量子力学第四章 - 2
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量子力学 第四版 卷一(曾谨言 著) 答案----第4章-2
4.29——6.1
ˆ 的本征态下， L x = L y = 0 。（提示：利用 L y L z − Lz L y = iL x ，求平均。） 4.29 证明在 L z
证：设 ψ 是 L z 的本征态，本征值为 m ，即 L z ψ
= m ψ
∴
[L
y
, L z = L y L z − L z L y = iL x ， 1 Ψ Ly Lz Ψ i 1 = m Ψ Ly Ψ i
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ，相应的几率为 C1 ； 2 4 0
)
1 L x 取 − 的振幅为 1 − 2
总几率为 C1
2
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ，相应的几率为 C1 。 2 4 0
)
2） L x 在 l = 2 的空间， L2 , L z 对角化表象中的矩阵 利用
1 − 2 1 6a ， d = − 2a ， e = a ，本征矢为 6 ，在 C 2Y20 态下，测得 L x = − 2 的 4 − 2 1
将它们代入（3）就得到前一法（考虑 l x , l y 对称）得到相同的结果。
l x2 =
1 [(l + m)(l − m + 1) 2 + (l − m)(l + m + 1) 2 ] 4 1 = [l (l + 1) − m 2 ] 2 2
ˆ lˆ , lˆ lˆ 没有贡献，（3）（4）应有相同的结果。第二种方法运用角动量一般理论，这 又从（4）式看出，由于 l + + − −
2
将上式在 lm 态下求平均，因 Lz 作用于 lm 或 lm 后均变成本征值 m ，使得后两项对平均值的贡献互相抵 消，因此 又
ˆ 的本征态下， L x = L y = 0 。（提示：利用 L y L z − Lz L y = iL x ，求平均。） 4.29 证明在 L z
证：设 ψ 是 L z 的本征态，本征值为 m ，即 L z ψ
= m ψ
∴
[L
y
, L z = L y L z − L z L y = iL x ， 1 Ψ Ly Lz Ψ i 1 = m Ψ Ly Ψ i
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ，相应的几率为 C1 ； 2 4 0
)
1 L x 取 − 的振幅为 1 − 2
总几率为 C1
2
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ，相应的几率为 C1 。 2 4 0
)
2） L x 在 l = 2 的空间， L2 , L z 对角化表象中的矩阵 利用
1 − 2 1 6a ， d = − 2a ， e = a ，本征矢为 6 ，在 C 2Y20 态下，测得 L x = − 2 的 4 − 2 1
将它们代入（3）就得到前一法（考虑 l x , l y 对称）得到相同的结果。
l x2 =
1 [(l + m)(l − m + 1) 2 + (l − m)(l + m + 1) 2 ] 4 1 = [l (l + 1) − m 2 ] 2 2
ˆ lˆ , lˆ lˆ 没有贡献，（3）（4）应有相同的结果。第二种方法运用角动量一般理论，这 又从（4）式看出，由于 l + + − −
2
将上式在 lm 态下求平均，因 Lz 作用于 lm 或 lm 后均变成本征值 m ，使得后两项对平均值的贡献互相抵 消，因此 又
量子力学教程-周世勋-第四章表象
∫
v
ˆ = r 时， （4.2-6）式化为： 是由于在（4.2-6）式中含有对 q′ 的积分之故。当 Q v v v vv u ( r ′, t ) dr ′ v(r , t ) = ∫ Frr ′
∧ v
∧ v
（4.2-7）
上式与（4.2-1）式在形式上并不相同，但上式可以化为（4.2-1）式。因 r − r ′′ 对应本征值 r 与 r ′ 的 本征函数分别为 δ ( r ′′ − r ) 与 δ (r ′′ − r ′) ，则
从以上的讨论可知，一个物理体系的状态在任何表象中都有两种表示法，即函数表示法与矩阵 表示法。当本征态排序确定后，这两种表示法是完合等价的。一般说来，在分立谱表象中采用矩阵 表示较好，而在连续谱表象中采用函数表示较好。 4．力学量算符在自身表象中的本征函数
85
ˆ 的自身表象中，若 Q ˆ 的本征值为连续谱，则由（4.1-6）式可知，当 ϕ (r , t ) = φ (r ) 时，应 在Q Q′ ˆ = Q 对应本征值 Q′ 的本征函数为 δ (Q − Q′) 。因 有 aQ (t ) = δ (Q − Q′) ，所以 Q
对应的本征态为
h ∂ 的本征值 mh 在一维 φ 空间中 i ∂φ
1 imφ e ，这时的本征值 mh 无简并，而在二维 θφ 空间中对应的本征态可取为 2π
ˆ2 与 L ˆ 的两 Ylm (θ , φ ) ，则本征值 mh 的简并度很大。L 相当于描写简并度的角标。但 Ylm (θϕ ) 对于 L z
⎛ a1 (t ) ⎞ a (t ) ⎟ A(t ) = ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎜ M ⎟ ⎝ ⎠
阵 A+：
* * A+ (t )(a1 (t ) a2 (t )L) * *
中科院量子力学超详细笔记 第四章 中心场束缚态问题
⎡ ⎣ Lx , Ly ⎤ ⎦ = ihLz , ⎡ ⎣ Ly , Lz ⎤ ⎦ = ihLx , [ Lz , Lx ] = ihLy ⎡ ⎣ Li , L j ⎤ ⎦ = ihε i j k Lk
(4.8) (4.9)
其中 ε i j k 是 Levi-Civita 张量。也可以将(4.8)式写成紧凑的记号， 因为 L
2 L2 = −h 2 ∇ ( θ ,ψ )
⎞⎤ ⎟⎥ + V (r ) ⎟ ⎥ ⎠⎦
(4.6) (4.7)
这里， L2 为轨道角动量平方算符 由于它只对角变数作用，它和 H 是对易的，即
[H , L ] = 0
2
这说明， 在任何形式的中心场 V (r ) 中运动的粒子， 其轨道角动量平方 L2 都是一个守恒量。 由直接计算可得
(
)
15 Sinθ Cosθ e iϕ , 8π 15 Sinθ Cosθ e −iϕ , 8π
Y2− 2 (θ , ϕ ) =
15 Sin 2θ e −i 2ϕ 32π
（其物理解释见下节） 。 这里 l 称为轨道角动量量子数，m 称为磁量子数 对一个给定的 l ，相应的 m 可以取 (2l + 1) 个不同的值，对应于 (2l + 1) 个 不同的正交归一态。
(| m |≤ l )
(4.13)
相应的本征值为 α = l (l + 1) h 2 ， β = mh 。其中缔合 Legendre 多项式采用 Ferrer 定义，
Pl m ( x ) =
l +m 1 1 2 2 d ( − x ) ( x 2 − 1) l ， ( | m| ≤ l ) 1 l l +m dx 2 ⋅ l! m
v v V⎡ ⎣ r1 ( t ) , r2 ( t ) , t ⎤ ⎦
(4.8) (4.9)
其中 ε i j k 是 Levi-Civita 张量。也可以将(4.8)式写成紧凑的记号， 因为 L
2 L2 = −h 2 ∇ ( θ ,ψ )
⎞⎤ ⎟⎥ + V (r ) ⎟ ⎥ ⎠⎦
(4.6) (4.7)
这里， L2 为轨道角动量平方算符 由于它只对角变数作用，它和 H 是对易的，即
[H , L ] = 0
2
这说明， 在任何形式的中心场 V (r ) 中运动的粒子， 其轨道角动量平方 L2 都是一个守恒量。 由直接计算可得
(
)
15 Sinθ Cosθ e iϕ , 8π 15 Sinθ Cosθ e −iϕ , 8π
Y2− 2 (θ , ϕ ) =
15 Sin 2θ e −i 2ϕ 32π
（其物理解释见下节） 。 这里 l 称为轨道角动量量子数，m 称为磁量子数 对一个给定的 l ，相应的 m 可以取 (2l + 1) 个不同的值，对应于 (2l + 1) 个 不同的正交归一态。
(| m |≤ l )
(4.13)
相应的本征值为 α = l (l + 1) h 2 ， β = mh 。其中缔合 Legendre 多项式采用 Ferrer 定义，
Pl m ( x ) =
l +m 1 1 2 2 d ( − x ) ( x 2 − 1) l ， ( | m| ≤ l ) 1 l l +m dx 2 ⋅ l! m
v v V⎡ ⎣ r1 ( t ) , r2 ( t ) , t ⎤ ⎦
第四章 光的发射和吸收(二)
第四章 光的发射和吸收(二)试看单轴晶体的计算。
为表达的方便，用S (i,f )表示上述公式中的电偶极矩矩阵元的平方和，把沿某一方向偏振的电偶极跃迁的几率写成()()f ,i S c e .P p p εω32334sp.em k = (4.23)对于π和σ偏振的自发辐射跃迁，可以分别写出其跃迁几率()()f ,i S c e .P k π323π34sp.em εω =，()()f ,i S c e .P k σ32334sp.em εωσ = 按照全概率公式，总的自发辐射跃迁几率为()()()()()()().P .P .P p .P p .P sp.em32sp.em 31sp.em σsp.em πsp.em σπσπ+=+= (4.24)必须指出，应用这些公式到晶体介质的计算中，还要考虑进介质折射率的改正因子。
以后将看到，利用(4.24)式计算各向异性介质中激活离子能级寿命，就不至于发生过高估计跃迁几率的错误。
现在来讨论磁偶极跃迁和电四极跃迁、从单电子的情况出发并假定与电偶极跃迁相关的<ϕf e ⎪r ⎪ϕi e >=0，根据展开式(4.18)先分析自发发射过程（见(4.16)式）的矩阵元),可得()()ee e e if i i f i e ϕϕϕϕp e r k p e r k ⋅⋅-=⋅⋅-(4.25)为方便表示，式中e 为e α(k )。
为了同跃迁机理相联系，习惯上将(k ⋅r )(e ⋅p )分成两部分，即()()()()()()()()∑∑∑∑∑∑++⨯⋅-=++⋅⨯=++-===⋅⋅j,i ij jij i j,i ij jiji j ,i ij jij i j,i i j j i j i j,i jij i j,i jj i i p r pr e k p r pr e k p r pr e k p r p r e k pr e k p e r k 212121212121l k e l e k p e r k (4.26)式(4.26)中i ，j 表征上述各个矢量的三个分量，l =r ⨯p 是轨道角动量算符。
量子力学——第四章作业参考答案
=⎡ ⎣ p y , lz ⎤ ⎦+⎡ ⎣l y , pz ⎤ ⎦ = 2i px ，
同理 ( p × l + l × p ) y = 2i p y ， ( p × l + l × p ) z = 2i pz ，因此
14
p × l + l × p = 2i p 。
2 2 2 2 ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦x = ⎡ ⎣l x , p x ⎤ ⎦+⎡ ⎣l y , px ⎤ ⎦+⎡ ⎣lz , px ⎤ ⎦
可见， ( p × l − l × p ) = p × l − l × p ， p × l − l × p 为厄米算符。
+
（4）算符 r × l
( r × l ) x = ylz − zl y ，
( r × l ) x = lz+ y + − l y+ z + = lz y − l y z = ( ylz − i x ) − ( zl y + i x ) = ( r × l ) x − 2i
[ A, BC ] = ABC − BCA = ( ABC + BAC ) − ( BAC + BCA)
= [ A, B ]+ C − B [ A, C ]+
3.8 证明：
( p × l + l × p ) x = p y lz − pz l y + l y p z − l z p y = ( p y lz − lz p y ) + ( l y pz − pz l y )
+
+ + + + +
+
+
+
同理 ( p × l + l × p ) y = 2i p y ， ( p × l + l × p ) z = 2i pz ，因此
14
p × l + l × p = 2i p 。
2 2 2 2 ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦x = ⎡ ⎣l x , p x ⎤ ⎦+⎡ ⎣l y , px ⎤ ⎦+⎡ ⎣lz , px ⎤ ⎦
可见， ( p × l − l × p ) = p × l − l × p ， p × l − l × p 为厄米算符。
+
（4）算符 r × l
( r × l ) x = ylz − zl y ，
( r × l ) x = lz+ y + − l y+ z + = lz y − l y z = ( ylz − i x ) − ( zl y + i x ) = ( r × l ) x − 2i
[ A, BC ] = ABC − BCA = ( ABC + BAC ) − ( BAC + BCA)
= [ A, B ]+ C − B [ A, C ]+
3.8 证明：
( p × l + l × p ) x = p y lz − pz l y + l y p z − l z p y = ( p y lz − lz p y ) + ( l y pz − pz l y )
+
+ + + + +
+
+
+
量子力学第四章习题(1)
第四章态叠加原理及力学量的算符表示4-1 下列算符哪些是线性的？为什么？ (1) (2) ( )2 (3) (4)4-2 线性算符具有下列性质：，式中C是复数。
下列算符哪些是线性的？（1）（2）（3）（4）（5）（6）4-3 若都是厄米算符，但，试问：（1）是否厄米算符？（2）是否厄米算符？4-4 证明下列算符哪些是厄米算符：4-5 （1）证明（2）4-6试判断下述二算符的线性厄米性，（1）（2）4-7 试证明任意一个算符不可能有两个以上的逆。
又问，算符的情况下，是什么样的算符？4-8 对于一维运动，求的本征函数和本征值。
进而求的本征值。
4-9 若算符有属于本征值为的本征函数，且有：和，证明和也是的本征函数，对应的本征值分别是和。
4-10 试求能使为算符的本征函数的值是什么？此本征函数的本征值是什么？4-11 如果为线性算符的一个本征值，那么为的一个本征值。
一般情况下，设为的多项式，则便为的一个本征值。
试证明之。
4-12 试证明线性算符的有理函数也是线性算符。
4-13 当势能改变一个常数C时，即时，粒子的波函数与时间无关的那部分改变否？能量本征值改变否？4-14 一维谐振子的势能，处于的状态中，其中，问：（1）它的能量有没有确定值？若有，则确定值是多少？（2）它的动量有没有确定值？4-15 在时间时，一个线性谐振子处于用下列波函数所描写的状态：式中是振子的第n个时间无关本征函数。
（a）试求C3的数值。
（b）写出在t时的波函数。
（c）在时振子的能量平均值是什么？在秒时的呢？4-16 证明下列对易关系：，4-17 证明下列对易关系：。
量子力学——第四章作业参考答案
( p × l − l × p )x ，
2 ( p × l − l × p)y ， ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦ z = i ( p × l − l × p ) z ，因此
同理 ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦y = i
i
2 ( p × l − l × p) = ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦。
3.10 证明： （a） pr =
可见， ( r × l − l × r ) = r × l − l × r ， r × l − l × r 为厄米算符。
+
3.3
证明：一维情况下，由 x 和 p 的对易关系 [ x, p ] = i ， 可得 从而
（6） （7）
xp = i + px ， px = xp − i
，
m −1 n m n +1 [ p, F ] = ∑ Cmn ( px m p n − x m p n+1 ) = ∑ Cmn ⎡ ⎣( xp − i ) x p − x p ⎤ ⎦ m,n =0 ∞ m,n =0
∂ F。 ∂x
（8）
=
m ,n =0
mn
= −i
m,n =0
∑C
mn
mx m −1 p n = −i
同理，可得 [ x, F ] = i 3.4 证明：
∂ F。 ∂p
（9）
[ AB, C ] = ABC − CAB = ( ABC + ACB ) − ( ACB + CAB )
= A [ B, C ]+ − [ A, C ]+ B
（b） pr =
1⎛r r ⎞ 1 ⎡r r ⎛ r ⎞⎤ ⎜ i p + p i ⎟ = ⎢ i p + i p − i ⎜ ∇i ⎟ ⎥ 2⎝ r r ⎠ 2 ⎣r r ⎝ r ⎠⎦
量子力学第四章-表象理论(3部分)
∑a
n
n
*(t )an (t ) + ∫ aq *(t )aq (t )dq = 1
|aq(t)|2dq 是在 是在Ψ(x,t) 态中 测量力学量 Q 所得结果在 q → q + d q之间的几率。 之间的几率。 之间的几率
在这样的表象中， 在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵 表示： 表示：
a1(t) a 2(t) M Ψ = a n (t) M aq (t)
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开： 本征函数展开：
Ψ( x, t ) = ∑ an (t )un ( x)
n
证：
1 = ∫ Ψ * ( x, t )Ψ( x.t )dx
=
an (t ) = ∫ un * ( x)Ψ( x.t )dx
a1(t), a2(t), ..., an(t), ... ...,
∫
ψ p * ( x )ψ p ′ ( x ) e
− iE p′ t / h
dx
所以，在动量表象中， 所以，在动量表象中， 具有确定动量p 的粒 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量 函数。 p为变量的δ- 函数。 换言之， 换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 函数。 个δ函数。
=e
− iE p′ t / h
假设只有分立本征值将q表象的表达方式代入一力学量算符的矩阵表示22211211nm是其矩阵元写成矩阵形式q表象的表达方式11101011计算中使用了公式由此得l在自身表象中具有最简单形式是一个对角矩阵对角元素就是1力学量算符用厄密矩阵表示dx所以厄密算符的矩阵表示是一厄密矩阵
第四章 态和力学量表象
§1 态的表象 §2 算符的矩阵表示 §3 量子力学公式的矩阵表述 §4 Dirac 符号 §5 Hellmann – Feynman 定理及应用 §6 占有数表象 §7 么正变换矩阵
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本 章 目 录
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
4.1 态的表象
7
The representation of the states
4.2 算符的矩阵表示
24
Matrix representation of operators
0
2
0
0
0
a2
(t
)
F (a1*(t),
, an*(t)
)0
0
0 0
0
0
n
0
0
an
(t
)
0 0 0 0
F n an (t) 2
n
7
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续4）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
求出本征值
0
i
(i 1, 2, )
出将a每i1(个t), ai i值2(分t),别代,入即矩得阵本方征程函（数1）或（2），求
a i1
ui
a
i2
(i 1, 2,
)
这样变解微分方程 为解代数方程。
10
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续7）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
在 Fˆ 自身表象中：Fˆun(x) nun(x)
Fmn um* (x)Fˆun(x)dx um* (x)nun (x)dx nm n
1 0 0 0 0 a1(t)
3. 本征方程
Fˆ (x, i ) (x, t) (x, t)
x
在Q表象中，其矩阵形式为：
F11 F12
F1m
F21
F22
F2m
Fn1 Fn2 Fn n
a1(t) a1(t)
ห้องสมุดไป่ตู้
a2
(t
)
a2
(t
)
（1）
am (t) an (t)
F （续7）
m1
行矩阵
方矩阵
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
F1n a1(t)
F1n
a
2
(t)
Fmn a n (t)
列矩阵
F †F
6
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续3）
m
am (t)
um (x)Fˆunn(x)dx an(t)
nm
am (t)Fmnan (t)
nm
其中 Fmn um (x)Fˆun (x)dx 为算符 Fˆ 的矩阵元 5
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续2）
用矩阵表示为
F a*1(t),
, a*m (t)
F11 F12
F21
F12
4.3 量子力学公式的矩阵表示 32
Matrix representation of formula for quantum mechanics
4.4 幺正变换
48
Unitary transformation
4.5 狄拉克符号
58
Dirac symbols
4.6 线性谐振子与占有数表象 68
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
Chapter.4 态和力学量的表象
The representation for the states and dynamical variables
1
引言（续 2）
(x, t) an (t)un (x)
n
(, ) *(x, t) (x, t)dx
(, ) bn*(t)an (t)
n
(x, t) bn (t)un (x)
n
a1
t
矩阵 (, ) (b1*(t)
表示
bn* (t )
)
a
n
t
†
3
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续1）
归一化条件：
*(x, t) (x, t)dx 1
a 1 t
a 1t a n t a n t 1
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
an (t) 2 1
n1
† 1
4
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续1）
移项得：
8
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续5）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
F11 F1 2 F2 1 F2 2
Fn 1
Fn 2
F1 m F2 m
Fn n
a 1(t) a 2(t)
Linear oscillator and occupation number
representation
2
4.3 量子力学公式的矩阵表示
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
1．内积与归一化条件 内积：
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
2. 期望值（平均值）公式
任意态 x,t an tun x
n1
F *(x, t)Fˆ (x, i
) (x, t)dx
x
am* (t)um* (x)Fˆ an (t)un(x)dx
例： 在 Lˆ2和 Lˆz 的共同表象中，l=1的子空间：
Lˆ2和 Lˆz 的共同本征函数系 Y11,Y10 ,Y11 ，构成
0
a
m
(t)
（2）
此式即为线性齐次方程组：
(Fmn mn ) an (t) 0 （m = 1，2，3……） n
非零解的条件是系数行列式等于0，即久期方程：
9
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续6）
F11 F12
F1 n
F2 1 F2 2
F2 n
Fn 1 Fn 2
Fn n
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
4.1 态的表象
7
The representation of the states
4.2 算符的矩阵表示
24
Matrix representation of operators
0
2
0
0
0
a2
(t
)
F (a1*(t),
, an*(t)
)0
0
0 0
0
0
n
0
0
an
(t
)
0 0 0 0
F n an (t) 2
n
7
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续4）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
求出本征值
0
i
(i 1, 2, )
出将a每i1(个t), ai i值2(分t),别代,入即矩得阵本方征程函（数1）或（2），求
a i1
ui
a
i2
(i 1, 2,
)
这样变解微分方程 为解代数方程。
10
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续7）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
在 Fˆ 自身表象中：Fˆun(x) nun(x)
Fmn um* (x)Fˆun(x)dx um* (x)nun (x)dx nm n
1 0 0 0 0 a1(t)
3. 本征方程
Fˆ (x, i ) (x, t) (x, t)
x
在Q表象中，其矩阵形式为：
F11 F12
F1m
F21
F22
F2m
Fn1 Fn2 Fn n
a1(t) a1(t)
ห้องสมุดไป่ตู้
a2
(t
)
a2
(t
)
（1）
am (t) an (t)
F （续7）
m1
行矩阵
方矩阵
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
F1n a1(t)
F1n
a
2
(t)
Fmn a n (t)
列矩阵
F †F
6
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续3）
m
am (t)
um (x)Fˆunn(x)dx an(t)
nm
am (t)Fmnan (t)
nm
其中 Fmn um (x)Fˆun (x)dx 为算符 Fˆ 的矩阵元 5
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续2）
用矩阵表示为
F a*1(t),
, a*m (t)
F11 F12
F21
F12
4.3 量子力学公式的矩阵表示 32
Matrix representation of formula for quantum mechanics
4.4 幺正变换
48
Unitary transformation
4.5 狄拉克符号
58
Dirac symbols
4.6 线性谐振子与占有数表象 68
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
Chapter.4 态和力学量的表象
The representation for the states and dynamical variables
1
引言（续 2）
(x, t) an (t)un (x)
n
(, ) *(x, t) (x, t)dx
(, ) bn*(t)an (t)
n
(x, t) bn (t)un (x)
n
a1
t
矩阵 (, ) (b1*(t)
表示
bn* (t )
)
a
n
t
†
3
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续1）
归一化条件：
*(x, t) (x, t)dx 1
a 1 t
a 1t a n t a n t 1
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
an (t) 2 1
n1
† 1
4
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续1）
移项得：
8
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续5）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
F11 F1 2 F2 1 F2 2
Fn 1
Fn 2
F1 m F2 m
Fn n
a 1(t) a 2(t)
Linear oscillator and occupation number
representation
2
4.3 量子力学公式的矩阵表示
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
1．内积与归一化条件 内积：
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
2. 期望值（平均值）公式
任意态 x,t an tun x
n1
F *(x, t)Fˆ (x, i
) (x, t)dx
x
am* (t)um* (x)Fˆ an (t)un(x)dx
例： 在 Lˆ2和 Lˆz 的共同表象中，l=1的子空间：
Lˆ2和 Lˆz 的共同本征函数系 Y11,Y10 ,Y11 ，构成
0
a
m
(t)
（2）
此式即为线性齐次方程组：
(Fmn mn ) an (t) 0 （m = 1，2，3……） n
非零解的条件是系数行列式等于0，即久期方程：
9
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续6）
F11 F12
F1 n
F2 1 F2 2
F2 n
Fn 1 Fn 2
Fn n
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable