高二数学课件：数列复习2
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必修5 第2章 2.1 数列-2020-2021学年江苏省高二数学上册课件(新教材)共42张PPT
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20
[解] (1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别 为：1,6,15.
(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0， 解得n＝5或n＝－92(舍去)，故45是数列{an}中的第5项． 令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0， 解得n＝－1或n＝32，即方程没有正整数解， 故3不是数列中的项．
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9
合作探究 提素养
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根据数列的前n项写出通项公式
写出下列数列的一个通项公式． (1)21，2，92，8，225，…； (2)9,99,999,9 999，…； (3)22－1 1，32－3 2，42－5 3，52－7 4，…； (4)－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，….
(3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式， 或者利用周期函数，如三角函数等．
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[跟踪训练] 1．写出下列数列的一个通项公式． (1)3,5,9,17,33，…； (2)21，34，78，1156，3312，…； (3)32，－1，170，－197，2116，－3173，….
16
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7
2．数列1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是________． [解析] 1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是an＝2n－1，n∈N*. [答案] an＝2n－1，n∈N*
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8
3．若数列{an}的通项公式为an＝3n－2，则a5＝________. [解析] ∵an＝3n－2，∴a5＝3×5－2＝13. [答案] 13
为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1(n∈N*)．
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13
(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可 用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综 上，原数列的通项公式为an＝n＋2n1－2－1 n(n∈N*)．
20
[解] (1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别 为：1,6,15.
(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0， 解得n＝5或n＝－92(舍去)，故45是数列{an}中的第5项． 令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0， 解得n＝－1或n＝32，即方程没有正整数解， 故3不是数列中的项．
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9
合作探究 提素养
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根据数列的前n项写出通项公式
写出下列数列的一个通项公式． (1)21，2，92，8，225，…； (2)9,99,999,9 999，…； (3)22－1 1，32－3 2，42－5 3，52－7 4，…； (4)－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，….
(3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式， 或者利用周期函数，如三角函数等．
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[跟踪训练] 1．写出下列数列的一个通项公式． (1)3,5,9,17,33，…； (2)21，34，78，1156，3312，…； (3)32，－1，170，－197，2116，－3173，….
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2．数列1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是________． [解析] 1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是an＝2n－1，n∈N*. [答案] an＝2n－1，n∈N*
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3．若数列{an}的通项公式为an＝3n－2，则a5＝________. [解析] ∵an＝3n－2，∴a5＝3×5－2＝13. [答案] 13
为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1(n∈N*)．
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13
(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可 用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综 上，原数列的通项公式为an＝n＋2n1－2－1 n(n∈N*)．
4.1数列的概念(第二课时)(课件)高二数学(人教A版选择性必修第二册)
共有3对兔子；
第五个月，成年兔子又生了1对兔子，第三月生的小兔子现在已经
长成年了且生了1对小兔子，加上本身两只成年兔子及上月生的小
兔子，共5对兔子；
引入新课
问题2
过了一年之后，会有多少对兔子？
把这些兔子的数量以对为单位列出
数字就能得到一组数字：1，1，2，
3，5，8，13，21，34，55，89，
一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。
上面问题中数列的递推公式为： + +1 = +2
学习新知
追问1
数列1，3，9，27，. . . ，你能找出它的递推公式吗？
= 3−1 (n≥2)
追问2
数列的通项公式和递推公式有何异同？
学习新知
追问2
数列的通项公式和递推公式有何异同？
？如果是，是第几项？
解：令2 + 2 = 120
解方程得 = −12(舍去)，或 = 10。
所以120是这个数列的项，是第10项。
引入新课
第一个月，只有1对兔子；
第二个月，小兔子还没长成年，还是只有1对兔
子；
第三个月，兔子长成年了，同时生了1对小兔子，因此有两对兔子；
第四个月，成年兔子又生了1对兔子，加上自己及上月生的小兔子，
−1
−1
= 1 + 2 + 3 + ⋯ + −1 ( ≥ 2)
当 ≥ 2时
= − −1
当 = 1时
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ= 1
问题探究
追问
数列的前n项和公式与数列的通项公式有何联系？
1,
=
−−1 ,
= 1,
≥ 2,
第五个月，成年兔子又生了1对兔子，第三月生的小兔子现在已经
长成年了且生了1对小兔子，加上本身两只成年兔子及上月生的小
兔子，共5对兔子；
引入新课
问题2
过了一年之后，会有多少对兔子？
把这些兔子的数量以对为单位列出
数字就能得到一组数字：1，1，2，
3，5，8，13，21，34，55，89，
一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。
上面问题中数列的递推公式为： + +1 = +2
学习新知
追问1
数列1，3，9，27，. . . ，你能找出它的递推公式吗？
= 3−1 (n≥2)
追问2
数列的通项公式和递推公式有何异同？
学习新知
追问2
数列的通项公式和递推公式有何异同？
？如果是，是第几项？
解：令2 + 2 = 120
解方程得 = −12(舍去)，或 = 10。
所以120是这个数列的项，是第10项。
引入新课
第一个月，只有1对兔子；
第二个月，小兔子还没长成年，还是只有1对兔
子；
第三个月，兔子长成年了，同时生了1对小兔子，因此有两对兔子；
第四个月，成年兔子又生了1对兔子，加上自己及上月生的小兔子，
−1
−1
= 1 + 2 + 3 + ⋯ + −1 ( ≥ 2)
当 ≥ 2时
= − −1
当 = 1时
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ= 1
问题探究
追问
数列的前n项和公式与数列的通项公式有何联系？
1,
=
−−1 ,
= 1,
≥ 2,
第四章数列小结复习 课件——2021-2022学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
若是偶数，就将该数除以2. 反复进行上述两种运算，经过
有限次步骤后，必进入1→4 →2 →1. 这就是数学史上著名
的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）. 如取正整数
= 3，根据上述运算法则得出3 →10 →5 →16 →8 →4
→2 →1，共需经过7个步骤变成1（简称为7步“雹程”）.
(1) 请给出冰雹猜想的递推公式；
1 2 3 4
追问1：等差数列、等比数列的通项公式分别是什么？如
何根据定义进行推导？它们与函数有什么关系？
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等
于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数
叫做等比数列的公比，公比常用字母表示.
= ≥ 2且 ∈ ∗ .
−1
等差数列
解析
式
不同
点
相同
点
一次函数
= +
= +
∈ ∗ .
≠0 .
定义域是 ∗ ，图象 定义域是，图
是一系列孤立的点. 象是一条直线.
都是关于自变量的一次整式，
当 ≠ 0时，等差数列的图象是相应
的一次函数图象上的一系列孤立的点.
()
4
3
2
1
的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个球.
记第堆的球的总数为().
(1) 求出(3)；
(2) 求()的表达式.
1
6
其中12 + 22 + 32 + ⋯ + 2 = ( + 1)(2 + 1).
追问：根据图形特征，你能发现什么规律呢？
问题2：如何研究数列？
函数
有限次步骤后，必进入1→4 →2 →1. 这就是数学史上著名
的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）. 如取正整数
= 3，根据上述运算法则得出3 →10 →5 →16 →8 →4
→2 →1，共需经过7个步骤变成1（简称为7步“雹程”）.
(1) 请给出冰雹猜想的递推公式；
1 2 3 4
追问1：等差数列、等比数列的通项公式分别是什么？如
何根据定义进行推导？它们与函数有什么关系？
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等
于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数
叫做等比数列的公比，公比常用字母表示.
= ≥ 2且 ∈ ∗ .
−1
等差数列
解析
式
不同
点
相同
点
一次函数
= +
= +
∈ ∗ .
≠0 .
定义域是 ∗ ，图象 定义域是，图
是一系列孤立的点. 象是一条直线.
都是关于自变量的一次整式，
当 ≠ 0时，等差数列的图象是相应
的一次函数图象上的一系列孤立的点.
()
4
3
2
1
的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个球.
记第堆的球的总数为().
(1) 求出(3)；
(2) 求()的表达式.
1
6
其中12 + 22 + 32 + ⋯ + 2 = ( + 1)(2 + 1).
追问：根据图形特征，你能发现什么规律呢？
问题2：如何研究数列？
函数
人教版(2019)数学选择性必修二 4_1数列的概念(2)课件
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝
构造一个新的数列{bn}，写出
+1
数列{bn}的前4项．
[例1]
已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项
由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，
且a1＝1，a2＝2，
∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无
初始值，那么这个数列是不能确定的．
3．数列{an}的前n项和
1
n
(1)数列{an}从第___项起到第___项止的各项之和称为数
a1＋a2＋…＋an
列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝________________.
序号n
(2)如果数列{an}的前n项和Sn与它的_______之间的对应
间的关系可以用一个公式来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的______公式．
递推
思考：所有数列都有递推公式吗？
提示：不一定．例如 2精确到1，0.1，0.01，
0.001，…的不足近似值排列成一列数：1，1.4，
1.41，1.414，…没有递推公式．
2．数列递推公式与通项公式的关系
关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数
列的前n项和公式．
(3)数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为
S1, n＝1
an＝
Sn-Sn-1, n≥2
题型突破
典例深度剖析
重点多维探究
题型一
[例1]
由递推公式求数列中的项
已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项
(2)通过公式bn＝
构造一个新的数列{bn}，写出
+1
数列{bn}的前4项．
[例1]
已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项
由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，
且a1＝1，a2＝2，
∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无
初始值，那么这个数列是不能确定的．
3．数列{an}的前n项和
1
n
(1)数列{an}从第___项起到第___项止的各项之和称为数
a1＋a2＋…＋an
列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝________________.
序号n
(2)如果数列{an}的前n项和Sn与它的_______之间的对应
间的关系可以用一个公式来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的______公式．
递推
思考：所有数列都有递推公式吗？
提示：不一定．例如 2精确到1，0.1，0.01，
0.001，…的不足近似值排列成一列数：1，1.4，
1.41，1.414，…没有递推公式．
2．数列递推公式与通项公式的关系
关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数
列的前n项和公式．
(3)数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为
S1, n＝1
an＝
Sn-Sn-1, n≥2
题型突破
典例深度剖析
重点多维探究
题型一
[例1]
由递推公式求数列中的项
已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项
4.2.1等差数列的概念 课件(共13张PPT)(2024)高二下学期数学人教A版选择性必修第二册
a, A, b 成等差数列
等差数列填空：
12，
，
，
，
0
探究新知
三.等差数列的通项公式
如果一个数列a1, a2, … , an, …是等差数列,它的公差是d, 那么
a2-a1=d
a2=a1+d
a3-a2=d
不
累
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d
完
a4-a3=d
加
…
…
全
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
[练习1]等差数列{an }中, 若a1 5, 公差d 3, 则a11 ___ .
析 : a11 a1 10 d 5 10 3 35
[变式]等差数列{an }中, 若a4 14 , 公差d 3, 则a11 ___ .
析 : a4 a1 3d a1 9 14, a1 5.
不是
（6）, , , , …
不是
公差可为正、可为负也可为0
说明：判断数列是不是等差数列,
运用定义：看+ − 是否为
同一个常数.
探究新知
二.等差中项的定义
在如下的两个数之间, 插入一个数使这三个数成为一个等差数列:
(1) 2, ( 3 ), 4
(2) -1, ( 2 ), 5
新课导入
【情景2】 XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装
对应的尺码分别是： 34，36，38，40，42，44，46，48
新课导入
【情景3】 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得
人教版数学选择性必修二4_1数列的概念课件(2)
①2013，2014，2015，2016，2017，2018，2019，2020；
1 1
1
②1， ， ，…， −1
2 4
2
，…；
2 3
−1 −1 ⋅
③1，− ， ，…，
，…；
3 5
2−1
④1，0，－1，…，sin ，…；
2
⑤2，4，8，16，32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
①⑥
②③④⑤
，
[例2]
已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
4
5
1
2
4
11
2
7
(4)2，－ ， ，－ ， ，－
4
17
，…；
✓ 数列的符号规律是正、负相间，
4
2
4
5
4
8
✓ 使各项分子为4，数列变为 ，－ ， ，－
✓
4
11
，…，
4
4
4
4
再把各分母分别加上1，数列又变为 ，－ ， ，－
3
6
9
12
✓ 所以an＝
无序性．
2．数列的分类
按项的个数
类别
含义
有穷数列
项数_______的数列
有限
无穷数列
项数_______的数列
无限
大于
递增数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项的数列
按项的变化
趋势
小于
递减数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项的数列
常数列
相等
各项都_______的数列
大于
从第2项起，有些项_____它的前一项，有些项
则是有穷数列，否则为无穷数列．
1 1
1
②1， ， ，…， −1
2 4
2
，…；
2 3
−1 −1 ⋅
③1，− ， ，…，
，…；
3 5
2−1
④1，0，－1，…，sin ，…；
2
⑤2，4，8，16，32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
①⑥
②③④⑤
，
[例2]
已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
4
5
1
2
4
11
2
7
(4)2，－ ， ，－ ， ，－
4
17
，…；
✓ 数列的符号规律是正、负相间，
4
2
4
5
4
8
✓ 使各项分子为4，数列变为 ，－ ， ，－
✓
4
11
，…，
4
4
4
4
再把各分母分别加上1，数列又变为 ，－ ， ，－
3
6
9
12
✓ 所以an＝
无序性．
2．数列的分类
按项的个数
类别
含义
有穷数列
项数_______的数列
有限
无穷数列
项数_______的数列
无限
大于
递增数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项的数列
按项的变化
趋势
小于
递减数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项的数列
常数列
相等
各项都_______的数列
大于
从第2项起，有些项_____它的前一项，有些项
则是有穷数列，否则为无穷数列．
第18课时(数列复习专题(2))
例1 求下列数列的前n 项和：（1）求数列 + + + +，，，，，n n 21813412211的前n 项和；（2）设6666660个．n n a =；（3）431321211⨯⨯⨯， ，…，)1(1+n n ，…；（4）数列 ， ， ， ， ， 1222221221211-+++++++n 前99项之和是 ．求和：12321-++++=n n nx x x S ．若数列{}n a 的前n 项和n S =322+-n n ，求通项公式n a ．从盛有盐的质量分数为%20的盐水kg 2的容器中倒出kg 1盐水，然后加入kg 1水，以后每次都倒出kg 1盐水，然后再加入kg 1水，问：（1）第5次倒出的的kg 1盐水中含盐多少g ？（2）经6次倒出后，一共倒出多少kg 盐？此时加kg 1水后容器内盐水中盐的质量分数为多少？课堂小结等差、等比数列的概念和公式．例2 例3 例4课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．数列}{n a 的通项公式是)(11N n n n a n ∈ ++=，若前n 项和为10，则项数为___．2．数列 ，，，，9999999999的前n 项和为 ． 3．设])1([2n n n a ---=，则=10S ．4．已知等差数列{}n a 中，===n n n S S S 3210025，， ．二 提高题5．设)52)(12(1++=n n a n ，求n S ．6．已知数列： ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ ⨯，，，，，，n n 211614813412211，求n S ．7．已知数列 ，，，，，n a a a 21，求n S ．8．设13233331-+++++=n n a ，求n S ．9．利用等比数列前n 项和公式证明b a b a b b a b aa n n nn n n --=++++++--11221 ．三 能力题10．根据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到73天翻一番的空前速度。
高二数学必修5第二章 数列2-3课件(共22张PPT)
第二章 数列
2.3 等差数列前n项和公式
第一页，编辑于星期一：一点 二十分。
本节主要学习等差数列前n项和公式及其简单应用。以泰姬陵中的 宝石数为引子，研究求和公式。用高斯小时候的故事来讲解求和公式。 问题探究一：用倒序相加法得出公式并总结变形公式。用例1加以巩 固。问题探究二：公式的灵活应用，知三求二，用变式2、3加以巩固。
第十一页，编辑于星期一：一点 二十分。
第十二页，编辑于星期一：一点 二十分。
(II)在等差数列 an中,已知: d 4 , n 20 , sn 460
求
a1
及
a 20
.
解: 利用 公式2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
a1= -15
再根据
a20= 61
第十三页，编辑于星期一：一点 二十分。
例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校 通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的 校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校
通”工程中的总投入是多少？
第十四页，编辑于星期一：一点 二十分。
解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经 费都比上一年增加50万元。所以，可以建立一个等差数列{an},表示从 2001年起各年投入的资金，其中 那么，到2010年(n=10),投入的资金总额为
答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。
问题1:图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
2.3 等差数列前n项和公式
第一页，编辑于星期一：一点 二十分。
本节主要学习等差数列前n项和公式及其简单应用。以泰姬陵中的 宝石数为引子，研究求和公式。用高斯小时候的故事来讲解求和公式。 问题探究一：用倒序相加法得出公式并总结变形公式。用例1加以巩 固。问题探究二：公式的灵活应用，知三求二，用变式2、3加以巩固。
第十一页，编辑于星期一：一点 二十分。
第十二页，编辑于星期一：一点 二十分。
(II)在等差数列 an中,已知: d 4 , n 20 , sn 460
求
a1
及
a 20
.
解: 利用 公式2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
a1= -15
再根据
a20= 61
第十三页，编辑于星期一：一点 二十分。
例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校 通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的 校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校
通”工程中的总投入是多少？
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解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经 费都比上一年增加50万元。所以，可以建立一个等差数列{an},表示从 2001年起各年投入的资金，其中 那么，到2010年(n=10),投入的资金总额为
答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。
问题1:图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？