7.7数列的极限(第2课时)
《数列的极限》课件
单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上 界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不 会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛 于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列 极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的 差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数 列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该 数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则 该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接 近一个点，那么这个数列就是收敛的 ，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该 数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋 于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。
7.7-1数列极限的概念
最后,观察一下数列 2 ,4 ,6 ,8 , ,2 n , 的变化趋势.
yn
12
注
意
10
小
球
8
的
变
6
化
4
2
n
1 23 4 56 7
最后,观察一下数列 2 ,4 ,6 ,8 , ,2 n , 的变化趋势.
yn
12
10
正
8
在
演
6
示
4
2
n
1 23 4 56 7
最后,观察一下数列 2 ,4 ,6 ,8 , ,2 n , 的变化趋势.
小结 几个基本数列的极限
1.
lim 1 0
n n
2.
q1时 ,lim qn0
n
3.
c为常 ,lim c数 c
n
例题
1、判断下列数列是否有极限，如果有极限，给 出它的极限，如果没有极限，说明理由。
(1 ) 1 , 1 , 1 , 1 ,... 2345
(2 ) 3 ,3 ,3 ,3 ,... (3 ) 2 ,1,3 ,3 ,3 ,3 ,... (4 ) 1, 1 , 1 , 1 ,...
第一天截剩下
1; 2
第二天截剩下
1 22
;
第n天截剩下
1 2n
;
其长度组成的数列为 1, 1 ,, 1 ,
2 22 2n
其随着n无限的增加,木棒的长度无限的趋近于零
为了进一步了解数列的极限,下面我们再观察几 个数列随着 n的不断增大, 它能否趋向于一个常数.
先看数列 1,1,1,1, , 1,变化趋势演示
yn
12 10 8
6 4
显见小
球随着 n
高等数学第2课数列的极限、函数的极限2
课题数列的极限、函数的极限课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）理解数列的极限。
（2）掌握收敛数列的性质。
（3）理解函数的极限，会计算函数的极限，包括函数在某点的左极限、右极限。
（4）理解函数极限的性质。
思政育人目标：通过数学史和数学文化的记载，提出极限思想，让学生充分感觉到我国深厚的文化底蕴，激发学生的爱国情怀；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：数列极限的定义、收敛数列的性质、函数极限的概念和性质教学难点：计算函数的极限、左极限和右极限教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→问题讨论（10 min）第2节课：知识讲解（30 min）→问题讨论（10min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）⏹【教师】通过庄子的“截杖问题”和刘徽的“割圆术”，引出并讲解数列以及数列的极限案例1“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．分析这是战国时期哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》中的一句话，意思是“一根长为一尺的木棒，每天截去一半，永远取不尽”．我们把每天取后剩下的部分用算式表示可得数列：通过数学史和数学文化的记载，提出极限思想，让学生充分感觉到我国深厚的文化底蕴，激发学生的爱国情怀。
学习数列极限的定义和收敛数列的性质。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学211112482n ，，，，，． 随着时间的推移，剩下的木棒长度越来越短，显然，当天数n 无限增大时，剩下的木棒长度将无限缩短，即剩下的木棒长度12n越来越接近于数0． 案例2 刘徽称“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失亦”．分析 “割圆术”求圆面积的作法和思路是：先作圆的内接正六边形，把它的面积记为1A ；再作圆的内接正十二边形，其面积记为2A ；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为3A ；照此下去，把圆内接正162n -⨯边形的面积记为n A ，这样得到一个数列：1A ，2A ，3A ，，n A ，如图1-18所示．图1-18由图1-18可以看出，随着圆内接正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形的面积与圆的面积越来越接近．当边数n 无限增大时，圆内接正162n -⨯边形的面积n A 会无限接近圆的面积A ．对于一些数列，如1123nn n n ⎧⎫+⎪⎪⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭，，，若当n 无限增加时，一般项无限接近于某一个常数，则这个常数称为数列的做一体化3极限．在数学上，需要从定量角度定义数列的极限． 给定一个数列{}n a 和常数a ，为证明{}n a 的极限为a ，需要证明n 越来越大时，||n a a -越来越趋于0．为了定量描述随n 增大||n a a -逐渐接近于0，{}n a 与a 的接近程度可用||n a a ε-<（ε为任意小的正数）代替．ε越小，{}n a 越接近于a ，满足||n a a ε-<成立的n a 的项数n 越大．因此，给定一个正数ε，就存在一个正整数N +∈Z ，当n N >时，||n a a ε-<，ε越小，N 就越大，如图1-19所示．图1-19定义1 设{}n a 是数列，a 为常数，若对任意给定的正数ε，总可以找到正整数N ，使得所有满足n N >的自然数n ，都有||n a a ε-<成立，则称数列{}n a 收敛于a ，a 称为数列{}n a 的极限，记为lim n n a a →∞=．例1 对数列(1)n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，当取10.1ε=，20.01ε=，求满足1(1)0n n ε--<，2(1)0nnε--<的n 的范围，并证明(1)lim 0n n n→∞-=． 解 因为(1)10n n n--=，所以要使1(1)00.1n n ε--<=，只要10.1n<，即10n >即可．同理，要满足2(1)00.01,nnε--<=，只要100n >即可． 现证明(1)lim 0nn n→∞-=．4对任意给定的0ε>，要使(1)10n n n ε--=<，只要1n ε>，因此，可以取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦（1ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦可能为0）．当n N >时，就有(1)0n n ε--<，故(1)lim 0nn n→∞-=．如果数列{}n a 没有极限，则称该数列发散．我们还可以用数列极限的定义证明如下重要极限：lim n C C →∞=（C 为常数），1lim 0n n →∞=，lim 0(||1)n n a a →∞=<，1lim 1(0)nn a a →∞=>，lim 1n n n →∞=．⏹ 【学生】理解数列及数列的极限⏹ 【教师】讲解收敛数列的性质定理1（极限的唯一性） 如果数列{}n a 收敛，那么它的极限唯一．证明 用反证法．假设同时有lim n n a a →∞=和lim n n a b →∞=，且a b <，取2b aε-=． 因为lim n n a a →∞=，故∃正整数1N ，当1n N >时，不等式||2n b aa a --<（1） 成立．同理，因为lim n n a b →∞=，故∃正整数2N ，当2n Ν>时，不等式||2n b aa b --<（2） 也成立．取12max{}N N N =，（表示N 是1N 和2N 中较大的5那个数），则当n N >时，（1）式及（2）式同时成立．但由（1）式有2n a b a +<，由（2）式有2n a ba +>，这是矛盾的，故假设不成立．定义2 对于数列{}n a ，如果存在正数M ，使得对于一切n a 都满足不等式||n a M ，则称数列{}n a 是有界的；否则称数列{}n a 是无界的．定理2（收敛数列的有界性） 如果数列{}n a 收敛，那么数列{}n a 一定有界．证明 设数列{}n a 收敛于a ，根据数列极限的定义，对于1ε=，存在正整数N ，当n N >时，不等式||1n a a -<成立．于是，当n N >时，有||||||||1||n n n a a a a a a a a =-+-+<+．取12max{||||||1||}N n M a a a a =+，，，，，则数列{}n a 中的一切n a 都满足不等式||n a M ．这就证明了数列{}n a 是有界的．定理3（收敛数列的保号性） 如果数列{}n a 收敛于a ，且0a >（或0a <），那么存在正整数N ，当n N >时，有0n a >（或0n a <）．当0a >时，根据极限定义，只要取02aε=>，即可证明结论．推论 如果数列{}n a 从某项起有0n a （或0na ），且数列{}n a 收敛于a ，则0a （或0a ）．证明 就0na 情形证明．设数列{}n a 从1N 项起，即当1n N >时有0na ．现在用反证法证明，若0a <，则由定理3知，2N +∃∈Z ，当2n N >时，有0n a <，取12max()N N N =，，则当n N >时，有0na 与0n a <同时成立，矛盾，所以0a．6对于0na 的情形，可以类似地证明．定义3 在数列{}n a 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{}n a 中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{}n a 的子数列（或子列）．设在数列{}n a 中，第一次抽取1n a ，第二次在1n a 后抽取2n a ，第三次在2n a 后抽取3n a ，，这样无休止的抽取下去，得到一个数列1n a ，2n a ，，k n a ，，这个数列{}k n a 就是数列{}n a 的一个子数列．⏹ 【学生】掌握收敛数列的性质问题讨论 （10 min ）⏹ 【教师】组织学生讨论以下问题1．若lim n n a a →∞=，能否得到结论：对任意给定的正数ε，总可以找到正整数N ，使得所有满足n N >的自然数n ，都有||2n a a ε-<（或2ε）成立？2．在数列极限定义的N ε-语言中对任意给定的正数ε，可否规定01ε<<？3．有界数列是否一定收敛？发散的数列是否一定无界？ 4．如果数列{}n a 收敛于a ，且n ∀∈N ，有0n a >（或0n a <），则是否一定有0a >（或0a <）？5．若数列的任何子数列都收敛，那么此数列是否一定收敛？发散数列的子数列都发散吗？⏹ 【学生】发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解第二节课知识讲解（30 min）【教师】讲解函数极限的概念，并通过例题讲解介绍其应用1．自变量趋于无穷时函数的极限当x→+∞时，函数()f x的极限定义与数列极限定义相似，因此可以给出当x→+∞时，()f x极限的Mε-定义．定义1设()f x在()a+∞，上有定义，A为实常数，若对ε∀>，0(||)M M a∃>>，当x M>时，有|()|f x Aε-<，则称函数()f x当x趋于+∞时，以A为极限，记为+lim()xf x A→∞=或()()f x A x→→+∞．定义1'设()f x在()a-∞，上有定义，A为实常数，若对ε∀>，0()M M a∃>-<，当x M<-时，|()|f x Aε-<，则称函数()f x当x→-∞时，以A为极限，记为lim()xf x A→-∞=或()()f x A x→→-∞．定义1"设()f x在()()a a-∞+∞，，上有定义，A为实常数，若对0ε∀>，0M∃>(||)M a>，当||x M>时，|()|f x Aε-<，则称函数()y f x=在x→∞时，以A为极限，记为lim()xf x A→∞=．定理1lim()xf x A→∞=lim()xf x→+∞⇔lim()xf x→-∞=A=．证明必要性显然．下证充分性．lim()lim()x xf x f x A→+∞→-∞==时，0ε∀>，1M∃>，使当1x M>时|()|f x Aε-<；2M∃>，使当2x M<-时|()|f x Aε-<．取12max{}M M M=，，则当x M>或x M<-，即||x M>时，同时有|()|f x Aε-<，所以lim()xf x A→∞=．例1求21lim1x x→∞⎛⎫+⎪⎝⎭．78解 考察函数21()1f x x =+，如图1-21所示．图1-21当x →+∞时，函数211x +无限趋于常数1；当x →-∞时，函数211x +同样无限趋于1，所以 21lim 11x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 例2 考察函数()arctan f x x =当x →+∞和x →-∞时的极限，并说明它在x →∞时的极限是否存在．解 如图1-22所示，当x →+∞时，函数()arctan f x x =无限趋于常数2π，所以 lim arctan 2x x →+∞π=． 当x →-∞时，函数()arctan f x x =无限趋于常数2π-，所以 lim arctan 2x x →-∞π=-． 由于lim arctan lim arctan x x x x →+∞→-∞≠，所以limarctan x x →∞不存在．9图1-222．自变量趋于有限值时函数的极限对于函数21()1x f x x -=-，()f x 在1x =无意义．当1x ≠时，()1f x x =+，如图1-23和表1-2所示，当1x →时，()2f x →．这样对0ε∀>，要使|()2||1|f x x ε-=-<，定有|1|x -在确定的范围内，即0δε=>，0|1|x δ<-<．ε越小，δ越小，δ由ε确定．这样我们可以得到，当0x x →时，函数()f x 极限的εδ-定义．图1-23表1-2x … 0.9 0.99 0.999 … 1 … 1.001 1.01 1.1 … y… 1.91.991.999… 2 … 2.0012.012.1…定义2 设()f x 在0x 的某个去心邻域o01()U x δ，上有定义，A 为实常数，若对0ε∀>，10()δδδ∃><，当00||x x δ<-<时，|()|f x A ε-<，则称函数()f x 当x 趋于0x 时，以A 为极限，记作lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→．定义2' 设()f x 在0x 的某个去心右邻域o01()U x δ+，上有定义．A 为一实常数，若对0ε∀>，10()δδδ∃><，当1000||x x δ<-<时，|()|f x A δ-<，则称A 为函数()f x 在x趋于0x +时的右极限，记作lim ()x x f x A +→=或0()()f x A x x +→→．定义2" 设()f x 在0x 的某个去心左邻域o01()U x δ-，上有定义，A 为一实常数，若对0ε∀>，10()δδδ∃><，当00||x x δ<-<时，|()|f x A δ-<，则称A 为函数()f x 在x趋于0x -时的左极限，记作lim ()x x f x A -→=或0()()f x A x x -→→．定理2 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==．证明与定理1类似．例3 设21()31x x f x x x +⎧=⎨<⎩，，，，试判断1lim ()x f x →是否存在．解 先分别求()f x 当1x →时的左、右极限，11lim ()lim33x x f x x --→→==，11lim ()lim(2)3x x f x x ++→→=+=， 因为左、右极限各自存在且相等，所以1lim ()x f x →存在，且1lim ()3x f x →=．⏹ 【学生】理解函数的极限，会计算函数的极限，包括函数在某点的左极限、右极限⏹ 【教师】讲解函数极限的性质定理3（极限的唯一性） 如果0lim ()x x f x →存在，则极限lim ()x x f x →是唯一的．定理4（局部有界性） 如果0lim ()x x f x A →=，则存在常数0M >和0δ>，使得当00||x x δ<-<时，有|()|f x M <．2数列的极限、函数的极限 第 课 11 局部有界性是指函数在0x 的去心邻域o 0()U x δ，内有界．定理5（局部保号性） 设0lim ()x x f x A →=，如果0A >（或0A <），则0δ∃>，使当00||x x δ<-<时，()0f x >（或()0f x <）．推论 如果在0x 的某去心邻域内()0f x （或()0f x ），且0lim ()x x f x A →=，则0A （或0A ）．⏹ 【学生】理解函数极限的性质问题讨论（10 min ） ⏹ 【教师】组织学生讨论以下问题1．证明如下函数极限，并指出这些函数的极限有什么特点？（1）0lim x x C C →=（C 为常数）； （2）00lim x x x x →=； （3）00lim sin sin x x x x →=； （4）00lim cos cos x x x x →=． 2．从函数极限定义的角度考虑，若令()n f n a =，数列极限还可以怎样叙述？3．若对o0()U x δ，，()0f x >，且0lim ()x x f x A →=，是否一定有0A >⏹ 【学生】讨论、发言课堂小结（5 min ） ⏹ 【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了数列极限的定义、收敛数列的性质、函数极限的概念、函数极限的性质的相关知识及其应用。
数列的极限ppt
恒有 f ( x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0 ( x x0 )
注意:{x 0 x x0 }
f ( x0 0) A.
{ x 0 x x0 } { x x x0 0}
. Sept. 26 Mon
Review
1.数列极限性质：唯一性，有界性，夹逼性， 保号性；
定理 : lim f ( x) A x x0
f ( x0 0) f ( x0 0) A.
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1. 不等式 xn a 刻划了 xn 与 a 的无限接近;
2. N 与任意给定的正数 有关.
极限的 N 定义:
lim
n
xn
a
0, N 0,使 n N 时,恒有 xn a .
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x1 , x2 ,, xi ,xn ,
xn1 , xn2 ,, xnk ,
xn
1
(1)n 2
子列 1，1，
0，0，
0, 1, 0, 1,
定义3. 设有序列{ xn }，若 M 0，对一切n 都有： | xn | M 则称 {xn} 是有界序列。
例： 0,1,0,1,
为有界序列。
二. 数列极限的定义
有界，几个特殊数列的极限; 。
数列的极限(第二课时)
§7.4 数列的极限（第二课时）一、教学目标：1、进一步理解和掌握数列极限的概念2、掌握数列极限的运算性质，会利用这些性质计算数列的极限3、知道几个常用的数列极限结论，并会用它们来求相关的数列极限二、教学重点和难点：重点：数列极限的运算性质难点：数列极限运算性质的灵活运用三、教学过程：（一）复习引入1、数列极限的定义：2、几个常用的数列极限结论：（二）新课学习1、实例引入：计算由抛物线x y =2，x 轴以及直线1=x 所围成的区域面积S ：6)12)(1(lim lim n n n S S n n n --==∞→∞→ 为了解决上式计算，我们需学习一些新的知识。
2、数列极限的运算性质：说明：1、运算性质成立的条件2、在数列商的极限中，作为分母的数列的项及其极限都不为零（三）典型例题：例1、计算：（1）)27(lim n n -∞→；（2）n n n 43lim +∞→；（3）26)12)(1(lim n n n n --∞→例2、（书上第42、42页，练习7.7（3））1、"lim lim "B b A a n n n n ==∞→∞→，是")(lim "B A b a n n n +=+∞→成立的（ ） （A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件；（C ）充要条件； （D ）既非充分又非必要条件2、判断下列计算是否正确，并说明理由：n n n n n n n n n n n n n 100lim 3lim 2lim 1lim 100321lim ∞→∞→∞→∞→∞→++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++00000100=++++= 个3、已知2lim 3lim -==∞→∞→n n n n b a ，;（1）求()n n n b a 52lim -∞→；（2）求n n n n b b a 2lim +∞→4、计算：（1）312lim +-∞→n n n ；（2）)321(lim +-∞→n n n ；（3）()2212243lim +-+∞→n n n n例3、已知()[]212lim =-∞→n n a n ，求n n na ∞→lim 的值。
7.7数列极限-无穷等比数列
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1 1 1 解:(3)数列为 ,0, - ,0, ,L 2 8 32 1 2 =2 ∴ limSn = n→∞ 1 5 1- ( - ) 4
[简化思想]
例3.已知无穷等比数列{a n }中a n与 a n 后的各项的和之比为m,求实数m的取值范围.
解:设公比为q,
a n 后的项的是以a n+1为首项,q为公比的等比数列. (1) 0<|q|<1 0<|q|<1 an 由题意 = m ⇔ 1− q a n+1 = m (2) q 1− q 1 由(2) ⇒ (1 + m)q = 1 (m ≠ −1) ⇒ q = [变量分离] m +1 1 由(1) ⇒ 0< | | <1 ⇒ 1<|m+1| ∴ m ∈ (-∞,-2) U (0,+∞) m +1
例5.如图,质点由A0运动到A1 ,再运动到A2 ,L 依次无限进行下去,每到一个端点都逆时针转向90°, An+1An+2 1 A0 A1 =1,对任意n ∈ N,都有 = .问：该质点 An An+1 2 (1)运动总路程L为多少？ 总位移大小K又为多少？ (2)
解： 设a n =An-1An (1)
2
分析:易知各项的和 → a1和q的关系式 → ∠C
解:设∠C=θ ,各正方形按从大到小边长所成数列为{a n }, 易知∠AA1D=θ
a AD a - a1 ∴ a1 = ∴ = = tan θ 1+ tan θ A1D a1 D a n+1 1 如此可得 = =q(n ∈ N*) a n 1+ tan θ
AD a - a1 a ∴ = = tan θ ∴ a1 = 1+ tan θ A1D a1 D A1D1 a1 - a 2 = = tan θ 同理 A2 D1 a2 a2 1 B = a1 1+ tan θ
《数列的极限 》课件
在微积分中的应用
定积分与不定积分
定积分和不定积分是微积分的重要组成部分，它们的 计算和证明都涉及到数列极限的应用。例如，在计算 定积分时，需要用到极限来估计积分的误差；在证明 不定积分的性质时，也需要用到数列极限。
04
无穷小与无穷大
无穷小的性质
无穷小是极限为0的变量。
1
2
无穷小具有可交换性、可结合性、可分解性。
3
无穷小是相对于自变量变化的趋势，可以是x趋 向于无穷大或x趋向于某一常数。
无穷大的性质
无穷大是极限不存在的变量。
无穷大具有可交换性、可结合性、可分解性。
无穷大可以是正无穷大或负无穷大，取决于自变 量的变化趋势。
《数列的极限》PPT课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性 • 无穷小与无穷大 • 数列极限的应用
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当数列的项数n趋于 无穷大时，数列的项x_n趋于某一固 定值A的性质。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保号 性、局部不等式性质等。
级数理论
级数是微积分的一个重要分支，它与数列极限有着密切 的联系。通过数列极限，我们可以研究级数的收敛性和 求和问题，如利用比较审敛法、p-级数等。
在实际问题中的应用
金融数学
在金融数学中，许多问题涉及到数列极限的应用。例如，在研究资产价格的波动时，我们需要用到大数定律和中 心极限定理等数列极限的知识。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理表明，如果一个数列的项落在 不断缩小的闭区间内，则该数列收敛。
沪教版(上海)数学高二上册-7.7 数列极限的运算法则 课件 优质课件PPT
的事业波峰时，要给自己安排休整点。安排出一大段时间让自己隐退一下，即使是离开自己挚爱的工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激情
过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动
怕的是回避困难。大多数人通过别人对自己的印象和看法来看自己。获得别人对自己的反映很不错，尤其正面反馈。但是，仅凭别人的一面之辞，把自己的个人
1) 2
(2)设
lim
n
an2 4n2
bn 5n
1 1
1 b
,
求a b
3
lim（
n
1 n2 +1
+
2 n2 +1
+
3 n2 +1
+...+
n） n2 +1
(4) lim 1-2+3-4+...+(2n-1)-2n
n
n+1
课堂小结：
1、运用四则运算法则求数列极限时应注 意什么？ ⑴法则只能在极限存在的前提下使用； ⑵法则只能使用有限次； 2、你学会了哪些求数列极限的方法？
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。
中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都
激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励
严重束缚自己的。因此，只把这些溢美之词当作自己生活中的点缀。人生的棋局该由自己来摆。不要从别人身上找寻自己，应该经常自省。有时候我们不做一件
高等数学之数列的极限PPT课件
一、概念的引入 二、数列的概念 三、数列极限的定义 四、数列极限的性质
1
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
2
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A 2
R
正62n1形的面积 A n
A 1,A 2,A 3, ,A n,S
随着 n 的无限增大而无限趋于 0 .
4
二、数列的概念
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
（1）
称为实数列,简称数列.其中的每个数称为数列
的项, xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn }.
例如 2,4,8, ,2n, ;
{2 n }
12,14,18,,21n,;
则对一切 n,皆 自有 xn然 M 数 , 故 xn有.界
推论 无界数列必定发散.
13
例 数x列 n(1)n1.
事实 ,{xn}是 上有 ,但 界却 的 . 发散
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
14
3、保号性 定理3 若 ln imxn a, 且a >0( 或a <0)，则存在
证 设数 x n k 是 列数 x n 的 列 任一子
ln i m xna,
0 , N 0 , 使 n N 时 , 恒 x n a 有 . 取KN,
则k 当 K时 , n k n k n KN .
xnk a. k l i m xnk a.
证毕．
21
说明: 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 , 则原数列一定发散 . 例如，
7.7-2数列极限判断PPT
10
10 1 0
lim( 1 )n 0 n 10
lim|6(1)n6|0
n
10
lim[6(1)n]6
n
10
7.7-2数列极限判断PPT
7.7-2数列极限判断PPT
例3. 判断下列数列是否存在极限，若存在求出极限
n,n 5
(2)an
1 n
,n
6
存在极限，
lim
n
an
0
6
5
4
3
系列1
2
1
0
0
(2) lim q n 0 （q是常数且| q | < 1） n
(3) lim c c （c是常数） n
7.7-2数列极限判断PPT
一数列极限的定义当项数n无限增大时无穷数列无限趋近于某个常数a那么a是数列的极限记作lim回顾回顾存在极限存在极限极限不存在lim极限不存在存在极限存在极限lim判断有没有极限并说明理由
7.7-2 数列的极限
7.7-2数列极限判断PPT
回顾
一、数列极限的定义
当项数n无限增大时，无穷数列{ a n } 的项 a n
2
4
6
8
10
12
14
16
7.7-2数列极限判断PPT
数列
是否存 在极限
4n1 an n
存在
an (1)n 不存在
若存在极限
lim
n
a
n
4
an aA
1
n
lim
n
an
A
0
数列的极限是唯一的
an 2 1
an n (n 100)
存在 不存在
－2
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7.7数列的极限（第2课时）【教案】 教学目标：1．理解数列极限的概念，会求一些简单数列的极限. 2．观察运动和变化的过程，提高概括、抽象思维能力. 教学重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解. 教学难点：数列极限的定义的理解.教学过程：一、情景引入：复习回顾：什么是数列极限的定义？一般地，在n 无限增大的变化过程时，如果无穷数列{}n a 中的项na 无限趋近于某一个常数a ，那么a 叫做数列{}n a 的极限.二、概念形成：提问1：在定义中，如何理解“无限趋近于某一个常数a ”？ 提问2：用什么来体现这种无限趋近的过程呢？ 思考并讨论给出结论：用n a 和a 之间的距离的缩小过程，即 a a n - 趋近0现在以数列n na nn )1(-=为例说明这种过程观察：距离量化：nn a n n 10)1(0=--=-，随着n 的增大，n 1的值越来越小，不论给定怎样小的一个正数（记为ε），只要n 充分的大，都有n1比给定的正数小. 三、概念应用： 已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n ① 把这个数列的前5项在数轴上表示出来. ②写出n 1-n a 的解析式. ③⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n 中的第几项以后的所有项都满足10011<-n a ④指出数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n 的极限.四、课堂反馈例 判断下列命题的真假：（1）数列 ,2)1(1,,1,0,1,0n-+的极限是0和1． （2）数列 ,21)1(,,21,21,21,11132-+⋅---n n 的极限是0．（3）数列 ,1sin ,,31sin ,21sin ,1sin n 的极限不存在．（4）数列10000231,,31,31,1 的极限是0．分析：判断一个数列否存在极限，极限是多少，主要依据极限的定义，即数列的变化趋势．解：（1）一个数列的极限如果存在，它的极限是唯一的，不能是两个或更多个，是假命题．（2）随着n 无限增大，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅--+1121)1(n n 的项无限趋近于0，因此它的极限是0，是真命题．（3）随着n 无限增大，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的项无限趋近于0，因此数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1sin 无限趋近于0，是假命题．（4）有穷数列无极限，是假命题． 说明：（3）中容易认为极限不存在．（4）容易错误认为是真命题，尽管数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-131n 随着n 的增大而逐渐趋近于0，但由于数列只有10001项，是有穷数列，不存在极限．五、课堂小结1.如何理解极限定义中的“无限趋近”2.如何由定义来判断数列有无极限六、作业布置：课本P39页 练习7.2（2）第1、2、3、4题【情景资源】情景1：冬天，洁白的雪花飘落时十分漂亮。
为研究雪花的形状，1904年，瑞典数学家科克（Koch Heige Von ）把雪花理想化，得到了雪花曲线，也叫科克曲线。
它的形成过程如下：（i ）将正三角形（图①）的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；（ii ）将图②的每边三等分，重复上述作图方法，得到图③；（iii ）再按上述方法无限多次继续作下去，所得到的曲线就是雪花曲线。
【题目资源】【属性】高二（上），数列与数学归纳法，数列的极限，填空题，中，分析问题解决问题【题目】1已知()31133lim 1=+++∞→nn nn a ，则实数a 的取值范围是_________.【解答】()1311lim lim 13313()3n n n n n n a a +→∞→∞==++++, 由113a +<解得()4,2a ∈-【属性】高二（上），数列与数学归纳法，数列的极限，填空题，易，分析问题解决问题 【题目】2设0a b <<，则=-∞→nnnn b a b 4lim . 【解答】 －4【属性】高二（上），数列与数学归纳法，数列的极限，填空题，中，分析问题解决问题 【题目】3已知0a >, 则1133lim ++∞→+-n n nn n aa = ______.【解答】原式＝1,33lim 133,033n n n n n a a aa a a →∞⎧->⎪-⎪=⎨⋅+⋅⎪<<⎪⎩【属性】高二（上），数列与数学归纳法，数列的极限，填空题，易，分析问题解决问题【题目】4若0)1(lim =+∞→nn a ,则a 的取值范围是 .【解答】(2,0)-【属性】高二（上），数列与数学归纳法，数列的极限，填空题，中，分析问题解决问题【题目】5已知n n x )12(lim -∞→存在, 则122++x x 的取值范围 .【解答】因为n n x )12(lim -∞→存在，所以1211,x -<-≤即01,x <≤∴(]2211,4x x ++∈【属性】高二（上），数列与数学归纳法，数列的极限，填空题，易，分析问题解决问题【题目】6计算：1lim 33+∞→n C nn ＝ ．【解答】16【属性】高二（上），数列与数学归纳法，数列的极限，填空题，中，分析问题解决问题 【题目】7若1,n a ==则常数 .【解答】 2【属性】高二（上），数列与数学归纳法，数列的极限，填空题，中，分析问题解决问题 【题目】8若1)3321(lim -=+⋅-∞→n nnn x , 则x 的取值范围是 ______ .【解答】()3,3-【属性】高二（上），数列与数学归纳法，数列的极限，选择题，中，分析问题解决问题【题目】9下列数列中，极限存在的数列是 ( )(A) (1)10,1,0,1,,,2n -+ (B) 23,,,,,n ππππ(C)2482,,,,(),39273n (D)39273,,,,(),2482n【解答】 C【属性】高二（上），数列与数学归纳法，数列的极限，选择题，中，分析问题解决问题 【题目】10数列{}n a 中，22211200920092n n na n n n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪-⎩，则数列{}n a 的极限 ( ) (A)等于0 (B)等于1 (C)等于0或等于1 (D)不存在【解答】B【属性】高二（上），数列与数学归纳法，数列的极限，解答题，易，分析问题解决问题【属性】高二（上），数列与数学归纳法，数列的极限，选择题，中，分析问题解决问题 【题目】11若021lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→nn a a ，则a 的取值范围是（ ）A ．1=aB ．1-<a 或31>aC ．311<<-aD ．31-<a 或1>a【解答】由0lim =∞→n n a （a 为常数），知1<a ，所以由已知可得121<-aa，解这个不等式就可求得a 的取值范围．由021lim =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→nn a a ，得121<-a a ，所以a a 21<-，两边平方，得：224)1(a a <-， 0)1)(13(,01232>+->-+a a a a ，所以1-<a 或31>a ．选 B【题目】12已知数列{}n a 的通项公式为1nn a ⎛⎫=- ⎪，填写下表，并判断这个数列是否有极限.【解答】该数列有极限，极限为0【属性】高二（上），数列与数学归纳法，数列的极限，解答题，中，分析问题解决问题【题目】13已知数列{}n a 的通项公式为2n n a +=，填写下表，并判断这个数列是否有极限.【属性】高二（上），数列与数学归纳法，数列的极限，解答题，难，分析问题解决问题【题目】14已知161)2(44lim 2=+++∞→n n n n m ，求实数m 的取值范围．【解答】16142161lim )2(44lim 2=⎪⎭⎫⎝⎛++=++∞→+∞→nn n n nn m m 于是142<+m ，即26,424<<-<+<-m m ． 说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由16142161lim =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→n n m 可知，nm ⎪⎭⎫⎝⎛+42的极限必为0，而0→n q 的充要条件是1<q ，于是解不等式142<+m ．【属性】高二（上），数列与数学归纳法，数列的极限，解答题，难，数学探究与创新能力 【题目】15冬天，洁白的雪花飘落时十分漂亮。
为研究雪花的形状，1904年，瑞典数学家科克（Koch Heige Von ）把雪花理想化，得到了雪花曲线，也叫科克曲线。
它的形成过程如下：（i ）将正三角形（图①）的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；（ii ）将图②的每边三等分，重复上述作图方法，得到图③；（iii ）再按上述方法无限多次继续作下去，所得到的曲线就是雪花曲线。
将图①、图②、图③……中的图形依次记作M 1、M 2、…、M n …设M 1的边长为1。
求：（1）写出M n 的边数n a 、边长b n 、周长L n ； （2）求M n 的面积S n ；（3）观察上述求解的结果，数列}{},{n n S L 有怎样的特性？它们的极限是否存在？若存在，求出极限。
并归纳雪花曲线的特性。
【解答】（1）143-⋅=n n a ； 1)31(-=n n b ；143().3n n n n L a b -==⋅（2）当由1n M -生成n M2n 的小等边三角形，共有1-n a 个。
21121114144)()()99n n n nn n n n S S a b S ------∴=+=⋅=即114()9n n n S S---=由累加法可得1144[1()]9941619n n S S ---=-，又1S =，所以14).9n n S -=（3）}{},{n n S L 都是单调递增的数列； }{n L 极限不存在；}{n S 极限存在，.532lim =∞→n n S 雪花曲线的特性是周长无限增大而面积有限的图形。