数学必修4第三章章末检测卷含答案解析
数学必修四第三章试卷(含答案).
必修四第三章姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）A ．34-B ．34C ．43-D ．432．计算212sin 22.5-︒的结果等于( )A ．12B ．2C D 3．已知1(0,),sin cos ,cos 22απααα∈+=且则的值为（ ） ）A ．±B C D ．－344．13cos80-的值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．85．若3sin 5α=，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则5cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．10-B ．10C ．10-D ．106．若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ= A ．15 B ．14C ．13D ．12—A ．2πB ．C ．πD ．4π 8．已知函数22()3cos sin 3f x x x =-+，则函数（ ） A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为5B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为6C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为5D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为69．若1 s in 3α=，则2 c os +24απ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．23B ．12C ．13D ．0}10．已知，则( )A ．B ．C ．D ．11．若α，β均是锐角，且αβ<，已知()3cos 5αβ+=，()12sin ,13αβ-=-，则sin 2α=（ ）A ．1665-B ．5665C ．5665或1665D ．5665或1665-12．若sinθcosθ=12，则tanθ+cosθsinθ的值是（ ）1二、填空题 13．已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-= _ . @14．已知tan 3α=，则2sin sin 2αα-=______．15．如果tanα+tanβ=2, tan(α+β)=4，那么tanαtanβ等于_______.16．已知1tan 2α=，()2tan 5αβ-=-，则()tan 2βα-=____________.三、解答题17．已知函数23()cos()cos()2f x x x x ππ=+-+. （I ）求()f x 的最小正周期和最大值； （II ）求()f x 在2[,]63ππ上的单调递增区间． [18．已知3sin cos 0x x +=，求下列各式的值， （1）3cos 5sin sin cos x xx x+-；（2）22sin 2sin cos 3cos x x x x +-.\19．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且1sin 3α=．．1）求sin 2α的值；（2）若()3sin 5αβ+=-．0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β的值．]20．已知函数()sin cos cos sin 22x x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R . （1）求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间.~21．已知函数2(cos cos f x x x x +． "（Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅰ）求()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．—22．设函数f(x)=2cosx(cosx+√3sinx)(x∈R). （1）求函数y=f(x)的周期和单调递增区间；#]时，求函数f(x)的最大值.（2）当x∈[0,π2参考答案1．B 【解析】试题分析：sin cos tan 11,tan 3sin cos tan 12ααααααα++===---，22tan 63tan 21tan 84ααα-===--. 考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系． 2．B 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式可得结果. 【详解】由余弦的二倍角公式得 212sin 22.5cos 452-︒=︒=故选：B 【点睛】本题考查余弦二倍角公式的应用，属于简单题. 3．C 【解析】 【详解】试题分析：1sin cos 2αα+=，(0,)απ∈，3,24ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭32,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 44πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭cos 2sin 22sin cos 224444πππαααα⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭考点：二倍角公式的运用，同角三角函数间的关系. 4．B 【解析】 【分析】利用诱导公式、两角差的正弦公式和二倍角公式进行化简，求得表达式的值. 【详解】13cos80-13sin10=-cos103sin10-=()2sin 3010sin10cos10-=2sin 2041sin 202==. 故选：B 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，主要是诱导公式、两角差的正弦公式和二倍角公式的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.5．A 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α的值，进而根据两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解． 【详解】解：3sin 5α=， ,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4cos 5α∴==，)5cos cos sin 4210πααα⎛⎫∴+=--=- ⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 6．D 【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为221sin cos sin cos 1tan 41tan cos sin sin cos sin 22θθθθθθθθθθθ++=+===，所以.1sin 22θ=. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式sin tan cos θθθ=转化；另外，22sin cos θθ+在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等 7．A 【解析】 【分析】把三角函数式整理变形，变为()()sin f x A x =+ωϕ的形式，再用周期公式求出最小正周期. 【详解】()sin cos f x x x =+sin 22x x ⎫=+⎪⎪⎭4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2T π∴=.故选：A. 【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】利用降次公式化简()f x ，由此求出函数的最小正周期和最大值. 【详解】 依题意()1cos 21cos 2332cos 2422x x f x x +-=⨯-+=+，故最小正周期为2ππ2T ==，最大值为246+=，所以本小题选B. 【点睛】本小题主要考查降次公式，考查三角函数的最小正周期，考查三角函数的最大值的求法，属于基础题. 9．C 【解析】 【分析】直接利用降幂公式和诱导公式化简求值. 【详解】2cos +24απ⎛⎫= ⎪⎝⎭21cos()1sin 1322223παα++-===.故答案为：C. 【点睛】（1）本题主要考查降幂公式和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)降幂公式：221cos 1cos sin ,cos 2222αααα-+==，这两个公式要记准，不要记错了. 10．C 【解析】分析：利用余弦的差角公式将cos 6x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭展开，1sin 2x x += ，将cos cos 3x x π⎛⎫+-⎪⎝⎭展开合并化简，即可求出值．详解：∵cos 63x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭1sin 2x x +=∵3cos cos cos 32x x x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭1cos sin 22x x ⎫=+⎪⎪⎭13⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以选C点睛：本题考查了余弦差角公式的应用，主要注意符号的变化，属于简单题． 11．A 【解析】 【分析】根据α，β的范围，得到αβ+和αβ-的范围，结合条件，得到()sin αβ+和()cos αβ-，由()()sin2sin ααβαβ⎡⎤=++-⎣⎦，根据两角和的正弦公式，得到答案. 【详解】α，β均是锐角，且αβ<()0,αβπ∴+∈，,02παβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭()3cos 5αβ+=， ()4sin 5αβ∴+==，()12sin 13αβ-=-，()5cos 13αβ∴-==， ∴()()sin2sin ααβαβ⎡⎤=++-⎣⎦()()()()sin cos cos sin αβαβαβαβ=+-++-45312513513⎛⎫=⨯+⨯- ⎪⎝⎭1665=-故选：A. 【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和的正弦公式，属于简单题. 12．B 【解析】依题意有：tanθ+cosθsinθ=1sinθcosθ=2.点睛：本题主要考查：同角三角函数的基本关系，是个简单题，主要要熟记两个同角三角函数的基本关系，即：tanθ=sinθcosθ和sin 2θ+cos 2θ=1.在运算过程中，主要采用的是切化弦的方法，即遇到正切，一般情况下是化为正弦和余弦来化简，化简过程中要注意通分和合并同类项，有时候还要结合二倍角公式来考虑. 13．23【解析】试题分析：21cos 21cos 21sin 2222cos 42223ππααπαα⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭-==== ⎪⎝⎭.考点：1余弦的二倍角公式;2诱导公式. 14．310【解析】 【分析】利用二倍角公式将sin 2α化简，再把分母看做22sin cos αα+，分子分母同时除以2cos α，即可求得. 【详解】tan 3α=，22sin sin 2sin 2cos sin ααααα-=-222sin 2cos sin cos sin ααααα-=+ 22tan 2tan tan 1ααα-=+ 9691-=+ 310=. 故答案为：310. 【点睛】本题主要考查的是二倍角正弦公式的应用，以及同角三角函数基本关系式的应用，熟练掌握和应用这些公式是解决本题的关键，是基础题.15．【解析】 【分析】 由tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ可得tanαtanβ=1−tanα+tanβtan(α+β)，从而可得结果.【详解】 因为tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ，tanα+tanβ=2, tan(α+β)=4，所以tanαtanβ=1−tanα+tanβtan(α+β)=1−24=12，故答案为12.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．16．112-【解析】()25tan αβ-=-，()25tan βα∴-=()()()()211522tan 21112152tan tan tan tan tan βααβαβααβαα---⎡⎤-=--===-⎣⎦+-⨯+⨯ 17．（I ）()f x 的最小正周期为π，最大值为1；（II ）5[,]612ππ．【解析】试题分析：（I ）利用三角恒等变换的公式，化简()sin(2)3f x x π=-，即可求解()f x 的最小正周期和最大值；（II ）由()f x 递增时，求得51212k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈，即可得到()f x 在5[,]612ππ上递增．试题解析：1cos 2()-cos )(sin )2x f x x x +=⋅-+（1sin 22sin(2)23x x x π==- （I ）()f x 的最小正周期为π，最大值为1； （II ） 当()f x 递增时，222? ()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，即51212k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈, 所以，()f x 在5[,]612ππ上递增 即()f x 在2[,]63ππ上的单调递增区间是5[,]612ππ 考点：三角函数的图象与性质． 18．（1）-1；（2）165- 【解析】 【分析】（1）由题意可得1tan 3x =-，将原式化为含tan x 的表达式，代入可得答案；（2）将原式化为含tan x 的表达式，代入1tan 3x =-可得答案. 【详解】解：由题意得：3sin cos 0x x +=，可得1tan 3x =-，可得（1）533cos 5sin 35tan 311sin cos tan 113x x x x x x -++===-----； （2）222222sin 2sin cos 3cos sin 2sin cos 3cos sin cos x x x xx x x x x x+-+-=+222211()2()3tan 2tan 316331tan 15()13x x x -+⨯--+-===-+-+【点睛】本题主要考查三角恒等变化，相对简单，得出1tan 3x =-代入各式子是解题的关键.19．(1) .. 【解析】 【详解】分析：（1）根据正弦的二倍角公式求解即可；（2）由()βαβα=+-，然后两边取正弦计算即可.详解：（Ⅰ）2（，）παπ∈，且1sin 3α=，cos α∴=，-------2分于是 sin22sin cos 9ααα==-； （Ⅱ）,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,02πβ∈（，）,322（，）παβπ∴+∈,结合()3sin 5αβ+=-得：()4cos 5αβ+=-， 于是()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦3414535315⎛+⎛⎫=-⋅---⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 点睛：考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于()βαβα=+-的配凑是解第二问的关键，属于中档题.20．（1）122f π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 【解析】 【分析】先根据诱导公式及降幂公式化简得()f x cos2x =-；（1）代入求值即可；（2）由222,k x k k Z πππ≤≤+∈即可解出答案． 【详解】解：()sin cos cos sin 22x x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos x x =-cos2x =-；（1）cos 1262f ππ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭； （2）由222,k x k k Z πππ≤≤+∈得，,2k x k k Z πππ≤≤+∈，∴函数()f x 的单调递增区间是(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，属于基础题． 21．（Ⅰ）π（Ⅰ）最大值和最小值分别是32，0． 【解析】试题分析：（1）将()2cos cos f x x x x =+通过降幂公式、辅助角公式化简为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得到周期；（2）通过整体思想，得到ππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，求得π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以最大值和最小值分别是32，0． 试题解析：解：（Ⅰ）()2cos cos f x x x x +1cos22xx +=+π1sin 262x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）Ⅰππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， Ⅰππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， Ⅰπ1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， Ⅰ()30,2f x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，Ⅰ()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别是32，0．点睛：三角函数的化简需要对三角函数的二倍角公式（降幂公式）、辅助角公式熟悉应用，三角函数的性质考察通常利用整体思想解题，然后通过()sin f x x =的原始性质进行解题，得到对应的解。
高中数学必修4第三章三角恒等变换综合检测题(人教A版)
第三章三角恒等变换综合检测题本试卷分第I 卷选择题和第U 卷非选择题两部分，满分150分，时间120 分钟。
第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 ）n 3 41 .已知 0v av 2v 3<n 又 sin a= 5, cos （a+ ®= — 5,贝V sin （）B . 0 或 2424 C.25 24 D . ±25 ［答案］Cn 3 4［解析］•/ 0v av 2 v 3v n 且 sin a= 5, COS ( a+ 3 = — 54 n3 3• cos a= 5 , 2< a+ 3v ㊁ n, • sin( a+ 3 = ±5,=sin( a+ 3cos a — cos( a+ 3)sin a才< 3v n ••• sin 3> 0•故排除 A , B , D.4 3 4⑵由 cos( a+ 3)= — 5及 Sin a= 3可得 sin 3= §(1 + cos 3)代入 sin 2 3+ cos 2 3= 1 中可解得 cos37 n=—1或一25,再结合2<仟n 可求sin 32.若sin Bv 0, cos2 0v 0，则在（0,2 内）B 的取值范围是（）3 n3=0.sin3=- 5x 4-又氏才，n j, • sin 3> 0，故 sin 3= 24当 sin( a+ 3 =,sin 3= sin ［( a+ a［点评］（1）可用排除法求解，T=器53 245 = 25；A . n< 0< 25 nB.5T <e< ¥3 nC.y <e< 2 nD.严< 0<孕4 4［答案］B［解析］2 2 2•/ cos2 e< 0, • 1 —2sin < 0，即sin e>2或sin < —"2，又已知sin < 0, •— 1 < sin e<—亠2,2由正弦曲线得满足条件的e取值为54n<e< ¥3. 函数y= sin2x+ cos2x的图象，可由函数y= sin2x —cos2x的图象（）A .向左平移f个单位得到B .向右平移f个单位得到8c.向左平移n个单位得到4D .向右平移4个单位得到［答案］C［解析］y= sin2x+ cos2x= , 2sin（2x+J=2si n2(x +》_ n _ ny= sin2x—cos2x= 2sin(2x—4)= . 2sin2(x—§)n n n其中x+8=(x+ 4)—8n•••将y= sin2x—cos2x的图象向左平移：个单位可得y= sin2x+ cos2x的图象.44. 下列各式中，值为~2的是()A . 2sin 15 cos15 °2 2B. cos 15。
高中数学人教a高一必修4章末综合测评(第三章)_word版含解析
高中数学人教a高一必修4章末综合测评(第三章)_word版含解析章末综合测评(三)三角恒等变换(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知cos(α＋β)＋cos(α－β)＝13，则cos αcos β的值为()A．12B．13C．14D．16【解析】由题意得：cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝2cos αcos β＝1 3，所以cos αcos β＝1 6.【答案】 D2．已知tan(π＋α)＝2，则1sin αcos α等于()A．52B．75C．－52D．－75【解析】由tan(π＋α)＝2，得tan α＝2，∴1sin αcos α＝sin2α＋cos2αsin αcos α＝tan2α＋1tan α＝52.【答案】 A3．若tan α＝2tan π5，则cos⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝()【导学号：00680080】A．1 B．2C ．3D ．4【解析】 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5，∴原式＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsinπ5＝tan α＋tanπ5tan α－tanπ5.又∵tan α＝2tan π5，∴原式＝2tanπ5＋tan π52tan π5－tanπ5＝3.【答案】 C 4．2cos 10°－sin 20°cos 20°的值为( )A ． 3B ．62C ．1D ．12【解析】 原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.【答案】 A 5．cos 4π8－sin 4π8等于( ) A ．0 B ．22C ．1D ．－22【解析】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π8－sin 2π8⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π8＋sin 2π8＝cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 【答案】 B6．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则φ的值可以是( ) A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π12【解析】 由题得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝0，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，π6＋φ＝k π，k ∈Z ， φ＝k π－π6，k ∈Z ， 当k ＝0时，φ＝－π6，故选A ．【答案】 A7．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A ．32 B ．－32C ．±32D ．±12【解析】 由sin θ－cos θ＝22两边平方得，sin 2θ＝12， 又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin θ>cos θ，所以π4<θ<π2，所以π2<2θ<π， 因此，cos 2θ＝－32，故选B ．【答案】 B8．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝45，则sin 2x 的值为( ) A ．1925B ．725C ．1425D ．－725【解析】 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725.【答案】 D9．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( )A ．－43－310B ．43－310C ．12D ．32【解析】 由cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，且0＜x ＜π，得π6＜x ＋π6＜π2， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝45，所以sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310. 【答案】 B10．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2⎝⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值是( ) A ．2－ 2 B ．2＋ 2 C ．3D ．1【解析】 由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2，且0≤x ≤π2，所以π4≤x ＋π4≤34π，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，所以3≤y ≤2＋2. 【答案】 C11．已知函数f (x )＝3sin w x ＋cos w x (w ＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( ) A ．π2B ．2π3C ．πD ．2π【解析】 由曲线f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫w x ＋π6与y ＝1交点中相邻交点最小值为π3正好等于f (x )的周期的13倍，设f (x )的最小正周期为T ，则13T ＝π3，故有T ＝π.【答案】 C12．已知a ＝(sin α，1－4cos 2α)，b ＝(1，3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．17B ．－17C ．27D ．－27【解析】 因为a ∥b ，所以有sin α(3sin α－2)－(1－4cos 2α)＝0， 即3sin 2 α－2sin α－1＋4cos 2α＝0 ⇒5sin 2 α＋2sin α－3＝0，解得sin α＝35或－1，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝35，cos α＝45，tan α＝34，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝34－11＋34＝－17.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上) 13．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的最小正周期为________，最大值为________．【解析】 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的最小正周期为T ＝2π，最大值为2.【答案】 2π 2 14．tan ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ的值是________． 【解析】 ∵tan π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π6＋θ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝3，∴3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＋ 3tan ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ.【答案】 315．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17－（－2）1＋17×（－2）＝3.【答案】 316．已知A ，B ，C 皆为锐角，且tan A ＝1，tan B ＝2，tan C ＝3，则A ＋B ＋C 的值为________．【解析】 因为tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝1＋21－2＝－3<0，①又0<A <π2，0<B <π2，∴0<A ＋B <π，② 由①②知，π2<A ＋B <π，又tan[(A ＋B )＋C ]＝tan （A ＋B ）＋tan C 1－tan （A ＋B ）tan C ＝－3＋31－（－3）×3＝0，又∵0<C <π2，∴π2<A ＋B ＋C <32π， ∴A ＋B ＋C ＝π. 【答案】 π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值． 【解】 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x －3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3. 18．(本小题满分12分)已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：tan α＋tan β＝2tan 2β.【证明】 因为tan(α－β)＝sin 2β， tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，sin 2β＝2sin βcos β＝2sin βcos βsin 2β＋cos 2β＝2tan β1＋tan 2β，所以tan α－tan β1＋tan αtan β＝2tan β1＋tan 2β，整理得：tan α＝3tan β＋tan 3β1－tan 2β.所以tan α＋tan β＝3tan β＋tan 3β＋tan β－tan 3β1－tan 2β＝2×2tan β1－tan 2β＝2tan 2β. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性． 【解】 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 【解】 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 21.(本小题满分12分)陵中学第四次模拟)如图1所示，已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(－3，4)，β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q 的纵坐标为210.图1(1)求tan(2α－β)的值； (2)若π2＜α＜π，0＜β＜π2，求α＋β. 【解】 (1)由三角函数的定义知tan α＝－43，∴tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－431－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝247.又由三角函数线知sin β＝210，∵β为第一象限角，∴tan β＝17，∴tan(2α－β)＝247－171＋247×17＝16173.(2)∵cos α＝－35，∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π2＜α＋β＜3π2. ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×7210－35×210＝22.又∵π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝3π4. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解】 法一：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4第11页 共11页 ＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2 x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2 x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .。
高一数学必修4第三章综合检测题
第三章综合检测题、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1. si门2右一cos2；n的值为（C ）B.2 D. ,3~2［解析］原式=-(cos2^- sin^F - cos62.函数f（x）= sin2x—cos2x的最小正周期是（B ）nA.q3 B . n C . 2 n D . 4 n［解析］f(x) = sin2x—cos2x= , 2sin(2x—4)，故T=今=冗13.已知cos 0= 3,(0,n )则cos(32 + 2 0 = ( C )4；29D.9［解析］cos(3n + 2 0= sin2 A 2sin 0os0= 2X 屮3=普44.若tan a= 3, ta n B= 3，则tan (a— 3 等于(D )C. 3D.13 —4tan a—tan 3 3 1［解析］tan(a—®=■—o= = 3.1 + tan dt an B〔+ 3X4 335. COS275°+COS215°+COS75°C OS15的值是(A )5 6 3 2A.4B.〒eq D. 1 +可2 21 5 ［解析］原式=sin215°+ cos 15° + sin15 6os15°= 1 + ?sin30 = 4.6. y= cos2x—sin2x+ 2sinxcosx的最小值是(B )A. 2 B2 C. 2 D2_ n _［解析］y= cos2x+ si n2x= 2si n( 2x+ 4),.，.y max=— 2.7.若tan a= 2, tan(B— M= 3,贝U tan(B—2 0)= ( D )A. —1B. —5C.7D.1tan p- a—tan a 3 —2 i［解析］tan( p—2 a = tan［( p— a) —a = = =千1 + tan p—a tan a 1 + 68.已知点P(cos a, sin M, Q(cos p, sin®,贝U |PQ| 的最大值是(B )A. 2［解析］ PQ = (cos® —cos a, sin p—si n a ,贝U |PQ| = p cos®—cos a2+ sin p- sin a2='2—2cos a— p,故|PQ|的最大值为2.cos2x+ sin2x”^「十厂9.函数y= cos2x —sin2x的最小正周期为（C ）n nA. 2 nB. nC.qD.41 + tan2x n n［解析］y= =tan(2x+ 4),.T=2.1 —tan2x 4 210. 若函数f(x) = sin2x —*x€ R),则f(x)是(D )A .最小正周期为訓勺奇函数B .最小正周期为n的奇函数C.最小正周期为2 n的偶函数 D .最小正周期为n的偶函数1 12 12［解析］f(x)= sin2x—2= —2(1 —2sin2x) = —^cos2x,.f(x)的周期为n的偶函数.n11. y= sin(2x —3)—sin2x 的一个单调递增区间是(B )n n n 7^ r 5 1^ _ _ _ n 5 nA . ［—6, 3］ B.［石，石n］c.［匚n 石n ］ D . ［3,石！5 n n n n n［解析］ y = sin(2x — 3) — sin2x = sin2xcos^ — coshes% — sin2x =- (sin2xcos^ + cos2xsin^)=—sin(2x + 3)，其增区间是函数y = sin(2x +3)的减区间，即2k n+㊁三2x + 3W 2k n+~2，「k nn7 n 「 r 「 n 7 n+12= x <k n+12，当 k = 0 时，x € ［乜，乜］.12. 已知 sin(a+ 3 = 2，sin(a- 3 = £，则 log • 5(器 等于 (C . 41 sin a os 3+ cos a in 23得 1sin a os 3— cos a in 3= 313. (1+ tan 17 )(1 + tan28 °tan 17 ° tan28［解析］ 原式=1 + tan 17 + tan28 °tan 17 °tan28 ；又 tan(17 +28°) = ------------- =1 — tan17 )an28 0 tan45 = 1，Atan17 + tan28 = 1— tan 17 °tan28 )14. (2012全国高考江苏卷)设a 为锐角，若cosn a+6=5，贝U sin 2 a+ 的值为弋^2.n n 2 n n ［解析］Ta 为锐角，.「6<a+ 6<3，v cos a- 6 =4 5, n 3 sin a+ 6 = 5；n n n 24.••sin 2 a+ 3 = 2sin a+ 6 cos a+ 6 = 25,n n 2 .2 n 7cos(2 a+ 3) = cos( a+ g) 一 sin ( a+ g) =25 . n n n . n .•sin 2 a+ 12 = sin 2 + 3— 4 = sin 2 a — 3 ncos4—cosc n . n 1A /2 2a+3 sin 4= 50 .115.已知 cos2a= 3，贝U sin 4 a+ cos 4a=［解析］由sin(a+ 3 = 2， sin(a- a 5sin ocos 3=12.tan a 1，• °tan 3cos a i n 3=徨=5,「•log ‘5(眯沪 g 552 = 4.、填空题(本大题共4个小题, 每小题5分，共20分)代入原式可得结果为2.521 2 2 2［解析］cos2o a 2cos a—1= 3 得cos a 3,由cos2o a 1 —2s in a得sin2a 3(或据sin2a2 2 1 , + cos a 1得Sin a= 3),代入计算可得.3 1 n n16.设向量a=(刃sin0, b= (cos0 3)，其中0€ (0,刃，若a / b,贝U 0= ___41 n ［解析］若a//b，贝U sin 0cos A2，即卩2sin(Cos B= 1 ,：sin2 A1,又(0,㊁),n 4.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，写出文字说明，证明过程或演算步骤3 - 3 sin2 a+ 2sin a,17.（本题满分10分）已知cos a—sin a= 5^，且na^n 求—1 —t an a—的值.［解析］因为cos a—sin aa%"2,所以1 —2si n a cos a=卷，所以2si n«cos a= £又a€ ( n "2)，故sin a+ CoS a=-冷 1 + 2sin0cos a= —誉,2 2sin2 a+ 2sin a 2sin a cos a+ 2sin a cos a 2sin a cos a cos a+ sin a所以=1 —tan a COS a—sin a COS a—sin aZ x4/225x一 55 28 75.18.（本题满分12分）设x€ [0 , 3］，求函数y= cos(2x-3) + 2sin(x—力的最值.n n n n［解析］y = cos(2x—3) + 2si n(x—6)= cos2(x—6)+ 2sin(x—石)2n n n 1 2 3=1 —2sin (x—舌)+ 2sin(x —6)= —2［sin(x—$) —2 + 21 1 3 1 • x€ ［0 , 3］, —x—g［一6，6］.• °sin(x—g) € ［一？, 2］ ,^ymax a2，ymin= —2*19.(本题满分12分)已知tan2a2tan2a+ 1,求证:cos20+ sin2a= 0.十卄2cos20- sin20 2 1 —tan20 2—2tan2a［证明］ cos2 0+ sin a= 2 2 + sin a= 2 + sin a= 2cos20+ sin20 1 + tan20 1 + 2tan2a+ 1+ si n2a=.2—sin a 2 + sin a= COS a+ Sin a 2 o—sin a+ sin a 0.3x . 3xx . x »亠12分)已知向量 a = (cos^, sin_2), b = (co^,— sin^), c = (.3— 1),其中 x €R.(1)当a 丄b 时，求x 值的集合； ⑵求a —ci 的最大值.3x x 3x xk n n ［解析］(1)由 a 丄b 得 a b = 0,即卩 cos^cos^ —sin-^sin^a 0,贝Ucos2x = 0,得x a ^ + 4(kk n n€ Z), Ax 值的集合是{x|x = 2 + 4, « Z}.2 3x1- 2 3x 2 o 3x t -3x o 3x 3x(2)|a — c| = (cos 刁—.3) + (sin_2 + 1) = cos"^ — 2.3cos^ + 3+ sin + 2sin^ + 1=5+ 2sin^x —2 ,3。
高中数学(人教A版)必修4第3章 三角恒等变换 测试题(含详解)
第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14C.34D ．－34解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.32B ．－32C.34D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4<α<π2， ∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32. 答案 B3．sin15°sin30°sin75°的值等于( ) A.14 B.34 C.18D.38解析 sin15°sin30°sin75° ＝sin15°cos15°sin30° ＝12sin30°sin30°＝12×12×12＝18. 答案 C4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22C.32D. 2解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A ) ＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( )A ．－65B ．－45C.45D.65解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65.答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2.答案 D 7．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c 解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°，c ＝32＝cos30°， ∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数， ∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c . 答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( ) A ．tan A ·tan B >1 B. tan A ·tan B <1 C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析 在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角． 则有tan A >0，tan B >0，tan C <0. 又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0， 即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22D.⎣⎡⎦⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x＝12＋22⎝⎛⎭⎫22sin2x ＋22cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22； 当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22. ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C11．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.335 B.45 C ．±35D ．±45解析 由sin(π－θ)＝2425，得sin θ＝2425.∵θ为第二象限的角，∴cos θ＝－725.∴cos θ2＝±1＋cos θ2＝± 1－7252＝±35. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( )A.5665 B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos [(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．若1＋tan α1－tan α＝2012，则1cos2α＋tan2α＝______.解析1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋1＋2tan α1－tan 2α＝(tan α＋1)21－tan 2α＝1＋tan α1－tan α＝2012.答案 201214．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________.解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图像向右平移π24个单位后，将与已知函数的图像重合．其中正确命题的序号是________． 解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2·⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎡⎦⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数，故③正确． 由④得y ＝2cos2⎝⎛⎭⎫x －π24＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12，故④正确． 答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量， ∴⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169. 又∵α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0. ∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明 左边＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝2－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α－sin 2α ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．19．(12分)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3 ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫322－4×12 ＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－73， ∵x ∈R ，cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝－1时，f (x )有最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )有最小值－73.20．(12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解 (1)解法1：∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 于是sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45. 解法2：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1， 从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425.cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.21．(12分)已知函数 f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6所以f (x )的最小正周期为π.(2)－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，当2x ＋π6＝π2时，即x ＝π6，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6时，即x ＝－π6，f (x )取得最小值－1.22．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解 (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加，得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.。
北师大版高中数学必修四：第三章综合测试题(含答案)
阶段性测试题四(第三章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12C ．12D ．1[答案] B[解析] f (x )＝sin x cos x ＝12sin2x ，∴f (x )min ＝－12.2．cos67°cos7°＋sin67°sin7°等于( ) A ．12B ．22 C ．32D ．1[答案] A[解析] cos67°cos7°＋sin67°sin7° ＝cos(67°－7°)＝cos60°＝12.3．若x ＝π8，则sin 4x －cos 4x 的值为( )A ．12B ．－12C ．－22D ．22[答案] C[解析] sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ， ∴x ＝π8时，－cos2x ＝－cos π4＝－22.4．(2014·山东德州高一期末测试)下列各式中值为22的是( ) A ．sin45°cos15°＋cos45°sin15° B ．sin45°cos15°－cos45°sin15° C ．cos75°cos30°＋sin75°sin30°D ．tan60°－tan30°1＋tan60°tan30°[答案] C[解析] cos75°cos30°＋sin75°sin30°＝cos(75°－30°)＝cos45°＝22. 5．1－sin20°＝( ) A ．cos10° B ．sin10°－cos10° C ．2sin35° D ．±(sin10°－cos10°)[答案] C[解析] 1－sin20°＝1－cos70°＝2sin 235°， ∴1－sin20°＝2sin35°.6．已知cos2α＝14，则sin 2α＝( )A ．12B ．34C ．58D ．38[答案] D[解析] ∵cos2α＝1－2sin 2α＝14，∴sin 2α＝38.7．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π2的奇函数[答案] D[解析] f (x )＝sin2x (1－2sin 2x )＝sin2x ·cos2x ＝12sin4x (x ∈R )， ∴函数f (x )是最小正周期为π2的奇函数．8．若sin θ＜0，cos2θ＜0，则在(0,2π)内θ的取值范围是( ) A ．π＜θ＜3π2B ．5π4＜θ＜7π4C ．3π2＜θ＜2πD ．π4＜θ＜3π4[答案] B[解析] ∵cos2θ＜0，得1－2sin 2θ＜0， 即sin θ＞22或sin θ＜－22， 又已知sin θ＜0，∴－1≤sin θ＜－22，由正弦曲线得满足条件的θ取值为5π4＜θ＜7π4.9．若0＜α＜β＜π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．不确定[答案] A[解析] ∵a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4， 又0＜α＜β＜π4，∴π4＜α＋π4＜β＋π4＜π2，且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上为增， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＜2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4. 10．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos2xB ．y ＝2cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4)D ．y ＝2sin 2x [答案] B[解析] 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos2x ＝2cos 2x .11．已知f (tan x )＝sin2x ，则f (－1)的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．12D ．0 [答案] B[解析] f (tan x )＝sin2x ＝2sin x cos x ＝2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x tan 2x ＋1，∴f (x )＝2xx 2＋1，∴f (－1)＝－22＝－1.12．已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] D[解析] f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ＝2cos 2x sin 2x ＝12sin 22x ＝14－14cos4x . ∴函数f (x )是最小正周期为π2的偶函数．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π4)等于________．[答案] 15[解析] ∵α∈(0，π2)，sin α＝35，∴cos α＝45，∴2cos(α＋π4)＝2cos αcos π4－2sin αsin π4＝2×45×22－2×35×22＝45－35＝15. 14．计算：sin7°－sin15°cos8°cos7°－cos15°cos8°的值为________．[答案] －2－ 3[解析] 原式＝sin (15°－8°)－sin15°cos8°cos (15°－8°)－cos15°cos8°＝sin15°cos8°－cos15°sin8°－sin15°cos8°cos15°cos8＋sin15°sin8－cos15°cos8°＝－cos15°sin8°sin15°sin8°＝－cot15°＝－1tan15°＝－1tan (45°－30°)＝－1＋tan30°1－tan30°＝－2－ 3.15．若α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则sin α的值为________． [答案]3＋226[解析] ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3.又∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13>0，∴0<α－π6<π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝32sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋12cos ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝32×13＋12×223＝3＋226. 16．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，有下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos2x 的图像向左平移π24个单位后，与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上) [答案] ①②③[解析] 化简f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12 ∴f (x )max ＝2，即①正确． T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．由2k π≤2x －π12≤2k π＋π，得k π＋π24≤x ≤k π＋13π24，即③正确．将函数y ＝2cos2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确． 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知α是第一象限的角，且cos α＝513，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos (2α＋4π)的值．[解析] ∵α是第一象限的角，cos α＝513，∴sin α＝1213，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos (2α＋4π)＝22(sin α＋cos α)cos2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214.18．(本小题满分12分)(2014·四川成都市树德协进中学高一阶段测试)已知π2<α<π，0<β<π2，tan α＝－34，cos(β－α)＝513，求sin β.[解析] ∵0<β<π2，π2<α<π，∴－π<β－α<0.又∵cos(β－α)＝513，∴sin(β－α)＝－1213.又tan α＝－34，∴sin α＝35，cos α＝－45.∴sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝－1213×(－45)＋513×35＝6365.19．(本小题满分12分)已知sin α＝210，cos β＝31010，且α、β为锐角，求α＋2β 的值． [解析] ∵sin α＝210，α为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫2102＝7210. ∵cos β＝31010，β为锐角，∴sin β＝1－⎝⎛⎭⎫310102＝1010.∴sin2β＝2sin βcos β＝2×1010×31010＝35， cos2β＝1－2sin 2β＝1－2×⎝⎛⎭⎫10102＝45. 又β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2β∈(0，π)． 而cos2β>0，∴2β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.∴α＋2β∈(0，π)．又cos(α＋2β)＝cos α·cos2β－sin α·sin2β＝7210×45－210×35＝22，∴α＋2β＝π4.20．(本小题满分12分)求函数y ＝12cos 2x ＋32sin x ·cos x ＋1，x ∈R 的最大值以及y 取最大值时自变量x 的集合．[解析] ∵y ＝12cos 2x ＋32sin x ·cos x ＋1＝12·1＋cos2x 2＋34sin2x ＋1 ＝14cos2x ＋34sin2x ＋54 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54 ∴当2x ＋π6＝π2＋2k π，即x ＝k π＋π6(k ∈Z )时，y max ＝74.∴函数取最大值时自变量x 和集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z ，且最大值为74.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)sin(x ＋π4)．(1)求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程； (2)求函数f (x )在区间[－π12，π2]上的值域．[解析] (1)∵f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)·sin(x ＋π4)＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin(2x －π6)，∴最小正周期T ＝2π2＝π.∵2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π2＋π3，k ∈Z ，∴对称轴方程为x ＝k π2＋π3，k ∈Z .(2)∵x ∈[－π12，π2]，∴2x －π6∈[－π3，5π6]．∴f (x )＝sin(2x －π6)在区间[－π12，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减．当x ＝π3时，f (x )取最大值1.又∵f (－π12)＝－32<f (π2)＝12，∴当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32.所以函数f (x )在区间[－π12，π2]上的值域为[－32，1]．22．(本小题满分14分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R .(1)若f (x )＝1－3且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，求x ； (2)若函数y ＝2sin2x 的图象平移向量c ＝(m ，n )⎝⎛⎭⎫|m |<π2得到函数y ＝f (x )的图象，求实数m 、n 的值．[解析] (1)∵f (x )＝a ·b ＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 又∵f (x )＝1－3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－32， ∴2x ＋π6＝2k π－π3或2x ＋π6＝2k π－2π3，又∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，∴x ＝－π4. (2)f (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋1， y ＝2sin2x 向左平移π12个单位可得y ＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，再向上平移1个单位， 即得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋1＝f (x )，∴c ＝⎝⎛⎭⎫－π12，1，即m ＝－π12，n ＝1.。
2018版高中数学人教A版 必修4第3章 章末综合测评 含解
章末综合测评(三) 三角恒等变换(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知cos(α＋β)＋cos(α－β)＝13，则cos αcos β的值为( )A ．12B ．13C ．14D ．16【解析】 由题意得：cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝2cos αcos β＝13，所以cos αcos β＝16.【答案】 D2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π2【解析】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎣⎡⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，故x ＝π是函数y ＝cos x 的一条对称轴．【答案】 C3．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )【导学号：00680080】A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π5－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5， ∴原式＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tan π5tan α－tan π5.又∵tan α＝2tan π5，∴原式＝2tan π5＋tanπ52tan π5－tanπ5＝3.【答案】 C 4.2cos 10°－sin 20°cos 20°的值为( )A ． 3B ．62C ．1D ．12【解析】 原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝2(cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°)－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.【答案】 A5．cos 4π8－sin 4π8等于( )A ．0B ．22 C ．1D ．－22【解析】 原式＝⎝⎛⎭⎫cos 2π8－sin 2π8⎝⎛⎭⎫cos 2π8＋sin 2π8 ＝cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22.【答案】 B6．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，则φ的值可以是( ) 【导学号：70512045】A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π12【解析】 由题得tan ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝0， 即tan ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，π6＋φ＝k π，k ∈Z ， φ＝k π－π6，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝－π6，故选A ．【答案】 A7．若θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( ) A ．32B ．－32C ．±32D ．±12【解析】 由sin θ－cos θ＝22两边平方得，sin 2θ＝12， 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin θ>cos θ， 所以π4<θ<π2，所以π2<2θ<π，因此，cos 2θ＝－32，故选B ． 【答案】 B8．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝45，则sin 2x 的值为( ) A ．1925B ．725C ．1425D ．－725【解析】 sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫452＝－725. 【答案】 D9．已知cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( ) A ．－43－310B ．43－310C ．12D ．32【解析】 由cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，且0＜x ＜π， 得π6＜x ＋π6＜π2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝45， 所以sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6sin π6 ＝45×32－35×12＝43－310. 【答案】 B10．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值是( ) A ．2－ 2 B ．2＋ 2 C ．3D ．1【解析】 由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2，且0≤x ≤π2， 所以π4≤x ＋π4≤34π，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1， 所以3≤y ≤2＋2. 【答案】 C11．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π6，π3 B ．⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C ．⎣⎡⎦⎤5π12，13π12D ．⎣⎡⎦⎤π3，5π6【解析】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x ＝sin 2x cos π3－cos 2x sin π3－sin 2x＝－12sin 2x －32cos 2x＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的递增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的递减区间， π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ， 令k ＝0，得x ∈⎣⎡⎦⎤π12，7π12. 【答案】 B12．已知a ＝(sin α，1－4cos 2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )A ．17B ．－17C ．27D ．－27【解析】 因为a ∥b ，所以有sin α(3sin α－2)－(1－4cos 2α)＝0， 即3sin 2 α－2sin α－1＋4cos 2α＝0 ⇒5sin 2 α＋2sin α－3＝0，解得sin α＝35或－1，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin α＝35，cos α＝45，tan α＝34，所以tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝34－11＋34＝－17. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上) 13．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的最小正周期为________，最大值为________． 【解析】 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最小正周期为T ＝2π，最大值为2. 【答案】 2π 214．tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＋3tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ·tan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ的值是________． 【解析】 ∵tan π3＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋π6＋θ＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ1－tan ⎝⎛⎭⎫π6－θtan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝3，∴3＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＋ 3tan ⎝⎛⎭⎫π6－θtan ⎝⎛⎭⎫π6＋θ. 【答案】315．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.【答案】 316．已知A ，B ，C 皆为锐角，且tan A ＝1，tan B ＝2，tan C ＝3，则A ＋B ＋C 的值为________． 【解析】 ∵tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝1＋21－2＝－3<0，①又0<A <π2，0<B <π2，∴0<A ＋B <π，②由①②知，π2<A ＋B <π，又tan[(A ＋B )＋C ]＝tan (A ＋B )＋tan C 1－tan (A ＋B )tan C ＝－3＋31－(－3)×3＝0.又∵0<C <π2，∴π2<A ＋B ＋C <32π，∴A ＋B ＋C ＝π. 【答案】 π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值． 【解】 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3. 18．(本小题满分12分)已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：tan α＋tan β＝2tan 2β.【证明】 因为tan(α－β)＝sin 2β， tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，sin 2β＝2sin βcos β＝2sin βcos βsin 2β＋cos 2β＝2tan β1＋tan 2β， 所以tan α－tan β1＋tan αtan β＝2tan β1＋tan 2β，整理得：tan α＝3tan β＋tan 3β1－tan 2β.所以tan α＋tan β＝3tan β＋tan 3β＋tan β－tan 3β1－tan 2β＝2×2tan β1－tan 2β＝2tan 2β.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性． 【解】 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 【解】 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数， 且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 21.(本小题满分12分)如图1所示，已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(－3,4)，β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q 的纵坐标为210.图1(1)求tan(2α－β)的值；(2)若π2＜α＜π，0＜β＜π2，求α＋β.【解】 (1)由三角函数的定义知tan α＝－43，∴tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－431－⎝⎛⎭⎫－432＝247.又由三角函数线知sin β＝210. ∵β为第一象限角，∴tan β＝17，∴tan(2α－β)＝247－171＋247×17＝16173.(2)∵cos α＝－35，∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π2＜α＋β＜3π2. ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×7210－35×210＝22.又∵π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝3π4.22．(本小题满分12分)已知向量a ＝(2cos ωx,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，－1⎝⎛⎭⎫其中14≤ω≤32，函数f (x )＝a ·b ，且f (x )图象的一条对称轴为x ＝5π8. (1)求f ⎝⎛⎭⎫34π的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2－π8＝23，f ⎝⎛⎭⎫β2－π8＝223，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，求cos ()α－β的值． 【解】 (1)∵向量a ＝(2cos ωx,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，－1＝(2(sin ωx ＋cos ωx )，－1)，∴函数f (x )＝a ·b ＝2cos ωx (sin ωx ＋cos ωx )－1＝2sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＝sin 2ωx ＋cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4. ∵f (x )图象的一条对称轴为x ＝5π8，∴2ω×5π8＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )．又14≤ω≤32，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫34π＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×34π＋π4＝－2cos π4＝－1.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2－π8＝23，f ⎝⎛⎭⎫β2－π8＝223， ∴sin α＝13，sin β＝23.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴cos α＝223，cos β＝53，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝210＋29.。
高中(北师大版)数学必修4(45分钟课时作业与单元测试卷)：第三章章末测试含解析
A. B.
C. D.
答案：B
解析：∵tan(α－β)＝ ＝ ＝1，
α，β∈(0， )，∴－ ＜α－β＜ ，
∴α－β＝ .
6．当x∈[－ ， ]时，y＝ 的最小值为()
A．－ B．－
C．－ D．－
答案：B
解析：∵y＝ ＝ tanx，∴当x＝－ 时，ymin＝－ .
解：(1)由题设知f(x)＝ [1＋cos(2x＋ )]．
因为x＝x0是函数y＝f(x)图像的一条对称轴，所以2x0＋ ＝kπ(k∈Z)，
即2x0＝kπ－ (k∈Z)．
所以g(x0)＝1＋ sin2x0＝1＋ sin(kπ－ )．
当k为偶数时，g(x0)＝1＋ sin(－ )＝ ；
当k为奇数时，g(x0)＝1＋ sin ＝ .
第三章章末测试
时间：90分钟分值：100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知sinα＝ 且α∈( ，π)，则tanα的值为()
A．－ B.
C．－ D.
答案：C
解析：∵α∈( ，π)，由同角基本关系易知cosα＝－ .
tanα＝ ＝－ .
15．已知α∈(0， )，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝ ，tanβ＝－ ，求2α－β.
解：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝ ＝ ，∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝ ＝1.
又∵β∈(0，π)，tanβ＝－ ，∴ ＜β＜π，又α∈(0， )，
∴－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－ .
12．函数f(x)＝sin x＋cos x的图像相邻两条对称轴之间的距离是________．
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14．若tan ＝3＋2 ，则 ＝________.
解析：由tan ＝ ＝3＋2 ，得tanα＝ ，
∴ ＝ ＝tanα＝ .
答案：
15．tan10°＋tan50°＋ tan10°tan50°＝________.
解析：∵tan60°＝tan(10°＋50°)
＝ ，
∴tan60°(1－tan10°tan50°)＝tan10°＋tan50°，
因为α∈[0，π]，且sin2α＝－ ，
即2sinαcosα＝－ <0，
所以α∈ ，
所以cosα－sinα<0，
即cosα－sinα＝－ .
所以A＝－ .
21．(12分)已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f ＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求a，θ的值．
(2)若f ＝－ ，α∈ ，求sin 的值．
解析：由题意知tanα＋tanβ＝－6，tanαtanβ＝7，
所以tanα<0，tanβ<0.
又－ <α< ，－ <β< ，
所以－ <α<0，－ <β<0.
所以－π<α＋β<0.
因为tan(α＋β)＝ ＝ ＝1，
所以α＋β＝－ .
19．(12分)(2015·广东高考)已知tanα＝2.
(1)求tan 的值；
A．x＝0 B．x＝－
C．x＝－ D．x＝－
解析：g(x)＝ sin2x(a>0)的最大值为 ，所以a＝1，
f(x)＝sinx＋cosx＝ sin ，
令x＋ ＝ ＋kπ，k∈Z得x＝ ＋kπ，k∈Z.故选B.
答案：B
10．要使 sinθ＋ cosθ＝ 有意义，则实数m的取值范围是()
A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)
所以tanα<0，tanβ<0，
所以－ <α<0，－ <β<0，－π<α＋β<0.
又tan(α＋β)＝ ＝ ＝ .
所以α＋β＝－ ห้องสมุดไป่ตู้故选B.
答案：B
12．(2016·东莞校级三模)定义运算： ＝a1a4－a2a3，已知函数f(x)＝ ，则函数f(x)的最小正周期是()
A. B．π
C．2πD．4π
解析：由题意可得f(x)＝ ＝sinxcosx＋1＝ sin2x＋1，
函数f(x)的最小正周期T＝ ＝π，
令2kπ＋ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z，
所以kπ＋ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间是 ，k∈Z.
(2)由x∈
得－ ≤2x＋ ≤ ，
所以－ ≤sin ≤1，
所以当2x＋ ＝－ ，
即x＝－ 时，f(x)min＝a，
当2x＋ ＝ ，
即x＝ 时，f(x)max＝ ＋a，
C．[8，＋∞) D．(8，＋∞)
解析： sinθ＋ cosθ＝sin ＝ ∈[－1,1]，
即 ≤1，所以8m－32≥0.
解得m≥4.故选B.
答案：B
11．已知tanα，tanβ是方程x2＋3 x＋4＝0的两个根，且－ <α< ，－ <β< ，则α＋β为()
A. B．－
C. 或－ D．－ 或
解析：由题意得
A．－ B．－
C. D.
解析：由题意知sinα＝－ ，α∈ ，所以cosα＝－ ，因为 ∈ ，所以sin ＝cos ＝－ ＝－ .
故选B.
答案：B
8．已知tan ＝3，则 等于()
A. B.
C．－ D．－
解析：因为tan ＝3，
所以tanα＝－2，
所以 ＝ ＝ ＝－ .故选C.
答案：C
9．(2016·福州期中)若函数g(x)＝asinxcosx(a>0)的最大值为 ，则函数f(x)＝sinx＋acosx的图象的一条对称轴方程为()
第三章
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·澄城县期末)cos24°cos36°－cos66°cos54°的值等于()
A．0B.
C. D．－
解析：cos24°cos36°－cos66°cos54°
＝sin66°cos36°－cos66°sin36°
答案：B
4．(2016·齐齐哈尔实验中学高一月考) 等于()
A．－ B．－
C. D.
解析：原式＝
＝
＝sin30°＝ .故选C.
答案：C
5．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值是()
A. B.
C. D.
解析：原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋ sin30°＝1＋ × ＝ .故选B.
(2)求 的值．
解析：(1)tan ＝
＝ ＝ ＝－3.
(2)
＝
＝
＝
＝
＝1.
20．(12分)(2016·杭州高一检测)已知f(x)＝Asin (A≠0)．
(1)若A＝1，将f(x)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式及对称轴方程．
由题意得 ＋a＋a＝ ，解得a＝0.
(2)若α∈[0，π]，f(α)＝cos2α，sin2α＝－ ，求A的值．
解析：(1)由题意得g(x)＝2sin ，令2x＋ ＝ ＋kπ得对称轴方程为x＝ ＋ (k∈Z)．
(2)由f(α)＝Asin ＝cos2α，
得A＝
＝
＝ (cosα－sinα)，
因为sin2α＝－ ，
所以(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝ ，
解析：(1)因为y＝a＋2cos2x是偶函数，
所以g(x)＝cos(2x＋θ)为奇函数，
而θ∈(0，π)，故θ＝ ，
所以f(x)＝－(a＋2cos2x)sin2x，
代入 得a＝－1.
所以a＝－1，θ＝ .
(2)f(x)＝－(－1＋2cos2x)sin2x＝－cos2xsin2x＝－ sin4x，
因为f ＝－ ，
即 － tan10°tan50°＝tan10°＋tan50°，
∴ ＝tan10°＋tan50°＋ tan10°tan50°.
答案：
16．已知sin ＝ ，则sin ＋sin2 ＝________.
解析：sin ＋sin2
＝sin ＋cos2
＝sin ＋1－sin2
＝ ＋1－ ＝ .
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
答案：B
6．(2016·南昌模拟)已知sin2α＝－ ，α∈ ，则sinα＋cosα等于()
A. B．－
C．－ D.
解析：因为α∈ ，
所以sinα＋cosα>0，
所以(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝ ，
所以sinα＋cosα＝ ，故选A.
答案：A
7．(2016·邢台期末)若sin(π－α)＝－ 且α∈ ，则sin 等于()
从而可得函数f(x)的最小正周期T＝ ＝π.故选B.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．设向量a＝ ，b＝ ，其中θ∈ ，若a∥b，则θ＝________.
解析：若a∥b，则sinθcosθ＝ ，
即2sinθcosθ＝1，
∴sin2θ＝1，又θ∈ ，∴θ＝ .
17．(10分)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ cos2αcos2β.
解析：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ (2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－ (4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin(66°－36°)＝sin30°＝ .
答案：B
2．化简cos2 －sin2 等于()
A．sin2θB．－sin2θ
C．cos2θD．－cos2θ
解析：原式＝cos ＝cos ＝sin2θ.故选A.
答案：A
3．(2016·东北师大附中高一期末)化简 等于()
A．1 B．2
C. D．－1
解析： ＝ ＝ ＝2.故选B.
所以f ＝－ sinα＝－ ，
故sinα＝ ，又α∈ ，
所以cosα＝－ ，sin ＝ × ＋ ＝ .
22．(12分)设函数f(x)＝ sinxcosx＋cos2x＋a.
(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间．
(2)当x∈ 时，函数f(x)的最大值与最小值的和为 ，求a的值．
解析：(1)f(x)＝ sin2x＋ ＋a＝sin ＋ ＋a，
＝sin2αsin2β＋cos2α(1－cos2β)＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
＝sin2β(sin2α＋cos2α)＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－ ＝1－ ＝ .
18．(12分)(2016·大庆高一检测)已知－ <α< ，－ <β< ，且tanα，tanβ是方程x2＋6x＋7＝0的两个根，求α＋β的值．