第六章量子力学

3)二者均为角动量，有共性 S2 S S 1 h2
S
S S 1h
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 2
1 2
1h
3h 2
,
L
Sz ms h,
ms
1 ,2s
2
1
2个值，
Lz ml h, ml 0, 1,L , l (2l 1)个
双线：两个磁矩（角动量）值，2s 1 2
l l 1h
7.2 自旋态与自旋算符
一、自旋态的描述
z
对角
ˆ z
1
0
0 1
(17)
这时
ˆ x ,ˆ y
不一定对角化，可由ˆi 对易关系和
ˆ
2 i
1
求出。
２）设
ˆ x
a
d
b c
(18)
由厄米性：ˆ ˆ ，可见 a, c 为实数，b d
ˆ x
a
b
b c
(19)
将(19)式代入(12)式之３,即 z x x z 0 ，可得
4
Sˆx2
Sˆ
2 y
Sˆz2
h2 4
(3)
Svˆ 2 3 h2 3 h2 (4) 44
写为角动量算符的一般形式：S 2 S(S 1)h2 3 h2 (5)
4
由(5)得 S 1 (6) 2
２、泡利算符 及其对易关系：
1)定义：
v S
h
v， 则 ( 2)式 可 写 为 ： (7)
特例：s态原子，l=m=0,Enl分裂为两个能级，Stern Gerlach实验即看到了这个现象（纯自旋效应）
3.谱线分裂:nlm nlm ,
= nlm
nlm h
0
eB
2
m 0
l m
(12)
其中0
nlm
nlm h
，
由选择定则m 0，1，所以
0，0 l
（13）
例：求正常Zeeman Effect的选择定则H=e r:
，所以ˆi 的本征
1 (10)
2)泡利算符的反对易关系 用 y分别左乘和右乘(8)-2式：
y y z y z y 2i y x y z y z y y 2i x y (11)
两式相加可得： x y y x 0
作业证
x y y x 0 y z z y 0 (12) z x x z 0
vv
vv
U M gB MBz cos, (M , B)
原子在外磁场中偏转受力（沿Z方向分量）
Fz
U Z
M
Bz Z
cos
如果原子磁矩方向能够在空间任意取向，
则 cos 可以在[-1，+1]间变化。这样P 处
的底上应当出现连续分布的带状粒子痕迹。
实验结果：两条分立的线，对应 cos 1。
表示。但自旋应当满足角动量算符的普遍性质：
Svˆ Svˆ ihSvˆ
(1)
即
SSˆˆxy
Sˆy Sˆz
Sˆy Sˆx Sˆz Sˆy
ihSˆz ihSˆx
(2)
Sˆz Sˆx Sˆx Sˆz ihSˆy
所值以。由它Sˆ于x 们，SvˆSˆ各y在自，空Sˆ的z间平各任方自意即的方本向h2征上值。的都所投只以影能本只分征能别值取取平两为方个：值 h2：两h2 个，
自旋磁矩都将与外磁场耦合，产生附加的 能量，自旋与轨道运动之间也有相互作用 能 LvgSv。如外磁场足够强，仅得轨道、自 旋磁矩与外磁场之间的耦合能远大于LS耦 合，则可观察到正常塞曼效应。
如，钠黄线（ =589.3nm）分裂为三条 （l=1）,角频率， L , L , l为拉莫频率，l B
式(10)、(14)和(15)概括了泡利算符的全部代数性质。
３、泡利矩阵（泡利表象）
１的） 本由征自值旋 只能Sv 取在任1何，方对向应的的投本影征只态能分取别为 h2自旋，向所上以和ˆ z
向下两个态：
1 0
,
0
1
(16)
而算符在其自身表象中的矩阵表示应为对角矩阵，矩
阵元（对角元）即为本征值，所以，存在一个ˆ 化的表象（ ˆ，2 ˆ z 的共同本征态为基），使
（9）式代入（5）（6）两式中：
Sz
1 2
: Enlm
Enl
eB
2
(m 1)h
Enl
l (m 1)h
(10)
Sz
1 2
:
Enlm
Enl
eB
2
(m 1)h
Enl
l (m 1)h
(11)
l
eB
2c
eB
2
可见，当B 0时，Enlm与m有关，原来对于m量v 子数的简并 被外磁场消除，同时，能量与自旋和外磁场B的耦合有关.
解：空间部分：n无，l= 1,m=0, 1v,已由Ylm 的正交归一性导出现在看第4个自由度S :
nlms
nlm
0
nlm
或
nlms
G Gˆ d (26)
7.3简单塞曼效应 一、正常塞曼效应
1.氢原子或类氢原子在均匀外磁场中，原来的 中心力场球对陈性被破坏，能级简并性被解除。 原来库仑场中电子能级为n 2 度简并，而类氢原子 及碱金属原子由于核外电子的屏蔽效应，能级由 量子数nr和角量子数l共同决定：Enl , 能级为2l+1度简并。在外磁场下，此简并度进一 步解除，能级将与量子数（n,l,m)都有关。 原来一条能级分裂为2l+1条，同时，轨道磁矩、
(6)
电子自旋的回转磁比率：
M SZ e 2 M L 2 e
Sz
L
2
（7）
三. 电子自旋角动量与轨道角动量的比较：
1）电子自旋值S= h ,而轨道角动量l为整数倍h，l 0,1, 2,L 2
2)自旋磁矩/自旋 e ，而 轨道磁矩/轨道角动量 e ，
2
即自旋g因子为2，轨道g因子为1 。
2
rv,
h 2
2
d3r 1
(3)
3.分离变量形式的波函数 当哈密顿量不含自旋变量或可表示成空间坐标部分
与自旋变量部分之和，及其他情况，波函数可以分
离变量：
rv,Sz = vr Sz
(4)
Sz 为描述自旋态的波函数，其一般形式为：
Sz
a b
(5)
(5)式中 a 2 与 b 2 分别代表电子处于自旋投影
=1
2
0
1
或
= 1 2
0
2
(3)(4)
代入（3）得：
-
h2
2
2 1
U
r 1
eB
2
(Lµz
h) 1
E 1
（5）
-
h2
2
2 2
U
r 2
eB
2
(Lµz h) 2
E 2
（6）
当B=0:氢原子
U
r
es2 r
, 波函数 nlm , En仅由总量子数
n决定.
碱金属原子：屏蔽库仑势U r es2
d3r
rv,
h 2
2
表示电子自旋向上（Sz
=
h ）的几率 2
2
d3r
rv,
h 2
表示电子自旋向下（Sz
=-
h 2
）的几率
归一化：
Sz
h 2
d3r rv,Sz 2
d3r
*
rv,
h 2
,
*
rv,
h 2
rv, rv,
h 2
h 2
=
d3 r
rv,
h 2
1. 旋量波函数
自旋角动量是与轨道运动无关的独立变量，
是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第
四个变量。要准确描写电子的运动，必须计入
自旋状态，即考虑电子自旋在某给定方向的投
影的两个可能的波幅，给出取这两个值的几率，
所以波函数中还应包含自旋投影这个变量（Sz）,
记为
rv, Sz
(1)
由于Sz只取
r
e2a
r2
(0 x 1)
这时
仍为本征波函数，但能级本征值E
nlm
nl不仅与n有
关，而且与l有关.
-
h2
2
2 nlm
U
r nlm Enl nlm
（7）
当B=0： Q nlm是lµz的本征函数：
Lµz nlm mh nlm
(8)
nlm仍为方程（5）(6）的解：
1 2 nlm Rnl r Ylm , （9）
2
x y y x 2i z
x , y 2i z
y z z y 2i x 或 y , z 2i x (8)
z x x z 2i y
z , x 2i y
(8)式可以合写为 i , j 2iijkk (9)
由值于只能Sv 取沿为任一1方向，的i2投影x2只能取y2 h2z2
h 2
两个分立值，因此仅用二分量波函数描述：
rv,
Sz
rv, rv,
h 2
h 2
2.旋量波函数的物理意义：
旋量波函数
（2）
2
rv,
h 2
是电子自旋向上（Sz
=
h 2
）,位置在rv处的
几率密度。
rv,
h 2
2
是电子自旋向下（Sz
=-
h ），位置在rv*处 2
的几率密度。
而
1 2i
1 0
0 0
1
1
1 0
1 2i
0 1
11
0
0
0 1
0 i
i 0
(22)