2017年上海市虹口区高考数学一模试卷(解析版)

2017年上海市虹口区高考数学一模试卷

一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B=．

2．已知，则复数z的虚部为．

3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=．

4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的

解是．

5．数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则=．

6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．

7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦

距等于．

8．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为．

9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．

10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的

展开式中含x2项的系数是．

11．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于．

12．当实数x ，y 满足x 2+y 2=1时，|x +2y +a |+|3﹣x ﹣2y |的取值与x ，y 均无关，则实数a 的取范围是 ．

二、选择题（每小题5分，满分20分）

13．在空间，α表示平面，m ，n 表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ）

A ．若m ∥α，m 、n 不平行，则n 与α不平行

B ．若m ∥α，m 、n 不垂直，则n 与α不垂直

C ．若m ⊥α，m 、n 不平行，则n 与α不垂直

D ．若m ⊥α，m 、n 不垂直，则n 与α不平行

14．已知函数

在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实

数a 的取值范围是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

15．如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则的值（ ）

A ．只与圆C 的半径有关

B ．既与圆

C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关 C ．只与弦AB 的长度有关

D ．是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值

16．定义f （x ）={x }（其中{x }表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ） ①f （2x ）=2f （x ）； ②若f （x 1）=f （x 2），则x 1﹣x 2＜1；

③任意x 1，x 2∈R ，f （x 1+x 2）≤f （x 1）+f （x 2）；

④．

A ．①②

B ．①③

C ．②③

D ．②④

三、解答题（本大题满分76分）

17．在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；

（2）求此三棱锥的全面积和体积．

18．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．

（1）求此时该外国船只与D岛的距离；

（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．

19．已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．

（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；

（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．

20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F

的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；

（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．

21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a n}的首项a1=a．

（1）如果a n=f（n）（n∈N*），写出数列{a n}的通项公式；

（2）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{a n}是等差数列，求首项a 的取值范围；

（3）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{a n}的前n项和S n．

2017年上海市虹口区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B={2，4，8} ．【考点】交集及其运算．

【分析】先分别求出集合A和B，由此能出A∩B．

【解答】解：∵集合A={1，2，4，6，8}，

∴B={x|x=2k，k∈A}={2，4，8，12，19}，

∴A∩B={2，4，8}．

故答案为：{2，4，8}．

2．已知，则复数z的虚部为1．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】由，得，利用复数复数代数形式的乘法运算化简，求出z，则答案可求．

【解答】解：由，

得=2﹣2i+i﹣i2=3﹣i，

则z=3+i．

∴复数z的虚部为：1．

故答案为：1．

3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=0．

【考点】二倍角的正弦．

【分析】由已知可得sinα﹣cosα=1，两边平方，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可得解．

【解答】解：∵f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，