苏科版九年级数学下册 相似三角形题型归纳(含隐圆、动点、最值、拓展、压轴)(无答案)
相似三角形难题集锦(含问题详解)
一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB 于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．〔1〕当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；〔2〕当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．〔1〕①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S〔平方米〕关于时间t〔秒〕的函数解析式；〔2〕在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM ⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．〔1〕当AD＝CD时，求证：DE∥AC；〔2〕探究：AD为何值时，△BME与△E相似？4.如下列图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C 〔1〕当x为何值时，PQ∥BC？〔2〕△APQ与△CQB能否相似？假如能，求出AP的长；假如不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A 以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t〔s〕表示移动的时间〔0＜t ＜6〕。
〔1〕当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？〔2〕当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？二、构造相似辅助线——双垂直模型6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为〔1，3〕，将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为〔〕A. B.C. D.10..，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。
九下 相似三角形4种判定方法 知识点+模型+例题+练习 (非常好 分类全面)
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；知识点二、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．符号语言：拓展延伸： （1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。
（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。
例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出AD AEBD CE=吗？请说明理由。
（用两种方法说明）例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D.求证：（1）2AB BD BC =⋅；（2）2AD BD CD =⋅；（3）CB CD AC ⋅=2例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF =例题精讲AEDBCABCD吗？说说你的理由.例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C（1） 求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；3分之8倍根号3 （3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。
2分之3倍根号3 随练： 一、选择题1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（ ）D A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）CADCBEF G F E DCBA。
苏教版九年级下册数学[用相似三角形解决问题—知识点整理及重点题型梳理](提高)
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苏教版九年级下册数学[用相似三角形解决问题—知识点整理及重点题型梳理](提高)本文介绍了相似三角形解决问题的知识点，包括平行投影和中心投影。
要点一是平行投影，介绍了物体在平行光线下产生的影子，以及物高与影长的关系。
要点二是中心投影，介绍了点光源下物体产生的影子，以及离点光源远近对影子长度的影响。
通过这些知识点，可以解决一些实际问题。
需要注意的是，在利用影长计算物高时，要注意测量两物体在同一时刻的影长。
在中心投影下，一个重要的结论是，点光源、物体边缘上的点以及它们在影子上的对应点在同一条直线上。
可以根据其中两个点来求出第三个点的位置。
要点诠释：物体的中心投影受到光源和物体位置及方向的影响。
改变光源或物体的方向会导致影子方向的变化。
但不论如何改变，光源、物体和它们的影子始终分离在物体的两侧。
要点三、中心投影与平行投影的区别与联系1.联系：中心投影和平行投影都是研究物体投影的一种方法。
平行投影是在平行光线下形成的投影，例如太阳光线和月光。
中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，例如灯泡和手电筒的光线。
在平行投影中，改变物体的方向和位置会导致投影方向和位置的变化。
在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向也会导致投影的变化。
固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也会发生变化。
2.区别：太阳光线是平行的，因此太阳光下的影子长度与物体高度成比例。
灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例。
在同一时刻，太阳光下的影子方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向。
要点诠释：在解决有关投影的问题时，必须先判断是平行投影还是中心投影，然后根据它们的特点进一步解决问题。
要点四、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决。
要点诠释：测量旗杆高度的方法包括平面镜测量法、影子测量法、手臂测量法和标杆测量法。
苏科版九年级数学下册第六章《图形的相似》知识点总结+易错点汇总
第六章《图形的相似》知识点一：比例线段1.比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的基本性质：(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝m n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b+d …+n ≠0） 3.平行线分线段成比例定理：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例1：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为 cm 。
知识点二 ：相似三角形的性质与判定5. 相似三角形的判定：(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. FE DC B A学 班级 姓名 考试号-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC∽△DEF.6.相似三角形的性质：(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例2：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为 .(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG= .【学习目标】1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质．2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的坐标的变化规律.【重点难点】重点：利用相似三角形知识解决实际的问题；位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形．难点：如何把实际问题抽象为相似三角形、位似形这一数学模型.【知识回顾】1、相似三角形定义：_________________________．2、判定方法：__________________________3、相似三角形性质：（1）对应角相等，对应边成比例；（2）对应线段之比等于；（对应线段包括哪几种主要线段？）（3）周长之比等于；（4）面积之比等于．4、相似三角形中的基本图形．（1）平行型（X型，A型）; （2）交错型；（3）旋转型；（4）母子三角形.5、位似形的性质： .6、将一个图形按一定的比例放大或缩小的步骤为： . 【综合运用】1.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.（1）求证：△ADF∽△DEC（2）若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.2如图，在等腰三角形△ABC中，底边BC=60cm，高AD=40cm，四边形PQRS是正方形，S,R分别在AB,AC上，SR与AD相交于点E.（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS的边长.【矫正补偿】如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB = 2AD．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．【完善整合】1.通过本节课的学习你有那些收获?2.你还有哪些疑惑？第六章《图形的相似》易错疑难易错点1 对黄金分割的概念理解不清而出现漏解AB ，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长为.1. 已知线段20易错点2 找不准三角形的对应关系2. 如图，ACD ∆和ABC ∆相似需具备的条件是() A.AC AB CD BC =； B. CD BCAD AC=C. 2AC AD AB =g ；D. 2CD AD BD =g易错点3 混淆相似三角形的性质，误认为相似三角形的面积比等于相似比 3. 如图，若ADE ABC ∆∆:，DE 与AB 相交于点D ，与AC 相交于点E ，2DE =，5BC =，20ABC S ∆=，求ADE S ∆的值.易错点4 不能区分“相似”写“:”的含义4. 如图，在矩形ABCD 中，10,4AB AD ==，点P 是边AB 上一点，连接,PD PC ，若APD ∆与BPC ∆相似，则满足条件的点P 有 个.第4题第5题5. 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，16BC =cm ，12AC =cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm/s 的速度向点C 移动，点Q 从点C 出发，以1 cm/s 的速度向点A 移动，若点,P Q 分别从点,B C 同时出发，设运动时间为t s ，当t = 时，CPQ ∆与CBA ∆相似. 疑难点1 相似三角形的判定和性质的综合应用1. 如图是一块含30°角的直角三角板，它的斜边8AB =8cm ，里面空心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边间的距离都是1 cm ，那么DEF ∆的周长是( )A. 5cm ；B. 6cm ；C. (63)-cm ；D. (33)+cm第1题第2题2. 如图，已知矩形ABCD ，2,6AB BC ==，点E 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，点F 从点B 出发，沿射线AB 以每秒3个单位长度的速度运动，当点E 运动到点A 时，,E F 两点停止运动.连接BD ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，连接EF ，交BD 于点G ，交BC 于点M ，连接,CF EC .给出下列结论:①CDE CBF ∆∆:;②DBC EFC ∠=∠;③DE HGAB EH=;④GH 10.上述结论正确的个数为( )A.1B. 2C. 3D. 4 疑难点2 相似图形中的规律探索3.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边,OA OC 分别在x 轴和y 轴上，且2,1OA OC ==.在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O 为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形111A OC B ，再将矩形111A OC B 以原点O 为位似中心放大32倍，得到矩形222A OC B ……依此类推，得到的矩形n n n A OC B 的对角线交点的坐标为 .第3题 第4题4.如图，已知正方形11ABC D 的边长为1，延长11C D 到1A ，以11A C 为边向右作正方形1122AC C D ，延长22C D 到2A ，以22A C 为边向右作正方形2233A C C D ……依此类推，若112A C =，且点12310,,,,,A D D D D …都在同一直线上，则正方形991010A C C D 的边长是 .疑难点3 相似三角形与函数等知识的综合5. 反比例函数y ＝的图象在第一象限的分支上有一点A （3，4），P 为x 轴正半轴上的一个动点，（1）求反比例函数解析式．（2）当P 在什么位置时，△OP A 为直角三角形，求出此时P 点的坐标．疑难点4 动态问题中的相似三角形6.如图，在直角坐标系中，点(0,4),(3,4),(6,0)A B C --，动点P 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度在y 轴上向下运动，动点Q 同时从点C 出发以2个单位长度/秒的速度在x 轴上向右运动，过点P 作PD y ⊥轴，交OB 于点D ，连接DQ .当点P 与点O 重合时，两动点均停止运动.设运动的时间为t 秒.(1)当1t =时，求线段DP 的长;(2)连接CD ，设CDQ ∆的面积为S ，求S 关于t 的函数表达式，并求出S 的最大值; (3)运动过程中是否存在某一时刻，使ODQ ∆与ABC ∆相似?若存在，请求出所有满足要求的t 的值;若不存在，请说明理由参考答案例1. 5(5－1)；例 2.（1）9：4；（2）1：2 综合运用：1.分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，即得∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°，再由∠AFE +∠AFD =180°，∠AFE =∠B ，可得∠AFD =∠C ，问题得证； （2）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，CD =AB =4，再根据勾股定理可求得DE 的长，再由△ADF ∽△DEC 根据相似三角形的性质求解即可. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，AB ∥CD ∴∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°∵∠AFE +∠AFD =180，∠AFE =∠B ∴∠AFD =∠C ∴△ADF ∽△DEC ； 解：（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，CD =AB =4。
苏科版九年级数学下册第六章第七节用相似三角形解决问题专题讲义(word版无答案)
相似三角形的应用知识点1 平行投影在平行光线的照射下，物体所产生的影称为平行投影.如物体在阳光下的影称为平行投影.注意：物体所处的位置、方向及时间影响该物体的平行投影：1.不同时刻、同一地点、同一物体影子的长度不同2.同一时刻、同一地点、不同物体影子的长度与他们的物体长度成正比知识点2 平行投影的特性（1）物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变（2）当物体与投影面平行时，所形成的影子与物体全等（3）同一个物体在不同时刻的影子长度不同（4）不同物体在同一时刻，物体、太阳光与其影子组成的三角形相似，物体的高度之比与对应影子的长度之比相等（5）平行投影与物体的视图之间的关系：当投射线与投影面垂直时，这种投影叫做正投影，物体的正投影称为物体的视图知识点3 中心投影由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，例如：探照灯、手电筒、路灯、台灯的光线可以看成是由同一点发出，以他们的光源所形成的投影就属于中心投影注意：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影1.同一物体相对同一光源的距离近时的影子比远时的影子短2.光源的方向或物体的位置改变，则物体影子的方向也发生改变，但光源、物体的影子始终分居物体的两侧知识点4 视点、视线盲区的概念眼睛的位置叫做视点；由视点发出的线叫做视线；物体遮挡眼睛看不到的地点叫做盲区考点1 平行投影例1 亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M、颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D．然后测出两人之间的距离C D=1．25 m，颖颖与楼之间的距离D N=30 m(C、D、N在同一条直线上)，颖颖的身高B D=1．6 m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离A C= 0．8 m．你能根据以上测量的数据帮助他们求出住宅楼的高度吗?例2 如图，小明从路灯下向前走了5 米，发现自己在地面上的影子长DE 是2 米，如果小明的身高为1.6 米，那么路灯离地面的高度AB 是米．例3 如图，晚上小亮在广场上乘凉，图中线段AB 表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P 表示照明灯．(1)请你在图中画出小亮在照明灯(P)照射下的影子．(2)已知灯杆高PO=12 m，小亮的身高AB=1．6 m，小亮与灯杆的距离BO=13 m，请求出小亮影子的长度．例4 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1 米的竹竿的影长为 0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2 米，一级台阶高为0.3 米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4 米，则树高为多少？例5 小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB 的高度，如图，他在某一时刻立1 米长的标杆测得其影长为1.2 米，同时旗杆的投影一部分在地面上BD 处，另一部分在某一建筑的墙上CD 处，分别测得其长度为9.6 米和2 米，求旗杆AB 的高度．考点2 中心投影例1 如图，路灯(点P)距地面8 米，身高1．6 米的小明从距路灯的底部(点O)20米的点A?沿A O所在的直线行走14 米到点B时，身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?例2 如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF 是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2 m，已知AB、CD 在灯光下的影长分别为BM=1.6 m，DN=0.6m．（1）请画出路灯O 的位置和标杆EF 在路灯灯光下的影子；（2）求标杆EF 的影长．例3 如图，圆桌正上方的灯泡O（看作一个点）发出的光线照射到圆形桌面后，在地面上形成阴影.已知桌面的半径AC= 0.6m ，桌面与地面的距离AB=1m .灯泡与地面的距离OB= 3m ，求地面上阴影部分的面积为练习如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为▲cm．考点3 视点、视线、盲区例1 我侦察员在距敌方200 米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。
九年级数学下册 相似三角形知识点总结
九年级数学下册相似三角形知识点总结第17讲相似三角形一、知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例比例线段是四条线段中的两组成比例的线段，常用的比例等式是ac=bd。
在列比例等式时，需要注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱。
已知比例式的值，可以通过基本性质ad=bc（b、d≠0）来求相关字母代数式的值。
常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一参数的式子表示，再求代数式的值。
另外，合比性质和等比性质也是比例线段的重要性质。
知识点二：相似三角形的性质与判定两角对应相等的两个三角形相似（AAA）。
如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形也相似（SAS）。
如果一个三角形的一个角和另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形也相似（AAS）。
如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边成比例，那么这两个三角形也相似（SSS）。
在相似三角形中，对应角相等，对应边成比例，相似三角形的比值是一个定值。
知识点三：黄金分割黄金分割是指将一条线段分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
这个比例值约等于1:0.618，即黄金比。
在数学、艺术等领域中都有广泛的应用。
知识点四：平行线段成比例如果两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
如果一条直线平行于三角形的一边，与另外两边相交，所构成的三角形和原三角形相似。
在利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，需要注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解。
二、例题解析例1：如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于多少？解析：根据题意，可以列出比例等式XXX因为DE∥AB，所以有BD/DC=BE/EA=5/2.代入比例等式中，得到BC/CD=5/3.例2：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为多少？解析：根据黄金分割的定义，设较长线段为x，较短线段为y，则有x/y=y/(x-y)=0.618.解得x=5.18cm，所以较长线段长为5(5.18-1)cm。
(完整版)相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)
相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ΛΛ，那么b an f d b m e c a =++++++++ΛΛ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
苏教版九年级下册数学[探索三角形相似的条件--知识点整理及重点题型梳理](基础)
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苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习探索三角形相似的条件（基础）知识讲解【学习目标】1.掌握平行线分线段成比例定理以及和三角形一边平行的判定定理，并会灵活应用；2.探索三角形相似的条件，掌握三角形相似的判定方法；3.了解三角形的重心，并能从相似的角度去进行相关的证明. 【要点梳理】要点一、平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如图： l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 分别与l 1、l 2、l 3交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F 、，则有 （1）AB DE BC EF =（2）AB DE AC DF =（3）BC EFAC DE=成立.l 3l 2l 1bl 3l 2l 1l 3l 2l 1要点诠释：当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广.2.平行于三角形一边的直线的性质平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似. 要点诠释：这条定理也可以作为判定两个三角形相似的判定定理，有时也把他叫做判定两个三角形相似的预备定理.要点二、相似三角形的判定定理【课程名称： 相似三角形的判定（1） 394497相似三角形的判定】 1．判定方法（一）：两角分别相等的两个三角形相似. 要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定方法（二）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.3．判定方法（三）：三边成比例的两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、三角形的重心三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心.【典型例题】类型一、平行线分线段成比例定理B .CDEFC .BOOED.BCBE【答案】D.BCBE. 【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． 举一反三：【变式】如图已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP 交AB 于N ，若AB=6cm ，求AP 的值.【答案】解：∵AB=AC ，AD ⊥BC,∴BD=DC. ∵DN ∥CP, ∴BN=NP 又AM=MD. ∴AP=PN==2cm.2. 如图所示，已知中，E 为AB 延长线上的一点，AB=3BE ，DE 与BC 相交于F ，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.【思路点拨】充分利用平行寻找等角，以确定相似三角形的个数. 【答案与解析】解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴ △BEF ∽△CDF ，△BEF ∽△AED. ∴ △BEF ∽△CDF ∽△AED. ∴ 当△BEF ∽△CDF 时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；当△CDF∽△AED时，相似比.【总结升华】此题考查了平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.以及相似三角形的性质定理求得相似比.解题的关键是要仔细识图，灵活应用数形结合思想.类型二、相似三角形的判定3.（2014•金平区模拟）如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的判定定理进行判断即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC ∽△ADE，△ADF∽△ACD．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．【课程名称：相似三角形的判定（2） 394499：例4及变式应用】【变式】（2014秋•宁波期末）如图所示，点D是△ABC的AB边上一点，且AD=1，BD=2，AC=．求证：△ACD∽△ABC．【答案】证明：证明：∵==，=，∴=，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．4.（2015•湖州模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，1DF DC4，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【答案与解析】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．。
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相似三角形（相似动点）分类涉及隐圆问题、最值问题、分类讨论题型、动点题型、压轴题、拓展题题型分类：一、相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两角对应相等的两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
二、相似三角形解题思路：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．2、常见的相似三角形的基本图形：三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：(1)“平行线型”相似三角形。
(2)“相交线型”相似三角形。
(3)“旋转型”相似三角形。
三、相似模型1．A字、8字模型。
2.共边共角模型（扭屁股模型）。
3.一线三等角模型。
4.倒数模型（较难）5.圆中的相似。
6.平行线分线段成比例。
类型一、线段比例问题1. （构造平行）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．（1）求证：△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点，ACAB =2时，如图2，求OFOE的值；（3）当O为AC边中点，ACAB =n时，请直接写出OFOE的值．2.如图1 ,DE是⊙O的直径，点A、C是直径DE上方半圆上的两点，且AO⊥OC.连接AE，CD相交于点F.点B是直径DE下方半圆上的任意一点，连接AB交CD 于点G，连接CB交AE于点H.(1)求∠ABC的度数;(2)证明: △CFH∽△CBG;(3)若弧DB为半圆的三分之一，把∠AOC绕着点O旋转，使点C、O、B在一直线上时，如图2.①证明FH：BG=1：2;②若⊙O的半径为4，直接写出FH的长.3. 已知抛物线(3)(1)y a x x =+-（a ≠0），与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A 的直线y=-√3x+b 与抛物线的另一个交点为D ． （1）若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E 是线段AD 上的一点（不含端点），连接BE ．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒2√33个单位的速度运动到点D 后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少？二、相似比乘积处理方法（逆向和正向分析找解题思路）1.如果四边形ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线OG ∥AB 交BC 于E ，交AD 于F ，交CD的延长线于G ，求证：OG 2=GE ·GF.2.如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx（x>0，k是常数）的图像经过A（2，6），B（m,n），其中m>2．过点A作X轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，AC与BD交于点E，连结AD、DC、CB。
（1）若▲ABD的面积为3，求k的值和直线AB的解析式；（2）求证：DECE =EB AE；（3）若AD∥BC，求点B的坐标．三、构造相似辅助线——A、X字型1、如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。
求证：ABAC =CF DF2.如图，在Rt▲ACB中，∠ACB=90°，AC=2 cm，AB=4 cm，动点P从点C出发，在BC边上以每秒√3cm的速度向点B匀速运动，同时动点Q也从点C出发，沿C-A-B以每秒4cm，连接PQ，以PQ为直径作⊙O.的速度匀速运动，运动时间为t秒（0<t<32时，求▲PCQ的面积;(1)当t=12(2)设⊙O的面积为s，求s与t的函数关系式;(3)当点Q在AB上运动时，⊙O与Rt▲ABC的一边相切，求t的值.3.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8√2cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以√2cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB 交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ 异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点M落在AB上时，x= ；（2）当点M落在AD上时，x= ；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．四、相似类定值问题以及存在性问题1.如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点(不与A、C重合)，连.设AP的接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD=3，sin∠BAC=35长为x.(1)AB= ;当x=1时，PE;PB否是定值?若是，请求出这个值;若不是，请说明理由; (2)①试探究:PEPB②连接BE，设▲PBE的面积为S，求S的最小值.(3)当▲PCE是等腰三角形时.请求出x的值;（2018年苏州园区一模）2.如图，正方形ABCD与矩形EFGH在直线l的同侧，边AD、EH在直线l上.保持正方形ABCD不动，并将矩形EFGH以1 cm/s的速度沿DA方向移动，移动开始前点E与点D重合，当矩形EFGH完全穿过正方形ABCD (即点H与A点重合)时停止移动，设移动时间为t (s).已知AD=cm，EH= cm，EF= cm，连接AF、CG.(1)矩形EFGH从开始移动到完全穿过正方形ABCD，所用时间为 s;(2)当AF⊥CG时，求t的值;3.已知，如图1，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B在x轴上，4，抛物线经过A、B、C三点.点D直线AC上方抛物线上任意一点B的横坐标为94点.(1)求抛物线的函数关系式;(2)若P为线段AC上一点，且S▲PCD=2S▲PAD，求点P的坐标;五、证明线段相等1.在面积为24的△ABC中，矩形DEFG的边DE在AB上运动，点F、G分别在BC、AC上。
（1）若AE＝8，DE＝2EF，求GF的长；（2）若∠ACB＝90°，如图2，线段DM、EN分别为△ADG和△BEF的角平分线，求证：MG＝NF；（3）请直接写出矩形DEFG 的面积的最大值。
2、在△ABC中，点D从A出发，在AB边上以每秒一个单位的速度向B运动，同时点F从B出发，在BC边上以相同的速度向C运动，过点D作DE∥BC交AC于点E．运动时间为t秒．（1）若AB＝5，BC＝6，当t为何值时，四边形DFCE为平行四边形；（2）连接AF、CD．若BD＝DE，求证：∠BAF＝∠BCD；（3）AF交DE于点M，在DC上取点N，使MN∥AC，连接FN．①求证：BFCF =DNCN；②若AB＝5，BC＝6，AC＝4，当MN＝FN时，请直接写出t的值．3.如图，Rt▲ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC边交于点E，EF⊥AB，垂足为F.D为AC的中点，连结BD交EF于G.(1)求证:ED是⊙O的切线;(2)求证:EG=FG;(3)若DG=DA=4，求O的半径.五、最值问题1. 1.如图，在Rt▲ABC中，∠A=30°,AC=8，以C为圆心，4为半径作⊙C.(1)试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由;(2)点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD=2，试说明▲FCD:▲ACF;FA的最小值.(3)点E是AB边上任意一点，在(2)的情况下，试求出EF+122.如图，抛物线y=a2-3ax+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，其中A（－1，0），C（0，3）.(1)求抛物线的解析式(2)点P是线段BC上方抛物线上一动点（不与B，C重合），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交BC于点E，作PF⊥直线BC于点F，设点P的横坐标为x，△PEF的周长记为l,求l关于x 的函数关系式，并求出l的最大值及此时点P的坐标(3)点H是直线AC上一点，该抛物线的对称轴上一动点G，连接OG，GH，则两线段OG，GH的长度之和的最小值等于______,此时点G的坐标为_____（直接写出答案。
）3.如图,Rt △ABC 中.∠BAC=90°，AB=1，AC=2√2.点D,E 分别是边BC.AC 上的动点， 则DA+DE 的最小值为9216.928.916.98.D C B A七、 相似基本模型应用1.如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，且AB ∥CD 有以下四个结论: ①▲AOB ：▲COD ②▲AOD ：▲ACB③S ▲DOC ：S ▲AOD=DC ：AB ④S ▲AOD=S ▲BOC其中，始终正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.如图，己知Rt▲ABC的直角边AC与Rt▲DEF的直角边DF在同一条直线上，且AC=60cm, BC=45cm, DE=6cm, EF=8cm.现将点C与点F重合，再以4 cm/s的速度沿CA方向移动▲DEF;同时，点P从点A出发，以5 cm/s的速度沿AB方向移动，设移动时间为t (s).以点P 为圆心，3t (cm)长为半径的⊙P与AB相交于点M、N.当点F与点A重合时，▲DEF与点P 同时停止移动.在移动的过程中，(1)连接ME，当ME∥AC时，t= s;(2)连接NF，当NF平分DE时，求t的值;3.在Rt▲ABC中，∠C=90°,Rt▲ABC绕点A顺时针旋转到Rt▲ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F.(1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC=BC;(2)若∠DAF=∠DBA，①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由;（母子相似）②当点F在线段CA上时，设BE=x，请用含x的代数式表示线段AF.八、与圆有关的相似1．（隐圆相似）如图，在Rt▲ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8.点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE，将▲BDE绕点B按顺时针方向旋转一定角度(这个角度小于90º)后，点D的对应点D“和点E的对应点E”以及点A三个点在一直线上，连接CE“，则CE“= .2.（最值问题）如图，AB是半⊙O的直径，且AB=8.点C是半⊙O上的一个动点(不与点A、B重合)，过点C作CD⊥AB，垂足为D.设AC=x，AD=y，则x-y的最大值等于 .3.（最值问题）如图，在▲ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+BD的最小值是 .3。