
会的候选人，需要选2名共同主持节目，
有多少种不同的选法？ 3
甲、乙；甲、丙；乙、丙
概念讲解
根据分步计数原理，得到：Anm Cnm Amm
因此：Cn mA An m m mn(n1)(n2 m )L ! (nm1)
这里m、n∈N*,且m≤n ,这个公式叫做组合数公 式．
组合数公式:
C n mA A n m m mn(n1)(n2 m )L ! (nm1)
Cnm
n! m!(n m)!
（m、n∈N*,且m≤n）
有多少种不同的选法?
组合问题
(2)有4盆不同的花，从中选出3盆分别送给甲乙丙
3人，每人一盆，共有多少种不同的送法? 排列问题
(3)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需
准备多少种车票?
排列问题
(4)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上有多
少种不同的火车票价？
组合问题
下列问题是组合问题还是排列问题?
个不同元素中取出m个元素的组合
数，用符号 C
m n
表示.
思考:
组合数 C
m 如何求呢
n
？
1、甲、乙、丙三人作为元旦晚会的候选人，
需要选2名共同主持节目，有多少种不同的
选法？ 甲乙；甲丙；乙丙
C32 3
2、从a、b、c、d4个风景点中选出2个游览, 有多少种不同的方法?
a bc
b cd c d d
2、预习下节内容
谢谢大家！
（3）5名工人分别要3在53天2中4选3择1天休息，
不同方法的种数是
小结 1、组合的概念
2、排列与组合的区别与联系 3、组合数公式及应用
C n mA A n m m mn(n1)(n2 m )L ! (nm1)
Cnm
n! m!(n m)!
（m、n∈N*,且m≤n）
作业：1、课本111页 习题10.3第 1 题、第3题、第4题
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m （m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个组合．
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)有4盆不同的花，从中选出3盆放在教室里，共
我 们 规 定 ： Cn01.
例题讲解
例1、计算（1）C
3 7
与
C
4 10
C C （2）3
3 8
2
2 5
C C 解解 ：： ((2)1 3 3 7 3) 8 3 72 6 2 C 525 135
C
3
3
8
1 42 0 71164 03292258 1147210；
148.
例题讲解
C A 例2、已知3n
(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不
同的方法?
组合问题
(6)从4个风景点中选出2个游览,并确定这2个
风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?
• 想一想
排列问题
组合与排列有联系吗?
构造排列分两步完成，即先选后排；
而构造组合就是其中第一步——选取.
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）
个元素的所有组合的个数，叫做从n
答：一共可以组成15种币值.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂练 1．圆习上有10个点：
（1）过每2个点画一条弦，一共可画 45 条弦； （2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可 画120个圆内接三角形.
2.如果A3m 6C4m,则 （ m） B
A.6 B.7 C.8 D.9
3.证明:
Cm1 n1
mn11Cnm
课堂练 习
4.（参1观），有不3同张方参法观的券种，数要是在5C人35 中1确0 定3人去 （位2同）学要，从不5件同不的同方的法礼种物数中是选A出35 3件60分送3
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合．
排列与组合的概念 有什么共同点与不同 点？
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列.
C42 6
那么
C
m n
呢？
例:有4盆不同的花，从中选出3盆,分别送 给甲乙丙3人，每人一盆，共有多少种不 同的送法?
组合数公式
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素 的排列数，可以分为以下两步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元
素的组合C数nm .
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数．