例1 求100)21(lim x x +∞ →.(利用公式法) 解：11)]21(lim [)21(lim 100100100==+=+∞ →∞ →x x x x 例2 11 lim 22+++∞→x x x x .(利用n x x 1lim ∞→=0) 解：11 1111lim 11 lim 2 2 2 2=+++ =+++∞→∞→x x x x x x x x 例3 )11(lim 22--+∞ →x x x x .(分子有理化法) 解：1 12lim )11(lim 2 2 22-++=--+∞ →∞ →x x x x x x x x 11 12 11112lim 2 2=+= -++ =∞ →x x x 例4 求下列有限：（1）1312lim ++∞→n n n （2）1 lim 2-∞→n n n 分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用 解：（1）1112lim(2)lim 2lim 212lim lim 111313 3lim(3)lim3lim n n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞ →∞→∞→∞→∞→∞→∞++++====++++ （2）22211 lim lim lim 011 11lim(1) n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞===--- （二）先求和再求极限 例5 求下列极限： （1） )11 2171513(lim 2222+++++++++∞→n n n n n n ；（2）)3 9312421(lim 11--∞→++++++++n n n 解：（1） )1 1 2171513( lim 2 222+++++++++∞ →n n n n n n
数列极限的运算
数列极限的运算 第一篇：数列极限的运算 第十九教时 教材：数列极限的运算 目的：继续学习数列极限的运算，要求学生能熟练地解决具体问题。过程： 一、复习数列极限的运算法则 例 一、先求极限lim n2+n- 1n→∞ 2n 2-1，再用ε—N定义证明。2解：lim n+n-1 1+ 1-1 2n→∞ 2n2-1= lim=1n→∞ 2-12 n 任给ε>0,|n2+n-112n2n2-1--1 2|=2(2n2 -1)则 2n-12(2n2-1)<2n4n2-2<2n2n =1 n(Θ当n>1时,n2>1,2n2>2,∴4n2-2>2n2) 令1 n <εn>
ε 取N=[ε ] n>N时,| n+n-1n2 当+n-12n2 -1-1 |<ε恒成立∴lim n→∞ 2n2 -1 =1 二、先求和，后求极限： 例 二、求极限 1．lim(1473n- 2)n→∞ n2+n2+n2+ΛΛ+n2 解：原式=limn(3n-1)= 1（指出：原式=0+0+0+……+0=0 是错误的）n→∞2n2 22．lim 1⋅2+2⋅3+ΛΛ+n(n+1) n→∞ n(n2 -3) n(n+1)(2n+1)+ n(n+1) 解：原式=lim 2n3+6n2+4n1n→∞
n(n2-3)=limn→∞ 6(n 3-3n)=3 3．lim[(1+1)(1+11+11 n→∞222)(24)ΛΛ(1+2 2n-1)] 11(1+解：Θ1+ 2n-1)1-(1 22n-1 = 2n-1)(1-1=2 n-1)2 1-=2n 1-12 2n-1 1- 2n-1 1- n-11- 11-1111∴原式=lim[ 2⨯221-231-2n1-⨯⨯ΛΛ⨯]=2n n→∞ 1-12 1-111=2 n→∞1221-2221-2 2n-11- 24．已知数列{an}中a1 n= n(n+1)(n+2)，求limSn n→∞ 解：Θ 1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)-1(n+1)(n+2)
7.7《数列的极限》教案(沪教版高二上)
7.7（1）数列的极限 一、教课内容剖析 极限看法是微积分中最重要和最基本的看法之一，因为微积分中其余重要的基本看法（如导数、微分、积分等）都是用极限看法来表述的，并且它们的运算和性质也要用极限的运算 和性质来推导，同时数列极限的掌握也有益于函数极限的学习，因此，极限看法的掌握至关 重要 . 二、教课目的设计 1．理解数列极限的看法，能初步依据数列极限的定义确立一些简单数列的极限. 2．察看运动和变化的过程，初步认识有限与无穷、近似与精准、量变与质变 的辩证关系，提升的数学归纳能力、抽象思想能力和审美能力. 3．利用刘徽的割圆术说明极限，浸透爱国主义教育，加强民族骄傲感和数学学习的兴趣 . 三、教课要点及难点 要点：数列极限的看法以及简单数列的极限的求解. 难点：数列极限的定义的理解. 四、教课器具准备 电脑课件和实物展现台，经过电脑的动画演示来激发兴趣、引起 思虑、化解难点，即对极限制义的理解，使学生初步的达成由有限到无穷的过渡，运用实物 展现台来表现学生的作业，指出学生讲堂练习中的长处和不足之处，实时反应. 五、教课流程设计 实例引入 看法 几何 符号数列的极限理解
运用与深入 (例题分析、稳固练习) 讲堂小结并部署作业 六、教课过程设计 一、情形引入 1、创建情境，引出课题 1.察看 教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不断. ”哪位同学能解说一下此话 意思？ 学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，次日取第一天剩下的一半，，这样继续下去，永久也没法取完. 2.思虑 教师：假如把每日获得的木棒长度摆列起来，会获得一组如何的数？ 1111 , 学生：,,,,n 2482 3．谈论 教师；跟着 n 的增大，数列a n的项会如何变化？ 学生：慢慢凑近0. 教师：这就是我们今日要学习的数列的极限---- 引出课题 二、学习新课 2、察看归纳，形成看法 （ 1）直观认识 教师：请同学们观察以下几个数列的变化趋向 （a）1 , 1 2, 1 3, , 1 n, 10 10 1010 ①“项”随 n 的增大而减小②但都大于 0 ③当 n 无穷增大时，相应的项1n能够“无穷趋近于”常数 0 10
沪教版上海数学高二上册7.7数列的极限教案
课题: 7.7 数列的极限（1） 一、教学内容及学情分析 《数列的极限》为沪教版第七章第七节第一课时内容，是一节概念课。极限概念是数学中最重要和最基本的概念之一，因为极限理论是微积分学中的基础理论，它的产生建立了有限与无限、常量与变量之间的桥梁。本节后续内容如：数列极限的运算法则、无穷等比数列各项和的求解也要用到数列极限的运算与性质来推导，所以极限概念的掌握至关重要。通过第七章前半部分的学习，学生已经掌握了数列的有关概念，以及研究一些特殊数列的方法。但对于学生来说，数列极限是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡的阶段，学生在理解“极限”、“无限趋近”时可能产生偏差，比如认为极限代表着一种无法逾越的程度，或是近似值。这与数学中“极限”的含义相差甚远。在学习数列极限之前，又曾多次利用“无限趋近”描述反比例函数、指数函数、对数函数的图像特征，这又与数列中“无限趋近”的含义有所差异，学生往往会因为常数列能达到某一个常数而否定常数列存在极限的事实。极限这一概念，古已有之，本教案尝试将历史上的一些相关内容融入到课堂中，引导学生经历探求极限的几个阶段，形成对数列极限的正确认识。 二、教学目标及重难点: 教学目标： 1、理解极限的概念，能初步利用极限意义确定某些简单的数列极限； 2、通过设置问题情境、数列变化趋势的分析，理解数列极限的定义，学会数学语言的表述，培养学生观察、分析、概括的能力，体会在探索问题中由静态到动态、由有限到无限的辨证观点和“从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊”的认识过程。 3、了解极限理论在数学史上的地位与价值，激发学生的民族自尊心和爱国主 义思想情感，提高学生的学习积极性，优化学生的思维品质。 教学重点: 数列极限的概念；会由数列的通项公式来考察数列的极限 教学难点: 从变化趋势的角度, 来正确理解数列极限的概念 三、教学过程设计 （一）巧设疑点，引发思考 问题：我们知道：9.0 1； 99.0 1； 999.0 1； −−−→←9 100999999.0个 1； −−→←9 999999.0个n 1； 那么：• 9.0 1？
理科数学第一轮复习极限含教案和课件数列的极限
5 数列的极限 1•数列极限的定义：一般地，如果当项数 n 无限增大时，无穷数 列｛%｝的项a n 无限地趋近于某个常数a （即E — a|无限地接近于0）, 那么就说数列｛a n ｝以a 为极限. 注：a 不一定是｛ a n ｝中的项. 2•几个常用的极限：①lim C=C （C 为常数）；②lim 1 =0；③lim q n =0 n ^^ n n _^3C （|q|v 1）. 3•数列极限的四则运算法则：设数列｛ a n ｝、｛b n ｝. lim (a n • b n ) =a • b; lim 空=空(b z 0) n f n 》：：b n b •点击双基 1 •下列极限正确的个数是 ④lim C=C （ C 为常数） n — B.3 D.都不正确 答案:B 2. lim [n (1 — 1) (1 —丄)(1 —丄)•••( 1—丄门等于 n r ： 3 4 5 n 2 A.0 B.1 C.2 D.3 当 lim a n =a, n ? lim b n =b 时, n _, ‘ lim n j ：: (a n 士 b n ) =a ± b; ①n im ：*=°(a >°) ② lim q n =0 n _^C 1 2n -3n ③ lim — n = — 1 2 n +3n A.2 C.4 解析:①③④正确. )] 解析: （1- 寸）
= lim [n x 2 X 3 X 4 X …X n r 「 3 4 5 _ 2n _c =lim =2. n r ： n 2 答案:C •典例剖析 lim n 2 ■ n — lim _n= 乂一乂 =0；②原式=lim. .. n 2，n — lim_n=— 不存在. 【例 1】 求下列极限： (1) 2n 2 n 7 lim 2 ； (2) lim ( , 1 n _):: 5n 2 7 n :. (3) lim 2 + 4 + …+ 2 2 2 n ). n _： i ：: n n n 剖析: :(1) 因为分子分 母 都无极 限, 故不能直接运用商的极限运 算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（2）因、.n 2 n n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则 只适用于有限个数列，需先求和再求极限 解：（1） 1 7 2 2 ..2n n 7 n n 2 = 2 lim 2 = lim —— n — 5 n 7 n 7 5 5 +p (2) lim ( . n 2 n — n ) = lim — n 1 1 ------------- =lim =_ n 2 - n n --- 1 . 1 . 1 2 \ n (3)原式=lim 2 4 6 2 --------------- = lim n (n 2 1)= lim ( 1+- ) =1. n ^^ n n n 2 、 , lim (2n +n + 7)旳 评述:对于(1)要避免下面两种错误：①原式=n "： 2 = =1, lim (5n 2+7) 旳 n y-'： ②T (2n 2+n+7) , (5n 2+7)不存在，原式无极限.对于(2) n 2 要避免出现下面两种错误: ① lim (、n 2 n — n ) n — JpC n 2 n — n )；
高中数学 第二章 数列 数列极限教学设计 新人教A版必修5(2021年整理)
数列极限 “数列极限"这节内容为一课时（45分钟），在课堂上很圆满地完成本节课的教学任务。对本节课的教学我从如下的五个方面进行说明: 一、教材分析 1．教材的地位和作用 （1)在数学中的地位和作用 众所周知，对数列极限这个概念的理解是学习导数所必备的知识.另外,极限也是从初等数学的思维方式到高等数学的思维方式的质的转变,在重点考察思维方法的高考命题中是最好的命题素材之一. （2）在全章中的地位和作用 《数列的极限》安排在高中数学第三册(选修2）第二章、第二节，是数列极限的起始课.这部分内容在课本第73页至76页。是全章内容的起点，重点 . 2．本节内容的课标要求 从数列的变化趋势来理解极限的概念;能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；体会极限思想. 3．教学重点、难点、关键的确定 教学重点：数列极限的概念 教学难点：如何从变化趋势的角度, 来正确理解数列极限的概念 教学关键:教学中启发学生在分析问题时抓住问题的本质(即定义） 确立依据:这样确定重难点及教学关键，主要是基于课标要求和对本节课全面分析。 二、教学目标分析 根据我对教材的分析以及对新课程的教学理念的认识，确定教学目标如下： (1）知识目标：使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；(2）能力目标:
1、通过设置问题情境、数列变化趋势的分析,使学生理解数列极限的定义,学会数学语言的表述，培养学生观察、分析、概括的能力. 2、通过分层练习，使学生的基础知识得到进一步的巩固，进而学会数列极限的分析方法，体会在探索问题中由静态到动态、由有限到无限的辨证观点和“从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊”的认识过程. （3）情感态度与价值观目标： 1、通过介绍我国古代思想家庄周和数学家刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感。 2、通过介绍生活中的极限运动和极限精神，激发提高学生的学习积极性，优化学生的思维品质。 确立依据:基于对教材、教学大纲和教学内容的分析，制定相应的教学目标。数学教学的最终目的是通过思想方法的渗透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力上得到发展． 三、教学问题诊断 1、对学习者特征分析 本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解和高三学生学习表现而做出的。 (1）从学生的认知角度看：学生很容易把本节内容与立体几何中球体表面积和体积公式的推导和生活中的趋向性事例进行类比，这是认知的有利因素．认知的不利因素：学生第一次接触数列极限，容易与数列混淆；对于一些摆动数列学生判断有一定困难. (2）学情分析：教学对象是青海油田高三理科的学生。多数学生重视数学的学习,但欠缺学习方法；不善于自己探究，习惯于教师的讲授；许多学生不善分析，欠缺合作意识。另外数学语言表达、文字表达能力都存在一定问题。有利的因素是学生面临高考，比较自觉，有比较强的学习欲望。 2、学法指导： ①、自主学习:学生自己通过预习,了解所学知识
2021年高三数学 第77课时 数列的极限教案
2021年高三数学 第77课时 数列的极限教案 教学目标：理解数列极限的概念，掌握数列极限的运算法则；会通过恒等变形，依据数列极限的运算法则，依据极限为的几种形式，求数列的极根.会求公比绝对值小于的无穷等比数列各项的和. （一） 主要知识及主要方法： 数列极限的定义： 一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于．．．．． 某个常数 （即无限地接近于），那么就说数列以为极限.记作. 注：不一定是中的项 几个重要极限：（，为常数）； （是常数）； ； 1,lim 0,1,n n n n n a b a b a b a b a b →∞⎧>-⎪ ==⎨+⎪-<⎩ 极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数； 指数型(和型），通过变形（如通分，约分）使得各式有极限； 根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限； 数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似, 如果，，那么 . 特别地，如果是常数，那么，()lim lim n n n n c a c a ca →∞ →∞ ⋅=⋅= 无穷等比数列的各项和：公比的绝对值小于的无穷等比数列前项的和当无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做； （二）典例分析： 问题1．求下列数列的极限：； ； ()1111 1lim 139273n n n -→∞⎡⎤-++⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦
问题2．（陕西） n 等于（天津）设等差数列的公差是，前项的和为，则 （湖北）已知和是两个不相等的正整数，且≥，则 1 11 lim 1 11 p q n n n ∞ ⎛⎫ +- ⎪ ⎝⎭= ⎛⎫ +- ⎪ ⎝⎭ → 问题3．若，求和的值； 若，求的取值范围. 问题4．已知数列满足，，，…， 若，则 已知，数列满足，（，…），且数列的极限存在，则（结果用表示）.
14.2数列极限教案二
课题： 14.1 数列极限的定义（二） 学习目的 使学生初步理解数列极限概念；并能用极限的“ε—N ”定义验证一些简单数列的极限． 学习重点和难点 正确理解极限概念中“无限趋近”的含义和数列极限的“ε—N ”的定义． 教学过程 一、引入 1．考察下面的两个数列： 1111,,,,,23 n ， 1371,,,1,2482n 并把这两个数列中的前若干项在数轴上表示出来，然后观察并指出数列①、②的变化趋势： 2．小结： (1) 数列①与数列②的变化趋势的共同特点是：当项数n 无限增大时，通项n a 无限趋近 于一个常数A ． (2) 给出数列极限的描述性定义： 对于无穷数列{n a }，如果存在常数A ，当项数无限增大时，通项n a 的值无限趋近于常数A ， 则常数A 叫做数列{n a }的极限． 3．两点注意： (1)根据上面的分析，对于有穷数列当然不会发生项数无限增大的问题，因此数列极限指的 是无穷数列的极限． (2)“无限趋近”的含义需要进一步精确化． 二、新课 1．数列极限的描述性定义的进一步精确化：着重分析“无限趋近”的含义．
“趋近”与“无限趋近”的含义是不同的。例如数列1n ⎧⎫ ⎨⎬⎩⎭ 的项趋近于-1，即随着项数的无限增大，1n 与-1的距离越来越小，但-1不是数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的极限，因为数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 项不是无限趋近于-1而是0。数列112n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 同样如此，趋近于2，但2不是它的极限，因为不是无限地趋近于2，而是无限地趋近于1，故1是它的极限。 定量描述：上面的结论还可以这样表达：随着项数n 的无限增大，n a A -可以逐渐地变小，即对预先指定的任意小的正数ε，从数列{}n a 的某项之后的所有项总能使n a A -＜ε恒成立。例如从数列1n ⎧⎫ ⎨⎬⎩⎭的某项之后的所有项总能使10n -＜ε恒成立，当ε=0.0025时，1n 〈0.0025,n>400,即第400项之后各项:401402,403,a a a ,…不等式4010a -<0.0025, 4020a -<0.0025, 4030a -<0.0025,…都成立。对数列112n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 也有类似情况。（ε具有绝对的任意性．）在数列极限的描述中，我们也可以用n a A -的值无限趋近于0来描述n a 无限趋近于A 。
人教版高中数学(文科)选修数列的极限2
数列的极限 极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认识数学世界解决数学问题的重要武器，下边将从四个方面来阐述对这节课的理解和设计。 1．教材分析： 众所周知，高等数学这个庞大的学科体系得以建立的基础和基石是极限，而数列的极限是极限知识结构体系中最为简单的部分，然而由于ε－N定义的高度抽象性和深刻性使这部分内容对成人大专班的学生而言学习起来是比较困难的。 我们把对数列极限的要求定为：理解数列极限的概念。 2．教学目标： 2．1知识目标： ⑴理解数列极限的概念。 ⑵会用数列极限的概念确定某些简单数列的极限。 2．2能力目标： ⑴培养学生的思维能力，充分挖掘学生思维的批判性和深刻性，以及潜在的发现能力和创造能力。 ⑵培养学生用图形计算器作出数列图像数形结合的能力。 2．3德育目标： ⑴通过介绍庄子的哲学命题和X徽的巨大数学成就，激发学生的民族自信心和爱国主义思想情感，同时培养学生的数学 ⑵本节内容是培养学生辩证唯物主义世界观的不可多得的、极佳的教材。通过数列极限概念的教学，来揭示数学世界中的辩证关系，引导学生从有限中认识无限、从近似中认识精确、从量变中认识质变。 2．4重点和难点： 由于数列极限概念的形成和构建过程是本节知识的支撑点，是ε－N定义及后续知识的出发点，故数列极限概念的探求和构建是教学的重点。又由于ε－N定义的高度抽象性和深刻性已构成了学生掌握知识和形成能力的障碍，故数列极限的ε－N定义是教学的难点。 3．教学方法和教学手段： 3．1教学手段： 本次课最好能充分发挥计算机直观、形象的动态功能来展示庄子的哲学命题和X徽的割
圆术，以激发学生的学习热情并为数列极限概念的教学奠定直观、形象的认知基础；同时要用图形计算器对数列进行计算、列表和作图，通过数形结合以减轻学生负担，突出重点和突破难点。 3．2教学方法： 采用启发式探索发现法和启发式讲解法。创设富有启发的学习情境，循循善诱充分调动学生学习的积极性，使学生经历并体验概念的发生和发展过程。 3．3学法指导： 教师的教学活动不仅要使学生学会，更重要的是使学生会学。因此教师通过学生动手实践、观察、分析、比较、抽象和概括，促使学生对极限概念表述的严格性作出探索，从而把传授知识和培养能力融为一体，完成数列极限概念的构建。 4．教学过程： 4．1概念的探索： 4．1．1创设情境以旧引新。 教学必须由浅入深、由表及里、逐渐深化，教学的导入必须前后边贯以旧引新，从旧知识中寻找新知识的生长点，造成一种合乎逻辑的认知突破。 求出以下无穷数列的一个通项公式，并考察当项数n 无限增大时，项的变化趋势。简要作出数列的图像。 ⑴2，4，6，8，10，… ⑵ ⑶ ⑷ ⑸－1，1，－1，1，－1，… 通过讨论得出数列⑵、⑶、⑷的共同特征：即随着项数n 的无限增大，数列中的项a n 无限的趋近于一个常数A 。并向学生指出：我们把具有这种特征的数列称为有极限的数列，常数A 称为该数列的极限。这样就得出了数列极限的描述性定义。 4．1．2演示庄子的哲学命题和X 徽的割圆术。 演示战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》中引用过的一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。〞让学生观察思考得出结论：木棍的长度构成的数列，其极限为0。 演示三国时的X 徽提出的所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，那么 ,......,,,,15 1413121,... ,,,,151413121-----,...,,,,151413121--
