复数乘除运算
复数的三角形式及乘除运算
复数的三角形式及乘除运算复数是由实数和虚数组成的数，可以用复数平面上的点表示。
复数的三角式是指将复数表示为一个模长和一个幅角的形式。
复数的乘法和除法可以用三角形式来表示，即用模长和幅角来进行运算。
假设我们有一个复数z = a + bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
1.复数的三角式在复数平面上，可以将复数z表示为一个与实轴的夹角θ（幅角）和点到原点的距离r（模长）的形式。
模长r可以通过使用勾股定理来计算：r=√(a^2+b^2)。
这个距离表示复数z到原点的距离。
幅角θ可以通过tanθ = b/a 来计算。
这个角度表示实轴与复数z 的连线之间的夹角。
将复数z表示为三角形式：z = r(cosθ + isinθ)。
其中cosθ表示x轴方向上的分量，sinθ表示y轴方向上的分量。
2.复数的乘法复数乘法的规则是，将两个复数的模长相乘，幅角相加。
设有两个复数z1 = r1(cosθ1 + isinθ1)和z2 = r2(cosθ2 + isinθ2)。
乘法运算的结果为：z1 * z2 = (r1 * r2) * (cos(θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2))角相加。
例如，计算(1+i)*(2+i)：首先将两个复数转换为三角形式：z1 = √(1^2 + 1^2) * (cos 45° + isin 45°) = √2 * (cos 45° + isin 45°)z2 = √(2^2 + 1^2) * (cos 63.4° + isin 63.4°) = √5 * (cos 63.4° + isin 63.4°)然后进行乘法运算：z1 * z2 = (√2 * √5) * (cos (45° + 63.4°) + isin (45° + 63.4°))= √10 * (cos 108.4° + isin 108.4°)所以，(1 + i) * (2 + i) = √10 * (cos 108.4° + isin108.4°)。
复数三角形式的四则运算公式
复数三角形式的四则运算公式一、复数的加法：复数的加法运算是指将两个复数相加。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的和为：(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i二、复数的减法：复数的减法运算是指将一个复数减去另一个复数。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的差为：(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i三、复数的乘法：复数的乘法运算是指将两个复数相乘。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的积为：(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i四、复数的除法：复数的除法运算是指将一个复数除以另一个复数。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的商为：(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i以上是复数的四则运算公式，通过这些公式可以对复数进行加减乘除的运算。
在实际问题中，复数的四则运算常常用于电路分析、信号处理、傅里叶变换等领域。
例如，在电路分析中，当电路中存在交流信号时，可以将信号表示为复数形式，利用复数的四则运算可以方便地进行电路参数计算和信号处理。
在信号处理中，复数的四则运算常用于频域分析，例如傅里叶变换。
通过将时域信号转换为频域信号，可以对信号的频谱进行分析和处理，从而实现滤波、频谱显示等功能。
总结起来，复数的四则运算是数学中一个重要的概念和工具，它在实际问题中具有广泛的应用。
通过掌握复数的加减乘除运算规则，可以更好地理解和应用复数，提高数学和工程领域的解决问题的能力。
复数的乘除法
ac bd bc ad (a+bi) c+di = 2 2 i 2 2 c d c d
这种方法叫做公式法
复数相除的另一种解法.
②利用分母实数化：
a bi (a bi)(c di) [ac bi (di)] (bc ad )i c di (c di)(c di) c2 d 2
三、复数的除法运算规则：
①设复数a+bi (a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商 为x+yi (x，y∈R)， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知解这个方程组，得于是有
(ac bd ) (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
这种方法叫做分母实数化法 给分子分母同乘以分母的共轭复数
例2计算
(1 2iBiblioteka (3 4i)1 2i 解： (1 2i ) (3 4i) 3 4i
(1 2i)(3 4i) 3 8 6i 4i 5 10i 1 2 i 2 2 (3 4i)(3 4i) 3 4 25 5 5
除法：先把两个复数相除写成分数形式，然后把分子 与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最 后再化简，这种方法叫做分母实数化法 。
5.求1 i i i .... i
2 3
2008
______
注意: i 4n 1, i 4n1 i, i 4n2 1, i 4n3 i
复数的三角形式与乘除运算
复数的三角形式与乘除运算复数是由一个实部和一个虚部组成的数，可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 分别表示实部和虚部。
复数的三角形式是指将复数表示为模长和辐角的形式。
一、复数的三角形式1.模长（绝对值）：复数的模长表示复数到原点的距离，可以用勾股定理求得。
模长的公式为，z，=√(a²+b²)。
2. 辐角：复数的辐角表示复数与正实轴之间的夹角，可以用反正切函数求得。
辐角的公式为 arg(z) = arctan(b/a)。
以复数 3 + 4i 为例，它的模长为，z，= √(3² +4²) = √(9 + 16) = √25 = 5，辐角为 arg(z) = arctan(4/3)。
所以这个复数的三角形式可以表示为 5 * cos(arctan(4/3)) + 5 * sin(arctan(4/3)) * i。
二、复数的乘法复数的乘法可以根据分配律进行展开计算，具体步骤如下：1.将两个复数的实部和虚部分别相乘，得到两个部分的结果。
2.对两个部分的结果进行合并，实部与实部相减，虚部与虚部相加，得到最终的结果。
举例说明：设有两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的乘法运算为：z1*z2=(a1+b1i)*(a2+b2i)根据分配律，可以展开计算：z1*z2=a1*a2+a1*b2i+b1i*a2+b1i*b2i再合并结果：z1*z2=a1*a2-b1*b2+(a1*b2+b1*a2)i可以看出，复数的乘法运算结果也是一个复数，实部和虚部分别由原复数的四个部分相乘得到。
三、复数的除法复数的除法可以通过乘以倒数的方式来实现。
具体步骤如下：1.将除数和被除数都转换为三角形式。
2.将除数的模长取倒数，辐角取相反数，得到除数的倒数。
3.将两个复数的倒数相乘，得到最终的结果。
举例说明：设有两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的除法运算为：z=z1/z2首先将z1和z2转换为三角形式：z1 = r1 * cos(θ1) + r1 * sin(θ1) * iz2 = r2 * cos(θ2) + r2 * sin(θ2) * i然后计算除数的倒数：1/z2 = 1/r2 * cos(-θ2) + 1/r2 * sin(-θ2) * i最后将除数的倒数乘以被除数，得到最终结果：z=z1*(1/z2)= (r1 * cos(θ1) + r1 * sin(θ1) * i) * (1/r2 * cos(-θ2) +1/r2 * sin(-θ2) * i)= (r1 * 1/r2) * cos(θ1 - θ2) + (r1 * 1/r2) * sin(θ1 - θ2) * i可以看出，复数的除法运算结果也是一个复数，实部和虚部分别由原复数的模长和辐角相除得到。
复数乘除法的计算方法
复数乘除法的计算方法一、复数乘除法的基础概念。
1.1 复数是什么呢？复数就像是数字世界里的“混血儿”，它由实部和虚部组成，一般写成a + bi的形式，其中a是实部，就像我们平常认识的实数一样实在；b是虚部，这个虚部啊，带着点神秘的色彩，i呢，它可是虚数单位，规定i^2=1。
这就好比是在实数的大舞台上，突然闯入了一个带着特殊规则的新角色。
1.2 复数乘法的意义。
复数乘法就像是一场特殊的“数字舞蹈”。
当我们把两个复数(a + bi)和c+di相乘的时候，可不是简单的对应部分相乘哦。
它就像一种组合拳，要按照特定的规则来打。
二、复数乘法的计算方法。
2.1 按照公式计算。
根据(a + bi)(c + di)=ac bd+(ad+bc)i这个公式来计算。
比如说(1 + 2i)(3 + 4i)，这里a = 1，b = 2，c = 3，d = 4。
那么按照公式，先计算ac bd，也就是1×3-2×4 = 3 8=-5；再计算ad + bc，就是1×4+2×3 = 4 + 6 = 10，所以结果就是-5+10i。
这就像在拼图，要把各个部分按照规则拼好才能得到完整的图案。
2.2 几何意义辅助理解。
复数乘法还有几何意义呢。
从几何角度看，复数乘法相当于对复数所对应的向量进行旋转和伸缩。
这就像是把一个箭头（向量）先拉长或者缩短，再转个方向，是不是很神奇？就好比是在一个平面上，指挥着向量这个小士兵按照特定的指令变换位置。
三、复数除法的计算方法。
3.1 先把除法变乘法。
复数除法可有点“绕圈子”，我们不能直接像实数除法那样做。
首先要把除法转化为乘法，这就叫“曲线救国”。
对于(a + bi)/(c+di)，我们要乘以它的共轭复数c di，也就是((a + bi)(c di))/((c + di)(c di))。
这就像在过河的时候，没有桥，我们要想办法搭个临时的桥（乘以共轭复数）才能过去。
3.2 计算过程。
复数代数形式的乘除运算
把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
(c di)( x yi) (cx dy) (dx cy)i ac bd x cx dy a 2 2 c d 解得 dx cy b bc ad y i 2 2 c d
4、一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
__ 1 3 3 2 2 ②设 i,则有: 1; ;1 0. 2 2
事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于,也 有类似于上面的三个等式.
2
= (8 i )(1 3i )
= 8 24i i 3i
2
= 5 25 i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
分母实数化
复数代数形式的除法实质： 分母实数化
例5.计算 (1 2i ) (3 4i )
1 2i (1 2i)(3 4i) 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (3 4i)(3 4i)
3 8 6 i 4 i 5 10 i 1 2 i 2 2 3 4 25 5 5
2
称为关于x的实系数一元二次方程
b b xx (实根) 2a 2a 2a
原创3：3.2.2复数的乘除运算
记法：复数 = + 的共轭复数记作
z
= −
z
口答：说出下列复数的共轭复数
⑴z=2+3
(2-3)
⑵z= -6
( 6)
⑶z= 3
(3)
注意：⑴当虚部不为0时的共轭复数称为共轭虚数
⑵实数的共轭复数是它本身
思考：若z1 ,z2是共轭复数，那么
⑴在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
分母实数化
+ = +
2、复数乘法满足交换律、结合律的证明
设 = + , = + , = + .
(1)因为 ∙ = ( + )( + )
= ( − ) + ( + ),
(事实上可以把它推广到 ∈ .）
1
1 i
1 i
2
i;
i.
② (1 i ) 2i; i;
i
1 i
1 i
2复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把
换成－1，然后实、虚部分别合并.
3 除法：先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母
的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即
化简等.
z1 1 i , z 2 2 i
（2）已知
求
+
,
,
-4
∙
8+6
（3）
1 ± 2 = ±2
1
=−
1+
=
1−
1−
= −
1+
复数代数形式的乘除运算
课本P112： A组4、5、6；B组1。
下节复习结合
3.2.2
X
阅读课本P109页至P111页，回答问题：
【说明】
1.复数的乘法 (1)乘法法则：复数的乘法与多项式的乘法是类似 的，但要注意结果中的 i2换成－1，并且把实部与虚部分
别合并．
(2)运算律：复数乘法仍满足乘法交换律、结合律 和分配律． 注意：乘法公式：正整数指数幂的运算律在复数 集C中仍成立．
?
2 2 2 2 A = 2 a c + 2 b d ； B = a + b + c + d 。 易 BA 。
练 2
(2008· 山东高考)设 z 的共轭复数是 z ，若 z＋
z z ＝4，z· z ＝8，则 z 等于( A．i B．－i
D
) C．± 1 D．± i
例3 求1＋i＋i2＋…＋i2011的值． 拓 展 ： G P 求 和 公 式 。 答： 0.
例1.计算: （） 1 1 2i 3 4i 2 i ;
2 3 4i 3 4i ; 2 31 i ; 4 1 2i 3的复数相乘可按从左到右
的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一
2．复数的除法 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷ (c＋di)写 a＋bi 成 的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数 c＋di c－di，化简后可得结果，实际上就是将分母实数化，这 与根式除法的分母“有理化”很类似．注意最后结果一 般写成实部与虚部分开的形式．
3．共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数仍是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R. (2)z· z ＝|z|2＝| z |2.
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A
8
探究复数乘法法则 计算： 分别计算 [ (3-2i)(1+i)] i 和 i [ (3-2i)(1+i)]
结复试数果类乘怎比法样实符数？合结这，合说写律明 出 什 复
么数？乘 法 的 交 换 律 、 结
合律、乘法对加法的
分配律
A
9
复数乘法运算律：
复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律
对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
A
22
回顾小结
3.2.2复数代数形式的乘除运算
一个定义 两种运算 三个技巧
说明：高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘 除法运算，属于低档题，只要掌握法则，认真求解即可．
A
23
体验高考
1．（2013山东）复数z满足（z-3)(2-i)=5,则z的共轭复数 为( )
A．2+i
B. 2-i
A
25
课外练习:
1.计算:(1+2 i )2
3 4i
2.若 z C 且 (3 z)i 1,则 z -_3_-__i_ .
3.已知 m R 且 (m i)3 R ,则 m _____33.
4.已知 z 1 3 i ,求 2z3 3z2 3z 9 的值. 22
8
A
26
i 解:原式= 4 9 2 =4+9=13 更简便!
A
11
法则应用
2、计算 (a+bi )(a-bi ).
A
12
2、计算 ：(a+bi )(a-bi ).
解： 原式= a 2 ( bi ) 2 = a2 b2
特点：结果是实数
A
13
规律技巧1
计算 (1和i)2
(1i)2
1i6
1i 10
解：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi(a，b∈R)， 由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即 a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i， 则有a－2＋3ab＝2－3.3b＝1， 解得ab＝ ＝0－1， 或ab＝ ＝3－. 1， 所以 z＝－1 或 z＝－1＋3i.
特用 试点式计联：子算想结出果1结-是i 果与实分数母相乘， 使之为实数即可
A
17
探究复数的除法法则
受以上问题启发 我们得到除法运算法则： ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii
＝[ac＋bi·－cd2＋i]d＋2 bc－adi ＝ac＋bdc2＋＋db2c－adi＝acc2＋＋bdd2 ＋bcc2＋－dad2 i. 注：两个复数相除（除数不为 0）商仍是复数。
惠民二中 时洪芳
A
1
复习回顾
复数的加减运算
计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝________.
答 案 ： (1)-1-8i
(2)-4+4i
(3)6－2i
A
2
新课讲授
今天我们将继续学习复数的四则运算
------复数代数形式的乘除运算
A
3
探究复数乘法法则 试计算：(3-2i)(1+i)
5你+是i 怎么做的？
A
4
探究复数乘法法则
设 Z 1=a+bi, Z 2=c+di是任意两个复数，
试计算（a+bi)(c+di)
A
5
探究复数乘法法则
复数的乘法与多项式的乘法是类似 的,只须把所得的结果中的i2换成-1,并 且把实部与虚部分别合并.即:
A
15
探究复数除法法则 试计算：(32i)(1i)
3 2i 1 i
若思 复考 数 ： 除 我 此 法 们 题 也 在 我 可 处 们 以理怎 看分样 成母做 乘有才能法根使的 号分逆 的母运 分不算 式是会 时虚写是数成怎？什么 么做的？？
A
16
2、计算 ：(a+bi )(a-bi ).
解： 原式= a 2 ( bi ) 2 = a2 b2
结你果分是别能是1 i吗？
10
1 i 1 i
-i 计
算--i
A
20
题型一 复数的乘除法运算
例1．复数
2i 1－i
的虚部是(
B)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A．－1
B．1
C．i
D．－i
2．复数－i＋ 2 i
＝( A
A．－3i
B.
1 2
i
) C．0
D．2i
A
21
题型二 共轭复数的应用
例 2 已知 z∈C， z 为 z 的共轭复数，若 z·z －3i z ＝1＋3i，求 z.
z1z2z2z1 , (z1z2)z3z1(z2z3), z1(z2z3)z1z2z1z3.
A
10
法则应用 1、计算(2+3i )(2－3i)
解:原式= 4 6i 6i 9i2
=4+9
=13
我们知道多项式的乘法用乘法 公式（平方差、完全平方）可迅速 展开运算,类似地,复数的乘法也可 大胆运用乘法公式来展开运算.
C．5+i
D．5-i
2．（2013课标全国卷） 2 1i
A． 2 2 B. 2
C．
=( )
2 D．1
3．（2013辽宁）复数z= 1 的模为( )
i1
A． 1
2
B. 2
2
C．
D．2
2
A
答案：D、C、B 24
思考.在复数集C内，你能将 x 2 y 2 分解因式吗？
(x+yi)(x-yi)
复数还能扩充吗？ 四元数
A
18
观察a+bi 与 a-bi 两复数的特点. 实部相等,虚部互为相反数，这样的两个复数叫做 互为共轭复数.（又叫互为实数化因式）
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z, 即zabi
注: 虚部不为0的两个共轭复数也叫共轭虚数 实数的共轭复数是本身
A
19
规律技巧3
分别计算
1
1 i
1 i
i
1 i
1 i
结你果分别能是 2-8ii 计 -2-3i2i算 吗？
A
14
规律技巧2
in的周期性：i1＝_____i___，i2＝____－__1__， i3＝___－__i ___，i4＝____1____，i5＝____i ____，i6＝________， i7＝－__1______，i8＝－_i_______. 1 结论：i4n＋1＝____i______，i4n＋2＝___－__1_____， i4n＋3＝ ___－__i___， i4n＝____1____.
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
A
6
复数的乘法法则：
(abi)(cdi) （ a cb d)(b ca d)i
结论：两个复数的积仍是一 个复数
A
7
探究复数乘法法则 计算：(1+i)(3-2i)
5结复+数i果乘和法(符3-合2i交)(1换+律i) 一 样 ， 这说明什么？