余弦定理的证明 向量法
余弦定理(一)
余弦定理(一)[学习目标] 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.知识点一余弦定理及其证明1.余弦定理的表示及其推论2.余弦定理的证明(1)课本上采用的证明方法：如图，设a＝CB→，b＝CA→，c＝BA→，则c＝b－a，∴|c|2＝c·c＝(b－a)2＝a2－2a·b＋b2＝a2－2ab cos C＋b2，∴c2＝a2＋b2－2ab cos C.(2)利用坐标法证明如图，建立直角坐标系，则A(0,0)、B(c cos A，c sin A)、C(b,0)(写出三点的坐标).∴a ＝BC ＝(c cos A －b )2＋(c sin A －0)2 ＝c 2－2bc cos A ＋b 2， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .思考1 在△ABC 中，若a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则A ＝ . 答案2π3解析 由题意知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.思考2 勾股定理和余弦定理的联系与区别？答案 二者都反映了三角形三边之间的平方关系，其中余弦定理反映了任一三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例. 知识点二 用余弦定理解三角形的问题 利用余弦定理可以解决以下两类问题： (1)已知两边及夹角解三角形； (2)已知三边解三角形.思考 已知三角形的两边及一边的对角解三角形，有几种方法？ 答案 不妨设已知a 、b 、A ，方法一 由正弦定理a sin A ＝bsin B 可求得sin B ，进而得B ，角C ，最后得边c .方法二 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得边c ，而后由余弦或正弦定理求得B 、C .题型一 已知两边及夹角解三角形例1 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求角A ，B 和边c 的值(cos 15°＝6＋24，sin 15°＝6－24). 解 由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－2×2×22×6＋24＝8－43，∴c ＝8－43＝(6－2)2＝6－ 2. 由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝a sin 15°c＝2×6－246－2＝12， ∵b >a ，∴B >A ，∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝135°， ∴c ＝6－2，A ＝30°，B ＝135°.跟踪训练1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c 等于( ) A.4 B.15 C.3 D.17 答案 D解析 由三角形内角和定理可知cos C ＝－cos(A ＋B )＝－13，又由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×(－13)＝17，所以c ＝17.题型二 已知三边(或三边的关系)例2 在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求A 、B 、C . 解 根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝(6＋23)2＋(43)2－(26)22(6＋23)(43)＝32.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(26)2＋(6＋23)2－(43)22×26×(6＋23)＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.∴B ＝π－A －C ＝π－π6－π4＝712π，∴A ＝π6，B ＝712π，C ＝π4.跟踪训练2 将例2中的条件改为“a ∶b ∶c ＝26∶(6＋23)∶43”，求A 、B 、C . 解 ∵a ∶b ∶c ＝26∶(6＋23)∶43， 即a 26＝b 6＋23＝c43，不妨设a26＝k ，则a ＝26k ，b ＝(6＋23)k ，c ＝43k ，下同例题解法.题型三 已知两边及其中一边的对角解三角形例3 在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝23，b ＝6，A ＝45°，求边c .解 方法一 在△ABC 中，根据余弦定理可得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即c 2－23c －6＝0， 所以c ＝3±3.又c >0，所以c ＝3＋3.方法二 在△ABC 中，由正弦定理得 sin B ＝b sin Aa ＝6×2223＝12，因为b <a ，所以B <A ，又B ∈(0°，180°)，所以B ＝30°， 所以C ＝180°－A －B ＝105°，所以sin C ＝sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝6＋24， 故c ＝a sin Csin A ＝23×6＋2422＝3＋3.跟踪训练3 已知在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，解此三角形. 解 方法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得 (3)2＝a 2＋32－2×a ×3×cos 30°， ∴a 2－33a ＋6＝0，∴a ＝3或a ＝2 3. 当a ＝3时，a ＝b ，∴A ＝30°，∴C ＝120°； 当a ＝23时，由正弦定理得 sin A ＝a sin B b ＝23sin 30°3＝1，又∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°，C ＝60°.∴C ＝60°，A ＝90°，a ＝23或C ＝120°，A ＝30°，a ＝ 3. 方法二 由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°知本题有两解. 由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝3×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理得a ＝b 2＋c 2＝23； 当C ＝120°时，A ＝30°＝B ，∴a ＝ 3.∴C ＝60°，A ＝90°，a ＝23或C ＝120°，A ＝30°，a ＝ 3.1.在△ABC 中，符合余弦定理的是( )A.c 2＝a 2＋b 2－2ab cos CB.c 2＝a 2－b 2－2bc cos AC.b 2＝a 2－c 2－2bc cos A D.cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab2.在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 的值是( ) A.8 B.217 C.6 2 D.2193.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A.a >b B.a <b C.a ＝b D.a 与b 的大小关系不确定4.在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，则角C 的大小为 .5.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝ .一、选择题1.在△ABC 中，给出下列条件①A ＝60°，C ＝45°，b ＝10 ②B ＝30°，a ＝5，c ＝6 ③B ＝30°，a ＝2，b ＝1 ④a ＝1，b ＝3，c ＝4 使三角形有一解的有( )A.②④B.①④C.①②③D.①②④ 2.在△ABC 中，b ＝5，c ＝53，A ＝30°，则a 等于( ) A.5 B.4 C.3 D.103.在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，sin C ＝3314，则c 等于( )A.3B.217C.3或217D.6 64.已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为( ) A.60° B.90° C.120° D.150°5.若三角形三边长分别为5,7,8，则它的最大角和最小角的和为( )A.90°B.120°C.135°D.150°6.已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的余弦值等于( )A.23B.12C.－23D.－127.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.238.在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦是( )A.－15B.－16C.－17D.－18二、填空题9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值是 .10.在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝ . 11.△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，则C ＝ .三、解答题12.在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，求△ABC 的最大内角.13.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求此三角形的最大边长.当堂检测答案1.答案 A解析 由余弦定理及其推论知只有A 正确. 2.答案 D解析 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋62－2×4×6×(－12)＝76，∴c ＝219. 3.答案 A解析 cos 120°＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－2a 22ab ＝－12，∴b ＝5－12a <a . 4.答案 π3解析 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.5.答案 56π解析 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32，又B ∈(0，π)，∴B ＝56π.错误!课时精练答案一、选择题 1.答案 C解析 ①已知两角及一边；②已知两边及夹角；④已知三边均只有一解，但④中三边无法组成三角形.③中已知两边及一边的对角，可能有两解，但sin A ＝1，又A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°.故只有一解. 2.答案 A解析 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52＋(53)2－2×5×(53)×32＝25，∴a ＝5.3.答案 C解析 ∵sin C ＝3314，∴cos C ＝±1－(3314)2＝±1314，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋82－2×7×8×(±1314)＝9或217，∴c ＝3或217. 4.答案 D解析 由题意知，a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3ab 2ab ＝－32，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝150°. 5.答案 B解析 中间的角设为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，又θ∈(0°，180°)，∴θ＝60°， ∴最大角和最小角之和为120°. 6.答案 D解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab . ∴(a ＋b )2－c 2＝ab ，即a 2＋b 2－c 2＝－ab ， ∴cos C ＝－12.7.答案 B解析 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋(2a )2－ac2a (2a )＝5a 2－2a 24a 2＝34.8.答案 C解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，∴c ＝3，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.二、填空题 9.答案612解析 bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C＝b 2＋c 2－a 22＋a 2＋c 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝12(32＋42＋62)＝612.10.答案19解析 由题意知a ＋b ＝5，ab ＝2，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C ＝52－2×2－2×2×12＝19，∴c ＝19. 11.答案 45°解析 S △ABC ＝12ab sin C ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝14(2ab cos C )， ∴sin C ＝cos C ，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝45°. 三、解答题12.解 不妨设b ＋c 4＝k ，则b ＋c ＝4k ，a ＋c ＝5k ，a ＋b ＝6k ，∴a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，可见a >b >c ，∴A 为最大内角，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝254k 2＋94k 2－494k 22×52k ×32k ＝－12，又A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°.13.解 已知a －b ＝4，则a >b 且a ＝b ＋4， 又a ＋c ＝2b ，则b ＋4＋c ＝2b ，所以b ＝c ＋4， 则b >c ，从而知a >b >c ，所以a 为最大边， 故A ＝120°，b ＝a －4，c ＝2b －a ＝a －8. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2＋bc ＝(a －4)2＋(a －8)2＋(a －4)(a －8)， 即a 2－18a ＋56＝0，解得a ＝4或a ＝14. 又b ＝a －4>0，所以a ＝14， 即此三角形的最大边长为14.。
证明余弦定理的三种方法
证明余弦定理的三种方法方法一：向量法证明假设在平面内有一个三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C。
以A为原点，分别向B和C引出向量AB和AC。
根据向量的定义，可以得到向量AB和向量AC的长度分别为a和c，且向量AB与向量AC之间的夹角为角A。
根据向量的加法和减法，可以得到向量AC-向量AB的长度为c-a。
同样地，可以得到向量AB-向量AC的长度为a-c。
根据向量的模长和夹角的余弦关系，可以得到：(c-a)^2 = (b*cosA)^2 + (b*sinA)^2(a-c)^2 = (b*cosA)^2 + (b*sinA)^2将上述两个式子相加，可以得到：(c-a)^2 + (a-c)^2 = 2*(b*cosA)^2 + 2*(b*sinA)^2化简上述式子，可以得到：c^2 + a^2 - 2ac = 2b^2*cos^2A + 2b^2*sin^2A化简上述式子，可以得到：c^2 + a^2 - 2ac = 2b^2*(cos^2A + sin^2A)根据三角恒等式cos^2A + sin^2A = 1，可以得到：c^2 + a^2 - 2ac = 2b^2化简上述式子，可以得到：c^2 + a^2 - 2ac - 2b^2 = 0即：a^2 + b^2 - 2ab*cosC = 0即：a^2 + b^2 = 2ab*cosC这就是余弦定理的向量法证明。
方法二：几何法证明假设在平面内有一个三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C。
以A为原点，向B和C引出向量AB和AC。
根据三角形的定义，可以得到：AB = b*cosA + b*sinAAC = c根据向量的减法，可以得到：AB - AC = b*cosA + b*sinA - c根据向量的模长和夹角的余弦关系，可以得到：(AB - AC)^2 = (b*cosA + b*sinA - c)^2化简上述式子，可以得到：(AB - AC)^2 = (b*cosA)^2 + (b*sinA)^2 - 2*b*cosA*c + c^2 - 2*b*sinA*c + 2*b*cosA*b*sinA化简上述式子，可以得到：(AB - AC)^2 = b^2*(cos^2A + sin^2A) - 2*b*c*cosA + c^2 - 2*b*c*sinA + 2*b^2*cosA*sinA根据三角恒等式cos^2A + sin^2A = 1，可以得到：(AB - AC)^2 = b^2 - 2*b*c*cosA + c^2 - 2*b*c*sinA + 2*b^2*cosA*sinA化简上述式子，可以得到：(AB - AC)^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cosA根据向量的模长和夹角的余弦关系，可以得到：(AB - AC)^2 = a^2即：b^2 + c^2 - 2*b*c*cosA = a^2即：a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cosA这就是余弦定理的几何法证明。
余弦定理的三种几何证明
余弦定理的三种几何证明余弦定理是在三角形中，通过三边的长度来求解三角形的一些角度的方法，其数学表达式为：c² = a² + b² - 2ab·cos(C)其中，a、b、c表示三角形的三边的长度，C表示对应于边c的角的大小，cos(C)表示角C的余弦值。
余弦定理有多种几何证明方法，下面将分别介绍三种常用的几何证明方法。
方法一：极坐标证明法根据余弦定理的表达式，我们可以将其化简为：cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)在平面直角坐标系中，我们可以将三角形的三个顶点分别表示为点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
根据点到原点的距离公式，我们有：a=√(x1²+y1²)b=√(x2²+y2²)c=√(x3²+y3²)进一步，我们可以得到：a²+b²-c²=(x1²+y1²)+(x2²+y2²)-(x3²+y3²)=[(x1-x3)²+(y1-y3)²]+[(x2-x3)²+(y2-y3)²]-(x3²+y3²)=2((x1-x3)(x2-x3)+(y1-y3)(y2-y3))cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)=(2((x1-x3)(x2-x3)+(y1-y3)(y2-y3)))/(2√(x1²+y1²)√(x2²+y2²)) =((x1-x3)(x2-x3)+(y1-y3)(y2-y3))/(√(x1²+y1²)√(x2²+y2²))根据极坐标系中余弦的几何意义，cos(C)可表示为向量AC和向量BC 的内积除以它们的模的乘积。
余弦定理公式的含义及其证明
余弦定理公式的含义及其证明余弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要公式。
它描述了三角形的一个边的平方和另外两边平方的差，与这两边之间的夹角余弦函数的乘积的关系。
余弦定理的数学表达式为：c² = a² + b² - 2abcosC其中，a、b、c分别表示三角形的三边，C表示夹角C的大小。
证明余弦定理可以使用向量法和三角法两种方法。
1.向量法证明：假设三角形ABC中，向量AB的模为a，向量AC的模为b，向量BC的模为c。
向量AB与向量AC之间的夹角为夹角C，设其大小为θ。
根据向量的加法和平方模长定义，可以得到：a² = AB² = AA² + BB² - 2(AA)(BB)cosθb² = AC² = AA² + CC² - 2(AA)(CC)cosθc² = BC² = BB² + CC² - 2(BB)(CC)cosθ将以上三个等式相加，得到：a² + b² + c² = 2(AA² + BB² + CC²) - 2(AA)(BB)cosθ -2(AA)(CC)cosθ - 2(BB)(CC)cosθ化简可得：2(AA² + BB² + CC²) = a² + b² + c² + 2(AA)(BB)cosθ +2(AA)(CC)cosθ + 2(BB)(CC)cosθ设向量AA、BB、CC的模长分别为x、y、z，则上式变成：2(x² + y² + z²) = a² + b² + c² + 2xycosθ + 2xzcosθ +2yzcosθ由于AA=BB=CC=x+y+z（向量AA、BB、CC的模长相等），进一步化简得到：2(x² + y² + z²) = a² + b² + c² + 2(xy + xz + yz)cosθ所以，余弦定理成立。
余弦定理的八种证明方法1500字
余弦定理的八种证明方法1500字余弦定理是高中数学中一个非常重要的定理，它可以描述三角形边长和角度之间的关系。
余弦定理有很多种证明方法，以下我们简单介绍其中的八种证明方法。
方法一：向量法证明推导过程如下：设三角形ABC的顶点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
根据向量的定义和运算法则，可以得到向量AB=a，向量AC=b，向量BC=c。
由向量的点积公式可知，向量a·b=|a||b|cos(∠{向量AB，向量AC})，即(a-b)·(a-c)=-|a|²cosA。
对称地，还可以得到(b-c)·(b-a)=-|b|²cosB，(c-a)·(c-b)=-|c|²cosC。
进一步推导可知，(a-b)·(a-c)+(b-c)·(b-a)+(c-a)·(c-b)=-(|a|²+|b|²+|c|²)，即2(a·b+b·c+c·a)=|a|²+|b|²+|c|²，最终可得到余弦定理的向量形式。
方法二：面积法证明推导过程如下：设∠ACB=C，根据三角形的面积公式可知，△ABC的面积S=1/2|AC||BC|sinC。
又根据正弦定理可知，sinC=a/2R，其中R为△ABC的外接圆半径。
将sinC带入上述公式可得S=1/4R|AC||BC|a。
同样地，也可以得到S=1/4R|AB||BC|c和S=1/4R|AB||AC|b。
将这三个式子相加，并将△ABC的面积用△ABC的周长p和半周长s表示，可得2S/abc=(ac+ab-bc)/2sb+(ab+bc-ac)/2sc+(ac+bc-ab)/2sa。
经过化简可以得到余弦定理的面积形式。
方法三：勾股定理证明推导过程如下：考虑△ABC的边AB与边AC之间的夹角∠BAC=A，根据勾股定理可得AB²=BC²+AC²-2BC·ACcosA。
证明余弦定理的方法
证明余弦定理的方法余弦定理是解决非直角三角形的一种三角函数关系定理，用于求解任意三角形其中一个角的边之间的关系。
证明余弦定理的方法可以利用向量、三角函数以及勾股定理。
我们假设有一个非直角三角形ABC，三边分别为a，b，c，其中∠A、∠B、∠C 分别对应于边a、b、c。
方法一：利用向量法证明余弦定理将三角形向量化，我们可以得到：向量AB = 向量AC + 向量CB利用向量之间的内积关系：AB * AB = (AC + CB) * (AC + CB)展开和化简上式，我们可以得到：AB * AB = AC * AC + 2 * AC * CB + CB * CB根据向量之间的内积关系以及余弦公式cosθ= (向量A * 向量B) / (∥向量A∥* ∥向量B∥)，我们可以将上式变为：AB * AB = AC * AC + CB * CB + 2 * AC * CB * cos∠C根据向量的定义，我们可以得到：AB = √(AB * AB)，AC = √(AC * AC)，CB = √(CB * CB)将上述关系代入上式，我们可以得到：√(AB * AB) = √(AC * AC) + √(CB * CB) + 2 * √(AC * AC) √(CB * CB) * cosC化简上式，我们可以得到：AB^2 = AC^2 + CB^2 + 2 * AC * CB * cosC即余弦定理。
方法二：利用三角函数法证明余弦定理根据三角函数的定义，我们可以得到：cosA = AC / BCcosB = AB / ACcosC = AB / CB根据向量内积的定义，我们可以得到：AB * BC = ∥AB∥∥BC∥cosAAC * BC = ∥AC∥∥BC∥cosC将上式代入cosB的定义中，我们可以得到：cosB = (AB * BC) / (∥AB∥∥BC∥) = (AB * BC) / (√(AB * AB) √(BC * BC))代入向量AB * BC的定义，我们可以得到：cosB = (AB * AC + AB * CB) / (√(AB * AB) √(AC * AC + CB * CB + 2 * AC * CB * cosC))化简上式，我们可以得到：cosB = (AC + CB * cosC) / √(AC * AC + CB * CB + 2 * AC * CB * cosC)移项化简上式，我们可以得到：AC * AC + CB * CB + 2 * AC * CB * cosC = AC^2 + 2 * AC * CB * cosC + CB^2即余弦定理。
正余弦定理的四种证明方法
正余弦定理的四种证明方法余弦定理是解三角形问题的重要工具之一，它表达了三角形的一个边的平方与其他两边平方的关系。
以下将介绍余弦定理的四种证明方法。
方法一：向量法证明这是一种直接而简洁的证明方法。
我们可以将三角形的任意边表示为向量，然后利用向量的运算进行证明。
假设三角形的三个顶点为A、B、C，边a、b、c对应的向量分别为→a、→b、→c。
根据向量的定义，→c=→a-→b。
利用向量的模的定义有：→c，^2 = ，→a - →b，^2 = (∥→a∥ - ∥→b∥)^2 =∥→a∥^2 - 2∥→a∥∥→b∥cosC + ∥→b∥^2根据余弦定理，→c，^2 = a^2 = b^2 + c^2 - 2bc⋅cosA。
将上述两个表达式相等，整理可得余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc⋅cosA方法二：平面几何法证明这种证明方法是通过利用三角形的几何性质来证明余弦定理。
首先，我们可以进行如下构造：在边b上取一点D，使得BD与AC垂直相交于点E。
由此可得AE⊥BC。
根据直角三角形的性质，我们有：1. AE = AC⋅cosA2. AD = AC⋅sinA3. CD = BC - BD = BC - AD = b - AC⋅sinA由三角形的余弦定理可得：a^2 = AB^2 = AD^2 + BD^2 = (AC⋅sinA)^2 + (b - AC⋅sinA)^2展开并整理上式，可得到与余弦定理等价的表达式。
方法三：三角函数法证明这是一种基于三角函数的三角恒等式来进行证明的方法。
根据三角函数的定义，我们有：sinA = BC/AC，sinB = AC/BC由此可得AB = AC⋅sinB = BC⋅sinA。
假设三角形的高为h，利用三角形面积公式S = 1/2⋅AB⋅h也可得到：S = 1/2⋅BC⋅AC⋅sinA = 1/2⋅BC⋅AC⋅sinB此外，根据S=1/2⋅BC⋅h也可得到：h = BC⋅sinA联立上述三个等式，整理可得到余弦定理。
应用向量法证明正(余)弦定理
应用向量法证明正（余）弦定理作者：于志洪来源：《中学数学杂志(高中版)》2008年第05期向量法是一种解析方法，此法在证几何题时，由于具有几何的直观性，表述的简洁性和处理方法的一般性，因此对于数学知识的融汇贯通很有帮助现仅就著名的正（余）弦定理的向量证明进行介绍，供高二学生学习时参考1 正弦定理的向量法证明在任意△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则asinA=bsinB=csinC证明如图1，作CD⊥AB于D因为封闭线段在任意轴上投影的代数和为零又因为AB⊥DC，所以AB在轴DC上投影为零；而AC在DC上投影为bsinA,CB在DC 上投影为-asinB.所以bsinA-asinB=0,所以bsinA=asinB.所以asinA=bsinB同理可证得bsinB=csinC,csinC=asinA,所以asinA=bsinB=csinC2 余弦定理的向量法证明在任意△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，则a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC,证明：如图2，在已知△ABC的三边AB、BC和CA上，分别取从B向A、从B向C和从A向C为正方向，这样就得到三个向量BA、BC和AC，并且BA+AC=BC根据关于向量的射影定理可知：BC的射影=BA的射影+AC的射影BC在轴BC上的射影=|BC|cos0°=a;BA在轴BC上的射影=|BA|cosB=ccosB;AC在轴BC上的射影=|AC|cosC=bcosC;所以a=ccosB+bcosC①同理可证得：b=acosC+ccosA②c=acosB+bcosA③再由①·a-②·b-③·c,即可得到a2=b2+c2-2bccosA.同法：b2=a2+c2-2bccosBc2=a2+b2-2abcosC上述向量法证明正（余）弦定理，不必去区分锐角、钝角、直角三角形，从而大大简化了证明过程，因而值得介绍注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。