基本不等式
基本不等式
、柯西不等式等。
优化问题
02
在优化问题中，幂平均不等式可以用于寻找最优解或确定最优
解的范围。
统计学应用
03
在统计学中，幂平均不等式可以用于分析数据的分布和离散程
度。
24
06
排序原理与切比雪夫（ Chebyshev）不等式
2024/1/26
25
排序原理简介
2024/1/26
01
排序原理是一种基本的数学原理，用于比较和排列一组数的大 小。
2024/1/26
因式分解法
将一元二次不等式因式分解，然后利用不等式的性质进行求解。
14
一元二次不等式组解法
2024/1/26
分别求解法
分别求出每个不等式的解集，然 后取它们的交集作为不等式组的 解集。
图像法
在同一坐标系中画出每个不等式 的图像，然后找出满足所有不等 式的区域作为不等式组的解集。
15
17
算术平均值-几何平均值（AM-GM）不等式
对于所有非负实数 $a_1, a_2, ldots, a_n$，有
$frac{a_1 + a_2 + cdots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$当且仅当 $a_1 = a_2 = ldots = a_n$ 时取等号。
2024/1/26
加权平均值不等式是AM-GM不等式的推广，具有更广泛的应用范围。
19
柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式
对于任意实数 $a_1, a_2, ldots, a_n$ 和 $b_1, b_2, ldots, b_n$，有
2024/1/26
$(a_1^2 + a_2^2 + cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + cdots + b_n^2) geq (a_1b_1 + a_2b_2 + cdots + a_nb_n)^2$当且仅当 $a_i = kb_i (i = 1, 2, ldots, n)$ 时取等号，其中 $k$ 为常数。
基本不等式
第三节 基本不等式
目
录
1
高考引航
2
必备知识
3
关键能力
高考引航
必备知识
知识清单
一 基本不等式 ≤
+
2
(1)基本不等式成立的条件:
a>0,b>0
(2)等号成立的条件:当且仅当ຫໍສະໝຸດ a=b..
二 几个重要的不等式
(1)a2+b2≥
(2) + ≥
(3)ab≤
(4)
2ab
2
(a,b∈R);
通道,如图.设矩形温室的室内长为 x(单位:m),三块种植植物的矩形区域的总面积为
S(单位:m2).
(1)求 S 关于 x 的函数关系式;
(2)求 S 的最大值.
解析
【解析】(1)由题设,得 S=(x-8)
900
7200
-2 =-2x-
+916,x∈(8,450).
(2)因为 8<x<450,
时,等号成立.
答案
解析
关键能力
题型归纳
题型一
利用基本不等式求最值
1
1
【例 1】(1)已知 a,b∈R,且 a-3b+6=0,则 2a+8 的最小值为 4
(2)(2020 届南昌市模拟)已知函数 y=x+
-2
的值为
4
.
(x>2)的最小值为 6,则正数 m
.
(3)(2020 届安徽天长模拟)已知正数 a、b 满足 a2+b2=6,则 b 2 + 4的最
大值为
5
.
基本不等式完整版
基本不等式完整版一、知识点总结1.基本不等式原始形式：若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$。
2.基本不等式一般形式（均值不等式）：若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。
3.基本不等式的两个重要变形：1）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
2）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5.常用结论：1）若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）。
2）若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）。
3）若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。
4）若 $a,b>0$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。
5）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6.柯西不等式：1）若 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$。
基本不等式知识点
基本不等式知识点基本不等式是数学中的重要概念，它可以帮助我们判断数值大小关系，是各种不等式的基础。
在本文中，我们将介绍基本不等式的相关知识点，包括基本不等式的定义、证明方法、应用以及一些例题分析等方面。
1. 基本不等式的定义基本不等式也称为“平均数不等式”，它是数学中一个基本但又重要的不等式。
对于任意的正数 a1、a2、…、an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 * a2 * … * an)1/n其中n表示正整数。
基本不等式描述了一组数的算术平均数和它们的几何平均数之间的关系。
可以看出，算术平均数大于等于几何平均数，且当且仅当所有数相等时等号成立。
2. 基本不等式的证明方法基本不等式的证明方法有很多种，下面列举一种简单易懂的证明方法。
首先，对于所有正数x，y，由均值不等式可得：(x + y) / 2 ≥ √(xy)⇒ x + y ≥ 2√(xy)接着，考虑一个序列a1，a2，……，an，它们的乘积为p。
对于每一对(aj，ak)，有：aj + ak ≥ 2√(ajak)即：a1 + a2 ≥ 2√(a1a2)a1 + a2 + a3 ≥ 3√(a1a2a3)a1 + a2 + … + an ≥ n√(a1a2…an)我们可以将上述不等式相乘，得到：(a1 + a2) * (a3 + a4) * … * (an-1 + an) ≥ 2n/2* √(a1a2) * 2n/2 * √(a3a4) * … * 2n/2 * √(an-1an) 即：(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 * a2 * … * an)1/n故基本不等式得证。
3. 基本不等式的应用基本不等式在数学中应用广泛，以下列举几个经典的例子。
（1）一种常见的问题是，给定一个定值的周长，什么形状的图形可以使面积最大。
答案是正方形，因为在所有形状中，正方形的面积和周长之比最大，这个比值为4π。
17种基本不等式
6
指数不等式
ax≥ay（a>0,a =1）
指数函数单调性，注意底数的取值范围
7
一次不等式
ax+b≥c
一次函数，斜率决定单调性
8
二次不等式
ax2+bx+c≥0
二次函数，根据判别式判断解集
9பைடு நூலகம்
均值不等式
2a+b ≥ab （a>0,b>0）
均值不小于几何均值
10
柯西不等式
(∑i=1n ai2 )(∑i=1n bi2 )≥(∑i=1n ai bi )2
多元变量的不等式关系
11
切比雪夫不等式
n1 ∑i=1n ai bi ≥(n1 ∑i=1n ai )(n1 ∑i=1n bi )（ai ,bi 同号）
适用于序列的加权平均与算术平均比较
12
伯努利不等式
(1+x)n≥1+nx（n≥1,x>−1）
幂函数与线性函数的比较
13
排序不等式
乱序和 ≤ 反序和 ≤ 同序和
17种基本不等式
序号
不等式名称
表达式
备注
1
绝对值不等式
$
a
2
平方不等式
a2≥b2
平方后非负，常用于消去根号或处理二次项
3
平方根不等式
a ≥b （a≥0,b≥0）
平方根函数单调递增
4
分数不等式
ba ≥dc （b>0,d>0）
分数比较时，注意分母的正负
5
对数不等式
loga x≥loga y（a>0,a =1）
适用于已排序的序列
基本不等式
基本不等式基本不等式是数学中一个重要的概念。
其中，重要不等式指的是a²＋b²≥2ab，当且仅当a=b时等号成立。
而基本不等式则是指a＋b≥2√(ab)，当且仅当a=b时等号成立。
此外，还有一条基本不等式是任意两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
在利用基本不等式求函数的最大值、最小值时，需要注意函数式中各项必须都是正数，含变数的各项的积或者必须是常数，等号成立条件必须存在。
举例来说，如果0<a<b且a＋b＝1，则a²＋b²＞2ab，a＋b≥2√(ab)，2ab＜2(1/2-a)²，a²＋b²＞(1/2-a)²＋(1/2-b)²，因此b 最大。
又如，如果a、b、c都是正数，则(a＋b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9，即a/b+b/a+b/c+c/b+c/a+a/c≥6，证明过程中利用了基本不等式。
例3、已知$a,b,c$为不等正实数，且$abc=1$。
求证：$a+b+c<\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$。
证明：根据柯西不等式，$(1+1+1)(a+b+c)\geq(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$，即$3(a+b+c)\geq(a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca})$。
因为$abc=1$，所以$2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}=2\sqrt{abc}(1/\sqrt{a}+1/\sqrt {b}+1/\sqrt{c})\leq3\sqrt[3]{abc}\cdot3=9$。
所以$3(a+b+c)\geq(a+b+c+9)$，即$2(a+b+c)\geq9$，即$a+b+c\geq\frac{9}{2}$。
又因为$a,b,c$不全相等，所以$a+b+c>\frac{9}{2}$。
4个基本不等式
4个基本不等式不等式是数学中的一种重要概念，用于描述数值之间的相对大小关系。
在数学中，我们常常会遇到各种各样的不等式，其中最基本的有四个，被称为”四个基本不等式”。
这四个基本不等式分别是：加法不等式、减法不等式、乘法不等式和除法不等式。
在本文中，我们将详细介绍这四个基本不等式及其应用。
1. 加法不等式加法不等式是最简单也是最容易理解的一种不等式。
它用于描述两个数相加后与另一个数的大小关系。
加法不等式的性质：•如果 a > b，则 a + c > b + c （对任意实数 c 成立）•如果 a > b 且 c > d，则 a + c > b + d加法不等式的应用：加法不等式常常被用于解决实际问题。
例如，假设小明去商场购买商品，他手上有100 元钱，并且他想要买一件价格为 x 元的商品。
如果 x 小于或者等于 100 元，则小明能够购买这件商品；反之，如果 x 大于 100 元，则小明将无法购买该商品。
2. 减法不等式减法不等式是加法不等式的一种推广，它用于描述两个数相减后与另一个数的大小关系。
减法不等式的性质：•如果 a > b，则 a - c > b - c （对任意实数 c 成立）•如果 a > b 且 c > d，则 a - c > b - d减法不等式的应用：减法不等式同样常常被用于解决实际问题。
例如，假设小明和小红参加了一次数学竞赛，他们分别得到了 x 分和 y 分。
如果小明得分比小红多 10 分以上，则可以说小明在这次竞赛中获胜；反之，如果小明得分比小红少于或者等于 10 分，则可以说小红在这次竞赛中获胜。
3. 乘法不等式乘法不等式是描述两个数相乘后与另一个数的大小关系的一种不等式。
乘法不等式的性质：•如果 a > b 且 c > 0，则 ac > bc•如果 a > b 且 c < 0，则 ac < bc （注意：当乘以一个负数时，不等号方向会发生改变）乘法不等式的应用：乘法不等式同样经常被应用于解决实际问题。
基本不等式6个公式
基本不等式6个公式
基本不等式是初中数学中常见的一类不等式，包括以下6个公式：
1. 两个非负实数的平均数大于等于它们的几何平均数：(a+b)/2≥√ab
这个公式表明，对于两个非负实数a和b，它们的平均数不会小于它们的几何平均数。
2. 两个非负实数的平方和大于等于它们的算术平均数的平方：a²+b²≥(a+b)²/4
这个公式表明，对于两个非负实数a和b，它们的平方和不会小于它们的算术平均数的平方。
3. 两个正实数的积大于等于它们的几何平均数的平方：ab≥(a+b)²/4
这个公式表明，对于两个正实数a和b，它们的积不会小于它们的几何平均数的平方。
4. 两个正实数的积大于等于它们的调和平均数的平方：ab≥4/(1/a+1/b)²
这个公式表明，对于两个正实数a和b，它们的积不会小于它们的调和平均数的
平方。
5. n个正实数的算术平均数大于等于它们的几何平均数：(a1+a2+...+an)/n≥√(a1a2...an)
这个公式表明，对于n个正实数a1、a2、...、an，它们的算术平均数不会小于它们的几何平均数。
6. n个正实数的调和平均数大于等于它们的算术平均数：n/(1/a1+1/a2+...+1/an)≥(a1+a2+...+an)/n
这个公式表明，对于n个正实数a1、a2、...、an，它们的调和平均数不会小于它们的算术平均数。
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基本不等式2
b
a a
b +≤
（一） 学习目标：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并
掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件.
学习重点：基本不等式的证明，正确运用基本不等式.
你看到市场买鸡蛋，商贩用不等臂天平秤称量，先把鸡蛋放在左盘，砝码放
在右盘，砝码质量为x ，然后把鸡蛋放在右盘，砝码放在左盘，此时，砝码质量为y ，最后商贩告诉你，鸡蛋质量为
2
y
x +，并让你付钱，请问你觉得公平吗？ 学习任务：阅读课本第97页至第100页，完成下列问题: 1.对于基本不等式2
b
a a
b +≤
，你用能什么方法证明？ 2.比较不等式ab b a 22
2≥+与2
b a ab +≤
，它们有什么关系？有什么区别？它们适用范围和等号成立的条件各是什么？
3.基本不等式2
b
a a
b +≤
有何结构特点？利用这个结构可以解决什么问题？应用时应注意什么？ 4.精读课本P 97例1，思考：0,0>>y x
（1）如果y x ⋅是定值P ，和y x +有最值吗？若有，是多少？何时取得最值？
（2）如果y x +是定值S ，积y x ⋅有最值吗？若有，是多少？何时取得最值？
5.动手做例2.
6.证明：0,0>>y x
（1）
2≥+x y y x （2）21
≥+x
x （3）（y x +）（2
2
y x +）（3
3
y x +）≥83
3y x
必做题：
P 100练习2、3、4基本不等式2
b
a a
b +≤
（二） 学习目标：会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问
题.
学习重点：会恰当地运用基本不等式求数学问题中的最值.
学习任务：
1．（1）若0>x ，求x x x f 312
)(+=
的最小值. （2）若0<x ，求x x x f 312
)(+=的最大值.
（3）若0≠x ，求|312
|)(x x x f +=的最小值.
2．（1）已知31
0<<x ，求函数)31(x x y -=的最大值.
（2）已知45<x ，求函数5
415
4-+=x x y 的最大值. 3．（1）已知：0,0>>y x ，且
19
1=+y
x ，求y x +的最小值. （2）已知：0,0>>y x ，且082=-+xy y x ，求y x +的最小值.
（3）已知：1->x ，求1
3
32+++=x x x y 的最小值.
4. 学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格买大米，每次购进大米需支付
运输劳务费100元. 已知食堂每天需要大米1吨，储存大米的费用为每吨每天2元，假如食堂每次均在用完大米的当天购买，问食堂多少天购买一次大米能使平均每天所支付的费用最少？
5. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y （千辆/
时）与汽车的平均速度V （千米/时）之间的函数关系为y =
1600
39202
++V V V
（V > 0）. （1）在该段时间内，当汽车的平均速度V 为多少时，车流量最大？最大车流
量是多少？
（精确到0.1千辆/时）.
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
必做题
P100A组3.4 B组1.2。