高二数学数列的极限

数列的极限

一、知识要点

（1）数列极限的概念：一般地，在n 无限增大的变换过程中，如果无穷数列{}n a 中的n a 无限趋近于一个常数A ，那么A 叫做数列{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞

=。

（2）数列的极限运算：如果B b A a n n n n ==∞

→∞

→lim ,lim ，那么

B A b a n n n ±=±∞

→)(lim ；B A b a n n n ⋅=⋅∞

→)(lim ；)0(lim

≠=∞→B B A

b a n

n n

注：在使用数列极限的运算法则时，必须注意以下两点：

(a)参与运算的每一个数列的极限都是存在的； (b)参与运算的数列的个数必须是有限个。

（3）几个重要的极限

1

lim 0(1),lim

0,lim (n n n n q q C C C n →∞

→∞→∞

=<==为常数）

（4）无穷等比数列各项的和

在无穷等比数列{}n a 中，如果01q <<，n s 表示其前n 项和，那么我们称n

n s s ∞

→=lim 为这个无穷等比数列各项的和，且q

a s -=

11

。 注：若一个等比数列的各项的和存在，则蕴含着其公比q 满足01q <<。

二、例题选讲

例1 求下列极限：

（1）lim n →∞； （2）12009lim (0)12010n

n n a a a →∞->+ （3）2421222lim

4n

n

n →∞+++

+； （4）2222123

2lim(

)111

1

n n

n n n n →∞

++++

++++；

例2 （1）若21

lim(

)01

n n an b n →∞+--=+，求实数a b 、的值； （2）已知,133lim =+-∞→n

n

n

n n a a 求实数a 的取值范围。

例3 计算： （1）111

lim[

]1223

(1)

n n n →∞++

+

⨯⨯+；

（2）2421111

lim[(1)(1)(1)(1)]2222

n n →∞++++； （3）1111

lim[(1)(1)(1)(1)]3452

n n n →∞----+

例4 求数列{}n a 的极限：

（1）1(),()321,()1n n n a n n n ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪+⎩为奇数为偶数； （2）1(),()3

21,()1

n n n a n n n ≤⎧⎪⎪=⎨-⎪>⎪+⎩661010

例 5 已知等比数列{}n a 的首项为a ，公比为(01)q q <≤，前n 项和记为n S ，令

n G =2222123()n a a a a n N +++

+∈，求lim

n

n n

S G →∞。

例6 已知{}n a 是无穷等比数列，且所有项的和存在， （1）若1231

,2

n a a a a +++++

=求1a 的范围； （2）若2312n a a a a ++++>，求公比q 的范围。

例7 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(,10)n n S ra r R r =+∈≠和，若lim 1n n S →∞

=，求

r 的取值范围。

例8 如图所示，设正方形111OA B C 的面积为1，正方形1222A A B C 的面积为

1

2

，正方形2333A A B C 的面积为

14，它们的面积都比前者缩小1

2

，无限地作这种正方形。 （1） 求所有这种正方形面积的和； （2） 点123,,,

,,

n A A A A 当n 无限增大时，求点n A 无限地趋近哪一个点？

（3） 确定点123,,,,,

n B B B B

例9 已知数列{}n a 的首项为b ，它的前n 项和为n S ，且12,,,,

n S S S 是一个等比数列，

其公比为(01)q q <<。 （1） 求证：数列23,,,,

n a a a 是一个等比数列；

（2） 求1122lim()n n n a S a S a S →∞

++

+的值（用b q 、表示）

。

例10 已知无穷等比数列2

111

1

1,,

,,

,22

2n - （1） 在其中取值，作一个首项为1

2

m 的无穷等比数列，求这个数列各项和的取值范围；

（2） 在其中取值，作一个无穷等比数列，其各项和S 满足41

6113

S <<，求S 。

三、课后练习

1、若lim(34)5,lim(6)1n n n n n n a b a b →∞

→∞

+=-=，则lim(3)n n n a b →∞

+=

2、一个无穷等比数列所有项的和为52且16931=⋅a a ，则它的公比为

3、若223,(1000)1000,(1000)n n n a n n

⎧+<⎪

=⎨≥⎪⎩，则lim n n a →∞

=

4、设无穷递缩等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，n n S S ∞

→=lim 且n n n a S a S 431+=++，则数列{}n a 的公比q ＝ 5、无穷等比数列{}n a 的各项和为7，若数列{}n b 满足n n n n a a a b 31323++=--，则数列{}

n b 的各项和为

6、等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n n T S ,且132+=n n T S n n ，则=∞→n

n n b a lim

7、如果0)21(

lim =-∞

→n

n a

a ，则实数a 的取值范围是 8、对任意N n ∈，有1

1

2212221--⋅-++++=n n n t a ，其中t 是与n 无关的实常数，若

53lim -=∞

→t a n n ，求t 的值。

9、已知1)(+=ax x f 为x 的一次函数，⎩⎨⎧≥-==)

1()],1([)

0(,1)(n n g f n n g

（1）若))(1()(N n n g n g a n ∈--=，求证：{}n a 是等比数列；

（2）设n S 是{}n a 的前n 项和，求n n S ∞

→lim 。

10、已知数列{}n a ，284=a 且满足

111

1

n n n n a a n a a +++-=-+

（1）求321,,a a a 及{}n a 的通项公式； （2）设{}n b 为等差数列且c

n a b n

n +=，其中c 为不等于零的常数，若n n b b b T +++= 21，求)111(

lim 21n

n T T T +++∞

→ 。 11、已知数列{}n a 有12,()a a a p p ==为常数，对任意的n N ∈，有1()

2

n n n a a S -=。 （1）求a 的值； （2）判断数列{}n a 是否为等差数列；

（3）对于数列{}n b ，假如存在一个常数b 使得对任意的n N ∈都有n b b <且lim n n b b →∞

=，

则称b 为数列{}n b 的“上渐近值”。令21

12

n n n n n S S p S S ++++=+，求数列{}122n p p p n +++-的

“上渐近值”。