静安区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
静安区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设D 为△ABC 所在平面内一点，，则（）A ．B ．C ．D ．2． 如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．30B ．50C ．75D ．1503． 定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：＜0，且f （2）=4，则不等式f （x ）﹣＞0的解集为（ ）A ．（2，+∞）B ．（0，2）C ．（0，4）D ．（4，+∞）4． 圆（）与双曲线的渐近线相切，则的值为（ ）222(2)x y r -+=0r >2213y x -=rA B ． C ． D ．2【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．5． 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．6． 设x ，y ∈R ，且满足，则x+y=（）A ．1B ．2C ．3D ．47． 设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为( )。
A3B4C5D68． 已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大,A B O 60AOB ∠=︒C O ABC -值为，则球的体积为（）O A ． B ． C ． D ．81π128π144π288π【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．9． 偶函数f （x ）的定义域为R ，若f （x+2）为奇函数，且f （1）=1，则f （89）+f （90）为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．110．下列说法中正确的是（）A ．三点确定一个平面B ．两条直线确定一个平面C ．两两相交的三条直线一定在同一平面内D ．过同一点的三条直线不一定在同一平面内11．下列结论正确的是（）A ．若直线l ∥平面α，直线l ∥平面β，则α∥β．B ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α∥β．C ．若直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1∥l 2D ．若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α12．命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2则a ＞b ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．313．直线l 过点P （2，﹣2），且与直线x+2y ﹣3=0垂直，则直线l 的方程为（ ）A ．2x+y ﹣2=0B ．2x ﹣y ﹣6=0C ．x ﹣2y ﹣6=0D ．x ﹣2y+5=014．在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则210a a +=（）A ．12B ．16C ．20D ．2415．以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足=，则﹣S（）A．2B．4C．1D．﹣1二、填空题16．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元．17．调查某公司的四名推销员，其工作年限与年推销金额如表推销员编号1234工作年限x/（年）351014年推销金额y/（万元）23712由表中数据算出线性回归方程为=x+．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年推销金额为 万元．18．曲线y＝x2＋3x在点（－1，－2）处的切线与曲线y＝ax＋ln x相切，则a＝________．19．设f（x）是（x2+）6展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则实数m的取值范围是 ．三、解答题20．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．21．已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若，求实数k的值；（Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．22．已知函数f（x0=．（1）画出y=f（x）的图象，并指出函数的单调递增区间和递减区间；（2）解不等式f（x﹣1）≤﹣．23．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，他们的对边分别为a 、b 、c ，且．（1）求A ；（2）若，求bc 的值，并求△ABC 的面积．24．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线与圆相切于点，是过点的割线，，点是线段的中PA O A PBC O CPE APE ∠=∠H ED 点.（1）证明：四点共圆；D F E A 、、、（2）证明：.PC PB PF ⋅=225．（本小题满分12分）菜农为了蔬菜长势良好，定期将用国家规定的低毒杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，待蔬菜成熟时将采集上市销售，但蔬菜上仍存有少量的残留农药，食用时可用清水清洗干净，下表是用清水x （单位：千克）清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残存的农药y （单位：微克）的统计表：x i12345y i5753403010（1）在下面的坐标系中，描出散点图，并判断变量x与y的相关性；（2）若用解析式y＝cx2＋d作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程，求其解析式；（c，a精确到0.01）；附：设ωi＝x，有下列数据处理信息：＝11，＝38，2iωy（ωi－）（y i－）＝－811，（ωi－）2＝374，ωyω对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线方程y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为（3）为了节约用水，且把每千克蔬菜上的残留农药洗净估计最多用多少千克水．（结果保留1位有效数字）静安区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：由已知得到如图由===；故选：A．【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．2．【答案】B【解析】解：该几何体是四棱锥，其底面面积S=5×6=30，高h=5，则其体积V=S×h=30×5=50．故选B．3．【答案】B【解析】解：定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：＜0．∵f（2）=4，则2f（2）=8，f（x）﹣＞0化简得，当x＜2时，⇒成立．故得x＜2，∵定义在（0，+∞）上．∴不等式f（x）﹣＞0的解集为（0，2）．故选B ．【点评】本题考查了构造已知条件求解不等式，从已知条件入手，找个关系求解．属于中档题． 4． 【答案】C5． 【答案】B【解析】【知识点】函数的奇偶性【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x 是奇函数，故是偶函数。
故答案为：B 6． 【答案】D【解析】解：∵（x ﹣2）3+2x+sin （x ﹣2）=2，∴（x ﹣2）3+2（x ﹣2）+sin （x ﹣2）=2﹣4=﹣2，∵（y ﹣2）3+2y+sin （y ﹣2）=6，∴（y ﹣2）3+2（y ﹣2）+sin （y ﹣2）=6﹣4=2，设f （t ）=t 3+2t+sint ，则f （t ）为奇函数，且f'（t ）=3t 2+2+cost ＞0，即函数f （t ）单调递增．由题意可知f （x ﹣2）=﹣2，f （y ﹣2）=2，即f （x ﹣2）+f （y ﹣2）=2﹣2=0，即f （x ﹣2）=﹣f （y ﹣2）=f （2﹣y ），∵函数f （t ）单调递增∴x ﹣2=2﹣y ，即x+y=4，故选：D ．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f （t ）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质． 7． 【答案】B【解析】由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素，故选B 8． 【答案】D【解析】当平面平面时，三棱锥的体积最大，且此时为球的半径．设球的半径为OC ⊥AOB O ABC -OC，则由题意，得，解得，所以球的体积为，故选D ．R 211sin 6032R R ⨯⨯︒⋅=6R =342883R π=π9． 【答案】D【解析】解：∵f （x+2）为奇函数，∴f （﹣x+2）=﹣f （x+2），∵f （x ）是偶函数，∴f （﹣x+2）=﹣f （x+2）=f （x ﹣2），即﹣f （x+4）=f （x ），则f （x+4）=﹣f （x ），f （x+8）=﹣f （x+4）=f （x ），即函数f （x ）是周期为8的周期函数，则f （89）=f （88+1）=f （1）=1，f （90）=f （88+2）=f （2），由﹣f （x+4）=f （x ），得当x=﹣2时，﹣f （2）=f （﹣2）=f （2），则f （2）=0，故f （89）+f （90）=0+1=1，故选：D ．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键． 10．【答案】D【解析】解：对A ，当三点共线时，平面不确定，故A 错误；对B ，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B 错误；对C ，∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C 错误；对D ，由C 可知D 正确．故选：D ． 11．【答案】B【解析】解：A 选项中，两个平面可以相交，l 与交线平行即可，故不正确；B 选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；C 选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；D 中选项也可能相交．故选：B ．【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 12．【答案】C【解析】解：命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则c 2＞0，则a ＞b ”为真命题；故其逆否命题也为真命题；其逆命题为“设a 、b 、c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”在c=0时不成立，故为假命题故其否命题也为假命题故原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2个故选C【点评】本题考查的知识点是四种命题的真假判断，不等式的基本性质，其中熟练掌握互为逆否的两个命题真假性相同，是解答的关键． 13．【答案】B【解析】解：∵直线x+2y ﹣3=0的斜率为﹣，∴与直线x+2y ﹣3=0垂直的直线斜率为2，故直线l 的方程为y ﹣（﹣2）=2（x ﹣2），化为一般式可得2x ﹣y ﹣6=0故选：B【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题． 14．【答案】B 【解析】试题分析：由等差数列的性质可知，16a 84102=+=+a a a .考点：等差数列的性质.15．【答案】 A【解析】解：∵椭圆方程为+=1，∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0），∴双曲线方程为，设点P （x ，y ），记F 1（﹣3，0），F 2（3，0），∵=，∴=，整理得：=5，化简得：5x=12y﹣15，又∵，∴5﹣4y2=20，解得：y=或y=（舍），∴P（3，），∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0，∴点M到直线PF1的距离d==1，易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心．故﹣===2，故选：A．【点评】本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题． 二、填空题16．【答案】1464【解析】【知识点】函数模型及其应用【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A用涂料1，房间B用涂料3，房间C用涂料2，即最低的涂料总费用是元。
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静安区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设D 为△ABC 所在平面内一点，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2． 如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．30B ．50C ．75D ．1503． 定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：＜0，且f （2）=4，则不等式f （x ）﹣＞0的解集为（ ） A ．（2，+∞）B ．（0，2）C ．（0，4）D ．（4，+∞）4． 圆222(2)x y r -+=（0r >）与双曲线2213y x -=的渐近线相切，则r 的值为（ ）A B ．2 C D ．【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力． 5． 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ） A ． B ． C ．D ．6． 设x ，y ∈R ，且满足，则x+y=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47． 设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为( )。
A3 B4 C5 D68． 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为O 的体积为（ ）A ．81πB ．128πC ．144πD ．288π【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．9． 偶函数f （x ）的定义域为R ，若f （x+2）为奇函数，且f （1）=1，则f （89）+f （90）为（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．1 10．下列说法中正确的是（ ） A ．三点确定一个平面 B ．两条直线确定一个平面C ．两两相交的三条直线一定在同一平面内D ．过同一点的三条直线不一定在同一平面内 11．下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ∥平面α，直线l ∥平面β，则α∥β．B ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α∥β．C ．若直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1∥l 2D ．若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α12．命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2则a ＞b ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．313．直线l 过点P （2，﹣2），且与直线x+2y ﹣3=0垂直，则直线l 的方程为（ ）A ．2x+y ﹣2=0B ．2x ﹣y ﹣6=0C ．x ﹣2y ﹣6=0D ．x ﹣2y+5=014．在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则210a a +=（ ）A ．12B ．16C ．20D ．2415．以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足=，则﹣S（）A．2 B．4 C．1 D．﹣1二、填空题16．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是_______元．17由表中数据算出线性回归方程为=x+．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年推销金额为万元．18．曲线y＝x2＋3x在点（－1，－2）处的切线与曲线y＝ax＋ln x相切，则a＝________．19．设f（x）是（x2+）6展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题20．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4Y 51 48 45 42这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．21．已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若，求实数k的值；（Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．22．已知函数f（x0=．（1）画出y=f（x）的图象，并指出函数的单调递增区间和递减区间；（2）解不等式f（x﹣1）≤﹣．23．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，他们的对边分别为a 、b 、c ，且．（1）求A ；（2）若，求bc 的值，并求△ABC 的面积．24．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线PA 与圆O 相切于点A ，PBC 是过点O 的割线，CPE APE ∠=∠，点H 是线段ED 的中 点.（1）证明：D F E A 、、、四点共圆； （2）证明：PC PB PF ⋅=2.25．（本小题满分12分）菜农为了蔬菜长势良好，定期将用国家规定的低毒杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，待蔬菜成熟时将采集上市销售，但蔬菜上仍存有少量的残留农药，食用时可用清水清洗干净，下表是用清水x（1（2）若用解析式y＝cx2＋d作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程，求其解析式；（c，a精确到0.01）；附：设ωi＝x2i，有下列数据处理信息：ω＝11，y＝38，（ωi－ω）（y i－y）＝－811，（ωi－ω）2＝374，对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线方程y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为（3）为了节约用水，且把每千克蔬菜上的残留农药洗净估计最多用多少千克水．（结果保留1位有效数字）静安区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：由已知得到如图由===；故选：A．【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．2．【答案】B【解析】解：该几何体是四棱锥，其底面面积S=5×6=30，高h=5，则其体积V=S×h=30×5=50．故选B．3．【答案】B【解析】解：定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：＜0．∵f（2）=4，则2f（2）=8，f（x）﹣＞0化简得，当x＜2时，⇒成立．故得x＜2，∵定义在（0，+∞）上．∴不等式f（x）﹣＞0的解集为（0，2）．故选B．【点评】本题考查了构造已知条件求解不等式，从已知条件入手，找个关系求解．属于中档题．4．【答案】C5．【答案】B【解析】【知识点】函数的奇偶性【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x是奇函数，故是偶函数。
(完整版)静安区2019年度高三数学一模含答案
静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数)4(log 22x y -=的定义域是______________．2．已知向量)2,1(=AB ，)5,3(=AC ，则向量BC 的坐标是____________． 3．在二项式(x 2−1x )5的展开式中，x 4项的系数为__________．（结果用数值表示）4．若直线轴平行，则a 的值是__________． 5．若α、β是一元二次方程2x 2+x +3=0的两个根，则1α+1β=__________．6．在数列{}n a 中，11=a ，且{}n a 是公比为13的等比数列．设T n =a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n−1，则lim n→∞T n =__________．(*N ∈n )7．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为__________元．（结果保留两位小数） 8．已知314cos =⎪⎭⎫⎝⎛+απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ22cos _________． 9．以两条直线l 1:2x +y =0和l 2:x +3y +5=0的交点为圆心，并且与直线x +3y +15=0相切的圆的方程是__________．10．已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm 3．（结果保留圆周率π） 11．集合A ={y|y =log 12x −x,1≤x ≤2}，B ={x |x 2−5tx +1≤0}，若A ∩B =A ，则实数t 的取值范围是__________．12.若定义在实数集R 上的奇函数y =f(x)的图像关于直线x =1对称，且当0≤x ≤1时，f (x )=x 13，则方程f (x )=13在区间（−4，10）内的所有实根之和为__________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考x y a x a a 与03)9()372(22=+-++-生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）.（A ）2544P P ⋅ （B ）2544C C ⋅ （C ）2746P P ⋅ （D ）2746C C ⋅ 14．已知椭圆的标准方程为x 216+y 2m 2=1 (m >0)，焦点在轴上，则其焦距为（ ）.（A ） （B ） （C ） （D ）15．已知下列4个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数．②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数． ③复数z 是实数的充要条件是z =z̅．（z̅是z 的共轭复数）． ④已知复数z 1=−1+2i,z 2=1−i,z 3=3−2i （i 是虚数单位），它们对应的点分别为A ，B ，C . O 为坐标原点．若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ （x ，y ∈R ），则x +y =1. 则其中正确命题的个数为（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个16．设 a ⃗⃗⃗ ,b ⃗⃗⃗ 表示平面向量，|a ⃗⃗⃗ |,|b ⃗⃗⃗ |都是小于9的正整数，且满足(|a ⃗⃗⃗ |+|b ⃗⃗⃗ |)(|a ⃗⃗⃗ |+3|b ⃗⃗⃗ |)=105，(a ⃗⃗⃗ +b ⃗⃗⃗ )∙(a ⃗⃗⃗ +3b ⃗⃗⃗ )=33，则a ⃗⃗⃗ 和b⃗⃗⃗ 的夹角大小为（ ）. （A ）π6（B ）π3(C )2π3（D ）5π6三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 的长为1.40米，计算BC 的长（结果保留3个有效数字，单位:米）．x m -422162m -822-m 42-m18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，⊥PA 平面ABCD ，AB AC PA ==，E 、F 分别是CD 、PD 的中点． （1）求证：⊥CD 平面PAE ；（2）求异面直线AF 与PE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设f (x )=sin 2x +2acosx +a 2−6a +13，x ∈[−π2，π2]． （1）求函数f (x )的最大值M ；（2）对（1）中的M ，是否存在常数b （b >0且b ≠1），使得当a >1时， y =log b M 有意义，且y 的最大值是−43？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0>m ，椭圆Γ：1322=+my m x 与双曲线C ：2222m y x m =-的焦点相同． （1）求椭圆Γ与双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，分别交双曲线C 于点P ，Q （P ，Q 不同于右顶点），若k 1∙k 2=−1，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出此定值；（3）设点)2,0(T ，若对于直线b x y l +=:，椭圆Γ上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且9<4TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙TB ⃗⃗⃗⃗⃗ <10，求实数b 的取值范围．F P A B CD E21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 将n 个数1a ，2a ，…，n a 的连乘积n a a a ⋅⋅⋅Λ21记为ini a ∏=1，将n 个数1a ，2a ，…，na的和n a a a +++Λ21记为i ni a ∑=1．（*N ∈n ） （1）若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，设ini n x P +=∏=111，i ni n x S +=∑=111，求P 5+S 5；（2）用][x 表示不超过x 的最大整数，例如2]2[=，3]4.3[=，2]8.1[-=-．若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=i i i x x 120191的值；（3）设定义在正整数集*N 上的函数)(n f 满足：当2)1(2)1(+≤<-m m n m m （*N ∈m ）时，m n f =)(，问是否存在正整数n ，使得2019)(1=∑=i f ni ？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由（已知6)12)(1(21++=∑=n n n i ni ）．静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学解答一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．)2,2(-. 2．），（32. 3．10.4．12． 5．−13． 6．lim n→∞T n =98.7．13795.16元 8．97． 9．(x −1)2+(y +2)2=10. 10．12288π cm 3． 11．t ≤−23. 12. 24.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．~~~~16．ABBC三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤． 17．（本题满分14分） 解：根据题意，在△ABC 中，AB =1.95,AC =1.40，∠BAC =66O 20/，由余弦定理，得计算得：BC 2≈3.571. BC ≈1.89.答：顶杆约长1.89米．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，△ACD 是等边三角形，因为E 是CD 的中点，所以AE CD ⊥， 又⊥PA 平面ABCD ，所以CD PA ⊥，所以⊥CD 平面PAE ．（2）取DE 中点G ，连结AG ，FG ，则FG ∥PE ， 所以，AFG ∠为异面直线AF 与PE 所成角， 设a PA =，在△AFG 中，a AF 22=，a FG 47=， a AG 413=， 所以，FG AF AG FG AF AFG ⋅-+=∠2cos 222281447222161316721222=⋅⋅-+=aa a a a ． 所以，异面直线AF 与PE 所成角的大小为2814arccos． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解： (1)f (x )=sin 2x +2acosx +a 2−6a +13=−cos 2x +2acosx +a 2−6a +14 设cosx =t ，因为x ∈[−π2，π2]，所以t ∈[0,1].f (x )=−cos 2x +2acosx +a 2−6a +14=−t 2+2at +a 2−6a +14.FPABCDE GM ={a 2−6a +14,(a <0),2a 2−6a +14,(0≤a ≤1),a 2−4a +13,(a >1).(2)当a >1时，M =a 2−4a +13=(a −2)2+9≥9，该函数当a ∈（1，2]时递减，当a ∈[2，+∞）时递增。
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静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数)4(log 22x y -=的定义域是______________．2．已知向量)2,1(=AB ，)5,3(=AC ，则向量BC 的坐标是____________． 3．在二项式(x 2−1x )5的展开式中，x 4项的系数为__________．（结果用数值表示）4．若直线轴平行，则a 的值是__________． 5．若、是一元二次方程2x 2+x +3=0的两个根，则1α+1β=__________．6．在数列{}n a 中，11=a ，且{}n a 是公比为13的等比数列．设T n =a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n−1，则lim n→∞T n =__________．(*N ∈n )7．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为__________元．（结果保留两位小数） 8．已知314cos =⎪⎭⎫⎝⎛+απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ22cos _________． 9．以两条直线l 1:2x +y =0和l 2:x +3y +5=0的交点为圆心，并且与直线x +3y +15=0相切的圆的方程是__________．10．已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm 3．（结果保留圆周率） 11．集合A ={y|y =log 12x −x,1≤x ≤2}，B ={x |x 2−5tx +1≤0}，若A ∩B =A ，则实数t 的取值范围是__________．12.若定义在实数集R 上的奇函数y =f(x)的图像关于直线x =1对称，且当0≤x ≤1时，f (x )=x 13，则方程f (x )=13在区间（−4，10）内的所有实根之和为__________．x y a x a a 与03)9()372(22=+-++-二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）.（A ）2544P P ⋅ （B ）2544C C ⋅ （C ）2746P P ⋅ （D ）2746C C ⋅ 14．已知椭圆的标准方程为x 216+y 2m 2=1 (m >0)，焦点在轴上，则其焦距为（ ）.（A ） （B ） （C ） （D ）15．已知下列4个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数．②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数． ③复数z 是实数的充要条件是z =z̅．（z̅是z 的共轭复数）． ④已知复数z 1=−1+2i,z 2=1−i,z 3=3−2i （i 是虚数单位），它们对应的点分别为A ，B ，C . O 为坐标原点．若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ （x ，y ∈R ），则x +y =1. 则其中正确命题的个数为（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个16．设 a ⃗⃗⃗ ,b ⃗⃗⃗ 表示平面向量，|a ⃗⃗⃗ |,|b ⃗⃗⃗ |都是小于9的正整数，且满足(|a ⃗⃗⃗ |+|b ⃗⃗⃗ |)(|a ⃗⃗⃗ |+3|b ⃗⃗⃗ |)=105，(a ⃗⃗⃗ +b ⃗⃗⃗ )∙(a ⃗⃗⃗ +3b ⃗⃗⃗ )=33，则a ⃗⃗⃗ 和b⃗⃗⃗ 的夹角大小为（ ）. （A ）π6 （B ）π3 (C )2π3（D ）5π6三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 的长为1.40米，计算BC 的长（结果保留3个有效数字，单位:米）．x m -422162m -822-m 42-m18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，⊥PA 平面ABCD ，AB AC PA ==，E 、F 分别是CD 、PD 的中点． （1）求证：⊥CD 平面PAE ；（2）求异面直线AF 与PE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设f (x )=sin 2x +2acosx +a 2−6a +13，x ∈[−π2，π2]． （1）求函数f (x )的最大值M ；（2）对（1）中的M ，是否存在常数b （b >0且b ≠1），使得当a >1时， y =log b M 有意义，且y 的最大值是−43？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0>m ，椭圆Γ：1322=+my m x 与双曲线C ：2222m y x m =-的焦点相同． （1）求椭圆Γ与双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，分别交双曲线C 于点P ，Q （P ，Q 不同于右顶点），若k 1∙k 2=−1，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出此定值；（3）设点)2,0(T ，若对于直线b x y l +=:，椭圆Γ上总存在不同的两点A 与B 关于直线F P A B CD El 对称，且9<4TA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙TB ⃗⃗⃗⃗⃗ <10，求实数b 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 将n 个数1a ，2a ，…，n a 的连乘积n a a a ⋅⋅⋅ 21记为ini a ∏=1，将n 个数1a ，2a ，…，na的和n a a a +++ 21记为i ni a ∑=1．（*N ∈n ） （1）若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，设ini n x P +=∏=111，i ni n x S +=∑=111，求P 5+S 5；（2）用][x 表示不超过x 的最大整数，例如2]2[=，3]4.3[=，2]8.1[-=-．若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=i i i x x 120191的值；（3）设定义在正整数集*N 上的函数)(n f 满足：当2)1(2)1(+≤<-m m n m m （*N ∈m ）时，m n f =)(，问是否存在正整数n ，使得2019)(1=∑=i f ni ？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由（已知6)12)(1(21++=∑=n n n i ni ）．静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学解答一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．)2,2(-. 2．），（32. 3．10.4．12． 5．−13． 6．lim n→∞T n =98.7．13795.16元 8．97． 9．(x −1)2+(y +2)2=10. 10．12288 cm 3． 11．t ≤−23. 12. 24.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．~~~~16．ABBC三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤． 17．（本题满分14分） 解：根据题意，在△ABC 中，AB =1.95,AC =1.40，BAC =66O 20/，由余弦定理，得计算得：BC 2≈3.571. BC ≈1.89.答：顶杆约长1.89米．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，△ACD 是等边三角形，因为E 是CD 的中点，所以AE CD ⊥， 又⊥PA 平面ABCD ，所以CD PA ⊥，所以⊥CD 平面PAE ．（2）取DE 中点G ，连结AG ，FG ，则FG ∥PE ， 所以，AFG ∠为异面直线AF 与PE 所成角， 设a PA =，在△AFG 中，a AF 22=，a FG 47=， a AG 413=， 所以，FG AF AG FG AF AFG ⋅-+=∠2cos 222281447222161316721222=⋅⋅-+=aa a a a ． 所以，异面直线AF 与PE 所成角的大小为2814arccos． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解： (1)f (x )=sin 2x +2acosx +a 2−6a +13=−cos 2x +2acosx +a 2−6a +14FPABCDE G设cosx =t ，因为x ∈[−π2，π2]，所以t ∈[0,1].f (x )=−cos 2x +2acosx +a 2−6a +14=−t 2+2at +a 2−6a +14.M ={a 2−6a +14,(a <0),2a 2−6a +14,(0≤a ≤1),a 2−4a +13,(a >1).(2)当a >1时，M =a 2−4a +13=(a −2)2+9≥9，该函数当a ∈（1，2]时递减，当a ∈[2，+∞）时递增。
静安区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
静安区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 函数f （x ）=有且只有一个零点时，a 的取值范围是（）A ．a ≤0B ．0＜a ＜C ．＜a ＜1D ．a ≤0或a ＞12． 设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=4x+2y 的最大值为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．23． 已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A ． =﹣0.2x+3.3B ． =0.4x+1.5C ． =2x ﹣3.2D ． =﹣2x+8.64． 若等式（2x ﹣1）2014=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2014x 2014对于一切实数x 都成立，则a 0+1+a 2+…+a 2014=（）A ．B ．C ．D ．05． 如果对定义在上的函数，对任意，均有成立，则称R )(x f n m ≠0)()()()(>--+m nf n mf n nf m mf 函数为“函数”.给出下列函数：)(x f H ①；②；③；④()ln 25x f x =-34)(3++-=x x x f )cos (sin 222)(x x x x f --=．其中函数是“函数”的个数为（ ）⎩⎨⎧=≠=0,00|,|ln )(x x x x f H A ．1B ．2C ．3D ． 4【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大．6． 函数f （x ）=xsinx 的图象大致是（）A ．B ．C．D．7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则循环体的判断框内①处应填（）A．11？B．12？C．13？D．14？8．设为虚数单位，则（）A． B． C． D．9．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，则l∥m．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．410．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，且f（x）=f（x+2），g（x）=，则方程g（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣3，7]上的所有零点之和为（）A．12B．11C．10D．911．有30袋长富牛奶，编号为1至30，若从中抽取6袋进行检验，则用系统抽样确定所抽的编号为（ ）A ．3，6，9，12，15，18B ．4，8，12，16，20，24C ．2，7，12，17，22，27D ．6，10，14，18，22，2612．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()211{52128lnx x xf x m x mx x +>=-++≤，，，，若有三个零点，则实数m 的取值范围是________．()()g x f x m =-14．若与共线，则y= ．15．函数f （x ）=a x +4的图象恒过定点P ，则P 点坐标是 ．16．在直角梯形分别为的中点，,,DC//AB,AD DC 1,AB 2,E,F ABCD AB AD ⊥===,AB AC 点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）．若，其中，P A AD DE AP ED AF λμ=+,R λμ∈则的取值范围是___________．2λμ-17．已知直线5x+12y+m=0与圆x 2﹣2x+y 2=0相切，则m= ．18．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则__________.h=三、解答题19．某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x 年后游艇的盈利为y 万元．（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？20．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线的极坐x l 标方程为，曲线的极坐标方程为．cos sin 2ρθρθ-=C 2sin 2cos (0)p p ρθθ=>（1）设为参数，若，求直线的参数方程；t 2x =-+l （2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值．l C ,P Q (2,4)M --2||||||PQ MP MQ =⋅p 21．已知函数f （x ）=x 3﹣x 2+cx+d 有极值．（Ⅰ）求c 的取值范围；（Ⅱ）若f （x ）在x=2处取得极值，且当x ＜0时，f （x ）＜d 2+2d 恒成立，求d 的取值范围． 22．已知函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（1）=﹣，且3a＞2c＞2b．（1）求证：a＞0时，的取值范围；（2）证明函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的取值范围．23．某市出租车的计价标准是4km以内10元（含4km），超过4km且不超过18km的部分1.5元/km，超出18km 的部分2元/km．（1）如果不计等待时间的费用，建立车费y元与行车里程x km的函数关系式；（2）如果某人乘车行驶了30km，他要付多少车费？24．某运动员射击一次所得环数X的分布如下：X0～678910P00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ．（I）求该运动员两次都命中7环的概率；（Ⅱ）求ξ的数学期望Eξ．静安区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：∵f（1）=lg1=0，∴当x≤0时，函数f（x）没有零点，故﹣2x+a＞0或﹣2x+a＜0在（﹣∞，0]上恒成立，即a＞2x，或a＜2x在（﹣∞，0]上恒成立，故a＞1或a≤0；故选D．【点评】本题考查了分段函数的应用，函数零点与方程的关系应用及恒成立问题，属于基础题．2．【答案】B【解析】解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时，z取得最大值10．3．【答案】A【解析】解：变量x与y负相关，排除选项B，C；回归直线方程经过样本中心，把=3，=2.7，代入A成立，代入D不成立．故选：A．4．【答案】B【解析】解法一：∵，∴（C为常数），取x=1得，再取x=0得，即得，∴，故选B．解法二：∵，∴，∴，故选B．【点评】本题考查二项式定理的应用，定积分的求法，考查转化思想的应用．5．【答案】B第6．【答案】A【解析】解：函数f（x）=xsinx满足f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），函数的偶函数，排除B、C，因为x∈（π，2π）时，sinx＜0，此时f（x）＜0，所以排除D，故选：A．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力． 7．【答案】C【解析】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=+++…+=的值，若输出的结果是，则最后一次执行累加的k值为12，则退出循环时的k值为13，故退出循环的条件应为：k≥13？，故选：C【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．8．【答案】C【解析】【知识点】复数乘除和乘方【试题解析】故答案为：C9．【答案】B【解析】解：∵①若m∥l，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理，得l⊥α，故①正确；②若m∥l，m∥α，则l∥α或l⊂α，故②错误；③如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，平面ABCD∩平面BCC1B1=BC，由AB、BC、BB1两两相交，得：若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n不成立，故③是假命题；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，则由α∩γ=n知，n⊂α且n⊂γ，由n⊂α及n∥β，α∩β=m，得n∥m，同理n∥l，故m∥l，故命题④正确．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．【答案】B【解析】解：∵f（x）=f（x+2），∴函数f（x）为周期为2的周期函数，函数g（x）=，其图象关于点（2，3）对称，如图，函数f（x）的图象也关于点（2，3）对称，函数f（x）与g（x）在[﹣3，7]上的交点也关于（2，3）对称，设A，B，C，D的横坐标分别为a，b，c，d，则a+d=4，b+c=4，由图象知另一交点横坐标为3，故两图象在[﹣3，7]上的交点的横坐标之和为4+4+3=11，即函数y=f（x）﹣g（x）在[﹣3，7]上的所有零点之和为11．故选：B．【点评】本题考查函数的周期性，函数的零点的概念，以及数形结合的思想方法．属于中档题．11．【答案】C【解析】解：从30件产品中随机抽取6件进行检验，采用系统抽样的间隔为30÷6=5，只有选项C中编号间隔为5，故选：C．12．【答案】C【解析】解：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过B1作B1H⊥AO1于H，则易知A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=，AO1=3，由A1O1•A1A=h•AO1，可得A1H=，故选：C．【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题． 二、填空题13．【答案】7 14⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】14．【答案】 ﹣6 ．【解析】解：若与共线，则2y﹣3×（﹣4）=0解得y=﹣6故答案为：﹣6【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y的方程，是解答本题的关键．15．【答案】 （0，5） ．【解析】解：∵y=a x的图象恒过定点（0，1），而f（x）=a x+4的图象是把y=a x的图象向上平移4个单位得到的，∴函数f（x）=a x+4的图象恒过定点P（0，5），故答案为：（0，5）．【点评】本题考查指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，是基础题．-16．【答案】[]1,1【解析】考点：向量运算．【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．17．【答案】8或﹣18【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．【解答】解：整理圆的方程为（x﹣1）2++y2=1故圆的圆心为（1，0），半径为1直线与圆相切∴圆心到直线的距离为半径即=1，求得m=8或﹣18故答案为：8或﹣1818．【答案】【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱底面，且为直角三角形，且VA ⊥ABC ABC ∆，所以三棱锥的体积为，解得.5,,6AB VA h AC ===115652032V h h =⨯⨯⨯==4h =考点：几何体的三视图与体积.三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）（x ∈N *）…6（2）盈利额为...当且仅当即x=7时，上式取到等号...11答：使用游艇平均7年的盈利额最大． (12)【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．20．【答案】【解析】【命题意图】本题主要考查抛物线极坐标方程、直线的极坐标方程与参数方程的互化、直线参数方程的几何意义的应用，意在考查逻辑思维能力、等价转化的能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．21．【答案】【解析】解（Ⅰ）∵f（x）=x3﹣x2+cx+d，∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，从而△=1﹣4c＞0，∴c＜．（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值，∴f′（2）=4﹣2+c=0，∴c=﹣2．∴f（x）=x3﹣x2﹣2x+d，∵f′（x）=x2﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），∴当x∈（﹣∞，﹣1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（﹣1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．∴x＜0时，f（x）在x=﹣1处取得最大值，∵x＜0时，f（x）＜恒成立，∴＜，即（d+7）（d﹣1）＞0，∴d＜﹣7或d＞1，即d的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．22．【答案】【解析】解：（1）∵f（1）=a+b+c=﹣，∴3a+2b+2c=0．又3a＞2c＞2b，故3a＞0，2b＜0，从而a＞0，b＜0，又2c=﹣3a﹣2b及3a＞2c＞2b知3a＞﹣3a﹣2b＞2b∵a＞0，∴3＞﹣3﹣＞2，即﹣3＜＜﹣．（2）根据题意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a﹣c=a﹣c．下面对c的正负情况进行讨论：①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0，f（1）=﹣＜0所以函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点；②当c≤0时，∵a＞0，∴f（1）=﹣＜0，f（2）=a﹣c＞0所以函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点；综合①②得函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）．∵x1，x2是函数f（x）的两个零点∴x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根．故x1+x2=﹣，x1x2===从而|x1﹣x2|===．∵﹣3＜＜﹣，∴|x1﹣x2|．【点评】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑；同时考查了函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．23．【答案】【解析】解：（1）依题意得：当0＜x≤4时，y=10；…（2分）当4＜x≤18时，y=10+1.5（x﹣4）=1.5x+4…当x＞18时，y=10+1.5×14+2（x﹣18）=2x﹣5…（8分）∴…（9分）（2）x=30，y=2×30﹣5=55…（12分）【点评】本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题． 24．【答案】【解析】解：（1）设A=“该运动员两次都命中7环”，则P（A）=0.2×0.2=0.04．（2）依题意ξ在可能取值为：7、8、9、10且P（ξ=7）=0.04，P（ξ=8）=2×0.2×0.3+0.32=0.21，P（ξ=9）=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3×0.32=0.39，P（ξ=10）=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36，∴ξ的分布列为：ξ78910P0.040.210.390.36ξ的期望为Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．。
静安区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
静安区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ） A ．14 B ．12C ．1D ．2 2． 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A ．B ．（4+π）C ．D ．3． 已知双曲线kx 2﹣y 2=1（k ＞0）的一条渐近线与直线2x+y ﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．4D ．4． 已知f （x ）=m •2x +x 2+nx ，若{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}≠∅，则m+n 的取值范围为（ ） A ．（0，4） B ．[0，4） C ．（0，5] D ．[0，5] 5． “24x ππ-<≤”是“tan 1x ≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性.6． 若复数z 满足=i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1﹣iB ．1+iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i7． 等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 2a 6=（ ）A ．6B ．9C ．36D ．728． 已知直线y=ax+1经过抛物线y 2=4x 的焦点，则该直线的倾斜角为（ ）A ．0B ．C ．D ．9． 复数Z=（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（﹣1，3）C ．（3，﹣1）D ．（2，4）10．棱台的两底面面积为1S 、2S ，中截面（过各棱中点的面积）面积为0S ，那么（ ） A ．0122S S S =B ．012S S S =C ．0122S S S =+D ．20122S S S =11．函数2()45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．[]2,4 C ．(,2]-∞ D ．[]0,2 12．已知两条直线12:,:0L y x L ax y =-=，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动 时，的取值范围是（ ）A ． ()0,1B ．333⎛ ⎝C ．()31,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．(3二、填空题13．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是 ．14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 ．15．△ABC 中，，BC=3，，则∠C=．16．已知sin α+cos α=，且＜α＜，则sin α﹣cos α的值为 ．17．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．18．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，则（∁U A）∪B=．三、解答题19．已知数列{a n}的首项a1=2，且满足a n+1=2a n+3•2n+1，（n∈N*）．（1）设b n=，证明数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，首项为b，若存在非零常数a，使得（1﹣a）S n=b﹣a n+1对一切n∈N*都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）问是否存在一组非零常数a，b，使得{S n}成等比数列？若存在，求出常数a，b的值，若不存在，请说明理由．21．已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=（n∈N*）．（1）求a 2，a 3，a 4；（2）猜测数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．22．已知函数f （x ）=log a （1﹣x ）+log a （x+3），其中0＜a ＜1．（1）求函数f （x ）的定义域；（2）若函数f （x ）的最小值为﹣4，求a 的值．23．（本小题满分12分）已知点()()(),0,0,4,4A a B b a b >>,直线AB 与圆22:4430M x y x y +--+=相交于,C D 两点, 且2CD =,求.（1）()()44a b --的值； （2）线段AB 中点P 的轨迹方程； （3）ADP ∆的面积的最小值.24．已知α、β、是三个平面，且c αβ=，a βγ=，b αγ=，且a b O =．求证：、、三线共点．静安区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】试题分析：因为(1,2)a =，(1,0)b =，所以()()1,2a b λλ+=+，又因为()//a b c λ+，所以()14160,2λλ+-==，故选B. 考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质. 2． 【答案】 D【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体， 是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体， 圆柱的底面直径和母线长都是2， 四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，∴几何体的体积是=，故选D ．【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．3． 【答案】A【解析】解：由题意双曲线kx 2﹣y 2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线的斜率为，又由于双曲线的渐近线方程为y=±x故=，∴k=，∴可得a=2，b=1，c=，由此得双曲线的离心率为，故选：A ．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k ，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．4． 【答案】B【解析】解：设x 1∈{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}， ∴f （x 1）=f （f （x 1））=0， ∴f （0）=0，即f （0）=m=0， 故m=0；故f （x ）=x 2+nx ，f （f （x ））=（x 2+nx ）（x 2+nx+n ）=0， 当n=0时，成立；当n ≠0时，0，﹣n 不是x 2+nx+n=0的根， 故△=n 2﹣4n ＜0，故0＜n ＜4；综上所述，0≤n+m ＜4； 故选B ．【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．5． 【答案】A【解析】因为tan y x =在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，且24x ππ-<≤，所以tan tan 4x π≤，即tan 1x ≤.反之，当tan 1x ≤时，24k x k πππ-<≤+π（k Z ∈），不能保证24x ππ-<≤，所以“24x ππ-<≤”是“tan 1x ≤”的充分不必要条件，故选A. 6． 【答案】A【解析】解： =i ，则=i （1﹣i ）=1+i ，可得z=1﹣i ． 故选：A ．7． 【答案】D【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，∴3（1+q 2+q 4）=21，解得q 2=2． 则a 2a 6=9×q 6=72．故选：D ．8． 【答案】D【解析】解：抛物线y 2=4x 的焦点（1，0），直线y=ax+1经过抛物线y 2=4x 的焦点，可得0=a+1，解得a=﹣1， 直线的斜率为﹣1，该直线的倾斜角为：．故选：D ．【点评】本题考查直线的倾斜角以及直线的斜率的关系，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．9． 【答案】A 【解析】解：复数Z===（1+2i ）（1﹣i ）=3+i 在复平面内对应点的坐标是（3，1）．故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．10．【答案】A 【解析】试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2h 上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：220()2()a S a hS a S a hS '⎧=⎪+⎪⎨'⎪=+⎪⎩，解得=A ． 考点：棱台的结构特征． 11．【答案】B 【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知m 需从开始，要取得最大值为，由图可知m 的右端点为，故m 的取值范围是[]2,4.考点：二次函数图象与性质． 12．【答案】C 【解析】1111]试题分析：由直线方程1:L y x =，可得直线的倾斜角为045α=，又因为这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线2:0L ax y -=的倾斜角的取值范围是03060α<<且045α≠，所以直线的斜率为00tan30tan 60a <<且0tan 45α≠31a <<或13a << C. 考点：直线的倾斜角与斜率.二、填空题13．【答案】．【解析】解：如图所示，分别取AC ，A 1C 1的中点O ，O 1，连接OO 1，取OE=1，连接DE ，B 1O 1，AE ．∴BO ⊥AC ，∵侧棱AA 1⊥底面ABC ，∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是直棱柱．由直棱柱的性质可得：BO ⊥侧面ACC 1A 1． ∴四边形BODE 是矩形． ∴DE ⊥侧面ACC 1A 1．∴∠DAE 是AD 与平面AA 1C 1C 所成的角，为α，∴DE==OB．AD==．在Rt△ADE中，sinα==．故答案为：．【点评】本题考查了直棱柱的性质、空间角、空间位置关系、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．【答案】A．【解析】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．【答案】【解析】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C=．故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C的范围．16．【答案】．【解析】解：∵sinα+cosα=，＜α＜，∴sin2α+2sinαcosα+cos2α=，∴2sinαcosα=﹣1=，且sinα＞cosα，∴sinα﹣cosα===．故答案为：．17．【答案】．【解析】解：由三视图可知几何体为四棱锥，其中底面是边长为1的正方形，有一侧棱垂直与底面，高为2．∴棱锥的体积V==．故答案为．18．【答案】{2，3，4}．【解析】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，∴C U A={3，4}，又B={2，3}，∴（C U A）∪B={2，3，4}，故答案为：{2，3，4}三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）∵=，∴数列{b n}是以为首项，3为公差的等差数列．（2）由（1）可知，∴①②①﹣②得：，∴．【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用定义法和错位相减法是解决本题的关键．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵数列{a n}的前n项和为S n，首项为b，存在非零常数a，使得（1﹣a）S n=b﹣a n+1对一切n∈N*都成立，由题意得当n=1时，（1﹣a）b=b﹣a2，∴a2=ab=aa1，当n≥2时，（1﹣a）S n=b﹣a n+1，（1﹣a）S n+1=b﹣a n+1，两式作差，得：a n+2=a•a n+1，n≥2，∴{a n}是首项为b，公比为a的等比数列，∴．（Ⅱ）当a=1时，S n=na1=nb，不合题意，当a≠1时，，若，即，化简，得a=0，与题设矛盾，故不存在非零常数a，b，使得{S n}成等比数列．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查使得数列成等比数列的非零常数是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．21．【答案】【解析】解：（1）由a n+1=，可得a2==，a3===，a4===．（2）猜测a n=（n∈N*）．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，左边=a1=a，右边==a，猜测成立．②假设当n=k（k∈N*）时猜测成立，即a k=．则当n=k+1时，a k+1====．故当n=k+1时，猜测也成立．由①，②可知，对任意n∈N*都有a n=成立．22．【答案】【解析】解：（1）要使函数有意义：则有，解得﹣3＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（﹣3，1）．（2）f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）=log a（1﹣x）（x+3）==，∵﹣3＜x ＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，∵0＜a ＜1，∴≥log a 4，即f （x ）min =log a 4；由log a 4=﹣4，得a ﹣4=4，∴a==．【点评】本题考查对数函数的图象及性质，考查二次函数的最值求解，考查学生分析问题解决问题的能力．23．【答案】（1）()()448a b --=；（2）()()()2222,2x y x y --=>>；（3）6． 【解析】试题分析：（1）利用2CD =，得圆心到直线的距离2d =2=，再进行化简，即可求解()()44a b --的值；（2）设点P 的坐标为(),x y ，则22a xb y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入①，化简即可求得线段AB 中点P 的轨迹方程；（3）将面积表示为()()()114482446224ADP b S a a b a b ab ∆==+-=+-=-+-+，再利用基本不等式，即可求得ADP ∆的面积的最小值.（3）()()()11448244666224ADP b S a a b a b a b ∆==+-=+-=-+-+≥=,∴当4a b ==+, 面积最小, 最小值为6.考点：直线与圆的综合问题.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的综合问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、轨迹方程的求解，以及基本不等式的应用求最值等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中将面积表示为()()446ADP S a b ∆=-+-+，再利用基本不等式是解答的一个难点，属于中档试题.24．【答案】证明见解析． 【解析】考点：平面的基本性质与推论．。
静安区2019年度高三数学一模含答案
静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数)4(log 22x y -=的定义域是______________．2．已知向量)2,1(=AB ，)5,3(=AC ，则向量BC 的坐标是____________． 3．在二项式(x 2−1x )5的展开式中，x 4项的系数为__________．（结果用数值表示）4．若直线轴平行，则a 的值是__________． 5．若α、β是一元二次方程2x 2+x +3=0的两个根，则1α+1β=__________．6．在数列{}n a 中，11=a ，且{}n a 是公比为13的等比数列．设T n =a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n−1，则lim n→∞T n =__________．(*N ∈n )7．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为__________元．（结果保留两位小数） 8．已知314cos =⎪⎭⎫⎝⎛+απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ22cos _________． 9．以两条直线l 1:2x +y =0和l 2:x +3y +5=0的交点为圆心，并且与直线x +3y +15=0相切的圆的方程是__________．10．已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm 3．（结果保留圆周率π） 11．集合A ={y|y =log 12x −x,1≤x ≤2}，B ={x |x 2−5tx +1≤0}，若A ∩B =A ，则实数t 的取值范围是__________．12.若定义在实数集R 上的奇函数y =f(x)的图像关于直线x =1对称，且当0≤x ≤1时，f (x )=x 13，则方程f (x )=13在区间（−4，10）内的所有实根之和为__________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考x y a x a a 与03)9()372(22=+-++-生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）.（A ）2544P P ⋅ （B ）2544C C ⋅ （C ）2746P P ⋅ （D ）2746C C ⋅ 14．已知椭圆的标准方程为x 216+y 2m 2=1 (m >0)，焦点在轴上，则其焦距为（ ）.（A ） （B ） （C ） （D ）15．已知下列4个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数．②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数． ③复数z 是实数的充要条件是z =z̅．（z̅是z 的共轭复数）． ④已知复数z 1=−1+2i,z 2=1−i,z 3=3−2i （i 是虚数单位），它们对应的点分别为A ，B ，C . O 为坐标原点．若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ （x ，y ∈R ），则x +y =1. 则其中正确命题的个数为（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个16．设 a ⃗⃗⃗ ,b ⃗⃗⃗ 表示平面向量，|a ⃗⃗⃗ |,|b ⃗⃗⃗ |都是小于9的正整数，且满足(|a ⃗⃗⃗ |+|b ⃗⃗⃗ |)(|a ⃗⃗⃗ |+3|b ⃗⃗⃗ |)=105，(a ⃗⃗⃗ +b ⃗⃗⃗ )∙(a ⃗⃗⃗ +3b ⃗⃗⃗ )=33，则a ⃗⃗⃗ 和b⃗⃗⃗ 的夹角大小为（ ）. （A ）π6（B ）π3(C )2π3（D ）5π6三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 的长为1.40米，计算BC 的长（结果保留3个有效数字，单位:米）．x m -422162m -822-m 42-m18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，⊥PA 平面ABCD ，AB AC PA ==，E 、F 分别是CD 、PD 的中点． （1）求证：⊥CD 平面PAE ；（2）求异面直线AF 与PE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设f (x )=sin 2x +2acosx +a 2−6a +13，x ∈[−π2，π2]． （1）求函数f (x )的最大值M ；（2）对（1）中的M ，是否存在常数b （b >0且b ≠1），使得当a >1时， y =log b M 有意义，且y 的最大值是−43？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0>m ，椭圆Γ：1322=+my m x 与双曲线C ：2222m y x m =-的焦点相同． （1）求椭圆Γ与双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，分别交双曲线C 于点P ，Q （P ，Q 不同于右顶点），若k 1∙k 2=−1，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出此定值；（3）设点)2,0(T ，若对于直线b x y l +=:，椭圆Γ上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且9<4TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙TB ⃗⃗⃗⃗⃗ <10，求实数b 的取值范围．F P A B CD E21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 将n 个数1a ，2a ，…，n a 的连乘积n a a a ⋅⋅⋅ 21记为ini a ∏=1，将n 个数1a ，2a ，…，na的和n a a a +++ 21记为i ni a ∑=1．（*N ∈n ） （1）若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，设ini n x P +=∏=111，i ni n x S +=∑=111，求P 5+S 5；（2）用][x 表示不超过x 的最大整数，例如2]2[=，3]4.3[=，2]8.1[-=-．若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=i i i x x 120191的值；（3）设定义在正整数集*N 上的函数)(n f 满足：当2)1(2)1(+≤<-m m n m m （*N ∈m ）时，m n f =)(，问是否存在正整数n ，使得2019)(1=∑=i f ni ？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由（已知6)12)(1(21++=∑=n n n i ni ）．静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学解答一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．)2,2(-. 2．），（32. 3．10.4．12． 5．−13． 6．lim n→∞T n =98.7．13795.16元 8．97． 9．(x −1)2+(y +2)2=10. 10．12288π cm 3． 11．t ≤−23. 12. 24.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．~~~~16．ABBC三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤． 17．（本题满分14分） 解：根据题意，在△ABC 中，AB =1.95,AC =1.40，∠BAC =66O 20/，由余弦定理，得计算得：BC 2≈3.571. BC ≈1.89.答：顶杆约长1.89米．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，△ACD 是等边三角形，因为E 是CD 的中点，所以AE CD ⊥， 又⊥PA 平面ABCD ，所以CD PA ⊥，所以⊥CD 平面PAE ．（2）取DE 中点G ，连结AG ，FG ，则FG ∥PE ， 所以，AFG ∠为异面直线AF 与PE 所成角， 设a PA =，在△AFG 中，a AF 22=，a FG 47=， a AG 413=， 所以，FG AF AG FG AF AFG ⋅-+=∠2cos 222281447222161316721222=⋅⋅-+=aa a a a ． 所以，异面直线AF 与PE 所成角的大小为2814arccos． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解： (1)f (x )=sin 2x +2acosx +a 2−6a +13=−cos 2x +2acosx +a 2−6a +14 设cosx =t ，因为x ∈[−π2，π2]，所以t ∈[0,1].f (x )=−cos 2x +2acosx +a 2−6a +14=−t 2+2at +a 2−6a +14.FPABCDE GM ={a 2−6a +14,(a <0),2a 2−6a +14,(0≤a ≤1),a 2−4a +13,(a >1).(2)当a >1时，M =a 2−4a +13=(a −2)2+9≥9，该函数当a ∈（1，2]时递减，当a ∈[2，+∞）时递增。
上海市静安区2019年数学高二年级上学期期末考试试题
上海市静安区2019年数学高二年级上学期期末考试试题一、选择题1．若,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为（ ） A.30°B.45°C.60°D.90°2．执行如图所示的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．33．曲线xy e =在(0,1)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为(). A ．1B ．12C ．eD ．2e 4．从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．“恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球” B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球” C ．“都是白球”与“至少有一个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”5．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色是( )．A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大 6．已知0x >，0y >，且424xy x y --=，则xy 的最小值为A.2B.D.27．若随机变量14,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭～，则()21D X +=( ) A ．2B ．4C ．8D ．98．由曲线2(0)y x x =≥和直线0x =，1x =，2y t =（01t <<）所围成图形（阴影部分）的面积的最小值为( )．A.12B.23C.14D.139．||4cos x y x e =-图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列说法中正确的是（ ）A ．若事件A 与事件B 互斥，则()()1P A P B +=B ．若事件A 与事件B 满足()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 为对立事件C ．“事件A 与事件B 互斥”是“事件A 与事件B 对立”的必要不充分条件D ．某人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件 11．下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是（ ） A ．()3f x x =- B ．2()3f x x x =- C ．()f x x =-D ．1()1f x x =-+ 12．若d =（4，2，3）是直线l 的方向向量，n =（-1，3，0）是平面α的法向量，则直线l 与平面α的位置关系是 A.垂直B.平行C.直线l 在平面α内D.相交但不垂直二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x ＝的准线方程为__.14．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，若它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为__________．15．已知长方体的长宽高分别为1,2,3，则其外接球的表面积为______________． 16．已知()a 2,1,2=-，b (4,=-2，x)，且a //b ，则x =______． 三、解答题 17．已知分别是海岸线上的三个集镇，位于的正南方向处，位于的北偏东60°方向处；（1）为了缓解集镇的交通压力，拟在海岸线上分别修建码头，开辟水上直达航线，使，.勘测时发现以为圆心，为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行，问此航线是否影响船只航行？（2）为了发展经济需要，政府计划填海造陆，建造一个商业区（如图四边形所示），其中，，，求该商业区的面积的取值范围.18．已知关于与有表格中的数据，且与线性相关，由最小二乘法得.）求与（2）现有第二个线性模型：，且.若与（1）的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由19．随着经济的发展，某地最近几年某商品的需求量逐年上升.下表为部分统计数据： 年份需求量为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令，.（1）填写下列表格并求出关于的线性回归方程： 时间代号 （万件））根据所求的线性回归方程，预测到年年底，某地对该商品的需求量是多少？（附：线性回归方程，其中，）20．已知等比数列的前n项为和，且，，数列中，，．求数列，的通项和；设，求数列的前n项和．21．已知函数．(1)当时，取得极值，求的值．(2)当函数有两个极值点时，总有成立，求m的取值范围．22．已知函数f（x）=﹣alnx+（a+1）x﹣（a＞0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）≥﹣+ax+b恒成立，求a时，实数b的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．12 x=-14．8 315．14π16．4-三、解答题17．(1) 此航线会影响船只航线(2)【解析】试题分析：（1）即判断O到直线MN距离与圆半径大小，而距离可转化为三角形底边上的高，因此先根据余弦定理求MN，再根据三角形面积公式求高，最后根据大小关系作判断（2）根据三角形面积公式求两三角形面积，其和为商业区的面积，化简后根据正切函数单调性求值域试题解析：（1）由已知，得，，由余弦定理，得∴设的边上的高为，则∴∴此航线会影响船只航线.（2）由已知，得在中，∵，即∴∴∵在单调递增，且，∴18．(1) ＝6.5x＋17.5;(2) (1)的线性模型拟合效果比较好.【解析】分析：(1)已知，可设线性回归方程为＝6.5x＋.要求方程，应利用样本点的中心在回归直线上，根据表中的数据可求得＝5，＝50. 代入方程可求得＝17.5.进而可得y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5 . （2）要看哪一个线性模型拟合效果比较好，应求第一个模型的相关指数，由(1)的线性模型得yi－与yi－的关系如下表所示：－－由表中的数据和公式求得。
上海市静安区2019届高三上学期期末质量检测数学试卷(有答案)
静安区2018-2019学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数)4(log 22x y -=的定义域是______________．2．已知向量)2,1(=AB ，)5,3(=AC ，则向量BC 的坐标是____________． 3．在二项式的展开式中，项的系数为__________．（结果用数值表示）4．若直线轴平行，则a 的值是__________．5．若α、β是一元二次方程的两个根，则__________．6．在数列{}n a 中，11=a ，且{}n a 是公比为的等比数列．设，则__________．(*N ∈n )7．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为__________元．（结果保留两位小数） 8．已知314cos =⎪⎭⎫⎝⎛+απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ22cos _________． 9．以两条直线的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程是__________．10．已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm 3．（结果保留圆周率π） 11．集合，，若，则实数的取值范围是__________．x y a x a a 与03)9()372(22=+-++-12.若定义在实数集R 上的奇函数的图像关于直线对称，且当时，，则方程在区间（）内的所有实根之和为__________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）.（A ）2544P P ⋅ （B ）2544C C ⋅ （C ）2746P P ⋅ （D ）2746C C ⋅14．已知椭圆的标准方程为，焦点在轴上，则其焦距为（ ）.（A ） （B ） （C ） （D ）15．已知下列4个命题： ①若复数的模相等，则是共轭复数．②都是复数，若是虚数，则的共轭复数．③复数是实数的充要条件是．（是的共轭复数）．④已知复数（是虚数单位），它们对应的点分别为A ，B ，C . O 为坐标原点．若（），则.则其中正确命题的个数为（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 16．设都是小于9的正整数，且满足，，则的夹角大小为（ ）.（A ） （B ）三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17．（本题满分14分）如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 的长为1.40米，计算BC 的长（结果保留3个有效数字，单位:米）．x m -422162m -822-m 42-m18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，⊥PA 平面ABCD ，AB AC PA ==，E 、F 分别是CD 、PD 的中点． （1）求证：⊥CD 平面PAE ；（2）求异面直线AF 与PE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设，．（1）求函数的最大值；（2）对（1）中的，是否存在常数（），使得当时，有意义，且的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0>m ，椭圆Γ：1322=+my m x 与双曲线C ：2222m y x m =-的焦点相同． （1）求椭圆Γ与双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，分别交双曲线C 于点P ，Q （P ，Q 不同于右顶点），若，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出此定值；（3）设点)2,0(T ，若对于直线b x y l +=:，椭圆Γ上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且，求实数b 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 将n 个数1a ，2a ，…，n a 的连乘积n a a a ⋅⋅⋅ 21记为i ni a ∏=1，将n 个数1a ，2a ，…，na的和n a a a +++ 21记为i ni a ∑=1．（*N ∈n ） （1）若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，设ini n x P +=∏=111，i ni n x S +=∑=111，求；（2）用][x 表示不超过x 的最大整数，例如2]2[=，3]4.3[=，2]8.1[-=-．若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=i i i x x 120191的值；（3）设定义在正整数集*N 上的函数)(n f 满足：当2)1(2)1(+≤<-m m n m m （*N ∈m ）时，m n f =)(，问是否存在正整数n ，使得2019)(1=∑=i f ni ？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由（已知6)12)(1(21++=∑=n n n i ni ）．静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学解答一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．)2,2(-. 2．），（32. 3．10.4．． 5．． 6．.7．13795.16元 8．97． 9．.10．12288π cm 3． 11．. 12. 24.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．~~~~16．ABBC三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤． 17．（本题满分14分） 解：根据题意，在△ABC 中，，∠BAC =66O 20/，由余弦定理，得计算得：..答：顶杆约长1.89米．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，△ACD 是等边三角形，因为E 是CD的中点，所以AE CD ⊥，又⊥PA 平面ABCD ，所以CD PA ⊥， 所以⊥CD 平面PAE ．（2）取DE 中点G ，连结AG ，FG ，则FG ∥PE ， 所以，AFG ∠为异面直线AF 与PE 所成角， 设a PA =，在△AFG 中，a AF 22=，a FG 47=， a AG 413=， 所以，FG AF AG FG AF AFG ⋅-+=∠2cos 222281447222161316721222=⋅⋅-+=aa aa a ． 所以，异面直线AF 与PE 所成角的大小为2814arccos ．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解： (1)设，因为，所以..(2)当时，，该函数当时递减，当时递增。
静安区民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
静安区民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 如图框内的输出结果是（ ）A ．2401B ．2500C ．2601D ．27042． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ） A ．S 18＝72 B ．S 19＝76 C ．S 20＝80D ．S 21＝843． 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力. 4． 若函数y=a x ﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ） A ．a ＞1且b ＜1 B ．a ＞1且b ＞0 C ．0＜a ＜1且b ＞0 D ．0＜a ＜1且b ＜05． 是z 的共轭复数，若z+=2，（z ﹣）i=2（i 为虚数单位），则z=（ ）A ．1+iB ．﹣1﹣iC ．﹣1+iD ．1﹣i6． 已知圆C 1：x 2+y 2=4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y+4=0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ）A ．x+y=0B ．x+y=2C ．x ﹣y=2D ．x ﹣y=﹣27．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（ ） A．（，1，1） B ．（﹣1，﹣3，2） C．（﹣，，﹣1） D．（，﹣3，﹣2）8． 对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n=m+n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n=mn ．则在此定义下，集合M={（a ，b ）|a ※b=12，a ∈N *，b ∈N *}中的元素个数是（ ） A ．10个 B ．15个 C ．16个 D ．18个9． 函数21()ln 2f x x x ax =++存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ),0(+∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ]1,(-∞【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力． 10．“互联网+”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调 查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．4011．已知直线l的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3πρθ=+，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当||AB 最小时，α的值为（ ）A ．4πα=B ．3πα=C ．34πα=D ．23πα=12．如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（ ）A ．12+ B ．12+23π C ．12+24π D ．12+π二、填空题13．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是 ．14．若函数f （x ）=log a x （其中a 为常数，且a ＞0，a ≠1）满足f （2）＞f （3），则f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ）的解集是 ．15．【南通中学2018届高三10月月考】定义在上的函数满足，为的导函数，且对恒成立，则的取值范围是__________________.16．已知函数y=f （x ），x ∈I ，若存在x 0∈I ，使得f （x 0）=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的不动点；若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）①﹣，1是函数g （x ）=2x 2﹣1有两个不动点；②若x 0为函数y=f （x ）的不动点，则x 0必为函数y=f （x ）的稳定点； ③若x 0为函数y=f （x ）的稳定点，则x 0必为函数y=f （x ）的不动点； ④函数g （x ）=2x 2﹣1共有三个稳定点；⑤若函数y=f （x ）在定义域I 上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．17．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，满足223n n a a =-，且26121a a a =∙，则数列12n n S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭项中 的最大值为_________.18．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是 ．三、解答题19．如图，已知边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC=2，M 为BC 的中点（Ⅰ）试在棱AD 上找一点N ，使得CN ∥平面AMP ，并证明你的结论． （Ⅱ）证明：AM ⊥PM ．20．命题p ：关于x 的不等式x 2+2ax+4＞0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f （x ）=（3﹣2a ）x 是增函数．若p ∨q 为真，p ∧q 为假．求实数a 的取值范围．21．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），点3(1,)2在椭圆C 上，且椭圆C 的离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，A 为椭圆C 的右顶点，直线PA ，QA 分别交直线：4x =于M 、N 两点，求证：FM FN ⊥．22．某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x年后游艇的盈利为y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？23．已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，满足4S n=（a n+1）2．（Ⅰ）求数列{a n}通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=（n∈N*），求证：b1+b2+…+b n＜．24．如图，四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，点E是A′A的中点，AA′⊥平面ABCD．（1）求证：A′C∥平面BDE；（2）求体积V A′﹣ABCD与V E﹣ABD的比值．静安区民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得S=1+3+5+…+99=2500， 故选：B ．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，等差数列的求和公式的应用，属于基础题．2． 【答案】【解析】选B.∵3a 8－2a 7＝4， ∴3（a 1＋7d ）－2（a 1＋6d ）＝4，即a 1＋9d ＝4，S 18＝18a 1＋18×17d 2＝18（a 1＋172d ）不恒为常数．S 19＝19a 1＋19×18d2＝19（a 1＋9d ）＝76，同理S 20，S 21均不恒为常数，故选B. 3． 【答案】C.【解析】易得//BP 平面11CC D D ，所有满足1PBD PBX ∠=∠的所有点X 在以BP 为轴线，以1BD 所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q 的轨迹为该圆锥面与平面11CC D D 的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q 的轨迹是双曲线，故选C. 4． 【答案】B【解析】解：∵函数y=a x﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限， ∴根据图象的性质可得：a ＞1，a 0﹣b ﹣1＜0，即a ＞1，b ＞0， 故选：B5． 【答案】D【解析】解：由于，（z ﹣）i=2，可得z ﹣=﹣2i ①又z+=2 ②由①②解得z=1﹣i 故选D ．6． 【答案】D【解析】【分析】由题意可得圆心C 1和圆心C 2，设直线l 方程为y=kx+b ，由对称性可得k 和b 的方程组，解方程组可得．【解答】解：由题意可得圆C 1圆心为（0，0），圆C 2的圆心为（﹣2，2），∵圆C 1：x 2+y 2=4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y+4=0关于直线l 对称，∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l 对称，设直线l 方程为y=kx+b ，∴•k=﹣1且=k •+b ，解得k=1，b=2，故直线方程为x ﹣y=﹣2， 故选：D ． 7． 【答案】C【解析】解：对于C 中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．故选：C ．【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．8． 【答案】B【解析】解：a ※b=12，a 、b ∈N *，若a 和b 一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a ，b ）有4个；若a 和b 同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a ，b ）有2×6﹣1=11个，所以满足条件的个数为4+11=15个． 故选B9． 【答案】D 【解析】因为1()f x x a x'=++，直线的03=-y x 的斜率为3，由题意知方程13x a x ++=（0x >）有解，因为12x x+?，所以1a £，故选D ． 10．【答案】B 【解析】试题分析：设从青年人抽取的人数为800,,2050600600800x x x ∴=∴=++，故选B ． 考点：分层抽样． 11．【答案】A【解析】解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆C的方程为22((1)4x y +-=，直线l 的普通方程为tan (1)y x α=-，直线l 过定点M ，∵||2MC <，∴点M 在圆C 的内部．当||AB 最小时，直线l ⊥直线MC ，1MC k =-，∴直线l 的斜率为1，∴4πα=，选A ．12．【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱，其表面积为S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π•（42﹣12）+×（4π×﹣π×）+×8π]=12+24π．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．二、填空题13．【答案】[1，）∪（9，25]．【解析】解：∵集合，得（ax﹣5）（x2﹣a）＜0，当a=0时，显然不成立，当a＞0时，原不等式可化为，若时，只需满足，解得；若，只需满足，解得9＜a≤25，当a＜0时，不符合条件，综上，故答案为[1，）∪（9，25]．【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．14．【答案】（1，2）．【解析】解：∵f（x）=log a x（其中a为常数且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），∴0＜a＜1，x＞0，若f（2x﹣1）＜f（2﹣x），则，解得：1＜x＜2，故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．15．【答案】【解析】点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。
2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_2
2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）第I卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知命题，下列命题中正确的是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：命题，使的否定为,使，故选C．考点：特称命题的否定．2.抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.【答案】A【解析】抛物线，开口向右且焦点在轴上，坐标为.故选A.3.“a>1”是“<1”的( )A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】选A.因为a>1,所以<1.而a<0时,显然<1,故由<1推不出a>1.4. 已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】试题分析：由已知中△ABC三个顶点为A（3，3，2），B （4，-3，7），C（0，5，1），利用中点公式，求出BC边上中点D的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案.解：∵B（4，-3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为△ABC中BC边上的中线故选B.考点：空间中两点之间的距离点评：本题考查的知识点是空间中两点之间的距离，其中根据已知条件求出BC边上中点的坐标，是解答本题的关键．5.有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。
其中正确的命题是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的基底判断②③的正误，找出反例判断①命题的正误，即可得到正确选项．【详解】解：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；所以不正确．反例：如果有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选：C．【点睛】本题考查共线向量与共面向量，考查学生分析问题，解决问题的能力，是基础题．6.如图所示，在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】运用向量的加法、减法的几何意义，可以把用已知的一组基底表示.详解】.【点睛】本题考查了空间向量用一组已知基底进行表示.7.已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A. （x≠0）B. （x≠0）C. （x≠0）D. （x≠0）【答案】B【解析】由于，所以到的距离之和为，满足椭圆的定义，其中，由于焦点在轴上，故选.点睛：本题主要考查椭圆的定义和标准方程. 涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解．涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解. 求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．8.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么A. 6B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的性质直接求解，即焦点弦长为．【详解】抛物线中，，∴，故选B．【点睛】是抛物线的焦点弦，，，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为．9.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直线与双曲线联立得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由结合韦达定理可得解.【详解】解析：把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6，化简得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由题意知即解得＜k＜－1.答案：D.【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.10.试在抛物线上求一点，使其到焦点距离与到的距离之和最小，则该点坐标为A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为．过点P作于点，由定义可得,所以，由图形可得，当三点共线时，最小，此时．故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点P的坐标为．选A．点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．11.在长方体中，如果，，那么到直线的距离为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得：连接，AC，过A作，根据长方体得性质可得：平面ABCD，即可得到，，再根据等面积可得答案．【详解】由题意可得：连接，AC，过A作，如图所示：根据长方体得性质可得：平面ABCD．因为，，所以，，根据等面积可得：．故选：C．【点睛】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．.12.已知点分别是椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在方程中，令，可得，∴．∵△ABF2为正三角形，∴，即，∴，∴，整理得，∴，解得或（舍去）．选D．点睛：求椭圆离心率或其范围的方法(1)求的值，由直接求．(2)列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．第Ⅱ卷(主观题共90分)二、填空题(每题5分，共20分，将答案写在答题纸上)13. 已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=___________.【答案】2．【解析】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，，解得，，∴．考点：空间三点共线．14.已知抛物线型拱桥的顶点距水面米时，量得水面宽为米．则水面升高米后，水面宽是____________米（精确到米）．【答案】【解析】试题分析：设抛物线方程为，当x=0时 c=2，当x=-4和x=4时y=0，求得， b=0，则，令y=1，得，所以水面宽.考点：抛物线方程.15.如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________【答案】 y=-0.5x+4【解析】设弦为，且，代入椭圆方程得，两式作差并化简得，即弦的斜率为，由点斜式得，化简得.16.①一个命题的逆命题为真，它的否命题一定也为真：②在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件；③是的充要条件；④“”是“”的充分必要条件；以上说法中，判断错误的有_______________.【答案】③④【解析】对于①，一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，则若其逆命题为真，其否命题也一定为真，①正确；对于②，若，则，有，则三个角成等差数列，反之若三个角成等差数列，有，又由，则，故在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件，②正确；对于③，当，则满足，而不满足，则是的不必要条件，③错误；对于④，若，当时，有，则“”是“”的不必要条件，④错误，故答案为③④.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).17.已知命题有两个不相等的负根，命题无实根，若为假，为真，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】根据命题和的真假性，逐个判断.【详解】因为假，并且为真，故假，而真即不存在两个不等的负根，且无实根.所以，即，当时，不存在两个不等的负根，当时，存在两个不等的负根.所以的取值范围是【点睛】此题考查了常用的逻辑用语和一元二次方程的性质，属于基础题.18.已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6。